II. TIJAUA PUSTAKA Portofolio Saham Portofolio berarti sekumulan investasi, untuk kasus saham, berarti sekumulan investasi dalam bentuk saham. Proses embentukan orfolio saham terdiri dari mengidentifikasi saham mana yang akan diilih dan menentukan beraa roorsi/alokasi dana yang akan ditanamkan ada masing-masing saham tersebut. Proses alokasi ini diangga sebagai komonen terenting dalam melakukan investasi karena melibatkan berbagai kemungkinan alokasi yang daat diilih. Semakin banyak saham yang diilih semakin banyak ula kemungkinan alokasi yang daat diilihnya Strategi embentukan ortofolio saham ada dua macam, yaitu strategi asif dan strategi aktif (Husnan 1998). Strategi asif meruakan tindakan investor yang cenderung asif dalam berinvestasi dan hanya mendasarkan ergerakan sahamnya ada ergerakan indeks asar. Tujuan dari strategi asif ini adalah memeroleh keuntungan ortofolio sebesar keuntungan indeks asar dengan menekankan seminimal mungkin resiko dan biaya investasi yang harus dikeluarkan. Investor yang mengggunakan strategi asif ini biasanya memegang sahamnya dalam jangka waktu yang relatif lama. Mereka melakukan embobotan untuk masing-masing sahamnya mengikuti bobot saham tersebut terhada indeks. Indikator yang digunakan adalah indeks asar, yaitu IHSG dan LQ45. Strategi asif ini banyak dilakukan oleh manajer-manajer investasi, termasuk di Indonesia. Strategi aktif meruakan tindakan investor secara aktif dalam menyusun ortofolio dan merevisi berdasarkan referensinya. Tujuan strategi aktif ini mendaatkan keuntungan ortofolionya melebihi keuntungan ortofolio strategi asif. Penyusunan ortofolio berdasarkan hubungan tingkat keuntungan dan risiko yang terbaik dibandingkan dengan alternatif lainnya. Setia eriode, bobot alokasi ortofolionya dilakukan revisi suaya selalu dalam keadaan otimal. Model Markowitz Teori ortofolio modern digagas oleh Harry Markowitz, disebut juga model mean-variance, memertimbangkan keuntungan rata-rata dan resiko
5 berdasarkan adanya hubungan antara saham-saham (variance) yang membentuk ortofolio (Markowitz, 195) Setia ortofolio saham terdiri dari komosisi saham-saham embentuknya. Bobot bobot alokasi dari masing-masing saham adalah ersentase alokasi investasi saham dari total investasinya. Sehingga total dari bobot alokasi saham dari suatu ortofolio adalah satu. Aabila w i adalah bobot alokasi saham ke-i, maka setia otfolio memunyai batasan rumus sebagai berikut : n i= 1 w = 1 (1) i w i 0 Tingkat keuntungan yang diharakan dari suatu ortofolio adalah meruakan rata-rata tertimbang dari tingkat keuntungan yang diharakan masingmasing saham yang membentuk ortofolio tersebut. Tingkat keuntungan yang diharakan dari suatu ortofolio (E(R )) daat dinyatakan dengan rumus : E( R ) = w E( R ) () i= 1 i i Dimana E(R i ) adalah tingkat keuntungan yang diharakan dari Saham ke-i. Sedangkan erhitungan resiko/variance ( σ ) dari suatu ortofolio harus memerhitungkan unsur korelasi antar masing-masing saham yang membentuk ortofolio tersebut. Rumus umumnya adalah sebagai berikut : σ = w w σ i= 1 i= j i j ij (3) Dimana σ ij adalah covariance antara saham i dengan saham j. Aabila i=j maka σ ii = σ i adalah variance dari saham i.
