Permasalahan Optimasi pada Fungsi Polinomial Berderajat Tinggi Tanpa Melibatkan Konsep Turunan
|
|
- Yohanes Makmur
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains (2016) 6:54 63; ISSN: Tersedia online di : Permasalahan Optimasi pada Fungsi Polinomial Berderajat Tinggi Tanpa Melibatkan Konsep Turunan Cresentia Carina Ardianti Ayuningtyas Veni Setyarini Fransiska Dian Retnosari Mahasiswa S1 Pendidikan Matematika, FKIP Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta, Indonesia cresentia.carina@gmail.com Abstrak. Nilai esktrem dari fungsi polinomial pangkat 3 dan berderajat tinggi tidak hanya dapat dicari dengan menggunakan konsep turunan, tetapi dapat menggunakan teknik dasar dalam aljabar elementer. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian pustaka. Penelitian ini bertujuan untuk mencari nilai optimum fungsi polinomial pangkat 3, 4, dan 5 tanpa menggunakan konsep turunan. Konsep yang digunakan adalah konsep dasar dalam aljabar. Materi pokok yang digunakan pada penelitian ini adalah definisi fungsi ganjil dan transformasi fungsi. Pada fungsi polinomial pangkat tiga, dapat dicari nilai ekstremnya tanpa menggunakan konsep turunan. Pengembangan yang selanjutnya adalah pada bentuk fungsi polinomial pangkat 4 dan 5 dengan cara yang sama pada polinomial pangkat 3. Pada polinomial pangkat 4, nilai ekstrem tidak dapat dicari dengan cara yang sama seperti bentuk polinomial pangkat 3, karena polinomial pangkat 4 tidak dapat dibawa ke dalam fungsi ganjil sehingga tidak dapat ditentukan titik simetri putarnya. Pada fungsi polinomial pangkat 5, ditemukan kesulitan dalam mencari nilai optimumnya karena menghasilkan bentuk yang kompleks sehingga belum dapat dicari nilainya secara eksplisit. Kesimpulan dari penelitian adalah aljabar dan geometri mampu menjadi alternatif dalam menentukan nilai ekstrem fungsi polynomial derajat 3, namun belum mampu untuk fungsi polinomial derajat 4 dan 5. Kata kunci. fungsi ganjil, fungsi polinomial, nilai ekstrem, titik simetri putar, translasi 1. Pengantar Nilai ekstrem dari suatu fungsi biasanya dicari dengan menggunakan konsep turunan. Hal ini berakibat konsep turunan harus dikuasai dengan benar. Jika konsep turunan belum dikuasai atau belum dipelajari, maka akan ditemukan kesulitan dalam mencari nilai ekstrem fungsi polinomial. Penelitian ini akan menunjukkan adanya cara lain untuk mencari nilai ekstrem tanpa menggunakan konsep turunan, tetapi menggunakan konsep-konsep dasar pada aljabar. Tujuan dari penelitian ini adalah mencari nilai ekstrem polinomial pangkat 3, pangkat 4, dan pangkat 5 tanpa menggunakan konsep turunan. Penelitian ini menggunakan metode kajian pustaka dari artikel jurnal dan berbagai referensi. 2. Optimasi Fungsi Polinomal Pangkat 3 Tanpa Konsep Turunan Nilai ekstrem dari fungsi pangkat dua maupun polinomial pangkat tiga dapat dicari dengan menggunakan konsep turunan. Namun dalam sebuah artikel Optimization of Cubic Polynomial Functions without Calculus menjelaskan penelitian tentang mencari nilai ekstrem dari fungsi polinomial pangkat tiga tanpa menggunakan konsep turunan. Konsep yang digunakan dalam penelitian tersebut adalah transformasi fungsi, ide akar-akar persamaan suku banyak, dan definisi dari fungsi ganjil. Secara garis besar, hal tersebut dilakukan dengan menunjukkan setiap fungsi kubik memiliki simetri putar di satu titik, kemudian langkah selanjutnya adalah menggeser atau mentranslasikan grafik fungsi asli sebanyak dua kali untuk membentuk fungsi 54
2 Permasalahan Optimasi pada Fungsi Polinomial Berderajat Tinggi Tanpa Melibatkan Konsep Turunan Ayuningtyas Setyarini Retnosari baru, dan langkah terakhir adalah mencari absis nilai ekstrem fungsi asli yang berhubungan dengan absis dari persamaan fungsi baru Solusi Kalkulus Pencarian nilai optimum suatu fungsi bentuk polinomial dengan kalkulus, menggunakan konsep turunan. Nilai optimum dari suatu fungsi bentuk polinomial dapat dicari dengan mencari akar-akar persamaan dari turunan pertama fungsi polinomial. Misal () = + + +, maka untuk menentukan nilai optimum dari fungsi tersebut perlu mecari turunan pertama fungsi. Turunan pertama dari adalah () = Nilai optimum dicapai ketika () = 0, maka dengan mencari akar-akar persamaan menggunakan metode diperoleh : = ± (1) Solusi secara kalkulus ini memiliki kelebihan, yaitu lebih mudah dan ringkas. Namun, untuk mendapatkannya diperlukan pemahaman konsep turunan terlebih dahulu. Solusi tanpa menggunakan konsep turunan dapat menjadi salah satu cara dalam menentukan nilai optimum fungsi polinomial dengan menggunakan konsep-konsep dasar aljabar Titik Simetri Putar Fungsi Kubik Fungsi kubik secara umum dapat dituliskan () = De Villiers (2004) dalam artikelnya menunjukkan dengan teknis kalkulus bahwa setiap fungsi polinomial kubik dengan bentuk () = mempunyai titik simetri putar dengan absis =. Solusi mencari nilai ekstrem secara nonkalkulus dimulai dengan hasil penemuan Villiers. Perlu diingat, fungsi kubik f(x) berlaku fungsi ganjil jika dan hanya jika () = ( ) atau ekuivalen dengan () = ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + = + Jadi, persamaan kubik () adalah fungsi ganjil jika dan hanya jika = = 0. Fungsi memiliki titik simetri putar di (, ) jika dan hanya jika () = ( + ) adalah fungsi ganjil, sehingga fungsi menjadi () = + (3 + ) + ( ). Hal ini berakibat fungsi merupakan fungsi ganjil maka berlaku 3 + = 0 sehingga diperoleh = dan = () =. Selanjutnya, nilai = disubstitusikan ke persamaan () sehingga : () = + (3 + ) + ( ) = ( 3 ) = (2) 3 55
