Aljabar Linear Elementer MA SKS Silabs : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vektor di Bidang dan di Rang Bab V Rang Vektor Bab VI Rang Hasil Kali Dalam Bab VII Transformasi Linear Bab VIII Rang Eigen /5/4 4: MA- Aljabar Linear
Rang Hasilkali Dalam (RHD) Sb Pokok Bahasan Definisi RHD Himpnan Ortonormal Proses Gramm Schmidt Aplikasi RHD : bermanfaat dalam beberapa metode optimasi seperti metode least sqare dalam peminimman error dalam berbagai bidang rekayasa. /5/4 4: MA- Aljabar Linear
Definisi RHD Misalnya V adalah sat rang ektor dan maka notasi < > dinamakan hasil kali dalam V jika memenhi keempat aksioma sebagai berikt:. (Simetris). (Aditiitas). ntk sat kr k (Sifat Homogenitas) k k 4. ntk setiap dan (Sifat Positifitas) /5/4 4: MA- Aljabar Linear
Jika V merpakan sat rang hasil kali dalam maka norm (panjang) sebah ektor dinyatakan oleh : yang didefinisikan oleh : Contoh : Rang Hasil Kali Dalam Eclides ( R n ) Misalkan R n maka... n n = ( + +..+ n ) ½ /5/4 4: MA- Aljabar Linear 4
Contoh : Misalnya W R yang dilengkapi dengan operasi hasil kali dalam dimana W Bktikan baha W adalah rang hasilkali dalam Jaab : Misalkan W + + = + + (terbkti simetris) /5/4 4: MA- Aljabar Linear 5
(ii) <( + + + ) ( )> (iii) ntk sat kr k = ( + ) + ( + ) + ( + ) = + + + + + = + + + + + <(k k k ) ( )> = k + k + k (bersifat aditiitas) = k + k + k. k k (bersifat homogenitas) /5/4 4: MA- Aljabar Linear
( i) Jelas baha ntk setiap dan hanya jika Contoh : Periksa apakah merpakan hasil kali dalam Jaab : Perhatikan Pada saat > + maka Tidak memenhi Sifat positiitas /5/4 4: MA- Aljabar Linear 7
Contoh 4 : Diketahi ad cf dimana ( a b c) dan ( d e f ) Jaab : Apakah merpakan hasil kali dalam? Jelas baha = ( a + c ) ( ) Misalkan diperoleh Padahal ada Aksioma terakhir tidak terpenhi. Jadi ad + cf bkan merpakan hasil kali dalam. /5/4 4: MA- Aljabar Linear 8
Himpnan Ortonormal Sebah himpnan ektor pada rang hasil kali dalam dinamakan himpnan ortogonal jika sema pasangan ektor yang berbeda dalam himpnan tersebt adalah ortogonal (saling tegak lrs). Himpnan ortonormal himpnan ortogonal yang setiap ektornya memiliki panjang (normnya) sat. /5/4 4: MA- Aljabar Linear 9
Secara Operasional Misalkan T c c... pada satrhd c n T dikatakan himpnan ektor ortogonal jika c i c j ntk setiap i j Sedangkan T dikatakan himpnan ektor ortonormal jika ntk setiap i berlak c i /5/4 4: MA- Aljabar Linear
/5/4 4: MA- Aljabar Linear Contoh 5 :. Pada RHD Eclides A bkan himpnan ortogonal.. Pada RHD Eclides B merpakan himpnan ortonormal.. Pada RHD Eclides C merpakan himpnan ortonormal. - A - B C
Misalkan S... n adalah basis ortonormal ntk RHD V Jika adalah sembarang ektor pada V maka k k... k n n Perhatikan baha ntk sat i berlak : k k... k i n n i k k i i... k i i i... k n n i Karena S merpakan himpnan ortonormal dan ntk setiap i j dan i j i i ntk setiap i /5/4 4: MA- Aljabar Linear
