BAB II LANDASAN TEORI. pembahasan pada bab-bab berikutnya, yaitu varians dan kovarians, distribusi normal,

Transkripsi

1 BAB II LANDASAN TEORI ada bab ini dibahas tentang materi dasar yang digunakan untuk mendukung embahasan ada bab-bab berikutnya, yaitu varians dan kovarians, distribusi normal, matriks, investasi, ortofolio, saham, Jakarta Islamic Index JII, metode Lagrange, model Mean Variance markowitz, Caital Assets ricing Model CAM, metode Diversifikasi Naive /N, model Minimum Variance, dan model Black Litterman. A. Varians dan Kovarians Definisi. 4 Murray R. Siegel, 004 Varians dari variabel random didefinisikan dengan: Var E[ ].. Notasi varians yang lain adalah,, x atau V. Standar deviasi dari didefinisikan sebagai akar ositif dari varians yaitu x Var. Rumus varians ada. daat dinyatakan dalam ersamaan berikut: σ x = n i x i x N s x = n i x i x n Definisi. 4 Murray R. Siegel, dkk, 004 untuk suatu oulasi. untuk suatu samel. 3 Kovarians adalah suatu ukuran yang menyatakan varians bersama dari dua variabel random. Kovarians dari asangan variabel random dan Y didefinisikan sebagai: σ Y = Cov, Y = E[ μ Y μ Y ]. 4 7

2 Jika dan Y adalah variabel random dan a dan b konstan, maka berlaku:. Cov a,by abcov,y.. Cov a,y b Cov,Y.. Cov,a b avar. 3. Cov,Y 0, jika dan Y indeenden. B. Distribusi Normal Definisi Distribusi Normal Definisi. 6 Bain & Engelhardt, 99 Variabel random dikatakan berdistribusi normal yang dinotasikan ~Nµ, σ dengan mean µ dan varians σ memunyai fungsi densitas robabilitas yaitu: f x;, e { x / } /. 5 untuk < x <, dengan < µ < dan 0 < σ <. Uji Normalitas Uji normalitas daat dilakukan dengan bantuan software SSS menggunakan engujian Kolmogorov-Smirnov. Dalam hal investasi uji normalitas sering digunakan untuk melihat aakah return saham berdistribusi normal atau tidak. Aabila return saham berdistribusi normal, maka saham tersebut akan dierhitungkan untuk dimasukkan ke dalam ortofolio. Tujuan engujian normalitas dalam return saham adalah untuk mengantisiasi terjadinya ketidakstabilan harga, yang dikhawatirkan akan mengalami enurunan harga saham yang sangat signifikan sehingga merugikan 8

3 investor. Uji normalitas return saham daat dilakukan dengan uji Kolomogorov- Smirnov sebagai berikut: a. Hiotesis: H0: data return saham diasumsikan berdistribusi normal. H: data return saham tidak daat diasumsikan berdistribusi normal. b. Tingkat signifikansi α. c. Statistik uji: Kolmogornov-Smirnov KS F * S. F* adalah distribusi kumulatif data samel. S adalah distribusi kumulatif yang berdistribusi normal. d. Kriteria uji: H0 ditolak jika KS>KSTabel atau -value KS < α. e. erhitungan. f. Kesimulan. C. Matriks Definisi. 8 Anton, 00 Su Sebuah matriks adalah susunan ersegi dari bilangan-bilangan riil. Bilanganbilangan tersebut dinamakan entri dari matriks. Ukuran matriks dideskrisikan dengan banyaknya baris garis horizontal dan banyaknya kolom garis vertikal yang terdaat dalam matriks. Entri yang terdaat ada baris i dan kolom j dari matriks A daat dinyatakan dengan a. Secara umum bentuk matriks berukuran m n yaitu: ij 9

4 A mn a a am a a a m a a a in n mn.. 6 erkalian matriks Definisi. 9 Anton, 00 Jika A adalah suatu matriks dan c adalah skalar, maka hasil kali roduct ca adalah matriks yang dieroleh dengan mengalikan masing-masing entri dari A oleh c. Jika A [ a ij ], maka erkalian matriks ini dinotasikan sebagai ca ij ca ij [ caij ]. Jika A a ] sebuah matriks berukuran m r dan B b ] sebuah matriks [ ij berukuran r n, maka hasil kali A dengan B yaitu C = AB adalah matriks yang entrinya didefinisikan dengan [ ij r C a b. 7 mn dengan matriks C berukuran m n. Contoh: A, 4 B l il lj Maka, AB

5 Transose Matriks Definisi. 0 Anton, 00 Jika A adalah sebarang matriks m r, maka transose A dinyatakan oleh A yang meruakan matriks berukuran r m dengan mengubah baris dari A menjadi kolom ada A. Transose matriks A daat dinyatakan dengan: A ij A ji.. 8 Contoh: A 4 maka, A 4. dengan Minor dan Kofaktor Matriks Definisi. Anton, 00 Jika A meruakan matriks berukuran n n, maka minor dari entri a dinotasikan ij M yaitu determinan dari submatriks A yang didaat dengan menghaus baris ij ke-i dan kolom ke-j. Nilai i j M ij dinotasikan dengan ij c disebut kofaktor dari entri a. Sehingga matriks kofaktor dari A daat dinyatakan dengan: ij c c cn c c c n c n c n.. 9 cnn