3 Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains X (2016) Vol. 6 ISSN: Akar Persamaan Baru Pada langkah ini menggunakan akar-akar persamaan fungsi polinomial untuk mencari nilai ekstrem. Langkah pertama adalah membentuk fungsi baru dari hasil translasi fungsi. Misal titik puncak dari () adalah (, ). Fungsi ditranslasikan sedemikian sehingga menjadi akar dari fungsi baru yaitu fungsi h. Fungsi h didefiniskan sebagai h() = (). Disisi lain fungsi h memiliki dua akar kembar di =, dan akar lain di = maka h dapat ditulis menjadi : h() = ( ) ( ) h() = + ( 2 2) + ( + 2) (3) Namun, h() = () sehingga persamaan (2) menjadi : () = + (4) Dari persamaan (3) dan (4) dengan menyamakan koefisien dan diperoleh = ±, dengan adalah salah satu akar dari h() yaitu (, 0) yang sekaligus menjadi titik esktrem fungsi h Nilai Ekstrem Fungsi Kubik Semula Langkah selanjutnya adalah mentranslasikan kembali titik (, 0) pada h ke titik ekstrem fungsi dengan jalur yang sama pada langkah sebelumnya dengan arah yang berlawanan. Fungsi h ditranslasikan ke lalu ditranslasikan lagi ke. Titik ekstrem dari dapat diperoleh dari hasil translasi fungsi h ke fungsi, yaitu = + = + ± = ±. Jadi titik ekstrem dari fungsi adalah ( = ±, ()). Solusi yang didapat dari metode tanpa menggunakan konsep turunan sama dengan solusi dengan menggunakan konsep turunan, yaitu pada persamaan (1). (a) (b) (c) Gambar 1. (a) Grafik fungsi, (b) grafik fungsi dan, dan (c) grafik fungsi dan h. 3. Optimasi Fungsi Polinomal Berderajat Tinggi Tanpa Kalkulus Penelitian ini bertujuan untuk mengembangkan penelitian yang sudah dilakukan sebelumnya yaitu Optimization of Cubic Polynomial Function without Calculus. Jenjang yang pertama adalah mengembangkan ke bentuk polinomial pangkat 4 dengan cara yang sama seperti dalam 56
4 Permasalahan Optimasi pada Fungsi Polinomial Berderajat Tinggi Tanpa Melibatkan Konsep Turunan Ayuningtyas Setyarini Retnosari penelitian sebelumnya. Jenjang yang selanjutnya adalah mengembangkan ke bentuk polinomial pangkat 5. Langkah-langkah yang digunakan serupa dengan bentuk polinomial pangkat 3, yaitu dengan menggunakan konsep dasar aljabar, fungsi ganjil dan titik simetri putar grafik Fungsi Polinomial Pangkat 4 Pada penelitian sebelumnya, langkah pertama adalah menunjukkan titik simetri putar pada polinomial. Dengan cara yang sama, perlu ditunjukkan titik simetri putar polinomial pangkat 4 dengan cara membawa fungsi tersebut ke fungsi ganjil. Definisi fungsi ganjil adalah ( ) = ().Persamaan umum polinomial pangkat 4 adalah : () = , maka: ( ) = () ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + = = Fungsi ganjil jika dan hanya jika = = = 0. Jika = 0, maka persamaan yang terbentuk bukan lagi polinomial pangkat 4. Oleh karena itu, fungsi polinomial pangkat 4 tidak dapat dicari nilai ekstremnya dengan cara kerja yang sama pada polinomial pangkat 3 di penelitian sebelumnya Fungsi Polinomial Pangkat 5 Setelah bentuk polinomial pangkat 4, dilanjutkan pengembangan mencari nilai ekstrem dari fungsi polinomial pangkat 5 dengan cara atau langkah-langkah yang sama dengan bentuk polinomial pangkat 3, yaitu dengan mencari titik simetri putar, kemudian mentranslasikan titik simteri putar ke titik origin (0,0), lalu mentranslasikan kembali grafik sehingga membentuk persamaan baru. Setelah bentuk polinomial pangkat 4, dilanjutkan pengembangan mencari nilai ekstrem dari fungsi polinomial pangkat 5 dengan cara atau langkah-langkah yang sama dengan bentuk polinomial pangkat 3, yaitu dengan mencari titik simetri putar, kemudian mentranslasikan titik simetri putar ke titik origin (0,0), lalu mentranslasikan kembali grafik sehingga membentuk persamaan baru Solusi Kalkulus Pencarian nilai optimum fungsi polinomial pangkat 5 dengan kalkulus, dapat dilakukan dengan mencari akar-akar persamaan dari turunan pertama fungsi polinomial pangkat 5. Misal () = , maka untuk menentukan nilai optimum dari fungsi tersebut perlu mencari turunan pertama fungsi. Turunan pertama dari adalah () = , yang merupakan bentuk fungsi polinomial pangkat 4. Nilai optimum dicapai ketika () = 0. Metode yang dapat digunakan untuk mencari akar-akar persamaan () adalah metode Horner. Namun, dengan menggunakan metode Horner, perlu diawali dengan langkah coba-coba semua kemungkinan faktor dari. Hal ini menjadi sulit karena tidak semua persamaan dapat dengan mudah dicari akar-akarnya menggunakan metode Horner. 57
