BAB 1 Konsep Dasar 1
BAB 2 Solusi Persamaan Fungsi Polinomial Denition 2.0.1 (Metoda numeris) Metoda numeris adalah suatu model pendekatan dengan menggunakan teknik-teknik kalkulasi berulang (teknik iterasi) untuk mecari penyelesaian hampiran suatu masalah tertentu. Selanjutnya teknikteknik yang digunakan itu mempunyai potensi membuat suatu nilai kesalahan yang dievaluasi secara bertahap untuk mendapatkan nilai kesalahan yang sangat kecil. Untuk mengawali penjelasan teknik-teknik aproksimasi ini, dalam bab ini akan dimulai dengan pembahasan aproksimasi terhadap suatu titik melalui penyelesaian persamaan fungsi polinomial. f := a 1 x n + a 2 x n;1 + a 3 x n;2 + + a n = 0 10
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 11 2.1 Metoda Biseksi Denition 2.1.1 (Prosedur Biseksi) Misal f adalah fungsi kontinyu terdenisi pada interval [a b], dimana f(a) berbeda tanda dengan f(b). Dengan teori "nilai tengah" maka ada p 2 (a b) dengan f(p) = 0 dengan asumsi akar dalam interval (a b) adalah tungal. Selanjutnya untuk melakukan perhitungan yang akurat kita set a 1 = a dan b 1 = b dan tentukan p 1 lewat p 1 = 1 2 (a 1 + b 1 ) Jika f(p 1 ) = 0, maka p = p 1. Jika tidak, f(p 1 ) akan mempunyai tanda yang sama dengan f(a 1 ) atau f(b 1 ). Jika f(p 1 ) dan f(a 1 ) mempunyai tanda yang sama maka p 2 (p 1 b 1 ) jika tidak maka p 2 (a 1 p 1 ). Selanjutnya set a 2 dan b 2 yang baru dan tentukan p 2 melalui perhitungan yang sama dengan p 1, dan lakukan pengulangan sampai tingkat akurasi tertentu. Untuk menghentikan pengulangan penghitungan dalam mencari solusi yang akurat harus dikonrmasikan dengan nilai kesalahan (selanjuntya kita sebut toleransi) dimana toleransi dalam hal ini dapat dipilih jp n ; p n;1j < e jp n ; p n;1j jp n j jf(p n )j < e < e p n 6= 0 Algoritma Metoda Biseksi INPUT batas interval a b, (Toleransi), Jumlah iterasi maximum (N) OUTPUT nilai aproksimasi p
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 12 Step 1 Set i=1 FA = f(a) Step 2 While i N do Steps 3-6 Step 3 Set p = a + (b ; a)=2 FP = f(p) Step 4 IF FP = 0, atau (b ; a)=2 < OUTPUT(p) STOP Step 5 Set i = i + 1. Step 6 If FA FP > 0 then a = p FA = FP else Set b = p. Step 7 OUTPUT (Metoda gagal setelah N iterasi) 2.2 Metoda Newton-Raphson Jika f 2 C 2 [a b], dan x 2 [a b] adalah nilai aproksimasi terhadap p sehingga f 0 (x) 6= 0 dan jx ; pj sangat kecil, maka polynomial Taylor dapat dikembangkan untuk x sebagai: f(x) = f(x) + (x ; x)f 0 (x ; x)2 (x) + f 00 ((x)) + : : : 2! f(x) = f(x) + (x ; x)f 0 (x ; x)2 (x) + f 00 ((x)) (x) 2 (x x): (2.1) 2 Jika f(p) = 0 maka untuk x = p persamaan (2.1) menjadi 0 = f(x) + (p ; x)f 0 (x) + (p ; x)2 f 00 ((p)) 2
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 13 Telah diasumsikan jx ; pj sangat kecil, maka suku ketiga dapatlah diabaikan sehingga 0 = f(x) + (p ; x)f 0 (x): Formulasikan untuk p didapat p x ; f(x) f 0 (x) : Dengan menggati x = p n;1 maka formulasi Newton-Raphson dapat diturunkan untuk menggeneralisasi suatu deret fp n g melalui p n = p n;1 ; f (p n;1 ) f 0 (pn;1) for n 1. (2.2) Sama halnya dengan metoda biseksi, untuk menghentikan pengulangan penghitungan dalam mencari solusi yang akurat harus dikonrmasikan dengan nilai kesalahan yang telah ditentukan sehingga jp n ; p n;1j < e jp n ; p n;1j jp n j jf(p n )j < e < e p n 6= 0 Algoritma Metoda Newton-Raphson INPUT nilai awal p 0, (Toleransi), Jumlah iterasi maximum (N) OUTPUT nilai aproksimasi p Step 1 Set i=1 Step 2 While i N do Steps 3-6 Step 3 Set p = p 0 ; f(p 0 )=f 0 (p 0 )
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 14 Step 4 IF jp ; p 0 j < OUTPUT(p) Step 5 Set i = i + 1. Step 6 Set p 0 = p (Perbaharui p 0 ) Step 7 OUTPUT (Metoda gagal setelah N iterasi) Metoda Newton ini lebih baik dibandingkan metoda Biseksi, namun demikian proses menentukan f 0 (x) kadangkala merupakan proses yang lebih susah dibandingkan dengan operasi artmatikanya. Untuk menghindari hal tersebut dikembangkan metoda berikut. Ingat denisi turunan f 0 (p n;1) = lim x!pn;1 f(x) ; f(p n;1) : x ; p n;1 Misal x = p n;2 maka f 0 (p n;1) f(p n;2) ; f(p n;1) p n;2 ; p n;1 = f(p n;1) ; f(p n;2) : p n;1 ; p n;2 Substitusikan rumusan ini kedalam rumusan Newton diperoleh rumus: p n = p n;1 ; f (p n;1 )(p n;1;pn;2 ) f (pn;1 );f (p n;2 ) : (2.3) Rumus ini kemudian disebut Metoda Secant Algoritma Metoda Secant INPUT nilai awal p 0 p 1, (Toleransi), Jumlah iterasi maximum (N) OUTPUT nilai aproksimasi p Step 1 Set i=2 q 0 = f(p 0 ).