6 Portofolio yang Efisien Kita daat menyusun ortofolio dengan berbagai kombinasi dari kumulan saham ilihan. Setia kombinasi bobot alokasi ortofolio akan menghasilkan E(R ) dan σ yang berbeda. Gambar 1 Hubungan E(R) dan resiko (σ ) ortofolio (Taufik & Rostianingsih, 005) Gambar 1 memerlihatkan hubungan antara E(R ) dan σ dari berbagai kombinasi bobot alokasi ortofolio dari suatu kumulan saham ilihan. Dari gambar tersebut, investor daat menentukan ortofolio yang memiliki nilai E(R ) yang maksimum ada suatu σ tertentu atau σ yang minimum ada E(R ) tertentu. Titik A adalah global minimum variance ortofolio karena tidak ada σ yang lebih kecil. Investor akan selalu memilih ortofolio ada segmen AB dibanding AC karena akan memberikan E(R ) yang terbesar ada σ yang sama atau σ yang terkecil ada tingkat E(R ) yang sama. Segmen AB tersebut disebut dengan kumulan ortofolio yang efisien atau lebih dikenal efficient frontier.
7 Indikator Kinerja Portofolio Untuk menentukan ortofolio yang aling otimal adalah ortofolio yang memiliki kinerja yang aling baik. Penilaian kinerja ortofolio saham daat dilakukan dengan memertimbangkan tingkat keuntungan saja atau resiko saja. Penilaian kinerja ortofolio dengan melibatkan tingkat keuntungan ortofolio dan resiko akan memberikan informasi yang lebih mendalam tentang sejauh mana tingkat keuntungan dikaitkan dengan resiko. Salah satu teknik yang digunakan untuk engukuran kinerja ortofolio adalah menggunakan indeks Share. Indeks Share memertimbangkan variabel E(R ) dan resiko. Rumus indeks Share adalah : S R R f = (4) σ Dimana : S = indeks Share, R = Return ortofolio, R f = Return aset bebas resiko dan σ = resiko ortofolio. Suatu ortofolio yang memiliki nilai indeks share aling tinggi adalah ortofolio yang aling otimal karena memiliki tingkat keuntungan dan resiko terbaik. Estimasi Parameter Model Markowitz Kinerja ortofolio yang dibentuk oleh model markowitz tergantung ada akurasi melakukan rediksi tingkat keuntungan dan resiko. Untuk memrediksi tingkat keuntungan dan resiko saham ortofolio adalah dengan data historis tingkat keuntungan saham-saham embentuk ortofolio. Prediksi tingkat keuntungan saham yang aling sederhana adalah dengan menghitung rata-rata tingkat keuntungan historisnya, yang umum dikenal dengan moving average. Moving average daat digunakan untuk melihat tren dari suatu siklus. Tren jangka anjang atau jangka endek dari suatu siklus tidak menentu, sehingga ukuran eriode waktu data historis yang digunakan ditentukan kasus demi kasus. Simle moving average adalah erhitungan umum yang sederhana, yaitu dengan merata-ratakan tana melakukan embobotan untuk masing-masing data.
8 Jika digunakan eriode data historis, maka rediksi tingkat keuntungan eriode berikutnya menggunakan simle moving average adalah : Rt i i= E( Rt ) = 1 (5) E(R t ) = tingkat keuntungan yang diharakan untuk eriode t R t-i = keuntungan ada eriode ke t i = jumlah eriode ilai Haraan Tingkat Keuntungan dan Risiko Investasi Keuntungan yang diterima dari investasi dalam saham didaatkan dari caital gain atau keuntungan erubahan harga saham dan enerimaan dividen ada eriode tertentu. Tingkat keuntungan yang diharakan (E(R)) ada masa datang didaatkan dari rata-rata keuntungan (R) yang diterima ada eriode yang lalu. Keadaan tersebut daat dituliskan : Ri i= E( R) = 1 (6) E(R) = Tingkat keuntungan yang diharakan R i = keuntungan ada eriode ke i = jumlah eriode Tingkat keuntungan dan variance selama 1 eriode ada Tabel 1 daat disimulkan bahwa ada masa yang akan datang tingkat keuntungan yang diharakan adalah sebesar 0.07. amun tingkat keuntungan yang dieroleh investor ada masa yang akan datang daat menyimang dari tingkat keuntungan yang diharakan tersebut. Resiko hal tersebut yang harus dihadai oleh emodal. Analisis untuk mengetahui ukuran risiko daat digunakan enyebaran distribusi. Ukuran enyebaran ini dimaksudkan untuk mengetahui seberaa kemungkinan nilai yang akan kita eroleh menyimang dari nilai yang diharakan. Ukuran ini daat diergunakan sebagai ukuran risiko.