5 Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains X (2016) Vol. 6 ISSN: Titik Simetri Putar Langkah pertama yang perlu dilakukan dalam mencari nilai optimum dari fungsi polinomial pangkat 5 adalah mencari titik simetri putar. Fungsi polinomial pangkat 5 yang dapat dicari nilai ekstremnya tanpa kalkulus diduga adalah fungsi yang memiliki titik simetri putar. Sebelumnya sudah dijelaskan definisi fungsi ganjil yaitu ( ) = (). Jika ditinjau secara grafis, grafik fungsi ganjil simetris di titik origin (0,0). Goehle & Kobayashi (2013) menunjukkan bahwa untuk bentuk umum fungsi polinomial () = , jika fungsi polinomial tersebut memiliki pusat simetris, maka absis dari pusat simetrisnya adalah =. Penemuan Goehle dan Kobayashi akan menuntun penelitian dalam mencari nilai optimum fungsi polinomial pangkat 5. Menurut penemuan Goehle dan Kobayashi, fungsi polinomial pangkat 5 yang simetris, memiliki titik simetri putar dengan absis =. Namun, peneliti ingin mencari ciri-ciri fungsi polinomial pangkat 5 yang simetris secara umum. Bentuk umum fungsi pangkat 5: () = Bentuk umum () tersebut akan dibawa ke bentuk fungsi ganjil. ( ) = () ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + = ( ) = Bentuk umum pangkat 5 tersebut akan menjadi fungsi ganjil jika dan hanya jika = = = 0. Selanjutnya, akan dicari titik simetri putar dari fungsi pangkat 5 dengan cara mentranslasikan fungsi tersebut menjadi fungsi, dimana fungsi merupakan fungsi ganjil. Asumsikan mempunyai titik simetri putar di (m,n), sehingga = (). Fungsi didefinisikan ()= ( + ), maka: () = ( + ) = ( + ) + ( + ) + + ( + ) + + ( + ) + ( + ) + f ( f) = ( ) + ( ) + ( ) + ( + 2+ ) = = = + (5 + ) + ( ) + ( ) + ( ) Fungsi adalah fungsi ganjil sehingga diperoleh: 58
6 Permasalahan Optimasi pada Fungsi Polinomial Berderajat Tinggi Tanpa Melibatkan Konsep Turunan Ayuningtyas Setyarini Retnosari 5 + = 0 5 = 0 = dan = 0 (6) Jika persamaan (5) disubstitusikan ke persamaan (6), maka diperoleh: = = 0 + = 0 + = 0 Dari perhitungan di atas, didapat fungsi polinomial pangkat 5 memiliki titik simetri putar di (, ) = Contoh 1:,, jika memenuhi persamaan: () = (10) 3(10)(35) + = (1) 5(1) = (5) + = 0. (7) = = 0 Karena memenuhi persamaan (7), maka memiliki titik simetri putar di, = (), = 2, ( 2) = ( 2,4). () Gambar 2. Grafik fungsi polinomial pangkat 5 (fungsi pada contoh 1) yang memiliki titik simetri putar. Contoh 2: 59
7 Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains X (2016) Vol. 6 ISSN: () = ( 3) 3( 3)(1) + = + ( 3) (1) 5(1) = + 3 = 0 Karena tidak memenuhi persamaan (7), maka tidak memiliki titik simetri putar. Hal ini mengakibatkan fungsi ini tidak dapat dicari nilai ekstremnya tanpa kalkulus dengan cara yang analog pada bentuk polinomial pangkat 3. Gambar 3. Grafik fungsi polinomial pangkat 5 (fungsi contoh 2) yang tidak memiliki titik simetri putar. Dari perhitungan dan contoh di atas, dapat disimpulkan tidak semua fungsi polinomial pangkat 5 memiliki titik simetri putar. Fungsi polinomial pangkat 5 yang memiliki titik simetri putar, titik simetri putarnya berada di titik,. Jika nilai =, maka fungsi dapat dituliskan menjadi: () = =
8 Permasalahan Optimasi pada Fungsi Polinomial Berderajat Tinggi Tanpa Melibatkan Konsep Turunan Ayuningtyas Setyarini Retnosari Gambar 4. Grafik fungsi polinomial pangkat 5 fungsi dan Akar Persamaan Baru Langkah yang selanjutnya adalah mentransformasikan fungsi ke fungsi yang baru yaitu fungsi h. Pada langkah diketahui fungsi () = dengan (, ) =, dan () = ( + ) adalah sebuah fungsi ganjil. Jika mempunyai titik relatif maksimum, maka mempunyai dua akar yang simetris terhadap titik origin (0,0). Asumsikan g mempunyai relatif maksimum di titik (, ) dan didefinisikan: h() = () Karena mempunyai relatif maksimum di =, maka grafik h akan terlihat pada Gambar 5. Grafik h mempunyai akar kembar di =, akar di = dan akar imajiner yang dimana tidak memotong sumbu. Gambar 5. Grafik fungsi polinomial pangkat 5 fungsi dan h. Fungsi h dapat dituliskan menjadi h() = ( ) ( )( ), dengan 4 0, maka: h() = + ( 2) + ( ) + ( + 2 ) + ( + + 2). (8) Namun di sisi lain h() = (), () = (9) Dengan menyamakan koefisien dan pada persamaan (8) dan (9), maka diperoleh: ( 2) = 0 (koefisien ) = 0 tidak memenuhi = + 2 (10) 61
9 Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains X (2016) Vol. 6 ISSN: = 0 (koefisien ) ( + 2) + 2( + 2) = 0 substitusi persamaan (10) = = 0 2( + + 2) = 0 = 2( + + 2) = ( ) (11) Dengan menyamakan koefisien dan pada persamaan (8) dan (9) dan mensubstitusikan persamaan (10) dan (11) maka diperoleh: ( + 2 ) + 2 2( + 2 ) + ( ) + = ( + 2) + ( ) + 2 ( ) = ) = = + (koefisien ) + (12) (koefisien + (13) Nilai Ekstrem Fungsi Polinomial Pangkat 5 Pada langkah mencari akar persamaan baru di atas, dihasilkan persamaan (12) dan (13). Kedua persamaan tersebut tidak dapat menghasilkan nilai secara eksplisit, seperti pada langkah pencarian nilai optimum pada polinomial pangkat 3. Bentuk dari kedua persamaan yang kompleks, merupakan kesulitan bagi peneliti untuk menemukan nilai ekstrem fungsi polinomial pangkat 5 secara tepat dan eskplisit dengan cara aljabar yang sederhana seperti eliminasi atau substitusi. Jadi, fungsi polinomial pangkat 5 belum dapat dicari nilai ekstremnya karena menghasilkan persamaan yang kompleks sehingga tidak didapat nilai secara eksplisit. 4. Kesimpulan dan saran Fungsi polinomial pangkat 3 dapat dicari nilai ekstremnya tanpa kalkulus dengan menggunakan teknik dasar aljabar. Fungsi polinomial pangkat 4 tidak dapat dicari nilai ekstremnya dengan menggunakan cara yang sama pada fungsi polinomial pangkat 3, karena fungsi polinomial pangkat 4 tidak dapat dibawa ke dalam bentuk fungsi ganjil. Pada fungsi polinomial pangkat 5 belum dapat dicari nilai ekstremnya karena menghasilkan dua persamaan yang kompleks, sehingga tidak dapat dicari nilainya secara eksplisit hanya dengan menggunakan konsep dasar aljabar sederhana. Saran bagi penelitian selanjutnya adalah dapat menyelesaikan kedua persamaan (persamaan (12) dan (13)) yang kompleks sehingga didapatkan nilai secara eksplisit. Selain itu juga dapat mengembangkan optimasi fungsi bentuk polinomial dengan derajat atau pangkat yang lebih tinggi dan mampu mengembangkan cara lain tanpa konsep turunan untuk polinomial pangkat 4 dan sebagainya. 62
