1 INTERPOLASI: METODE LAGRANGE Pertemuan ke-1: 0 Desember 01 Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Apa Interpolasi? Diberikan data (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ), (x n,y n ), nilai y diperoleh pada x yang tidak diketahui nilainya. Gambar 1 Interpolasi data diskrit. Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering
Interpolan Bentuk polinomial merupakan interpolan yang paling sering dipilih karena mudah untuk melakukan: Evaluasi Turunan, dan Integral Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering
Interpolasi Lagrangian 4 Interpolasi polinomial Langrangian dinyatakan sebagai n f x L xf x i i i i0 Dimana n = pangkat polinomial ke-n yang didekati dengan fungsi y = f(x) untuk setiap (n+1) titik data (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ),,(x n-1,y n-1 ),(x n,y n ) dan L i x n x x j0 i j ji L i (x) = fungsi bobot (weighting function) untuk hasil ke (n-1) dimana untuk hasil j = I diabaikan x x j
Contoh 1 5 Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1. Tentukan kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Lagrange. Table 1 Data kecepatan dan waktu t, s vt, m/s 0 0 10 7.04 15 6.78 0 517.5.5 60.97 0 901.67 Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering Gambar Plot data kecepatan dan waktu untuk Contoh 1
Interpolasi Linier Lagrange (1) 6 1 v( t) L( t) v( t ) t t i0 i i L t v( t ) L t v( t ) 0 0 1 1 15; v t 6.78 0 0 0; v t 517.5 1 1 y s 517.5 f( range) fx de sire d 550 500 450 400 6.78 50 10 1 14 16 18 0 4 x s0 10 x s range x de sire d x s1 10
Interpolasi Linier Lagrange () 7 L 0 1 t L t 1 t tj t t1 t t t t j0 0 j 0 1 ji 1 t tj t t t t t t j0 1 j 1 0 ji t t t t v t v t v t t t t t 1 0 0 1 0 1 1 0 t0 t15 15 0 0 15 16 0 16 15 15 0 0 15 0.8 6.78 0. 517.5 9.7 0 6.78 517.5 6.78 517.5 ms
Interpolasi Kuadratik Lagrange 8 Interpolasi polinomial pangkat atau kuadratik dapat dinyatakan sebagai v( t) L( t) v( t ) i0 i i L t v( t ) L t v( t ) L t v( t ) 0 0 1 1
Contoh 9 Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1. Tentukan kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Kuadratik Lagrange. Table 1 Data kecepatan dan waktu t, s vt, m/s 0 0 10 7.04 15 6.78 0 517.5.5 60.97 0 901.67 Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering Gambar Plot data kecepatan dan waktu untuk Contoh 1
Interpolasi Kuadratik Lagrange () 10 t t t L 10; v t 7.04 0 0 15; v t 6.78 1 1 0; v t 517.5 0 t t t t t t t j 1 j0 t0 t j t0 t1 t0 t ji y s 517.5 f( range) fx de sire d 550 500 450 400 50 00 50 L 1 L t t t t t t t t j 0 j0 t1 t j t1 t0 t1 t ji tt t t t t j 0 1 j0 t t j t t0 t t1 ji 7.04 00 10 1 14 16 18 0 10 x s range x de sire d 0
Interpolasi Kuadratik Lagrange () 11 t t t t t t t t t t t t v t v t v t v t t t t t t t t t t t t t 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 v 16 15 16 0 16 10 16 0 10 15 10 0 15 10 15 0 16 7.04 6.78 16 10 16 15 0 10 0 15 517.5 Kesalahan relatif terhadap interpolasi linier 9.19 9.70 a 100 0.8410% 9.19 0.08 7.04 0.96 6.78 0.1 57.5 9.19 m/s
Interpolasi Kubik Lagrange 1 Interpolasi polinomial pangkat atau kubik dapat dinyatakan sebagai v( t) L( t) v( t ) i0 i i L t v( t ) L t v( t ) L t v( t ) L t v( t ) 0 0 1 1 60.97 700 600 y s f( range) fx de sire d 500 400 00 7.04 00 10 1 14 16 18 0 4 10 x s range x de sire d.5
Contoh 1 Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1. Tentukan kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Kubik Lagrange. Table 1 Data kecepatan dan waktu t, s vt, m/s 0 0 10 7.04 15 6.78 0 517.5.5 60.97 0 901.67 Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering Gambar Plot data kecepatan dan waktu untuk Contoh 1
Interpolasi Kubik Lagrange () 14 t 10; v t 7.04; t 15; v t 6.78 0 0 1 1 t 0; v t 517.5; t.5; v t 60.97 L 0 1 t L t L L t t tt t t t t tt j 1 j0 t0 t j t0 t1 t0 t t0 t ji tt t t tt t t j 0 j0 t1 t j t1 t0 t1 t t1 t ji tt t t tt t t j 0 1 j0 t t j t t0 t t1 t t ji tt tt t t t t j 0 1 j0 t t j t t0 t t1 t t ji y s 60.97 f( range) fx de sire d 7.04 700 600 500 400 00 00 10 1 14 16 18 0 4 10 x s range x de sire d.5
Cubic Interpolation (contd) 15 t t t t t t t t t t t t t t t t t t v t v t v t v t t t t t t t t t t t t t t t t t t t v 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 t t t t t t t t t t t t 1 1 1 1 vt 16 15 16 0 16.5 16 10 16 0 16.5 10 15 10 0 10.5 15 10 15 0 15.5 16 10 16 15 16.5 16 10 16 15 16 0 517.5 0 10 0 15 0.5.5 10.5 15.5 0 16 7.04 6.78 Kesalahan relatif terhadap interpolasi kuadratik a 9.06 9.19 9.06 0.069% 100 60.97 0.0416 7.04 0.8 6.78 0.1 517.5 0.104 60.97 9.06 m/s
16 Perbandingan Hasil Hitungan Metode Lagrange dan NDD Metode NDD Pangkat Polinomial: 1 v(t=16) m/s 9.69 9.19 9.06 Kesalahan relatif ---------- 0.850 % 0.047 % Metode Lagrange Pangkat Polinomial: 1 v(t=16) m/s 9.69 9.19 9.06 Kesalahan relatif -------- 0.8410% 0.069%
Distance from Velocity Profile 17 Find the distance covered by the rocket from t=11s to t=16s? v( t) ( t ( t 57.5t 47.5t v( t) 4.45 1.65t 0.1195t 0.00544t, 10 t. 5 16 s ( 16) s(11) v( t) dt 11 16 ( 4.45 1.65t 0.1195t 0.00544t ) dt 11 4 t t t [ 4.45t 1.65 0.1195 0.00544 ] 4 1605 m 1087.5t 6750)( 0.66) ( t 71.5t 75)( 4.188) ( t 5.5t 45t 875t 4500)(1.948) 650t 000)(.577) 16 11
Acceleration from Velocity Profile 18 Find the acceleration of the rocket at t=16s given that v( t) 4.45 1.65t 0.1195t 0.00544t, 10 t. 5 a d d, t vt 4.45 1.65t 0.1195t 0.00544t dt dt 1.65 0.690t 0.016t a ( 16) 1.65 0.690(16) 0.016(16) 9.665 m / s