9 Tabel 1 Contoh tingkat keuntungan dan variance selama 1 eriode Periode Keuntungan 1 0.0-0.08 3-0.09 4 1.00 5-0.46 6-0.01 7 0.07 8 0.11 9 0.37 10-0.07 11 0.04 1-0.01 E( R ) 0.06 Variance 0.13 Dalam statistik, ukuran ini disebut variance ( σ ) yang erhitungannya bisa dirumuskan sebagai berikut : [( Ri E( R)] σ = (7) i= 1 σ = variance E(R) = Tingkat keuntungan yang diharakan R i = keuntungan ada eriode ke i = jumlah eriode Dengan mengetahui haraan tingkat keuntungan dan risiko dari saham, emodal daat menentukan saham mana yang akan diilihnya. Pemodal biasanya akan berusaha memilih saham yang memunyai tingkat keuntungan yang lebih tinggi dan resiko yang lebih rendah. Dengan kata lain, dari data histori daat mencari saham yang memunyai E(R) yang lebih tinggi dan variance ( σ ) yang lebih rendah.
10 Algoritma Genetik Algoritma genetik adalah algoritma encarian heuristik yang didasarkan ada mekanisme seleksi alamiah dan genetika alamiah. Setia variabel ada suatu fungsi yang dicari, dikodekan kedalam kromosom. Masing-masing kromosom berisi sejumlah gen, yang mengkodekan informasi yang disiman di dalam kromosom. Setelah skema engkodean ditentukan, dilakukan inisialisasi untuk sebuah oulasi dengan kromosom. Gen-gen yang mengisi masing-masing kromosom dibangkitkan secara acak, biasanya menggunakan distribusi seragam. Masing-masing kromosom akan didekodekan menjadi individu dengan nilai fitness tertentu. Sebuah oulasi baru dihasilkan dengan menggunakan mekanisme seleksi alamiah, yaitu memilih individu-individu secara roorsional terhada nilai fitness-nya dan genetika alamiah, yakni indah silang dan mutasi. Untuk menjaga generasi terbaik dari roses indah silang dan mutasi, diilih generasi terbaik untuk dibawa ke generasi selanjutnya yang disebut roses elitisme. Proses ini diulang samai generasi yang diinginkan atau kondisi tertentu yang diinginkan untuk enyelesaian ermasalahan. Pada dasarnya algoritma genetik memiliki tujuh komonen, yaitu skema engkodean, nilai fitness, seleksi orang tua, indah silang, mutasi, elitisme dan enggantian oulasi (Gambar ). Inisialisasi oulasi Loo samai generasi atau kondisi tertentu Dekode kromosom Evaluasi kromosom Reroduksi Elitisme Seleksi Orang Tua Cross Over / Pindah silang Mutasi End Gambar Pseude code algoritma genetika
11 Skema Pengkodean Terdaat tiga skema yang aling umum digunakan dalam engkodean, yaitu : 1. Real-number encoding Pada skema ini, nilai gen(g) berada dalam interval [0,R], dimana R adalah bilangan real ositif dan biasanya R = 1. Dengan menggunakan suatu interval tertentu, batas bawah r b dan batas atas ra, engkodean daat dilakukan dengan cara sebagai berikut : X = r b + (r a -r b )g (8). Discrete desimal encoding Setia gen bernilai salah satu bilangan bulat dalam interval [0,9]. Dengan menggunakan suatu interval tertentu, batas bawah r b dan batas atas ra, engkodean daat dilakukan dengan cara sebagai berikut : X = r b + (r a -r b )(g 1 x10-1 + g x10 - +... + g x10 - ) (9) 3. Binary encoding Setia gen hanya bisa bernilai 0 atau 1 (Gambar 3). Dengan menggunakan suatu interval tertentu, batas bawah r b dan batas atas ra, engkodean daat dilakukan dengan cara sebagai berikut : X = r b + (r a -r b )(g 1 x -1 + g x - +... + g x - ) (10) X 1 X X 3 0.390 1.0000 0.0131 g 1 g g 3 3 9 9 9 9 0 1 3 g 1 g g 3 g 4 g 5 g 6 g 7 g 8 g 9 0 1 0 1 1 1 0 0 0 g 1 g g 3 g 4 g 5 g 6 g 7 g 8 g 9 Gambar 3. Tiga jenis skema engkodean : binary encoding (bawah), discrete desimal encoding (tengah), dan real-number encoding (atas)