10 Permasalahan Optimasi pada Fungsi Polinomial Berderajat Tinggi Tanpa Melibatkan Konsep Turunan Ayuningtyas Setyarini Retnosari Ucapan terima kasih Terimakasih kepada Marcellinus Andy Rudhito, selaku dosen pengampu matakuliah Kapita Selekta yang telah membimbing dalam penyusunan makalah, Febi Sanjaya dan Herry Pribawanto, selaku dosen yang sudah membantu penelitian ini, serta teman-teman yang turut mendukung penelitian ini. Referensi de Villiers, M. (2004). All cubic polynomial are point symmetric. Learning and Teaching Mathematics, 1, Goehle, G., & Kobayasi, M. (2013). Polynomial graphs and symmetry. The College Mathematics Journal, 44(1), Hatton, J. (2013). The center of polynomial graph. Diambil dari /the-center-of-a-polynomial-graph/ diakses 11 April Taylor, R. D., & Hansen, R. (2008). Optimization of cubic polynomial function without calculus. Journal of The Mathematics Teacher, 101(6),
SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika. Oleh :
NILAI EKSTREM LOKAL FUNGSI POLINOMIAL BERDERAJAT 5 YANG SIMETRIS MENGGUNAKAN METODE GOLDEN SECTION SEARCH YANG DIKOMBINASIKAN DENGAN KONSEP ALJABAR DAN GEOMETRI SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu
Lebih terperinciBAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN
BAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN 2.1 PENDAHULUAN Salah satu masalah yang sering terjadi pada bidang ilmiah adalah masalah untuk mencari akar-akar persamaan berbentuk : = 0 Fungsi f di sini adalah fungsi atau
Lebih terperincifungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum,
fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum, Fungsi Rasional Fungsi rasional adalah fungsi yang memiliki bentuk Dengan p dan d merupakan polinomial dan d(x) 0. Domain dari V(x) adalah
Lebih terperinciIII. FUNGSI POLINOMIAL
III. FUNGSI POLINOMIAL 3. Pendahuluan A. Tujuan Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat:. menuliskan bentuk umum fungsi polinomial;. menghitung nilai fungsi polinomial; 3. menuliskan
Lebih terperinciMateri Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Contoh : Persamaan Derajat Tinggi
Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk : dengan adalah bilangan- bilangan real, dan adalah peubah. Secara
Lebih terperinci5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi
5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA
1 KEGIATAN BELAJAR 11 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA Setelah mempelajari kegiatan belajar 11 ini, mahasiswa diharapkan mampu Menentukan Persamaan Garis Singgung Parabola, Titik dan Garis Polar Pada
Lebih terperinci1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x 2 3x + 1 = 0 adalah
1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x 3x + 1 0 adalah A. imajiner B. kompleks C. nyata, rasional dan sama D. nyata dan rasional E. nyata, rasional dan berlainan. NOTE : D > 0, memiliki akar-akar riil dan berbeda
Lebih terperinciBAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5
BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama
Lebih terperinciMenurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden
Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan
Lebih terperinciPENURUNAN METODE NICKALLS DAN PENERAPANNYA PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN KUBIK
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. Hal. 40 47 ISSN : 2303 290 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENURUNAN METODE NICKALLS DAN PENERAPANNYA PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN KUBIK MISNAWATI Program Studi Matematika,
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya
Lebih terperinciModul Matematika 2012
Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar
Lebih terperinciPEMANFAATAN SOFTWARE GEOGEBRA BERBANTUAN E-LEARNING DALAM PEMBELAJARAN GEOMETRI
JKPM, VOLUME 4 NOMOR 2, OKTOBER 2017 e ISSN : 2549-8401; p ISSN : 2339-2444 PEMANFAATAN SOFTWARE GEOGEBRA BERBANTUAN E-LEARNING DALAM PEMBELAJARAN GEOMETRI Venissa Dian Mawarsari 1, Eko Andy Purnomo 2
Lebih terperinciMateri Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier
Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi
Lebih terperinciFungsi kuadrat. Hafidh munawir
Fungsi kuadrat Hafidh munawir Bentuk Umum Persamaan Kuadrat Bentuk umum atau Bentuk Baku persamaan kuadrat adalah: a + b + c = Dengan a,b,c R dan a serta adalah peubah (variabel) a merupakan koefisien
Lebih terperinciAljabar 1. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Aljabar 1 Drs. H. Karso, M.Pd. PENDAHULUAN M odul yang sekarang Anda pelajari adalah modul yang pertama dari mata kuliah Materi Kurikuler Matematika SMA. Materi-materi yang disajikan dalam modul
Lebih terperinci6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI
6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah
Lebih terperinciFUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks
FUNGSI Riri Irawati, M.Kom 3 sks Agenda 1. Sistem Koordinat Kartesius. Garis Lurus 3. Grafik persamaan Tujuan Agar mahasiswa dapat : Menggunakan sistem koordinat untuk menentukan titik-titik dan kurva-kurva.