6 Contoh: 3 A maka, minor dari entri a yaitu: kofaktor dari entri a yaitu: Determinan Matriks Definisi. Anton, M , 4 c M Determinan matriks A berukuran n n daat dihitung dengan mengalikan entri ada suatu baris ke-i atau kolom ke-j dengan masing-masing kofaktor dan menjumlahkan hasil erkalian tersebut. Determinan matriks A dinyatakan sebagai berikut: A a c a. c a. c A j. j j j atau a a. c. Contoh: i. ci ai. ci in nj in nj 3 A

7 maka, A [ ].[. 0.4] 5.[ ] Invers Matriks Definisi. 3 Anton, 00 Jika A matriks ersegi dan jika terdaat suatu matriks B dengan ukuran yang sama sedemikian sehingga AB=BA=I dengan I meruakan matriks identitas, maka A invertible daat dibalik dan B adalah invers dari A. Invers dari A dinotasikan dengan A, sehingga AA I dan A A I Jika matriks A berukuran n n maka invers adalah: A = A [adja]. 0 dengan, adja: matriks adjoin dari A yaitu transose dari matriks kofaktor A. 3

8 4 Contoh: A 6 0 3, adj A det A maka, A A [adja]

9 D. Analisis Multivariat Definisi. 4 Johnson & Wichern, 007 Analisis statistik multivariat meruakan metode statistik untuk menganalisis hubungan antara lebih dari dua variabel secara bersamaan. Data samel analisis multivariat secara umum daat digambarkan dalam bentuk matriks dengan n objek dalam variabel sebagai berikut: Variabel Variabel Variabel k Variabel Objek Objek x x x x k x x x k x Objek j x j j x x jk x j Objek n x n n x x nk x n atau daat ditulis dalam bentuk matriks dengan n baris dan kolom berikut: x x x j xn x x x x j n x x x x k k jk nk x x x j xn 5

10 Multivariat Berdistribusi Normal Definisi. 5 Johnson & Wichern, 007 Fungsi distribusi multivariat normal meruakan erluasan dari fungsi distribusi univariat normal untuk. Jika ~N μ, Σ adalah -variat multivariat normal dengan rata-rata µ dan varians-kovarians matriks Σ, dimana:, μ, Σ Maka fungsi densitas multivariat normal adalah: f / Σ / e μ μ /. dengan i,i,,...,. Vektor random dan matriks random Definisi. 6 Johnson & Wichern, 007 Vektor random adalah vektor yang elemen-elemennya berua variabel random. Jika suatu unit ekserimen hanya memiliki satu variabel terukur maka variabel terukur disebut variabel random, sedangkan jika terdaat lebih dari satu variabel terukur, misalkan n variabel maka variabel-variabel tersebut disebut vektor random dengan n komonen. Sedangkan matriks random adalah matriks yang memunyai elemen variabel random. 6

11 7 Mean dan Kovarians Vektor Random Definisi. 7 Johnson & Wichern, 007 Dimisalkan adalah variabel random dengan mean E μ dan matriks kovarians Σ. Mean vektor random dengan ordo daat dinyatakan dengan: μ E E E E.. Sedangkan kovarians vektor random dengan ordo adalah μ μ E E E E E E E E E E E E. Atau daat dinyatakan Cov.. 3

12 Dengan ij : kovarians dari i dan Kovarians untuk samel dinyatakan Dengan s ij : kovarians dari E. Investasi i dan,i j,, dan j,,. s s s s s s S. s s s j, i,, dan j,,. 4 Menurut Abdul Halim 005 Investasi ada hakikatnya meruakan enematan sejumlah dana ada saat ini dengan haraan memeroleh keuntungan di masa mendatang. roses investasi menunjukkan bagaimana seharusnya seorang investor membuat keutusan investasi, yaitu sekuritas aa yang akan diilih, seberaa banyak investasi tersebut, dan kaan investasi tesebut akan dilakukan Suad Husnan, 998. Untuk itu dierlukan tahaan sebagai berikut:. enentuan tujuan investasi Taha ertama dalam roses keutusan investasi adalah menentukan tujuan investasi yang akan dilakukan. Tujuan investasi untuk masing-masing investor bisa berbeda tergantung ada investor yang membuat keutusan tersebut.. enentuan kebijakan investasi Taha enentuan kebijakan investasi dilakukan dengan enentuan keutusan alokasi sekuritas. Keutusan ini menyangkut endistribusian dana yang dimiliki ada berbagai kelas sekuritas yang tersedia saham, obligasi, bangunan mauun sekuritas luar negeri. 8

13 3. emilihan strategi ortofolio Strategi ortofolio yang bisa diilih yaitu strategi ortofolio aktif dan strategi ortofolio asif. Strategi ortofolio aktif meliuti kegiatan enggunaan informasi yang tersedia untuk mencari kombinasi ortofolio yang lebih baik. Strategi ortofolio asif meliuti aktivitas investasi ada ortofolio yang seiring dengan kinerja indeks asar. 4. emilihan sekuritas emilihan sekuritas yang dilakukan untuk membentuk suatu ortofolio. Taha ini memerlukan engevaluasian setia sekuritas yang ingin dimasukkan dalam ortofolio untuk mencari kombinasi ortofolio yang efisien oleh erusahaan. Aabila kinerja keuangan erusahaan cuku bagus dan sudah mamu membayar kewajiban keuangan lainnya. F. ortofolio engertian ortofolio Menurut Jogiyanto Hartono 04 ortofolio adalah suatu kumulan sekuritas keuangan dalam suatu unit yang diegang atau dibuat oleh seorang investor, erusahaan investasi, atau instansi keuangan. Tujuan dari embentukan ortofolio adalah untuk mendiversifikasi dana yang dimiliki investor ada beberaa sekuritas dengan haraan daat memaksimalkan return dengan tingkat risiko yang minimal. Return ortofolio Return adalah hasil yang dieroleh dari suatu investasi. Hubungan ositif antara return dan risiko ortofolio dalam berinvestasi dikenal dengan high risk high return, 9