1 Pada contoh di atas terdaat tiga variabel, yaitu X 1, X, X 3, yang dikodekan ke dalam sebuah kromosom yang terdiri dari 3 gen untuk real-number encoding. Sedangkan ada discrete decimal encoding mauun binary encoding dikodekan ke dalam kromosom yang terdiri dari 9 gen (masing-masing variabel dikodekan ke dalam 3 gen). Dengan menggunakan nilai batas interval [-1,], maka hasil endekodeannya adalah : Real-number encoding X 1 = -1 + (-(-1) x 0.390 = -0.830 X = -1 + (-(-1) x 0.1000 =.0000 X 3 = -1 + (-(-1) x 0.0131 = -0.9607 Discrete desimal encoding X 1 = -1 + (-(-1))(0. + 0.03 + 0.009)) = -0.830 X = -1 + (-(-1))(0.9 + 0.09 + 0.009)) = 1.9970 X 3 = -1 + (-(-1))(0 + 0.01 + 0.003)) = -0.9610 Binary encoding X 1 = -1 + (-(-1))(0+ 0.5 + 0)) = -0.50 X = -1 + (-(-1))(0.5 + 0.5 + 0.15)) = 1.650 X 3 = -1 + (-(-1))(0 + 0 + 0)) = -1 ilai Fitness Suatu individu dievaluasi berdasarkan suatu fungsi tertentu sebagai ukuran kinerjanya. Di dalam evolusi alam, individu yang bernilai fitness tinggi yang akan bertahan hidu. Sedangkan individu yang bernilai fitness rendah yang akan mati. Pada masalah otimisasi, jika solusi yang dicari adalah memaksimalkan fungsi h, maka nilai fitness yang digunakan adalah nilai dari fungsi h tersebut, yakni f = h. Tetai jika masalahnya adalah menimalkan fungsi h, maka fungsi h tidak bisa digunakan secara langsung. Hal ini disebabkan adanya aturan bahwa individu yang memiliki nilai fitness tinggi lebih mamu bertahan hidu ada generasi berikutnya. Oleh karena itu nilai fitness yang bisa digunakan adalah f = 1/h, yang artinya semakin kecil nilai h, semakin besar nilai f. Misalkan dari satu oulasi terdaat 4, 6, 3 dan 5, maka nilai fitness terbesar adalah 1/3.
13 Seleksi Orang Tua Pemilihan dua buah kromosom sebagai orang tua, yang akan diindah silangkan, biasanya dilakukan secara roorsional sesuai dengan nilai fitnessnya. Ada beberaa metode seleksi yaitu : rank-based fitness, roulette-wheel, stochastic universal samling, tournament selection. Rank-based Fitness Rank-based fitness dikemukakan melalui enelitian oleh Baker tahun 1985 (Michalewicz, 199). Pada rank-based fitness, oulasi diurutkan menurut nilai objektifnya. ilai fitness dari tia-tia individu hanya tergantung ada osisi individu tersebut dalam urutan, dan tidak diengaruhi oleh nilai objektifnya. Misalkan adalah jumlah individu dalam suatu oulasi. POS adalah osisi individu dalam oulasi tersebut (osisi terendah suatu individu adalah POS=1, dan osisi tertingginya adalah POS=). Sedangkan SP adalah selective ressure. ilai fitness dari suatu individu daat dihitung sebagai : Peringkat linear : Fitness(POS) = - SP - (SP-1)(POS -1)( -1) (11) ilai SP ε [1,] Peringkat non-linear : Fitness(POS) = (ind X (POS-1) )/ sum(x (i-1) ); i= 1 (1) Sedangkan X dihitung sebagai akar olinomial : (SP-1)X -1 +(SP-1)X - +... +SPX+SP = 0 ilai SP ε [1,-] Roulette-wheel Metode seleksi yang umum digunakan adalah roulette-wheel. Sesuai dengan namanya, metode ini menirukan ermainan roulette-wheel dimana masing-masing kromosom menemati otongan lingkaran ada roda roulette secara roorsional sesuai dengan nilai fitness-nya. Kromosom yang memiliki nilai fitness lebih besar menemati otongan lingkaran yang lebih besar dibandingkan dengan kromosom bernilai rendah (Gambar 4).