Lebih terperinciBAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. HASIL PENELITIAN 1. Hasil Pengembangan Produk Penelitian ini merupakan penelitian pengembangan yang bertujuan untuk mengembangkan produk berupa Skema Pencapaian
Lebih terperinciPENDEKATAN FUNGSI POLYNOMIAL DARI BENDA PUTAR DENGAN METODE ELIMINASI GAUSS JORDAN
J. Math. and Its Appl. ISSN: 19-0X Vol. 13, No., Nopember 01, 1-30 PENDEKATAN FUNGSI POLYNOMIAL DARI BENDA PUTAR DENGAN METODE ELIMINASI GAUSS JORDAN Ulul Azmi 1, Rita Yuliastuti, Kresna Oktafianto 3 1,3
Lebih terperinciPertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.
Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELLIPS
1 KEGIATAN BELAJAR 13 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELLIPS Setelah mempelajari kegiatan belajar 13 ini, mahasiswa diharapkan mampu Menentukan Persamaan Garis Singgung Elips, Titik Singung dan Garis Pada kegiatan
Lebih terperinciPERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana
Lebih terperinciSilabus. Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / UMUM Semester : GANJIL
Silabus Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / UMUM Semester : GANJIL Sandar Kompetensi:. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma Kompetensi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam matematika ada beberapa persamaan yang dipelajari, diantaranya adalah persamaan polinomial tingkat tinggi, persamaan sinusioda, persamaan eksponensial atau persamaan
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Satuan Pendidikan Mata Pelajaran Kelas/Semester Alokasi waktu : SMA Negeri 1 Sukasada : Matematika : X/1 (Ganjil) : 2 x 45 menit (1 pertemuan) I. Standar Kompetensi
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA
1 KEGIATAN BELAJAR 15 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA Setelah mempelajari kegiatan belajar 15 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menemukan Persamaan Garis Singgung Hiperbola, Titik Singung dan Garis
Lebih terperinciFUNGSI. Sesi XI 12/4/2015
Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb Sesi XI FUNGSI dan GRAFIK e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339 FUNGSI Secara intuitif,
Lebih terperinciMETODE BERTIPE NEWTON UNTUK AKAR GANDA DENGAN KONVERGENSI KUBIK ABSTRACT
METODE BERTIPE NEWTON UNTUK AKAR GANDA DENGAN KONVERGENSI KUBIK Risvi Ayu Imtihana 1, Asmara Karma 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciMENENTUKAN NILAI EKSTREM SUKU BANYAK TERTENTU DENGAN PERTIDAKSAMAAN RATA-RATA
MENENTUKAN NILAI EKSTREM SUKU BANYAK TERTENTU DENGAN PERTIDAKSAMAAN RATA-RATA Kasiyah M. Junus Fakultas Ilmu Komputer, Universitas Indonesia, Depok 16424, Indonesia E-mail: kasiyah@cs.ui.ac.id Abstrak
Lebih terperinciMENGHITUNG VOLUME CADANGAN DENGAN CARA NUMERIK
MENGHITUNG VOLUME CADANGAN DENGAN CARA NUMERIK Indun Titisariwati 1 1 Prodi Teknik Pertambangan, Fakultas Teknologi Mineral, UPN Veteran Yogyakarta e-mail: indun.titisariwati@yahoo.com Abstrak Di dalam
Lebih terperinciKISI-KISI SOAL UJIAN SEKOLAH TAHUN PELAJARAN 2014/2015
KISI-KISI SOAL UJIAN SEKOLAH TAHUN PELAJARAN 2014/2015 Mata Pelajaran : Matematika Alokasi Waktu : 120 menit Kelas : XII IPA Penyusun Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Indikator Materi No Soal Menggunakan
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI
SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline
Lebih terperinciContextual Spelling. Grammar. Punctuation. Sentence Structure. Style. Vocabulary enhancement. of 100. Checking disabled. No errors SCORE DOCUMENT
Report generated on Thursday, Nov 16, 2017, 3:50 PM Page 1 of 12 DOCUMENT SCORE 7 100 of 100 ISSUES FOUND IN THIS TEXT 0 PLAGIARISM 4% Contextual Spelling Grammar Punctuation Sentence Structure Style Vocabulary
Lebih terperinciPerbandingan Skema Numerik Metode Finite Difference dan Spectral
Jurnal Ilmiah Teknologi dan Informasia ASIA (JITIKA) Vol.10, No.2, Agustus 2016 ISSN: 0852-730X Perbandingan Skema Numerik Metode Finite Difference dan Spectral Lukman Hakim 1, Azwar Riza Habibi 2 STMIK
Lebih terperinciMAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT
MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT Kelompok 3 : 1.Suci rachmawati (ekonomi akuntansi) 2.Fitri rachmad (ekonomi akuntansi) 3.Elif (ekonomi akuntansi) 4.Dewi shanty (ekonomi management)
Lebih terperinciSTANDAR KOMPETENSI KOMPETENSI DASAR. Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah
STANDAR KOMPETENSI Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah KOMPETENSI DASAR Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah INDIKATOR Menentukan faktor, akar-akar
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciKONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag
KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Definisi : Fungsi f : A B adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu A y B Notasi
Lebih terperinciI. PETUNJUK: Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor, pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!