14 yang artinya semakin besar risiko yang diambil, maka semakin besar ula return yang dieroleh. Hal ini dimaksudkan bahwa harus ada ertambahan return sebagai komensasi dari ertambahan risiko yang ditanggung oleh investor. Return daat berua realized return yang sudah terjadi atau exected return yang belum terjadi dan diharakan akan dieroleh ada masa mendatang Jogiyanto Hartono, 003. Realized return ortofolio daat dirumuskan: R = n i= w i. R i. 5 keterangan: R: realized return ortofolio, w i : bobot dana investor ada sekuritas ke-i, R : realized return dari sekuritas ke-i, i n : banyaknya sekuritas. Return suatu sekuritas untuk daat dihitung menggunakan rumus: keterangan: t t t R t.. 6 t t t : harga sekuritas ada eriode ke-t, t : harga sekuritas ada eriode ke-t- 0

15 Exected return ortofolio meruakan rata-rata tertimbang dari exected return masing-masing sekuritas dalam ortofolio. Exected return ortofolio daat dirumuskan sebagai berikut: keterangan: E R : exected return dari ortofolio, n ER = i= w i. ER i.. 7 w i : bobot dana investor ada sekuritas ke-i, E R i : exected return dari sekuritas ke-i, n : banyaknya sekuritas. Nilai exected return ada ersamaan.7 secara matematis daat dibentuk dalam matriks adalah sebagai berikut: E R w ER w ER w E n R n E R E R w w w n w ER. ERn. 8 keterangan: w : matriks bobot tia sekuritas dalam ortofolio, ER: matriks exected return tia sekuritas dalam ortofolio. Risiko ortofolio Risiko dalam ortofolio daat diartikan sebagai tingkat kerugian tidak terduga yang besarnya tergantung ada ortofolio yang dibentuk. Risiko ortofolio daat diukur

16 dengan besarnya varians dari nilai return saham-saham yang ada di dalam ortofolio Jogiyanto Hartono, 003. Jika semakin besar nilai varians maka risiko yang ditanggung semakin tinggi. Banyaknya sekuritas dalam suatu ortofolio daat memengaruhi nilai varians dari risiko. Untuk membentuk suatu ortofolio dierlukan minimal dua sekuritas. Varians dengan dua sekuritas adalah sebagai berikut Jogiyanto Hartono, 003: Var R = E[R ER ] E E E E w R w R Ew R w R w R w R Ew R Ew R w R w R w ER w E R w R ER w R E E w w R R ER w w R ER R ER w R E R R ER w w ER ER R ER w E R E E R w w w w.. 9 Selanjutnya varians dengan n sekuritas daat dinyatakan sebagai berikut: w w w w w w w w w n n 3 3 n n nn n n n i wi i i w j i w j i j.. 0

17 ersamaan. 0 daat dinyatakan dalam bentuk matriks yaitu: n w n w w w wn w Σ w. n n nn wn keterangan: Σ : matriks varians kovarians n x n, w : matriks bobot tia sekuritas n x. Risiko ortofolio dihitung menggunakan rumus standar deviasi yang meruakan akar ositif dari varians sebagai berikut:. Risiko ortofolio daat dihitung dengan mensubstitusikan ersamaan. ada rumus standar deviasi. sebagai berikut: w Σ w. 3 keterangan: σ : standar deviasi ortofolio. G. Saham Saham adalah surat berharga yang menunjukkan keemilikan erusahaan sehingga emegang saham memiliki hak klaim atas dividen atau distribusi lain yang dilakukan erusahaan keada emegang saham lainnya. Menurut Suad Husnan 005, Saham meruakan secarik kertas yang menunjukkan hak emodal yaitu ihak yang memiliki 3

18 kertas tersebut untuk memeroleh bagian dari rosek atau kekayaan organisasi yang menerbitkan sekuritas tersebut dan berbagai kondisi yang memungkinkan emodal tersebut menjalankan haknya. Saham meruakan salah satu alternatif dari beberaa instrumen lainnya yang daat diilih untuk berinvestasi. ada dasarnya saham daat digunakan untuk mencaai tiga tujuan investasi utama sebagaimana yang dikemukakan oleh Kertonegoro Senatnoe 000 yaitu:. Sebagai gudang nilai, berarti investor mengutamakan keamanan rinsial, sehingga akan dicari saham blue chis dan saham non-sekulatif lainnya.. Untuk emuukan modal, berarti investor mengutamakan investasi jangka anjang, sehingga ara investor akan mencari saham ertumbuhan untuk memeroleh caital gain atau saham sumber enghasilan untuk mendaat dividen. 3. Sebagai sumber enghasilan, berarti investor mengandalkan ada enerimaan dividen sehingga ara investor akan mencari saham yang bermutu baik yaitu saham yang memunyai tingkat engembalian yang tinggi dan konsisten dalam membayar dividen. H. Jakarta Islamic Index JII ada tanggal 3 juli 000 T Bursa Efek Indonesia BEI bekerjasama dengan T Danareksa Invesment Management DIM meluncurkan indeks saham yang dibuat berdasarkan syariah Islam yaitu Jakarta Islamic Index JII. JII diharakan daat menjadi tolok ukur kinerja saham-saham yang berbasis syariah dan daat 4