14 Kromosom ilai Fitness K1 1 K K3 0.5 K4 0.5 Jumlah 4 Gambar 4 Contoh enggunaan metode roulette-wheel K3 K4 K K1 Metode roulette-wheel selection sangat mudah diimlementasikan dalam emrograman. Pertama, dibuat interval nilai kumulatif dari nilai fitness masingmasing kromosom dibagi nilai total fitness dari semua kromosom. Sebuah kromosom akan terilih jika bilangan random yang dibangkitkan berada dalam nilai akumulatifnya. Seerti ada contoh, K1 menemati interval nilai kumulatif [0;0.5], K berada dalam interval [0.5;0.75], K3 berada dalam interval [0.5;0.875] dan K4 berada dalam interval [0.875;1]. Misalkan, jika bilangan random yang dibangkitkan adalah 0,6 maka kromosom K terilih sebagai orang tua. Tetai jika bilangan random yang dibangkitkan adalah 0,99 maka kromosom K4 yang terilih. Stochastic Universal Samling Stochastic universal samling memiliki nilai bias nol dan enyebaran yang minimum. Pada metode ini, individu-individu dietakan dalam suatu segmen garis secara berurutan sedemikian sehingga tia-tia segmen individu memiliki ukuran yang sama dengan ukuran fitnessnya seerti halnya ada roulette-wheel. Kemudian diberikan sejumlah ointer sebanyak individu yang ingin diseleksi, maka jarak antara ointer adalah 1/ dan osisi ointer ertama diberikan secara acak ada [1,1/) Tournament Selection Pada metode tournament selection, akan ditetakan suatu nilai tour untuk individu-individu yang diilih secara acak dari suatu oulasi. Individu-individu yang terbaik dalam kelomok ini akan diseleksi sebagai induk. Parameter yang
15 digunakan ada metode ini adalah ukuran tour yang bernilai antara samai (=jumlah individu dalam oulasi). Pindah Silang (Crossover) Salah satu komonen aling enting dalam algoritma genetika adalah crossover atau indah silang. Sebuah kromosom yang mengarah ada solusi yang bagus bisa dieroleh dari roses memindah-silangkan dua buah kromosom. Pindah silang bisa juga berakibat buruk jika ukuran oulasinya sangat kecil, suatu kromosom dengan gen-gen yang mengarah ke solusi akan sangat ceat menyebar ke kromosom-kromosom lainnya. Untuk mengatasi masalah ini digunakan suatu aturan bahwa indah silang hanya bisa dilakukan dengan robabilitas tertentu. Artinya, indah silang bisa dilakukan hanya jika suatu bilangan random [0,1] yang dibangkitkan kurang dari yang ditentukan. Pada umumnya ditentukan mendekati 1, misalnya 0,8. Pindah silang bisa dilakukan dalam beberaa cara berbeda. Yang aling sederhana adalah indah silang satu titik otong (one-oint crossover). Suatu titik otong diilih secara acak, kemudian bagian ertama dari orang tua 1 digabungkan dengan bagian kedua dari orang tua. Untuk kromosom yang sangat anjang, misalnya 1000 gen, mungkin saja dierlukan beberaa titik otong. Pindah silang lebih dari satu titik otong disebut n-oint crossover. Skema indah silang yang lain adalah uniform crossover, yang meruakan kasus khusus dari n- oint crossover diamana n sama dengan jumlah gen dikurangi satu (Gambar 5). titik otong Orang tua 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 Orang tua 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 g 1 g g 3 g 4 g 5 g 6 g 7 g 8 g 9 g 10 Anak 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 Anak 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 g 1 g g 3 g 4 g 5 g 6 g 7 g 8 g 9 g 10 Gambar 5 Contoh indah silang satu titik otong
