JIMT ol. 9 No. 1 Juni 01 (Hal. 16 8) Jurnal Ilmiah Matmatika dan Trapan ISSN : 450 766X PELABELAN TOTAL SISI ANTI AJAIB SUPER (PTSAAS) PADA GABUNGAN GRAF BINTANG GANDA DAN LINTASAN Nurainun 1, S. Musdalifah, I. W. Sudarsana 3 1,,3 Jurusan Matmatika FMIPA Univrsitas Tadulako, Jalan sukarno-hatta Palu, 1 nununk_nic16@yahoo.co.id, slvymusdalifah@yahoo.com, 3 sudarsanaiwayan@yahoo.co.id Abstrak Plablan Total (a,d) sisi anti ajaib (a,d)- TSAA pada graf G(,E) adalah pmtaan satu-satu (G) E(G) pada 1,, p + q}, sdmikian shingga himpunan bobot sisi dari smua sisi di G adalah a, a + d, a + d,. a + ( 1)d} sama dngan W f(u) + f(uv) + f(v): uv E(G)} untuk suatu bilangan bulat positif a > 0 dan d 0. Dimana, p = banyaknya titik dan q = banyaknya sisi. Plablan λ dikatakan plablan total sisi ajaib supr (TSAAS) jika mmpunyai sifat bahwa stiap titik mmprolh labl trkcil, λ() = 1,,, p} sbuah graf G(, E) dikatakan TSAA (TSAAS) jka trdapat plablan TSA (TSAAS) pada graf trsbut, brbda dua. Pada pnlitian ini, akan ditunjukkan bahwa gabungan dua graf dari dua graf lintasan dan sbuah graf bintang ganda atau dua graf bintang ganda dan sbuah graf lintasan adalah TSAAS dngan plablan (a, d) = ( 9n + 5,) untuk n 4 gnap, (a, d) = ( 9n+3 + 5,) untuk n 5 ganjil, (a, d) = ( 9n + 6,) untuk n 4 gnap, (a, d) = (9n+ + 5,) untuk n 4 ganjil. Kata Kunci : Bintang Ganda, Lintasan, TSAA, TSAAS Abstract Total Labling (a, d) th anti- magic dg, (a, d) TSAA in a graph G(, E) is on to on mapping from (G) E(G) to 1,, p + q}, such that th st of wight of all dgs in th G is a, a + d, a + d,. a + ( 1)d} is qual to W f(u) + f(uv) + f(v): uv E(G)} for a positiv intgr a > 0 and d 0. Whr p = th mmbr of points and q = th mmbr of sid. Labling of λ is calld anti magic total supr labling (TSAAS) if it λ() = 1,,, p} a graph G(, E) is calld TSAA (TSAAS) if thr TSA labling (TSAAS) on th graph labling, unlik th two. In this rsarch, will b shown that th combin of two graphs from two graphs track and a doubl star graph or two doubl star graph and a graph track is TSAAS with labling (a, d) = ( 9n + 5,) for n 4 vn, (a, d) = ( 9n+3 + 5,) for n 5 unvn,, (a, d) = ( 9n + 6,) for n 4 vn, (a, d) = (9n+ + 5,) for n 4 unvn. Kyword : Doubl Stars, Track, TSAA, TSAAS 16