19 mengembangkan asar modal syariah. JII dierbarui setia 6 bulan sekali, yaitu ada awal bulan Januari dan Juli. Jakarta Islamic Index JII meruakan indeks yang berisi 30 saham erusahaan terdaat di lamiran 5 Halaman 96 dengan kriteria investasi yang telah dienuhi berdasarkan syariah Islam metode keuangan dalam Islam, dengan rosedur berikut ini:. Memilih kumulan saham dengan jenis usaha utama yang tidak bertentangan dengan rinsi syariah dan sudah tercatat aling tidak 3 bulan terakhir, kecuali saham yang termasuk dalam 0 kaitalisasi terbesar.. Memunyai rasio utang terhada sekuritas tidak lebih dari 90% di laoran keuangan tahunan atau tengah tahun. 3. Dari yang masuk kriteria nomer dan, diilih 60 saham dengan rata-rata kaitalisasi asar terbesar selama satu tahun terakhir. Kemudian diilih 30 saham dengan urutan tingkat likuiditas rata-rata nilai erdagangan reguler selama satu tahun terakhir. 4. Kemudian diilih 30 saham dengan urutan tingkat likuiditas rata-rata nilai erdagangan regular selama satu tahun terakhir. I. engali Lagrange Lagrange Multilier Menurut urcell dan Varberg 987 fungsi Lagrange digunakan untuk menyelesaikan ermasalahan otimasi dimana terdaat kendala-kendala constrains 5

20 tertentu. Misalkan akan dicari harga otimasi suatu fungsi tujuan fx, y dengan kendala-kendala tertentu yang harus dienuhi yaitu gx, y = 0. Cara yang dilakukan adalah dengan menyusun fungsi bantu yang disebut fungsi Lagrange sebagai berikut : Fx, y = fx, y + λ gx, y. 4 Dengan syarat : F x F = 0 dan = 0. 5 y Dalam hal ini arameter λ yang bebas dari x dan y dinamakan Lagrange Multilier atau engali Lagrange. Jika engali Lagrange melibatkan lebih dari satu kendala, maka enggunaan arameter yang diilih daat ditambahkan menjadi λ, µ atau arameter yang lain. Misalnya fungsi yang akan dicari maksimum atau minimum fx, y, z dengan kendala gx, y, z = 0 dan kendala hx, y, z = 0, maka fungsi Lagrangenya adalah: Fx, y, z = fx, y, z + λ gx, y, z + μ hx, y, z. 6 Syarat adanya harga maksimum atau minimum adalah: F = 0, F F = 0, dan = 0. 7 x y z ermasalahan di atas daat dierluas untuk fungsi yang memiliki n variabel fx, x,, x n dengan k kendala. Misal fungsi yang akan dicari maksimum atau minimum adalah: fx, x,, x n Sedangkan fungsi kendalanya adalah sebagai berikut: 6

21 φ x, x,, x n = 0, φ x, x,, x n = 0,, φ k x, x,, x n = 0 Maka fungsi Lagrangenya adalah: Fx, x,, x n = f + λ φ + λ φ + + λ k φ k. 8 Dengan syarat: F x = 0, F = 0,, F = 0 x x n Dalam hal ini arameter λ, λ,, λ k adalah engali Lagrange. J. Model Mean Variance Markowitz Harry Markowitz memerkenalkan model tentang emilihan ortofolio otimal ada tahun 95 yang dikenal dengan model mean variance Markowitz Markowitz, 95. Menurut Eduardus Tandelilin 00 Model mean variance Markowitz didasari oleh tiga asumsi yaitu:. Waktu yang digunakan hanya satu eriode. Tidak ada biaya transaksi 3. referensi investor hanya berdasarkan ada return yang diharakan dan risiko dari ortofolio. Berdasarkan asumsi ketiga, maka ortofolio otimal menggunakan model mean variance Markowitz daat dilakukan dengan mengotimalkan ortofolio efisien dengan referensi investor yang dirumuskan dalam bentuk sebagai berikut: a. Meminimumkan risiko untuk tingkat return tertentu: Min VarR = w Σw dengan ER = w μ. 9 b. Memaksimumkan return dengan tingkat risiko tertentu 7

22 Maks ER = w μ dengan VarR = w Σw. 30 Bobot untuk masing-masing sekuritas daat dinyatakan dengan w = [w w n ] dan μ meruakan matriks exected return masing-masing sekuritas n. Otimasi untuk memaksimumkan return dengan tingkat risiko tertentu daat diselesaikan dengan menggunakan fungsi Lagrange L dan faktor engali Lagrange λ sebagai berikut: L w μ λ w Σw. 3 Turunan arsial L terhada w adalah sebagai berikut: L w μ λ w Σw w w μ λσw. 3 L Otimasi harus memenuhi syarat 0 sehingga: w μ Σw 0 μ Σw 0, karena μ = δʃw. 33 Dengan δ meruakan koefisien risk aversion He & Litterman, 999. Rumus bobot ortofolio model mean variance Markowitz untuk masing-masing sekuritas dalam asar berdasarkan rumus.33 adalah sebagai berikut : w m = δʃ μ. 34 dengan w m yaitu matriks bobot masing-masing sekuritas. 8

