Penyelesaian Persa amaan Non Linier Metode Iterasi Sederhana Metode Newton Raphson Permasalahan Titik Kritis pada Newton Raphson Metode Secant Iterasi/NewtonRaphson/Secant Metode Numerik
- Metode Iter rasi Sederhana- Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan dengan sebagian yang lain sehingga diperoleh : = g(). Contoh : y=-e diubah menjadi : g()=e g() inilah yang menjadi dasar itera asi pada metode iterasi sederhana Metode iterasi sederhana secara grafis dijelaskan sebagai berikut : Y y= y=g() 3 2 0 X Grafik Metode Iterasi Se ederhana y=,g=e 2
Contoh Penyelesaian Metode Iterasi Sederhana Selesaikan +e = 0 Jawab : 3 Persamaan diubah menjadi g() = -e Ambil titik awal di 0 = -, maka Iterasi : = -e - = -0.3679 F() = 0,3243 => + e Iterasi 2 : = -e -0,3679 = -0,6922 F() = -0,973 Iterasi 3 : = -e -0,6922 = -0,50047 F() = 0,0577 Iterasi 4 : = -e -0,50047 = -0,60624 F() = -0,06085 Iterasi 5 = = -e -0,60624 = -0,5454 F() = 0,0342703427 Pada iterasi ke 0 diperoleh = -0,56843 dan F() = 0,03427.
Algoritma Metode Iterasi Sederhana 4. Definisikan F() dan g() 2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) 3. Tentukan pendekatan awal 4. Untuk iterasi = s/d n atau F() > e X i = g( i- ) Hitung F( i ) 5. Akar adalah terakhir yang diperoleh.
Metode Newton Raphson Metode Newton Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut. Titik pendekatan ke n+ dituliskan sebagai berikut : 2 5 F F n+ = n ( ) n ( ) n 0 X Gambar Metode Newton Raphson
Contoh Penyelesaian Metode Newton Raphson Selesaikan persamaan - e - = 0 dengan titik pendekatan awal 0 =0 f() = - e - f ()=+e - f(0) = 0 - e -0 = - f (0) = + e -0 = 2 ( ) f 0 = 0 = 0 = 0,5 f ( 0 ) 2 f() = -0,0663 dan f () =,60653 f ( ) = 0,5 ( ), 60653 0,0653 2 = = f 0,5663 f(2) = -0,003045 dan f(2) =,56762 3 = 2 f f ( 2 ) = 0,5663 ( ), 56762 2 0,003045 = 0,56743 f(3) =-,96.0-7. Suatu bilangan yang sa angat kecil. Sehingga akar persamaan = 0,56743. Toleransi error : 0.0000000000
Algoritma Metode e Newton Raphson 7. Definisikan fungsi F() dan F () 2. Tentukan toleransi error (e e) dan iterasi maksimum (n) 3. Tentukan nilai pendekatann awal 0 4. Hitung F(0) )dan F (0) 5. Untuk iterasi i = s/d n ata au f( i ) > e F ( ) i + = i F ( ) Hitung f( i+ ) dan f ( i+ ) 6. Akar persamaan adalah nilai i+ yang terakhir diperoleh. n n
Permasalahan Metode NewtonRaphson 8 Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F sehingga nilai penyebut dari F( ) () = 0 = nol, secara grafis dapat dilihat sebagai berikut : F ( ) akar persamaan titik puncak Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di tak berhingga. Grafik Pendekatan Newton Raphson, dg. Titik Pendekatan ada di Titik Puncak
Permasalahan Metode NewtonRaphson Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner. akar persamaan Titik pendekatan titik puncak 9 Bila titik pendekatan berada diantara dua titik puncak akan dapat mengakibatkan hilangnya penyelesaian (divergensi). Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik iikpuncak atau arah pendekatannya berbeda. Grafik Pendekatan Newton Raphson, dg. Titik pendekatan berada diantara 2 titik puncak