I. Pndahuluan 1.1. Latar Blakang Matmatika mrupakan salah satu ilmu yang banyak dimanfaatkan untuk mnylsaikan prmasalahan di brbagai bidang. Salah satu cabang ilmu matmatika yang sring digunakanuntuk mnylsaikan suatu prmasalahan adalah tori graf. Walaupun graf tlah banyak diplajari, namun smakin majunya tkhnologi komputr, tlah mmbangkitkan minat baru untuk mmplajari graf dan mnjadikan graf sbagai salah satu cabang matmatika yang akhir-akhir ini brkmbang psat. Diantaranya adalah banyaknya pnmuanpnmuan baru mngnai graf. Mulai jnis-jnis graf, macam-macam plablannya dan cara mlablkannya. Tori graf mulai diknal pada saat sorang matmatikawan brkbangsaan Swiss, brnama Lonhard Eulr, brhasil mngungkapkan Mistri Jmbatan Konigsbrg pada tahun 1736. Di Kota Konigsbrg (skarang brnama Kalilingrad, di Uni Sovit) mngalir sbuah sungai brnama sungai Prgl. Di tngah sungai trsbut trdapat dua buah pulau. Dari kdua pulau trsbut trdapat jmbatan yang mnghubungi k tpian sungai dan diantara kdua pulau. Graf digunakan untuk mrprsntasikan objk-objk diskrit dan hubungan antara objkobjk trsbut. Rprsntasi visual dari graf adalah dngan mnyatakan objk dngan simpul, noktah, bulatan, titik, atau vrtx, sdangkan hubungan antara objk dinyatakan dngan garis atau dg. Salah satu aplikasi yang brkaitan dngan plablan graf adalah salah satunya dngan mnggunakan sistm kriptografi diantaranya sbagai pnguncian psan. Plablan graf mrupakan suatu topik dalam tori graf. Objk kajiannya brupa graf yang scara umum dirprsntasikan olh titik dan sisi srta himpunan bagian bilangan cacah yang disbut labl. Prtama kali diprknalkan olh Sadlack (1964), kmudian Stwart (1966), Kotzig dan Rosa (1970) (dalam Gallian, 011). Plablan suatu graf adalah suatu pmtaan dari himpunan lmn graf (vrtx, dg, atau vrtx dan dg) trhadap bilangan bulat positif. Plablan graf adalah pmbrian labl pada lmn-lmn trtntu dari graf trsbut dngan mnggunakan bilangan bulat positif. Elmnlmn graf itu sndiri mliputi himpunan titik, himpunan sisi, dan himpunan titik dari sisi. Plablan titik adalah plablan graf dimana domainnya mrupakan himpunan titik. Plablan sisi adalah plablan graf dimana domainnyamrupakan himpunan sisi, sdangkan plablan total adalah plablanyang domainnya mrupakan gabungan dari himpunan titik dan sisi. Trdapat bbrapa jnis plablan graf, diantaranya adalah plablan gracfull, plablan harmoni, plablan 17