23 K. Caital Assets ricing Model CAM Caital Assets ricing Model CAM dierkenalkan ertama kali oleh William Share, John Lintner, dan Jan Mossin antara tahun CAM meruakan suatu model yang bertujuan untuk memrediksi hubungan antar risiko dengan return yang diharakan dari suatu sekuritas. Untuk memahami model CAM, maka harus memahami asumsi-asumsi yang melandasi model ini walauun diangga tidak realistis. Oleh karena itu ada beberaa enyederhanaan asumsi suaya model CAM lebih realistis. Berikut adalah hasil enyederhanaan asumsi-asumsi CAM menurut Eduardus Tandelilin 00 :. Semua investor memunyai distribusi robabilitas tingkat return di masa dean yang sama, karena mereka memunyai haraan yang hamir sama. Ini berarti ara investor seakat tentang exected return, standar deviasi, dan koefisien korelasi antar tingkat keuntungan.. Semua investor memunyai satu eriode waktu yang sama, misalnya satu tahun. 3. Semua investor daat meminjamkan sejumlah dananya atau meminjam sejumlah dana dengan jumlah yang tidak terbatas ada tingkat return bebas risiko. 4. Tidak ada biaya transaksi. 5. Tidak terjadi inflasi. 6. Tidak ada ajak enghasilan bagi ara investor. 7. Investor adalah enerima harga rice-takers. 8. asar modal dalam kondisi ekuilibrium. 9

24 Jika semua asumsi tersebut dienuhi, maka akan terbentuk kondisi asar yang ekuilibrium. Hubungan exected return dan risiko dalam keadaan ekuilibrium asar daat digambarkan ada Gambar.. E R M Garis asar Modal R f Gambar. Caital Market Line Sloe dalam Caital Market Line CML disimbolkan θ meruakan harga asar dari risiko untuk ortofolio. Besarnya sloe CML mengindikasikan tambahan return yang disyaratkan asar untuk setia % kenaikan risiko ortofolio. Sloe CML daat dihitung dengan menggunakan rumus: E R M r f. M. 35 erubahan θ yang semakin kecil mengakibatkan risiko ortofolio semakin besar dan sebaliknya. Caital Market Line CML menunjukan semua kemungkinan kombinasi ortofolio efisien yang terdiri sekuritas-sekuritas berisiko dan sekuritas 30

25 bebas risiko Jogiyanto Hartono, 003. Caital Market Line CML terbentuk seanjang titik exected return sekuritas bebas risiko r f samai titik M. Exected return sekuritas bebas risiko didekati dengan tingkat return suku bunga Bank sentral, di Indonesia umumnya diambil dari tingkat return suku bunga Bank Indonesia. ortofolio CAM diharakan memberikan keuntungan lebih besar dibandingkan sekuritas yang di investasikan ada Bank Jogiyanto Hartono, 003. Exected return dalam ortofolio CAM berdasarkan Gambar. daat dirumuskan dengan: E R E RM rf rf. M. 36 keterangan: ER : exected return ortofolio r f : return sekuritas bebas risiko E : exected return ortofolio asar R M : standar deviasi dari return ortofolio asar M σ : standar deviasi dari return ortofolio efisien yang ditentukan. ersamaan.36 menggambarkan hubungan antara risiko dan return ada asar yang seimbang untuk ortofolio-ortofolio yang efisien, sedangkan untuk menggambarkan hubungan risiko dan return dari sekuritas-sekuritas individual daat dilihat dari kontribusi masing-masing sekuritas terhada risiko ortofolio asar. Kontribusi masing-masing sekuritas terhada risiko ortofolio asar tergantung dari 3

26 besarnya kovarians return sekuritas tersebut terhada ortofolio asar. Besarnya kontribusi risiko sekuritas terhada risiko ortofolio asar yaitu: i, M M dimana σ i,m adalah kovarians dari sekuritas ke-i dengan ortofolio asar. Dengan mensubstitusikan kontribusi sekuritas ke-i terhada risiko ortofolio asar ada ersamaan.36, maka daat dihitung exected return CAM untuk sekuritas ke-i adalah sebagai berikut: E r i r f E R M M r f. i, M M r f r f E i R E M f. M R r M r f i, M. 37 i,m Cov Ri,RM dengan i sebagai engukur tingkat risiko dari suatu sekuritas VarR M M terhada risiko ortofolio asar dan Er i sebagai exected return CAM masingmasing sekuritas. Exected return CAM untuk suatu sekuritas daat dinyatakan dengan ersamaan sebagai berikut: i f i M f E r r E R r.. 38 asar dalam model ini yaitu Indeks Harga Saham Gabungan IHSG yang meruakan enggambaran secara keseluruhan keadaan harga-harga saham. Indeks harga saham gabungan IHSG disebut juga Jakarta Comosite Index JCI yang 3