I. PETUNJUK: Untuk soal nomor sampai dengan nomor, pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!. Persamaan ( p + ) x ( p + ) x + ( p ) = 0, p, merupakan persamaan kuadrat dalam x untuk nilai p... p c.
Lebih terperinciGAMBARAN UMUM SMA/MA. Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan BALITBANG DEPDIKNAS 1
GAMBARAN UMUM Pada ujian nasional tahun pelajaran 006/007, bentuk tes Matematika tingkat berupa tes tertulis dengan bentuk soal pilihan ganda, sebanyak 0 soal dengan alokasi waktu 0 menit. Acuan yang digunakan
Lebih terperinciKISI-KISI UJIAN SEKOLAH TAHUN 2016
KISI-KISI UJIAN SEKOLAH TAHUN 2016 MATA PELAJARAN : MATEMATIKA WAJIB Penyusun : Team MGMP Matematika JENJANG : SMA SMA DKI Jakarta KURIKULUM : Kurikulum 2013 No Urut Kompetensi Dasar Bahan Kls/Smt Materi
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR 16. Jika maka Jawab : E 17. Diketahui premis-premis sebagai berikut : 1) Jika maka 2) atau Jika adalah peubah pada himpunan bilangan real, nilai yang memenuhi agar kesimpulan dari kedua
Lebih terperinciMata Pelajaran MATEMATIKA Kelas X
Mata Pelajaran MATEMATIKA Kelas X SEKOLAH MENENGAH ATAS dan MADRASAH ALIYAH PG Matematika Kelas X 37 Bab 1 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma Nama Sekolah : SMA dan MA Mata Pelajaran : Matematika Kelas
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi
Lebih terperinciPembelajaran Pemrograman Linear dengan GeoGebra
Pembelajaran Pemrograman Linear dengan GeoGebra Rosita Kusumawati Eminugroho Ratnasari Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY rosita.kusumawati@gmail.com, eminugrohosari@gmail.com Abstract The rapid development
Lebih terperinciRelasi Rekursi. Matematika Informatika 4. Onggo
Relasi Rekursi Matematika Informatika 4 Onggo Wiryawan @OnggoWr Definisi Definisi 1 Suatu relasi rekursi untuk sebuah barisan {a n } merupakan sebuah rumus untuk menyatakan a n ke dalam satu atau lebih
Lebih terperinciPENGGUNAAN SOFTWARE GEOGEBRA DAN MICROSOFT MATHEMATIC DALAM PEMBELARAN MATEMATIKA
ISSN 2442-3041 Math Didactic: Jurnal Pendidikan Matematika Vol. 2, No. 3, September - Desember 2016 STKIP PGRI Banjarmasin PENGGUNAAN SOFTWARE GEOGEBRA DAN MICROSOFT MATHEMATIC DALAM PEMBELARAN MATEMATIKA
Lebih terperinciPenulis : Rahmad AzHaris. Copyright 2013 pelatihan-osn.com. Cetakan I : Oktober Diterbitkan oleh : Pelatihan-osn.com
Penulis : Rahmad AzHaris Copyright 2013 pelatihan-osn.com Cetakan I : Oktober 2012 Diterbitkan oleh : Pelatihan-osn.com Kompleks Sawangan Permai Blok A5 No.12 A Sawangan, Depok, Jawa Barat 16511 Telp.
Lebih terperinciMelukis Grafik Fungsi yang Rumit dengan Mudah
Kaunia, Vol. IX, No. 2, Oktober 2013 Melukis Grafik Fungsi yang Rumit dengan Mudah Faiz Ahyaningsih Dosen FMIPA Matematika UNIMED Abstract This paper aim how to sketch the complicated curve y = f(x) easily.
Lebih terperinciSILABUS. Menyimak pemahaman tentang bentuk pangkat, akar dan logaritma beserta keterkaitannya
SILABUS Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas/Program : X Semester : 1 STANDAR KOMPETENSI: 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma. KOMPETENSI DASAR
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE NEWTON-RAPHSON UNTUK MENCARI SOLUSI PERSAMAAN LINEAR DAN NONLINEAR
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 6 No. 02 (2017), hal 69 76. MODIFIKASI METODE NEWTON-RAPHSON UNTUK MENCARI SOLUSI PERSAMAAN LINEAR DAN NONLINEAR Mahmul, Mariatul Kiftiah, Yudhi
Lebih terperinciMatematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA
Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciModul Matrikulasi, SMA Labschool Kebayoran 2017 Page 1
Modul : Grafik Fungsi Kuadrat Teori: Bagian bagian grafik fungsi kuadrat = a + b + c, a 0 Grafik fungsi kuadrat Titik ekstrim fungsi kuadrat = f () = a + b + c D = 0 Memiliki dua akar kembar Grafik fungsi
Lebih terperinciPEMANFAATAN PROGRAM GEOGEBRA UNTUK MENGEMBANGKAN KEMAMPUAN PENGAJUAN HIPOTESIS SISWA SMA/K PADA TOPIK SIFAT-SIFAT GRAFIK FUNGSI KUADRAT
PEMANFAATAN PROGRAM GEOGEBRA UNTUK MENGEMBANGKAN KEMAMPUAN PENGAJUAN HIPOTESIS SISWA SMA/K PADA TOPIK SIFAT-SIFAT GRAFIK FUNGSI KUADRAT Felicitas Vera Lylyan Aniswari 1, Lusia Desi Purnamasari 2 1,2 Mahasiswa
Lebih terperinciPEMBENTUKAN POLINOMIAL ORTOGONAL MENGGUNAKAN PERSAMAAN INTEGRAL NONLINEAR. Susilawati 1 ABSTRACT
PEMBENTUKAN POLINOMIAL ORTOGONAL MENGGUNAKAN PERSAMAAN INTEGRAL NONLINEAR Susilawati 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar belakang Dua orang Perancis telah berjasa untuk gagasan tentang sistem koordinat. Pieree Fermat adalah seorang pengacara yang menggemari matematika. Pada tahun 169 dia menulis
Lebih terperinciPEMBAHASAN UN SMA IPA TAHUN AJARAN 2011/2012
Page of PEMBAHASAN UN SMA IPA TAHUN AJARAN 0/0 OLEH: SIGIT TRI GUNTORO, M.Si MARFUAH, S.Si, M.T REVIEWER: UNTUNG TRISNA S., M.Si JAKIM WIYOTO, S.Si Page of Misalkan, p : hari ini hujan q: saya tidak pergi