total tak braturan, plablan ajaib, dan plablan anti ajaib. Dalam plablan ajaib trdapat bbrapa macam plablan, diantaranya adalah plablan total titik ajaib, plablan total sisi ajaib, plablan total titik ajaib suprdan plablan total sisi ajaib supr, sdangkan pada plablan anti ajaib trdapat plablan total titik anti ajaib dan plablan total sisi anti ajaib. Pada plablan total sisi anti ajaib trbagi lagi ada yang supr dan ada yang tidak.dalam hal ini, pnlitian ini fokus pada Plablan Total Sisi Anti Ajaib Supr. Dalam pnlitian sblumnya sudah ada bbrapa pnliti yang tlah mngrjakan matri Plablan Total Sisi Anti Ajaib Supr diantaranya Eva Solina, plablan total (a,d)-sisi-anti ajaib supr pada graf C n K dan Sri Mi Itasari (011), plablan total (a,d) C4 anti ajaib supr pada graf prisma C n x P dan masih banyak lagi papr-papr yang trdapat di Gallian (011). Dalam pnlitian ini yang diangkat adalah gabungan graf bintang ganda dan graf lintasan karna blum ada yang mngrjakannya, ini masih mnjadi masalah yang trbuka yang didasari olh hasil survy dari papr Gallian (011). II. Mtod Pnlitian.1. Lokasi dan Tmpat Pnlitian Tadulako. Lokasi dan tmpat pnlitian brtmpat di Jurusan Matmatika Fakultas MIPA Univrsitas.. Alat dan Bahan Adapun alat dan bahan yang digunakan pada pnlitian ini adalah sbuah alat tulis mnulis dan laptop dngan mnggunakan softwar pmrograman Microsoft Offic isio 003..3. Jnis dan sumbr data Jnis data yang digunakan pada pnlitian ini adalah data kuantitatif yaitu data yang brupa angka. Sdangkan sumbr data yang digunakan dalam pnlitian ini adalah data skundr..4. Tknik Analisa Data Tknik yang digunakan adalah studi litratur, yaitu mngumpulkan informasi dari bbrapa buku, artikl dan jurnal yang brkaitan dngan Plablan TSAAS..5. Prosdur Pnlitian Pnlitian dapat dilakukan ssuai dngan prosdur dibawah ini : 1. Mmulai pnlitian 18
. Mnotasikan titik dan sisi padap n Sn +1, n 1 untuk n 4 gnap dan P n Sn+3, n 3 untuk n 5 ganjil. Srta P n Sn +1, n 1 untuk n 4 gnap dan P n Sn+3, n 3 untuk n 5 ganjil. 3. Mmbrikan labl untuk titik dan sisi pada P n Sn +1, n 1 untuk n 4 gnap dan P n Sn+3, n 3 untuk n 5 ganjil. Srta P n Sn +1, n 1 untuk n 4 gnap dan P n Sn+3, n 3 untuk n 5 ganjil. 4. Mmbuat formula Plablan TSAAS pada P n Sn +1, n 1 untuk n 4 gnap dan P n Sn+3, n 3 untuk n 5 ganjil. Srta P n Sn +1, n 1 untuk n 4 gnap dan P n Sn+3, n 3 untuk n 5 ganjil. 5. Mmbangkitkan konstanta anti ajaib pada P n Sn +1, n 1 untuk n 4 gnap dan P n Sn+3, n 3 untuk n 5 ganjil. Srta P n Sn +1, n 1 untuk n 4 gnap dan P n Sn+3, n 3 untuk n 5 ganjil. 