27 meruakan salah satu indeks asar saham yang digunakan oleh Bursa Efek Indonesia BEI. L. Diversifikasi Naive /N Investor erlu melakukan diversifikasi ke beberaa sekuritas untuk menurunkan risiko ortofolio, dengan demikian konse diversifikasi berhubungan dengan jumlah sekuritas yang ada di dalam ortofolio. Semakin banyak sekuritasnya, semakin tersebar risikonya. Dengan bertambahnya sekuritas di dalam ortofolio, maka risiko akan didistribusikan ke sekuritas-sekuritas tersebut. Secara naluri manusia juga melakukan diversifikasi, misalnya tidak menyiman semua uangnya di satu Bank, tetai disebarkan ke beberaa Bank, tidak menyiman file di komuternya dalam satu USB, tetai dua atau lebih USB, dan lainnya. Jogiyanto Hartono, 04. Menurut Jogiyanto Hartono 04 diversifikasi Naive /N adalah strategi diversifikasi dengan bobot yang sama untuk masing-masing sekuritasnya. Diversifikasi untuk n sekuritas di dalam ortfolio, berarti bobot masing-masing sekuritas di dalam ortofolio adalah w i =. Untuk menghitung risiko ortofolio yang n terdiri dari n sekuritas digunakan rumus.0 sebagai berikut: n w i i i n n i j j i w w i j i j Untuk n sekuritas, setia sekuritas memiliki bobot yang sama yaitu w i = n, sehingga ersamaan.0 menjadi: n n i= σ = [ n σ i ] = i= σ n n i

28 Jika sekuritas i j, maka rumus.39 menjadi: n n σ n ij σ = i= j=. 40 ersamaan.39 dan.40 digunakan untuk menghitung varians mauun kovarians ortofolio, jika i = j maka rumus.39 daat digunakan untuk menghitung varians, jika i j maka rumus.40 daat digunakan untuk menghitung kovarians ortofolio. M. Minimum Variance ortofolio MV Metode otimasi Minimum Variance ortofolio MV disebut juga dengan ortofolio otimal risiko terkecil yang dibentuk dengan meminimumkan fungsi tujuan. Fungsi tujuan yang digunakan adalah fungsi risiko berdasarkan metode Markowitz yaitu meminimumkan risiko untuk tingkat return tertentu. Fungsi tujuan ini kemudian diminimalkan dengan beberaa kendala. Kendala yang ertama adalah total bobot yang diinvestasikan di masing-masing sekuritas untuk seluruh n sekuritas adalah sama dengan atau dana yang diinvestasikan seluruhnya berjumlah 00%. Misalnya w i adalah bobot sekuritas ke-i yang diinvestasikan di dalam ortofolio yang terdiri dari n sekuritas, maka kendala ertama ini daat dituliskan sebagai: n i w i Kendala yang kedua adalah bobot dari masing-masing sekuritas tidak boleh bernilai negatif, artinya tidak diijinkan adanya short sale, sehingga daat dituliskan sebagai berikut: 34

29 w i 0 untuk i = samai dengan n. Kendala yang ketiga adalah jumlah exected return ER i masing-masing sekuritas dengan masing-masing bobot saham w i dibatasi oleh return minimal yang diinginkan oleh investor R atau daat ditulis sebagai berikut: n E R i i w i R Dengan demikian, model enyelesaian otimasi ini daat ditulis sebagai berikut ini: Fungsi Tujuan: Meminimumkan n n n wi i i i j w w i j ij. 4 dengan kendala: n. w i i. w i 0 untuk i= samai dengan n. n 3. E R w R i i i N. Model Black Litterman engertian Model Black Litterman Model Black Litterman dierkenalkan oleh Fischer Black dan Robert Litterman di Goldman Sachs ada tahun 990. Model ini menggabungkan dua jenis informasi yaitu return ekuilibrium dari CAM dan exected return views investor yang meruakan titik acuan dari model Black Litterman He & Litterman, 999. Satchell & Scowcroft 35

30 000 menjelaskan mengenai endekatan Bayes untuk menyelesaikan kombinasi distribusi robabilitas model Black Litterman. Model Black Litterman dengan endekatan Bayes menggunakan views investor views sebagai informasi rior dan informasi asar sebagai data samel yang kemudian dikombinasikan untuk membentuk data baru data osterior. Views model Black Litterman digunakan untuk menyesuaikan exected return ekuilibrium dalam memrediksi return di masa yang akan datang. Manajer investasi daat menyatakan oininya yang berbeda dengan kondisi ekuilibrium, informasi yang berbeda ini mungkin karena berkaitan dengan exected return suatu sekuritas aakah akan meningkat atau turun berdasarkan views investor terhada keadaan asar, erekonomian atauun isu-isu olitik dan kenegaraan yang mungkin memengaruhi ergerakan sekuritas di asar. Views Investor Seorang investor daat memiliki views hanya untuk sejumlah k saham dari d saham yang terdaat dalam ortofolio, dengan kata lain investor tidak erlu menyatakan andangannya ada setia saham yang dimasukkan ke ortofolio namun cuku ada sejumlah saham yang menjadi erhatian investor. Investor daat menyatakan rediksinya mengenai return yang akan dieroleh untuk masing-masing saham ada masa mendatang dengan melihat lot ergerakan data harga dan data return masingmasing saham ada beberaa eriode sebelumnya. Investor daat menyatakan 36