Penyelesaian Permasalahan Metode Newton Raphson Untuk dapat menyelesaikan kedua permasalahan pada metode newton raphson ini, maka metode newton raphson perlu dimodifikasi dengan :. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan tersebut harus di geser sedikit, i = i ±δ dimana δ adalah konstanta yang ditentukan dengan demikian F ( i ) 0 dan metode newton raphson tetap dapat berjalan. 2. Untuk menghindari i titik-titik pend ekatan yang berada jauh, sebaiknya pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel, sehingga dapat di jamin konvergens i dari metode newton raphson. 0
Contoh Penyelesaian Permasalahan MetodeNewtonRaphson Selesaikan persamaan :. e - + cos(2) = 0 Jawab : Bila menggunakan titik pendekatan awal 0 = 0,7628 f() =. e - + cos(2) f () = (-) e - 2 sin (2) Sehingga f(0) =,086282 dan f (0) = -0,00005 Grafik y=.e - +cos(2) 0 akar persamaan
Iterasi menggunakan metode Newton Raphson : iterasi f() f'() 0 0,7628,086282 -,5226E-05 7364,89 0,59434 -,608732696 2 7365,26-0,0227 -,9895369 3 7365,2 0,00036 -,99999987 4 7365,2-2,9E- -2 5 7365,2 3,3E-3-2 6 7365,2 3,3E-3-2 Akar yang ditemukan =7365 Pendekatan awal 0=0.5 iterasi dari metode Newton Raphson: Iterasi f() f'() 0 0,5 0,843568 -,37967664,424-0,2406 -,62634933 2 0,963203 0,09463 -,86082504 3 0,973662 5,6E-05 -,84994627 4 0,973692 4,98E-0 -,8499347 5 0,973692 0 -,8499347 6 0,973692 0 -,8499347 Akar yang ditemukan adalah =0.973692 2
Algoritma Metodee Newton Raphson dengan Mod difikasi i Tabel 3. Definisikan fungsi F() 2. Ambil range nilai = [ a,b] dengan jumlah pembagi n 3. Masukkan torelansi error (e) dan masukkan iterasi n 4. Gunakan algoritma tabel diperole eh titik pendekatan awal 0 dari : F(k). F(k+)<0 maka 0 = k 5. Hitung F(0) dan F (0) 6. Bila F [ abs( F ( 0 ))] < e maka pen ndekatan awal 0 digeser sebesar d (dimasukkan) 0 = 0 + d hitung F(0) dan F (0) 7. Untuk iterasi i= s/d n atau F(i) e F ( i ) i = i F ( i ) hitung F(i) dan F (i) bila F (i) < e maka i = i + d hitung F(i) dan F (i) 8.Akar persamaan adalah terakhir yang diperoleh.
Metode Secant Metode Secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan Newton Raphson, dimana kemiringan dua titik dinyatakan secara diskrit, dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik. y y0 = m( 0) Dimana m diperoleh dari m n Jika y=f(), n y dan n diketahui, maka titik ke n+ adalah : y Bila titik n+ dianggap sebagai aka ar persamaan maka y n+ =0 sehingga ( ) n+ = ( n+ yn = mn n+ n y + = n n n n y n ( f ( ) ( ) n f n ) ( ) ) 4 ( n n y n+
Contoh Penyelesaian Metode Secant Selesaikan persamaan 2 ( + ). e e Jawab : Berdasarkan gambar grafik didapatkan akar terletak pada range [0.8, 0.9], maka 0 = 0.8 dan = 0.9, sehingga : y0 = F(0) = -0.6879 y = F() = 0.03758 Iterasi Metode Secant adalah sbb : Iterasi : Iterasi 2 : Iterasi 3 : 0 2 = y = y y0 2 3 = 2 y2 = y2 y 3 2 4 = 3 y3 = y3 y2 0.8885 y 2 = 0. 0053 0.882528 0.882534 y3 =.30 5 y4 = 4.90 9 Diperoleh akar = 0.882534 5
Grafik fungsi 2 y = ( + ).e untuk range [-,] 6
Algoritma Metode Secant. Definisikan fungsi F() 2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) 3. Masukkan dua nilai pendekatan awal, dimana diantaranya terdapat akar (0 dan ), gunakan metode tabel atau grafis untuk mendapatkan titik pendekatan 4. Hitung F(0) dan F() sebagai y0 dan y 5. Untuk iterasi i = s/d n atau i+ = i y i i y i Hitung y i+ =f( i+ ) f( i ) > e i y i 6. Akar persamaan adalah nilai yang terakhir diperoleh. 7