6. Hasil 7. Slsai III. Hasil dan Pmbahasan 3.1. Plablan TSAAS Pada Graf P n Sn +1, n 1 untuk n 4 gnap Graf P n Sn 1 untuk n 4gnap, dapat digambarkan sbagai brikut : +1, n 1,1 1, 1,1 1,,1,,1, 3,1 3, 3,1 3, 4,1 4, 4,1 4, 5,1 5, 5,1 5, 6,1 6, 6,1 6, 7,1 7, 7,1 7, 8,1 8, 8,1 8, 9,1 9, 9,1 9, 10,1 10, 10,1 10, 11,1 11, n,1 n-1,1 n, n-1, 1,3,3 1,3,3 3,3 3,3 +,3 4,3 + 3,3 4,3 5,3,3 + 5,3 6,3 4,3 + 3,3 + + 1,3 6,3 4,3 + 5,3 + n-1,3 + 1,3 n,3 Gambar 1 : Pnotasian Titik dan Sisi Graf P n Sn +1, n 1 19
Brdasarkan gambar diatas, dapat dinotasikan graf P n Sn dan sisinya sbagai brikut : +1, n 1 dngan himpunan titik (P n Sn +1, n 1) = v i,j 1 j 3, 1 i n }... (1) E (P n Sn +1, n 1 ) = i,j 1 j 3, 1 i n 1 },... () dimana i,1 = v i,1 v i+ 1,1, 1 i n 1 i, = v i, v i+ 1,, 1 i n 1 i,3 = v i,3 vn +,, 1 i n + 1 vn +1, v i+1,, n + i n 1... (3) 3.1.1. Untuk n = 4 P 4 S 3,1 Plablan TSAAS pada graf P 4 S 3,1, dapat dilakukan sprti pada gambar dibawah ini : 8 5 11 13 16 19 14 17 3 9 6 1 0 15 18 1 1 4 7 Gambar : Plablan Titik dan Sisi Graf P 4 S 3,1 Prhatikan bahwa titik dibri labl dngan anggota himpunan λ () = 1,,..., 1} dan banyaknya titik n=4. Jika λ adalah plablan TSAAS untuk graf P 4 S 3,1 maka diprolh : λ(v 1,1 ) = λ(v 1, ) = 3 λ(v 1,3 ) = 1 λ(v,1 ) = 8 λ(v, ) = 9 λ(v,3 ) = λ(v 3,1 ) = 5 λ(v 3, ) = 6 λ(v 3,3 ) = 7 λ(v 4,1 ) = 11 λ(v 4, ) = 1 λ(v 4,3 ) = 10 λ( 1,1 ) = 13 λ( 1, ) = 15 λ( 1,3 ) = 14 λ(,1 ) = 16 λ(, ) = 18 λ(,3 ) = 17 λ( 3,1 ) = 19 λ( 3, ) = 1 λ( 3,3 ) = 0... (4) Stlah dibrikan labl pada masing-masing titik dan sisi kmudian mnjumlahkan smua labl titik dan sisi, maka diprolh : 1. Untuk graf prtama λ(v 1,1 ) + λ( 1,1 ) + λ(v,1 ) = + 13 + 8 = 3 λ(v,1 ) + λ(,1 ) + λ(v 3,1 ) = 8 + 16 + 5 = 9 λ(v 3,1 ) + λ( 3,1 ) + λ(v 4,1 ) = 5 + 19 + 11 = 35. Untuk graf kdua λ(v 1, ) + λ( 1, ) + λ(v, ) = 3 + 15 + 9 = 7 λ(v, ) + λ(, ) + λ(v 3, ) = 9 + 18 + 6 = 33 0
λ(v 3, ) + λ( 3, ) + λ(v 4, ) = 6 + 1 + 1 = 7 3. Untuk graf ktiga λ(v 1,3 ) + λ( 1,3 ) + λ(v 4,3 ) = 1 + 14 + 10 = 5 λ(v,3 ) + λ(,3 ) + λ(v 4,3 ) = 4 + 17 + 10 = 31 λ(v 3,3 ) + λ( 3,3 ) + λ(v 4,3 ) = 7 + 0 + 10 = 37 Dari pnjumlahan smua labl titik dan sisi pada graf P 4 S 3,1 diatas maka diprolh suatu W atau himpunan bobot total sisi yang bda dua pada stiap sisinya yaitu W=3, 5, 7, 9, 31, 33, 35, 37}. Jadi, P 4 S 3,1 adalah (3,)-TSAAS. 