31 andangannya dengan views relatif relative views mauun views asti absolute views. a. Views asti absolute views Views asti terbentuk aabila seorang investor memberikan rediksinya terhada dua buah saham, maka investor tersebut akan mengungkakan views dengan yakin terhada besarnya return yang akan diberikan oleh masing-masing saham. Contoh: Views : Saya rediksikan return saham A akan meningkat sebesar %. Views : Saya rediksikan return saham B akan meningkat sebesar 3%. a. Views relatif relative views Ketika seorang investor diminta untuk memberikan views tentang dua buah saham, kemudian investor tersebut melakukan erbandingan antara return yang akan diberikan kedua saham tersebut, maka terbentuklah views relatif atau relative views. Contoh: Saya rediksikan bahwa return saham A akan melebihi return saham B sebesar %. Contoh : Suatu ortofolio terbentuk dari 4 saham, yaitu saham A, B, C dan D. Investor daat menyatakan views terhada keemat saham tersebut mauun hanya ada beberaa saham yang menjadi erhatian investor. ada contoh ini, investor hanya menyatakan keemat saham tersebut dalam 3 views sebagai berikut: Views : Saya yakin saham B akan memberikan return % melamaui saham A. 37

32 Views : Saya yakin saham C akan memberikan return 4%. Views 3: Saya yakin saham D akan memberikan return 0,5%. Jika E r adalah estimasi return investor dengan 4 saham, yaitu A, B, C dan D, maka ketiga views investor tersebut daat dinyatakan dengan: E r B E r 0,0 ; A E r C 0, 04; ; E r D 0, 005. Estimasi return investor tersebut jika dibentuk dalam matriks, maka: , Er A 0,0 Er Er = B, q = [ 0,04 ] Er C 0,005 [ Er D ] Baris dalam matriks menjelaskan tentang views dan kolom matriks menjelaskan tentang saham. Saham yang akan memberikan return lebih dari saham yang lain outerforming akan dinyatakan dalam nilai ositif, sedangkan saham yang undererforming akan diberikan nilai negatif. Sehingga, jumlah dari bobot views absolut yang diberikan dalam matriks adalah dan views relatif berjumlah 0. Matriks q adalah matriks berukuran k yang elemen-elemennya berisi nilai exected return yang dieroleh dari views investor. Tingkat Keyakinan Investor Tingkat keyakinan meruakan vektor error yang menandakan views yang dimiliki investor masih belum asti dan diasumsikan berdistribusi normal. Tingkat keyakinan 38

33 ini dinyatakan dalam matriks diagonal kovarians dari views sebagai berikut Idzorek, 005 : dengan, = = matriks views dari return τ Σ. 4 τ = skala tingkat keyakinan dalam views range 0- Σ = matriks varians-kovarians dari return saham Jika elemen adalah nol maka investor diangga sangat yakin terhada andangannya, sedangkan ketika informasi rior yang dimiliki investor memiliki tingkat views yang tidak asti, maka hal ini diindikasikan dengan nilai matriks kovarians views adalah tidak nol. Asumsi Model Aturan Bayes menyatakan bahwa distribusi robabilitas dari suatu kejadian B terjadi aabila kejadian A diketahui, maka: r A B r B r B A.. 43 r A Aturan Bayes di atas lebih sering diungkakan dalam bentuk berikut: r B A r A Br B.. 44 dengan notasi menyatakan roosional terhada r B A : robabilitas dari kejadian B dengan syarat kejadian A diketahui. Disebut juga dengan distribusi osterior. 39

34 r A B : robabilitas dari kejadian A, dengan syarat kejadian B diketahui. Disebut juga dengan distribusi bersyarat. rb : robabilitas B, disebut juga informasi rior. ra : robabilitas A, disebut juga normalisasi konstan. Untuk membentuk model Black Litterman dibutuhkan dua jenis informasi yaitu exected return ekuilibrium CAM dan views investor. Kedua informasi tersebut kemudian dikombinasikan dengan menggunakan aturan Bayes, dengan mengganti kejadian A adalah return ekuilibrium CAM dan kejadian B adalah exected return investor, menggunakan ersamaan Bayes daat dieroleh: r π Er r Er r Er π. 45 r π dengan, : Er: vektor exected return investor ukuran n π: return ekuilibrium CAM dengan asumsi-asumsi sebagai berikut Retno Subekti, 008 : a. Asumsi ertama Diasumikan bahwa keyakinan rior Er dinyatakan sebagai Er, yang memunyai bentuk k kendala linear dari vektor exected return Er dan ditulis dengan matriks berukuran k n sehingga: Er = q + ν

35 Notasi q adalah vektor k x dari views return yang diberikan investor, sedangkan ν adalah vektor error k x yang menandakan adanya views yang masih belum asti. ersamaan.46 daat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: n Er q v [ n Er ] [ q v ]=[ ] + [ ] k k kn Er n q k v k Diasumsikan v berdistribusi normal dengan mean nol dan variansi, dinotasikan v~n0,, adalah matriks kovarians k k, sehingga : b. Asumsi Kedua Er ~ N q,. 47 Data return ekuilibrium π dengan syarat informasi rior diasumsikan berdistribusi normal multivariat dengan mean Er dan varians τ Σ, sehingga daat dinyatakan: π Er ~ N Er, Σ. 48 dengan Eπ=Er, artinya terdaat asumsi bahwa mean return ekuilibrium sama dengan mean return asar yang dieroleh melalui CAM. Sedangkan nilai τ adalah suatu angka yang diberikan investor untuk menyatakan keyakinan dalam andangannya. Kebanyakan eneliti menggunakan nilai τ yang berbeda. Stachell & Scowcroft 000 menentukan nilai τ sama dengan, sedangkan He & Litterman 999 menggunakan nilai τ yaitu 0,05. Nilai τ tergantung dari tingkat keyakinan investor terhada views, sehingga nilai untuk τ berkisar antara 0 samai. 4