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciAnalisa Matematik untuk Menentukan Kondisi Kestabilan Keseimbangan Pasar Berganda dengan Dua Produk Melalui Sistem Persamaan Diferensial Biasa Linear
Prosiding Penelitian SPeSIA Unisba 2015 ISSN: 2460-6464 Analisa Matematik untuk Menentukan Kondisi Kestabilan Keseimbangan Pasar Berganda dengan Dua Produk Melalui Sistem Persamaan Diferensial Biasa Linear
Lebih terperinci1 Sistem Bilangan Real
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak
Lebih terperinciMENEMUKAN AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL MENGGUNAKAN PARTICLE SWARM OPTIMIZATION
MENEMUKAN AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL MENGGUNAKAN PARTICLE SWARM OPTIMIZATION Oei,EdwinWicaksonoDarmawan, Suyanto Edward Antonius, Ir., M.Sc, Program Studi Teknik Informatika Universitas Katolik Soegijapranata
Lebih terperinciPERKONGRUENAN POLINOMIAL MODULO m
PERKONGRUENAN POLINOMIAL MODULO m Nunung Fajar Kusuma Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sebelas Maret Jl. Ir. Sutami 36A Kentingan Jebres Surakarta, e-mail: nfjar@yahoo.com
Lebih terperinciBAB 2 PROGRAM LINEAR
BAB 2 PROGRAM LINEAR 2.1. Pengertian Program Linear Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan
Lebih terperinciPEMETAAN STANDAR ISI (SK-KD)
PEMETAAN STANDAR ISI (SK-KD) MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS/SEMESTER : XII IPA / 1 SK KD THP INDIKATOR THP MATERI PEMBELAJARAN RUANG LINGKUP *) 1 2 3 4 5 6 ALOKASI WKT 1. Menggunakan konsep integral
Lebih terperinciUJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2006/2007
UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 006/007 PANDUAN MATERI SMA DAN MA M A T E M A T I K A PROGRAM STUDI IPA PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN BALITBANG DEPDIKNAS KATA PENGANTAR Dalam rangka sosialisasi kebijakan dan
Lebih terperinciPencarian Akar pada Polinom dengan Kombinasi Metode Newton-Raphson dan Metode Horner
Pencarian Akar pada Polinom dengan Kombinasi Metode Newton-Raphson dan Metode Horner Hendy Sutanto - 13507011 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi
Lebih terperinciAPROKSIMASI FUNGSI SINUS DAN KOSINUS SEBAGAI KOMBINASI LINEAR DARI FUNGSI EKSPONENSIAL MUHAMMAD ADAM AZHARI
APROKSIMASI FUNGSI SINUS DAN KOSINUS SEBAGAI KOMBINASI LINEAR DARI FUNGSI EKSPONENSIAL MUHAMMAD ADAM AZHARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciInterpolasi Polinom dan Applikasi pada Model Autoregresif
Interpolasi Polinom dan Applikasi pada Model Autoregresif Rio Cahya Dwiyanto 13506041 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10
Lebih terperinci2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT A. Persamaan Kuadrat 1) Bentuk umum persamaan kuadrat : ax 2 + bx + c =, a 2) Nilai determinan persamaan kuadrat : D = b 2 4ac 3) Akar-akar persamaan kuadrat
Lebih terperinciKISI UJI KOMPETENSI 2014 MATA PELAJARAN MATEMATIKA
KISI UJI KOMPETENSI 2014 MATA PELAJARAN MATEMATIKA Inti Menguasai karakteristik peserta didik dari aspek fisik, moral, spiritual, sosial, kultural, emosional, dan intelektual. Menguasai karakteristik peserta
Lebih terperinciKISI-KISI PENULISAN SOAL UJIAN MATEMATIKA PEMINATAN TP 2015 / 2016
KISI-KISI PENULISAN SOAL UJIAN MATEMATIKA PEMINATAN TP 2015 / 2016 Nama Sekolah : SMA NEGERI 56 JAKARTA Mata Pelajaran : MATEMATIKA PEMINATAN Kurikulum : KUR 2013 MATERI KELAS X P1 P2 P3 mor 1. Menganalisis
Lebih terperinciF U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI
F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI Fungsi Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.
Lebih terperinciPROSIDING ISBN :
P 8 EFEKTIVITAS PEMBELAJARAN DENGAN PROGRAM CABRI 3D UNTUK MENINGKATKAN PEMAHAMAN SISWA TENTANG KONSEP SIKU-SIKU DALAM SUB-POKOK BAHASAN PENERAPAN TEOREMA PHYTAGORAS PADA BANGUN RUANG DI KELAS VIII SMP
Lebih terperinciPersamaan dan pertidaksamaan kuadrat BAB II
BAB II Misalkan a,b,c Є R dan a 0 maka persamaan yang berbentuk dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Dalam persamaan kuadrat ax bx c 0, a adalah koefisien dari x, b adalah koefisien dari x dan c
Lebih terperinciPERTEMUAN 2-3 FUNGSI LINIER
PERTEMUAN 2-3 FUNGSI LINIER Fungsi Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentuk
Lebih terperinciSMA / MA Bahasa Mata Pelajaran : Matematika
Latihan Soal UN Paket Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah SMA / MA Bahasa Mata Pelajaran : Matematika Dalam UN berlaku Petunjuk Umum seperti ini :. Isikan identitas Anda ke dalam Lembar Jawaban Ujian
Lebih terperinciJENIS JENIS FUNGSI 2. Gambar. Jenis Fungsi. mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebas y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n
Telkom University Alamanda JENIS JENIS FUNGSI1 JENIS JENIS FUNGSI 2 Jenis Fungsi Gambar 1. FUNGSI POLINOM mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebas y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n 2.
