II. LANDASAN TEORI 2.1 Konsp Dasar Graf Pada bagian ini akan dibrikan konsp dasar graf dan dimnsi partisi graf yang digunakan sbagai landasan tori pada pnlitian ini. Tori dasar mngnai graf yang akan digunakan dalam pnlitian diambil dari Do (1989). Garf didfinisikan sbagai pasangan himpunan trurut ) )) dngan ) mnyatakan himpunan titik, dngan ) Sdangkan, ) mnyatakan himpunan sisi yakni mnyatakan pasangan tak trurut dari ). 5 5 7 Gambar 1. Contoh graf dngan 5 titik dan 7 sisi Dua titik dikatakan brttangga jika ada sisi yang mnghubungkan kduanya. Suatu garis dikatakan mnmpl dngan suatu titik u, jika titik u mrupakan salah satu ujung dari garis trsbut. Pada Gambar 1, titik brttangga dngan titik dan ; sisi mnmpl pada titik dan.
Drajat suatu titik adalah banyaknya sisi yang mnmpl pada titik dan dinotasikan dngan d( ). Pada Gambar 1, ) ) ) ) dan 5 ). Pada graf titik mrupakan loop, yaitu sisi yang mmpunyai titik awal dan titik akhir yang sama. Sdangkan, sisi parall pada graf ialah sisi dan yang mmpunyai dua titik ujung yang sama yaitu dan. Graf yang tidak mmiliki dan sisi parall disbut graf sdrhana. Jalan (walk) adalah barisan brhingga titik dan garis, dimulai dan diakhiri olh titik, sdmikian shingga stiap sisi mnmpl dngan titik sblum dan ssudahnya. Jalan yang brawal dan brakhir pada titik yang sama disbut jalan trtutup. Lintasan (path) adalah jalan yang smua titiknya brbda. Sirkuit adalah lintasan trtutup. Sirkuit gnap adalah lintasan yang dimulai dan diakhiri dngan titik yang sama dan banyak titiknya gnap. Sdangkan, jika banyak titiknya ganjil, maka disbut sirkuit ganjil. Pada Gambar 1 contoh jalan adalah 5, contoh lintasan adalah 5 contoh sirkuit adalah 5 5 5 (a) (b) Gambar 2. (a) Sirkuit gnap dngan = 4 dan (b) Sirkuit ganjil dngan = 5 5
Misalkan ) adalah graf trhubung, dan. Jarak titik trhadap didfinisikan sbagai ) ). a d b c Gambar 3. Jarak ) ) dan ) Graf dikatakan subgraf jika dan hanya jika ) ) dan ) ) Gambar 4. Graf adalah subgraf Brikut ini dibrikan bbrapa klas graf pohon yang brkaitan dngan pnlitian ini. Pohon adalah graf trhubung yang tidak mmuat sirkuit. Pohon yang hanya mmiliki sbuah titik disbut pohon smu, sdangkan gabungan dari bbrapa pohon disbut hutan (Siang, 2009). Gambar 5. Contoh pohon T dan hutan P. 6
Pohon brakar (rootd tr) adalah pohon dngan satu titik yang dikhususkan dari titik yang lain (Siang, 2009) 5 5 7 7 Gambar 6. Pohon brakar dngan titik sbagai akar. Pohon binr (binary tr) mrupakan pohon brakar yang stiap titiknya mmiliki paling banyak dua daun yang disbut daun kiri dan daun kanan (Siang, 2009). Pohon binr pnuh adalah pohon binr yang stiap titiknya mmiliki tpat dua anak. (a ) (b) Gambar 7. (a) Pohon binr; (b) pohon binr pnuh Pohon n-ary adalah pohon brakar yang stiap titiknya mmpunyai paling banyak buah daun (Wlyyanti, 2000)...... Gambar 8. Graf n-ary 7
Graf ) untuk n, k bilangan asli adalah graf - ary lngkap dngan kdalaman k dan stiap titik mmpunyai anak kcuali pada daun-daunnya. Kdalaman dari ) adalah panjang lintasan dari titik akar k daun-daunya. Jlas bahwa ) adalah graf bintang dan ) adalah graf lobstr (Wlyyanti, 2000). (a) (b) (c) (d) Gambar 9. (a) ); (b) ) ; (c) ) dan (d) ) Graf bintang (star) adalah suatu graf trhubung yang mmpunyai satu titik brdrajat yang disbut dngan pusat, dan titik lain yang brdrajat satu yang disbut daun (Chartrand, 2000). Gambar 10. Graf bintang Sbuah graf pohon disbut graf bintang ganda jika graf pohon trsbut mmpunyai tpat dua titik dan brdrajat lbih dari satu. Jika dan, brturut-turut brdrajat dan maka graf bintang ganda dinotasikan dngan (Chartrand, 1998). Gambar 11. Graf bintang ganda 5. 8
2.2 Dimnsi partisi Graf Pada bagian ini akan dibrikan dfinisi dimnsi partisi, sifat-sifatnya dan bbrapa klas graf yang sudah diprolh dimnsi partisinya. Misalkan ) suatu graf, ) dan ). Jarak dari titik k himpunan, dinotasikan dngan ) adalah ) dngan ) adalah jarak dari titik k. Misalkan { } adalah partisi dari ) dngan klas-klas dari. Rprsntasi trhadap, dinotasikan dngan ), adalah -tupl trurut ) ) )). Slanjutnya, disbut partisi pmbda dari ) jika ) ) untuk stiap dua titik brbda ) Dimnsi partisi dari, dinotasikan ) adalah nilai trkcil shingga mmpunyai partisi pmbda dngan klas (Chartrand, 1998). Brikut ini dibrikan graf dan akan ditntukan dimnsi partisi dari graf trsbut. 5 9 8 7 Gambar 12. Dimnsi partisi graf 9