3.1.. Untuk n = 6 P 6 S 4, Plablan TSAAS pada graf P 6 S 4,, dapat dilakukan sprti pada gambar dibawah ini : 19 11 5 5 14 8 8 31 17 3 1 1 4 6 7 15 30 9 16 33 18 0 3 6 9 3 1 4 7 10 Gambar 3 : Plablan Titik dan Sisi Graf P 6 S 4, Prhatikan bahwa titik dibri labl dngan anggota himpunan λ() = 1,,..., 18} dan banyaknya titik n=6. Jika λ adalah plablan TSAAS untuk graf P 6 S 4, maka diprolh : λ(v 1,1 ) = λ(v 1, ) = 3 λ(v 1,3 ) = 1 λ(v,1 ) = 11 λ(v, ) = 1 λ(v,3 ) = 4 λ(v 3,1 ) = 5 λ(v 3, ) = 6 λ(v 3,3 ) = 7 λ(v 4,1 ) = 14 λ(v 4, ) = 15 λ(v 4,3 ) = 10 λ(v 5,1 ) = 8 λ(v 5, ) = 9 λ(v 5,3 ) =13 λ(v 6,1 ) = 17 λ(v 6, ) = 18 λ(v 6,3 ) = 16 λ( 1,1 ) = 19 λ( 1, ) = 1 λ( 1,3 ) = 0 λ(,1 ) = λ(, ) = 4 λ(,3 ) = 3 λ( 3,1 ) = 5 λ( 3, ) = 7 λ( 3,3 ) = 6 λ( 4,1 ) = 8 λ( 4, ) = 30 λ( 4,3 ) = 9 λ( 5,1 ) = 31 λ( 5, ) = 33 λ( 5,3 ) = 3 Stlah dibrikan labl pada masing-masing titik dan sisi kmudian mnjumlahkan smua labl titik dan sisi, maka diprolh : 1. Untuk graf prtama λ(v 1,1 ) + λ( 1,1 ) + λ(v,1 ) = + 19 + 11 = 3 λ(v,1 ) + λ(,1 ) + λ(v 3,1 ) = 11 + + 5 = 38 λ(v 3,1 ) + λ( 3,1 ) + λ(v 4,1 ) = 5 + 5 + 14 = 44 1
λ(v 4,1 ) + λ( 4,1 ) + λ(v 5,1 ) = 14 + 8 + 8 = 50 λ(v 5,1 ) + λ( 5,1 ) + λ(v 6,1 ) = 8 + 31 + 17 = 56. Untuk graf kdua λ(v 1, ) + λ( 1, ) + λ(v, ) = 3 + 1 + 1 = 36 λ(v, ) + λ(, ) + λ(v 3, ) = 1 + 4 + 6 = 4 λ(v 3, ) + λ( 3, ) + λ(v 4, ) = 6 + 7 + 15 = 48 λ(v 4, ) + λ( 4, ) + λ(v 5, ) = 15 + 30 + 9 = 54 λ(v 5, ) + λ( 5, ) + λ(v 6, ) = 9 + 33 + 18 = 60 3. Untuk graf ktiga λ(v 1,3 ) + λ( 1,3 ) + λ(v 5,3 ) = 1 + 0 + 13 = 34 λ(v,3 ) + λ(,3 ) + λ(v 5,3 ) = 4 + 3 + 13 = 40 λ(v 3,3 ) + λ( 3,3 ) + λ(v 5,3 ) = 7 + 6 + 13 = 46 λ(v 4,3 ) + λ( 4,3 ) + λ(v 5,3 ) = 10 + 9 + 13 = 5 λ(v 5,3 ) + λ( 5,3 ) + λ(v 4,3 ) = 16 + 3 + 10 = 58 Dari pnjumlahan smua labl titik dan sisi pada graf P 6 S 4, diatas maka diprolh suatu W atau himpunan bobot total sisi yang bda dua pada stiap sisinya yaitu W =3, 34, 36, 38, 40, 4, 44, 46, 48, 50, 5, 54, 56, 58, 60}. Jadi, P 6 S 4, adalah (3,)-TSAAS. Brdasarkan bbrapa contoh kasus dngan n kcil di atas, maka diprolh hasil scara umum, untuk graf P n Sn +1, n 1 untuk n 4 gnap dalam torma brikut ini: Torma 1 : Graf P n Sn +1, n 1 adalah (9n + 5,)-TSAAS untuk n 4 gnap. Bukti : Pandang notasi titik dan sisi pada graf P n Sn titik dan sisinya dngan cara : 3i 1 3n+3i + 1, j = 1, 1 i n 1 ; i ganjil 1, j = 1, 1 i n ; i gnap +1, n 1 dalam prsamaan (1). Brikan labl pada λ(v i,j ) = λ( i,j ) = 3i 1 +, j =, 1 i n 1 ; i ganjil 3n+3i, j =, 1 i n ; i gnap 3i, j = 3, 1 i n 3n + 3i, j = 1, 1 i n 1 3n + 3i, j =, 1 i n 1 3n + 3i 1, j = 3, 1 i n 1... (5)... (6)