16 Metode indah silang lainnya adalah ermutation crossover. Pada metode ini, kromosom-kromosom anak dieroleh dengan cara memilih sub-barisan dari suatu tour dari satu induk dengan teta menjaga urutan dan osisi sejumlah kota yang mungkin terhada induk yang lainnya. Misalkan : Induk 1 : ( 1 3 4 5 6 7 8 9 ) Induk : ( 4 5 3 1 8 7 6 9 ) Anak 1 : ( x x x 1 8 7 6 x x ) Anak : ( x x x 4 5 6 7 x x ) Dari anak 1 dan kita memeroleh emetaan 1-4, 8-5, 7-6, 6-7. Kemudaian sisa gen di induk 1 dimasukkan ke anak 1 berdasarkan emetaan tersebut. Hasilnya adalah : Anak 1 : ( 4 3 1 8 7 6 5 9 ) Anak : ( 1 8 3 4 5 6 7 9 ) Mutasi Prosedur mutasi sangatlah sederhana. Untuk semua gen yang ada, jika bilangan random yang dibangkitkan kurang dari robabilitas mutasi yang ditentukan maka ubah gen tersebut menjadi nilai kebalikannya (Gambar 6). Biasanya ditentukan sebagai 1/n, dimana n adalah jumlah gen dalam kromosom. Dengan sebesar ini berarti mutasi hanya terjadi ada sekitar satu gen saja. Pada algoritma genetik sederhana, nilai tersebut adalah teta selama evolusi. Kromosom asal 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 Hasil mutasi 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 g 1 g g 3 g 4 g 5 g 6 g 7 g 8 g 9 g 10 Gambar 6 Contoh roses mutasi
17 Elitisme Karena seleksi dilakukan secara acak, maka tidak ada jaminan bahwa suatu individu bernilai fitness tertinggi akan selalu terilih. Kalauun individu bernilai fitness tertinggi terilih, mungkin saja individu tersebut akan rusak karena roses indah silang. Untuk menjaga agar individu berniali fitness tertinggi tersebut tidak hilang selama evolusi, maka erlu dibuat satu atau beberaa salinannya. Prosedur ini dikenal sebagai elitisme. Penggantian Poulasi Dalam algoritm genetika dikenal skema enggantian oulasi yang disebut generational relacement, yang berarti semua individu (misal individu dalam satu oulasi) dari suatu generasi digantikan sekaligus oleh individu baru hasil indah silang dan mutasi. Skema enggantian ini tidak realistis dari sudut andang biologi. Di dunia nyata, individu-individu dari generasi berbeda bisa berada dalam waktu yang bersamaan. Fakta lainnya adalah individu-individu muncul dan hilang secara konstan, tidak ada generasi tertentu. Secara umum skema enggantian oulasi daat dirumuskan berdasarkan suatu ukuran yang disebut generational ga G. Ukuran ini menunjukkan resentase oulasi yang digantikan dalam setia generasi. Pada skema generational relacement, G= 1. Skema enggantian yang aling ekstrim adalah mengganti satu individu dalam setia generasi, yaitu G = 1/, diaman adalah jumlah individu dalam oulasi. Skema enggantian ini disebut steady-state reroduction. Pada skema tersebut, G biasanya sama dengan 1/ atau /. Dalam setia generasi, sejumlah G individu harus dihaus unutk menjaga ukuran oulasi teta. Terdaat beberaa rosedur enghausan individu, yaitu enghausan individu bernilai fitness aling rendah atau enghausan individu yang aling tua. Penghausan bisa berlaku hanya ada individu orang tua saja atau bisa juga berlaku ada semua individu dalam oulasi.