Lebih terperinciPasangan Baku Dalam Polinomial Monik
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Pasangan Baku Dalam Polinomial Monik Zulfia Memi Mayasari Jurusan Matematika FMIPA Universitas Bengkulu zulfiamemimaysari@yahoo.com A - 7
Lebih terperinciRINGKASAN MATERI UN SMA
RINGKASAN MATERI UN SMA - 2016 EKSPONEN DAN LOGARITMA (3 SOAL) PROGRAM LINEAR (1 SOAL) PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT (3 SOAL) A. PERSAMAAN KUADRAT (P.K) Bentuk Umum ax 2 + bx + c = 0 Penyelesaian
Lebih terperinciLEMBAR KEGIATAN SISWA 1 PERSAMAAN KUADRAT
1 LEMBAR KEGIATAN SISWA 1 PERSAMAAN KUADRAT Masalah 1 : Pak Amat dan pak Aman masing-masing merahasiakan suatu bilangan real. Bilangan pak Aman lebih 11 daripada bilangan pak Amat. Dua kali bilangan pak
Lebih terperinciRingkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI
Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,
Lebih terperinciBEBERAPA METODE ITERASI ORDE TIGA DAN ORDE EMPAT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR. Neli Sulastri 1 ABSTRACT
BEBERAPA METODE ITERASI ORDE TIGA DAN ORDE EMPAT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Neli Sulastri 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lebih terperinciUntuk Sekolah Menengah Atas. þ Program Tahunan (Prota) þ Program Semester (Promes) þ Silabus. þ Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) CV.
PEMBELAJARAN STANDAR ISI 2006 þ Program Tahunan (Prota) þ Program Semester (Promes) þ Silabus þ Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) MATEMATIKA Untuk Menengah Atas 10 CV. SINDHUNATA Matematika 10 A (Standar
Lebih terperinciKURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP)
KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP) PERANGKAT PEMBELAJARAN PROGRAM TAHUNAN ( PROTA ) Mata Pelajaran : Matematika Program : IPA Satuan Pendidikan : SMA / MA Kelas/Semester : XI / 2 Nama Guru NIP/NIK
Lebih terperinciSILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran
SILABUS MATAKULIAH Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September 2014 A. Identitas 1. Nama Matakuliah : A11. 54101 / Kalkulus I 2. Program Studi : Teknik Informatika-S1 3. Fakultas : Ilmu Komputer 4. Bobot sks
Lebih terperinci22. MATEMATIKA SMA/MA (PROGRAM IPA)
22. MATEMATIKA SMA/MA (PROGRAM IPA) NO. 1. Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkarannya, menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk serta menggunakan prinsip logika matematika dalam pemecahan
Lebih terperinciPEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL ALJABAR
PEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL ALJABAR DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SMP
Lebih terperinciSuku Banyak. A. Pengertian Suku Banyak B. Menentukan Nilai Suku Banyak C. Pembagian Suku Banyak D. Teorema Sisa E. Teorema Faktor
Bab 5 Sumber: www.in.gr Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahan masalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi invers
Lebih terperinciPenggunaan Turunan, Integral, dan Penggunaan Integral.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar yang diberikan pada semester I. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu
Lebih terperinciRENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS)
RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) MUG1A4 KALKULUS 1 Disusun oleh: Jondri, M.Si. PROGRAM STUDI S1 TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS INFORMATIKA TELKOM UNIVERSITY LEMBAR PENGESAHAN Rencana Semester (RPS) ini
Lebih terperinciKISI-KISI PENULISAN SOAL TRY OUT UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPA SANGGAR 07 TAHUN 2014/2015
KISI-KISI PENULISAN SOAL TRY OUT UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPA SANGGAR 07 TAHUN 2014/2015 Jenis Sekolah : SMA Bentuk : P.G Kurikulum : Irisan kurikulum 1994, 2004 dan S.I Alokasi : 120 menit Program :
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 6 No.2 Tahun 2017
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 6 No.2 Tahun 2017 PROFIL PEMAHAMAN SISWA MENGENAI KONSEP GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERDASARKAN TEORI APOS DITINJAU DARI KEMAMPUAN MATEMATIKA Anis Safitri Jurusan Matematika,
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Efektivitas Efektivitas berasal dari kata efektif, yang merupakan kata serapan dari bahasa Inggris yaitu effective yang artinya berhasil. Menurut kamus ilmiah popular, efektivitas
Lebih terperinciOSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional)
ocsz Pembahasan Soal OSN Guru 2012 OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) Disusun oleh: Pak Anang Halaman 2 dari 26 PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE
Lebih terperinciMatematika Proyek Perintis I Tahun 1979
Matematika Proyek Perintis I Tahun 979 MA-79-0 Irisan himpunan : A = { x x < } dan himpunan B = { x < x < 8 } ialah himpunan A. { x x < 8 } { x x < } { x < x < 8 } { x < x < } { x < x } MA-79-0 Apabila
Lebih terperinciMAKALAH. Bantuan dalam Penghitungan Integral Tentu KALKULUS LANJUT Dosen Pengampu: Sugeng Riyadi S.Si M.Pd DISUSUN OLEH: Kelompok V
MAKALAH Bantuan dalam Penghitungan Integral Tentu KALKULUS LANJUT Dosen Pengampu: Sugeng Riyadi S.Si M.Pd DISUSUN OLEH: Kelompok V 1. NURVITA 2. ROSI LUSIANA 3. PUJI ASTUTI 4. SURTA MD PANGGABEAN 5. SUTRISNO
Lebih terperinciFUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4
Lebih terperinci