Graf dipartisi sdmikian shingga diprolh, dngan 7 9, 5 8 dan. Prhatikan bahwa r( ) (2,0,3) ; r( ) = (1,0,2); r( ) = (0,1,1); r( ) = (0,2,2); r( 5 ) = (1,0,2); r( ) = (1,2,0); r( 7 ) = (0,1,3); r( 8 ) = (1,0,4); r( 9 ) = (0,1,5); r( ) = (0,2,4). Karna rprsntasi dari smua titik adalah brbda, maka adalah partisi pmbda dari dan ) Untuk mnunjukkan ) andaikan trdapat partisi pmbda dari. Prhatikan bahwa mmpunyai 3 daun, yaitu 5. Karna hanya trdapat dua klas partisi pmbda, maka dua dari tiga daun trsbut harus brada pada klas partisi yang sama. Akibatnya, rprsntasi kdua daun itu akan sama, karna mmpunyai jarak yang sama trhadap titik-titik yang lain. Jadi, 3. Akibatnya, ). Brikut ini adalah sifat pnting dimnsi partisi yang tlah dibuktikan olh Chartrand dkk (1998). Lmma 2.2.1 Dibrikan graf trhubung yang tidak triial dngan partisi pmbda dari ) Untuk ), jika ) ) untuk stiap ), maka dan mrupakan lmn yang brbda dari. 10
Brikut ini adalah torma yang digunakan untuk mnntukan dimnsi partisi pada graf bintang ganda. Torma 2.2.2 Jika adalah graf bintang ganda brord 6, dngan dan dua titik yang bukan daun, maka, ) ) ). Bukti : Misalkan = dg ) 1 dan dg ), dngan Misalkan adalah daun dari yang brttangga dngan dan adalah yang daun brttangga dngan. Untuk mmbuktikannya dibagi mnjadi dua kasus. Kasus 1. Jika Dibrikan }, dngan, dan untuk Prhatikan bahwa r( ) (0,2,2,2,,2); r( ) (1,0,2,2,,2); r( ) (0,1,2,2, 2); r( ) (2,0,2,2,.2); r( ) (0,1,1,,1); r( ) (1,0,1,1,,1) untuk, r( ) (1,2,,0, ) dan r( ) (2,1, 0, ), komponn k brnilai 0. Akibatnya smua titik mmpunyai rprsntasi yang brbda. Jadi, ) Kasus 2. Jika. Pada kasus 2 ini, dapat dipcah lagi mnjadi sub kasus. Bagian 2.1. Jika Maka Dibrikan dngan,,, dan untuk Karna r( ) = (1,0,2,*,*,.,*); r( ) = (1,2,0,*,*,,*); r( ) = (1,0,1,*,*,,*); r( ) = (0,1,0,*,*,.,*). Jadi, partisi pmbda dari ) dan ) 11
Bagian 2.2. Jika. Dibrikan dngan ;, untuk, dan untuk Prnyataan yang sama yang digunakan bagian 2.1 mnunjukkan bahwa partisi pmbda dari ) dan ) Jadi, trbukti bahwa ) ) ). Brikut ini adalah contoh pnntuan dimnsi partisi dari graf bintang ganda. 5 2 2 1 1 3 2 Gambar 13. Dimnsi prtisi graf bintang ganda Graf graf bintang ganda dipartisi sdmikian shingga diprolh, dngan, 5 dan. Prhatikan bahwa r( ) (1,0,1) ; r( ) = (0,1,2); r( ) = (0,2,3); r( ) = (1,0,3); r( 5 ) = (2,0,2); r( ) = (2,1,0). Karna rprsntasi dari smua titik adalah brbda, maka adalah partisi pmbda dari dan ( ) Untuk mnunjukkan ( ) Andaikan trdapat partisi pmbda dari. Dngan dan 5. Rprsntasi stiap titik dari graf bintang ganda adalah r( ) (1,0) ; r( ) = (0,1); r( ) = (0,2); r( ) = (1,0); r( 5 ) = (2,0); r( ) = (2,0). Trlihat bahwa r( ) ) dan r( 5 ) = r( ). Jadi, 3. Akibatnya, ( ) 12
Brikut ini dibrikan torma untuk mnntukan dimnsi partisi graf lintasan. Torma 2.2.3 Misalkan graf lintasan brord, maka ) Bukti : Misalkan graf lintasan = Asumsikan ={S 1, S 2 } adalah partisi dari ) dngan dan maka r( ) (0,1); r( ) = (1,0); r( ) = (2,0); r( ) = (3,0). Scara umum r( ) = -1,0); untuk. Olh karna itu, ). n Brikut ini dibrikan torma mnntukan dimnsi partisi graf bintang ganda. Torma 2.2.4 Jika graf bintang brord, maka ( ). Brikut ini adalah contoh pnntukan dimnsi partisi dari graf 5 1 5 1 2 5 4 3 Gambar 14. Partisi pmbda pada graf 5 Misalkan graf 5 dipartisi dngan lima partisi, asumsikan 5 dngan,, 5, dan 5. Prhatikan bahwa ) ) ) ) ) (1,0,2,2,2); ) ) 5 ) ) ) ) 13
Karna rprsntasi dari smua titik adalah brbda, maka adalah partisi pmbda dari 5 dan 5 ) 5. Untuk mnunjukkan ( 5 ) andaikan trdapat partisi pmbda dari 5 dngan,, dan 5. Rprsntasi stiap titik dari graf 5 adalah ) ) ) ) ) (1,0,2,2); ) ); 5 ) ) ) ) Trlihat bahwa 5 ) ). Shingga, bukan partisi pmbda dari graf. Jadi, Akibatnya, ) 14