36 Kombinasi Return Ekuilibrium dan Views Investor Teorema Model Black Litterman Salomons, 007: Er π berdistribusi multivariat normal dengan mean Er= [ Σ ] [ Σ π ] dan variansnya adalah [ Σ ] Bukti: Asumsi : Er berdistribusi normal multivariat dengan mean q dan varians dinotasikan Er ~ N q,, sehingga fungsi robabilitasnya adalah: f Er Asumsi : ex Er q k π det Er q. 49 π Er berdistribusi normal multivariat dengan mean π dan varians-kovarians matriks dinotasikan π Er ~ N E r, Σ, sehingga fungsi robabilitasnya: fπ Er ex π - Er Σ n π det Σ π - Er. 50 Teorema Bayes dalam konteks ini daat dinyatakan sebagai: r Er π r π Er r Er r π atau daat dinyatakan sesuai dengan ersamaan.44 sebagai berikut: r Er π rπ Er r Er 4

37 Fungsi robabilitas.49 dan.50 disubstitusikan ada rumus.44 sehingga dieroleh: r Er π. ex π Er Σ n π det Σ ex Er q k π det π Er Er q Dengan menghilangkan semua konstanta, maka yang tersisa adalah: re r π ex π Er Σ rer π ex Sehingga, π Er Er q Er q φ = π Er τʃ π Er + Er q Er q = π τʃ π Er τʃ π π τʃ Er + Er τʃ Er + Er Er q Er Er q + q q = π τʃ π Er τʃ π π τʃ Er + Er τʃ Er + Er Er q Er Er q + q q = Er [τʃ + ]Er + π τʃ π Er τʃ π π τʃ Er q Er Er q + q q = Er [τʃ + ]Er [τʃ π + q ]Er + π τʃ π + q q 43

38 untuk, C = H = Σ π q, Σ A C H = Er H H H, dimana H simetris dengan H = H, A = π Σ π q q. Menggunakan notasi di atas, maka daat ditulis kembali mejadi: Er HEr C Er A Er C H - C HEr C H H Er A HEr C Dengan demikian A C H C akan menjadi konstanta dan selanjutnya HEr C H HEr C = HEr C H HEr C = H HEr H C HH HH HEr H C = Er H C HEr H C Sehingga dieroleh: r Er π ex[ Er H Maka mean osteriornya H C adalah H C H Er H C [ Σ ] [ Σ π q] C ] dan variansnya H yaitu H [ Σ ] 44

39 45 Jadi distribusi return kombinasi yang baru Er π sebagai distribusi osterior berdistribusi normal ] ],[ [ ] N[ ~ Σ q π Σ Σ π Er Selanjutnya,. ] [ } { ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ π q Σ Σ π π q Σ Σ Σ I Σ I π π q Σ Σ Σ Σ I π π q Σ Σ q Σ Σ I π π q Σ Σ I π π q Σ π Σ I Σ I q Σ π Σ I q π Σ Σ Σ Σ q π Σ Σ μ BL Sehingga, exected return Black Litterman daat dirumuskan sebagai berikut: π q Σ Σ π Er μ BL BL. 5 dengan, Er BL : exected return model Black Litterman π : vektor k x untuk return ekuilibrium CAM τ : skala tingkat keyakinan dalam views range 0- Ʃ : matriks varians kovarians return : matriks diagonal kovarians dari views : matriks k x n untuk views yang berkaitan dengan return q : vektor k x untuk views return yang diberikan investor.

40 embobotan ortofolio model Black Litterman dihitung menggunakan rumus.34 ada model mean variance Markowitz sehingga dieroleh sebagai berikut: dengan, w Σ. 5 BL μ BL w BL : bobot sekuritas ada model Black Litterman δ : koefisien risk aversion Ʃ : matriks varians kovarians return μ : exected return Black Litterman. BL O. Share Ratio Share ratio dikembangkan oleh William Share dan sering disebut juga dengan reward-to-variability ratio RVAR. Share Ratio membandingkan selisih antara return sekuritas dan risk free rate dengan standar deviasi dari sekuritas tersebut, artinya Share mengukur besarnya erbedaan R r f atau risk remium yang dihasilkan untuk tia unit risiko yang diambil. Semakin tinggi nilai Share ratio, maka semakin baik kinerja yang dihasilkan. erhitungan Share ratio dengan menggunakan risk free rate adalah sebagai berikut: S R r f. 53 Untuk ortofolio yang tidak menggunakan risk free rate, maka erhitungan kinerja ortofolio Share ratio menjadi: 46

41 S * R. 54 Keterangan: S R r f σ = Share ratio = Return ortofolio dalam suatu eriode = Suku bunga bebas risiko dalam suatu eriode =Standar deviasi dari return ortofolio suatu eriode 47