dngan labl trsbut diprolh : λ(v i,j ) + λ( i,j ) + λ(v i,j+i,j ), 1 j, 1 i n 1 a i = λ(v i,3 ) + λ( i,3 ) + λ (vn +,3), 1 i n + 1... (7) λ (vn +1,3) + λ(v i,3) + λ(v i+1,3 ), n + i n 1 3i 1 + 1 + 3n + 3i + 3n+3i 1 = 9n + 6i a i = 3i 1 (i+1) ++3n+3i+3n+3 = 9n +6i+3 3i + 3n + 3i 1 + 3( n + ) = 9n + 6i + 1 3( n + 1) + 3n + 3i 1 + 3(i + 1) = 9n + 6i + 1... (8) W = a, a + 1, a +,, a + q 1}... (9) 9n + 6i 1 i n W = 9n +6i+3 1 i n... (10) 9n +6i+1 1 i n Jadi W = 9n + 5, 9n + 7, 9n + 9,, 9n + n}, dngan dmikian untuk n 4 gnap dngan graf P n Sn +1, n 1 mmpunyai plablan (9n + 5, )-TSAAS. 3.. Plablan TSAAS Pada Graf P n Sn+3 Graf P n Sn+3, n 3, n 3 untuk n 5 ganjil untuk n 5 ganjil, dapat digambarkan sbagai brikut : 1,1 1,1,1,1 3,1 3,1 4,1 4,1 5,1 5,1 6,1 6,1 7,1 7,1 8,1 8,1 9,1 9,1 10,1 11,1 1,1 10,1 11,1 n-1,1 n,1 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1,1 n, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,1 n-1, 3
1,3,3 1,3,3 3,3 3,3 _ 4,3 6,3 n+3+1,3 n+3 _ +,3 5,3 _ 4,3 5,3 n+3 _,3 6,3 _ n+3 _ +,3 n+3+1,3 7,3 n+3+3,3 _ 7,3 n +3+3,3 _ n-1,3 n+3,3 n+3 _ +4,3 n,3 Gambar 4 : Pnotasian Titi dan Sisi Graf P n Sn+3, n 3 Brdasarkan gambar diatas, dapat dinotasikan graf P n Sn+3 sisinya sbagai brikut :, n 3 dngan himpunan titik dan (P n Sn+3, n 1) = v i,j 1 j 3, 1 i n }... (11) E (P n Sn+3, n 1 ) = i,j 1 j 3, 1 i n 1 },... (1) dimana i,1 = v i,1 v i+ 1,1, 1 i n 1 i, = v i, v i+ 1,, 1 i n 1 i,3 = v i,3 vn+3 + 1,3, 1 i n + 1 vn+3,3 v i+1,3, n+3 + 1 i n 1... (13) 3.3. Plablan TSAAS Pada Graf P n Sn Graf P n Sn +1, n +1, n 1untuk n 4 gnap 1 untuk n 4 gnap, dapat digambarkan sbagai brikut: 4
Gambar 5 : Pnotasian Titik dan Sisi Graf P n Sn +1, n 1 Brdasarkan gambar diatas, dapat di notasikan graf P n Sn sisinya sbagai brikut : +1, n 1 dngan himpunan titik dan (P n Sn +1, n 1) = v i,j 1 j 3, 1 i n }... (14) E (P n Sn +1, n 1 ) = i,j 1 j 3, 1 i n 1 },... (15) dimana i,1 = i, = v i,1 vn +,1, 1 i n + 1 vn +1,1 v i+1,1, n + i n 1 v i, vn +,, 1 i n + 1 vn +1, v i+1,, n + i n 1 i,3 = v i,3 v i+ 1,3, 1 i n 1... (16) 3.4. Plablan TSAAS Pada Graf P n Sn+3 untuk n 5 ganjil +1, n 3 Graf P n Sn+3 untuk n 5 ganjil, dapat dilihat pada Gambar 6. +1, n 3 5