Sehingga ntk setiap i berlak i k i Kombinasi linear k k... k n n Ditlis menjadi... n n Contoh : Tentkan kombinasi linear dari a pada RHD Eclides berpa bidang yang dibangn dan /5/4 4: MA- Aljabar Linear
/5/4 4: MA- Aljabar Linear 4 Jaab : a a a a a Perhatikan.. dan mrp Basis ortonormal k k a
Proses Gramm-Schmidt S c c c n basis bagi sat RHD V B... n basis ortonormal bagi V Langkah yang dilakkan. c c /5/4 4: MA- Aljabar Linear 5
. Langkah keda c q c p c p proy c c q c p c c c c Vektor satan searah q /5/4 4: MA- Aljabar Linear
. Langkah ketiga c q c W p proy c c c q c p p W c c c c c c Vektor satan Yang tegak lrs Bidang W /5/4 4: MA- Aljabar Linear 7
/5/4 4: MA- Aljabar Linear 8 Contoh 7 : Diketahi : B merpakan basis pada RHD Eclides di R. Transformasikan basis tersebt menjadi basis Ortonormal Jaab : Langkah. B
/5/4 4: MA- Aljabar Linear 9 Langkah proy proy proy 9 9 9 4 proy Sementara it Karena it sehingga :
/5/4 4: MA- Aljabar Linear Langkah Sementara it sehingga : proy proy W W proy W
/5/4 4: MA- Aljabar Linear Jadi merpakan basis ortonormal ntk rang ektor R dengan hasil kali dalam Eclides =
/5/4 4: MA- Aljabar Linear Contoh 8 : Diketahi bidang yang dibangn oleh merpakan sbrang dari RHD Eclides di R Tentkan proyeksi orthogonal dari ektor pada bidang tersebt.
Jaab : Diketahi merpakan basis bagi sbrang pada RHD tsb. Karena Selain membangn sbrang pada RHD himpnan tsb jga saling bebas linear (terlihat baha ia tidak saling kelipatan). Langkah aal : Basis tersebt basis ortonormal. /5/4 4: MA- Aljabar Linear
/5/4 4: MA- Aljabar Linear 4 Perhatikan baha :
/5/4 4: MA- Aljabar Linear 5 4 4 4 Sehingga: Akibatnya :
/5/4 4: MA- Aljabar Linear Akhirnya diperoleh Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tsb =
/5/4 4: MA- Aljabar Linear 7 oy W Pr Proyeksi Orthogonal Vektor pada bidang tersebt adalah Perhatikan baha :
/5/4 4: MA- Aljabar Linear 8 Sementara it :
/5/4 4: MA- Aljabar Linear 9 oy W Pr 4 Dengan demikian =
/5/4 4: MA- Aljabar Linear Contoh 9 : Diketahi bidang yang dibangn oleh merpakan sbrang dari RHD Eclides Tentkan proyeksi orthogonal dari ektor pada bidang tersebt. Jelas baha merpakan basis bagi bidang tersebt karena dan saling bebas linear Jaab
/5/4 4: MA- Aljabar Linear Basis tersebt akan ditransformasikan menjadi basis ortonormal.
/5/4 4: MA- Aljabar Linear Perhatikan baha : Sehingga: akibatnya
/5/4 4: MA- Aljabar Linear oy W Pr Proyeksi Orthogonal Vektor pada bidang W adalah: 4 =
/5/4 4: MA- Aljabar Linear 4 Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tersebt adalah :
Latihan Bab VI. Periksa apakah operasi berikt merpakan hasil kali dalam ata bkan a. = + di R b. = + di R c. = + + di R. Tentkan nilai k sehingga ektor (k k ) dan ektor (k 5 ) adalah orthogonal dalam rang Eclides! /5/4 4: MA- Aljabar Linear 5
/5/4 4: MA- Aljabar Linear. W merpakan sbrang RHD eclides di yang dibangn oleh ektor dan Tentkan proyeksi orthogonal ektor pada W