1,3 1,1 1, 1,1,1 n+3+1,1 n+3+,1 _ n+3,1 _ n+3+,1 n+3+1,1 n+3+3,1 _ 7,1 3,1 4,1 6,1,1 5,1 7,1 6,1 1,, 3,1 4,1 5,1 _ n+3+1, n+3 _ +, _ n+3, _ n+3+, n+3+1, n +3 +3,1 _ n+3+3, _ 7, 3, 4, 6,, 5, 7, 6, 3, 4, 5, _ n-1,1 n+3,1 n +3 +3, _ n+3+4,1 _ n-1, n+3, n+3+4,,3 3,3 4,3 5,3 6,3 7,3 8,3 9,3 10,3 11,3 1,3 n,3 n,3 n, 1,3,3 3,3 4,3 5,3 6,3 7,3 8,3 9,3 10,3 11,3 n-1,3 Gambar 6 : Pnotasian Titi dan Sisi Graf P n Sn+3 +1, n 3 Brdasaran gambar diatas, dapat dinotasikan graf P n Sn+3 sbagai brikut : +1, n 3 dngan himpunan titik dan sisi (P n Sn +1, n 1) = v i,j 1 j 3, 1 i n }... (17) E (P n Sn +1, n 1 ) = i,j 1 j 3, 1 i n 1 },... (18) dimana i,1 = i, = n+3 v i,1 vn+3 + 1,1, 1 i vn+3,1 v i+1,1, n+3 + 1 i n 1 n+3 v i, vn+3 + 1,, 1 i vn+3 + 1 i n 1 i,3 = v i,3 v i+ 1,3, 1 i n 1... (19), v i+1,, n+3 6
I. Pnutup 4.1. Ksimpulan Brdasarkan hasil pnlitian yang tlah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa: 1. Graf P n Sn +1, n 1 adalah TSAAS dngan (a,d) = (9n + 5, ) untuk n 4 gnap. Srta labl titik dan sisinya, yaitu : 3i 1 + 1, j = 1, 1 i n 1 ; i ganjil 3n + 3i 1, j = 1, 1 i n ; i gnap λ(v i,j ) = 3i 1 +, j =, 1 i n 1 ; i ganjil 3n + 3i, j =, 1 i n ; i gnap 3i, j = 3, 1 i n 3n + 3i, j = 1, 1 i n 1 λ( i,j ) = 3n + 3i, j =, 1 i n 1 3n + 3i 1, j = 3, 1 i n 1. Graf P n Sn+3 adalah TSAAS dngan (a,d) =( 9n+3 + 5, ) untuk n 5 ganjil. Srta, n 3 labl titik dan sisinya, yaitu : 3i 1 + 1, j = 1, 1 i n ; i ganjil 3n + 3i + 1, j = 1, 1 i n 1 ; i gnap λ(v i,j ) = 3i 1 +, j =, 1 i n ; i ganjil 3n + 3i + 1 + 1, j =, 1 i n 1 ; i gnap 3i, j = 3, 1 i n 3n + 3i, j = 1, 1 i n 1 λ( i,j ) = 3n + 3i, j =, 1 i n 1 3n + 3i 1, j = 3, 1 i n 1 3. Graf P n Sn +1, n 1 adalah TSAAS dngan (a,d) =(9n + 6, ) untuk n 4 gnap. Srta labl titik dan sisinya yaitu : 7
3i, j = 1, 1 i n 3i 1, j =, 1 i n λ(v i,j ) = 3i 1 +, j = 3 1 i n 1 ; i ganjil 3n + 3i, j = 3, 1 i n ; i gnap 3n + 3i, j = 1, 1 i n 1 λ( i,j ) = 3n + 3i, j =, 1 i n 1 3n + 3i 1, j = 3, 1 i n 1 4. Graf P n Sn+3 +1, n 3 adalah TSAAS dngan (a,d) =( 9n+3 + 6, ) untuk n 5 ganjil. 3i, j = 1, 1 i n 3i 1, j =, 1 i n λ(v i,j ) = 3i 1 +, j = 3 1 i n 1 ; i ganjil 3n + 3i + 1 + 1, j = 3, 1 i n ; i gnap 3n + 3i, j = 1, 1 i n 1 λ( i,j ) = 3n + 3i, j =, 1 i n 1 3n + 3i 1, j = 3, 1 i n 1 4.. Saran Bagi mahasiswa yang brminat dngn pnlitian ini, dapat mlakukan pnlitian mngnai plablan TSAAS pada jnis graf yang lain. Daftar Pustaka [1]. Gallian, J. A., 011, A Dynamic Survy of Graph Lablling, ElctronicJournal of Combinatorics, ol. 18, (http://www.mis.ams.org/journal/ejc/survys/ds6.pdf), diakss 14 Dsmbr 011. []. Sri Mi Itasari, Plablan Total (a,d) C 4 anti ajaib supr pada graf prisma C n x P. pdf, diakss19 Dsmbr 011. 8