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 15 q 1 = f(p 1 ). Step 2 While i N do Steps 3-6 Step 3 Set p = p 1 ; q 1 (p 1 ; p 0 )=(q 1 ; q 0 ). (hitung p i ) Step 4 IF jp ; p 1 j < OUTPUT(p) Step 5 Set i = i + 1. Step 6 Set p 0 = p 1 (Perbaharui p 0 q 0 p 1 q 1 ) q 0 p 1 q 1 = q 1 = p = f(p). Step 8 OUTPUT (Metoda gagal setelah N iterasi) 2.3 Metoda Posisi Palsu Metoda ini menggabungkan ide metoda biseksi dan metoda secant. Dalam penyelesaian f(x) = 0, ditentukan suatu interval [p 0 p 1 ] dimana f kontinyu pada interval ini, dan f(p 0 ):f(p 1 ) < 0 (berlawanan tanda). Prosedur selanjutnya dapat dilihat dalam algoritma berikut ini. Algoritma Metoda Posisi Palsu INPUT nilai awal p 0 p 1, (Toleransi), Jumlah iterasi maximum (N) OUTPUT nilai aproksimasi p Step 1 Set i=2 q 0 = f(p 0 ).
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 16 q 1 = f(p 1 ). Step 2 While i N do Steps 3-7 Step 3 Set p = p 1 ; q 1 (p 1 ; p 0 )=(q 1 ; q 0 ). (hitung p i ) Step 4 IF jp ; p 1 j < OUTPUT(p) Step 5 Set i = i + 1. q = f(p) Step 6 IF q q 1 < 0 maka p 0 = p 1 q 0 = q 1 Step 7 p 1 = p 1 q 1 = q Step 8 OUTPUT (Metoda gagal setelah N iterasi)
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 17 Latihan Tutorial 2 1. Gunakan algoritma biseksi untuk menentukan anilai aproksimasi pada p 3 dan 3 p 25 2. Suatu model yang dipakai untuk mengadakan aproksimasi terhadap suatu masalah adalah metoda numeris, sebutkan denisi formal metoda ini. Selanjutnya implikasi dari penggunaan metoda ini, komputer programming merupakan hal yang sangat penting. Untuk mempermudah menginterpretasikan suatu metoda menjadi suatu programming dibutuhkan algoritma, jelaskan apa yang disebut dengan algoritma. Salah satu algoritma yang digunakan untuk menginterpretasikan proses kalkulasi metoda numeris adalah metoda Newton-Raphson dengan rumusan p n = p n;1 ; f(p n;1) f 0 (p n;1) untuk n 1 Metoda ini adalah metoda yang cukup terkenal, namun proses menentukan f 0 (x) kadangkala merupakan proses yang lebih sulit dibandingkan dengan operasi artmatiknya. Untuk menghindari hal tersebut ditawarkan metoda lain yaitu Metode Secant dengan rumus p n = p n;1 ; f(p n;1)(p n;1 ; p n;2) f(p n;1) ; f(p n;2) untuk n 1: Uraikan bagaimana metoda Newton dikembangkan sehingga menjadi metoda Secant ini. Kemudian bila kalkulasi iteratif diterapkan terhadap metoda ini, maka kalkulasi berulang (looping) akan terus dilakukan, jelaskan apa yang harus dilakukan untuk menghentikan kalkulasi tersebut. 3. f(x) = ;x 3 ; cos x dan p 0 = ;1, gunakan metoda Newton Raphson untuk menentukan p 2
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 18 4. Gunakan algoritma Newton untuk menentukan masing-masing soal dibawah ini dengan tingkat ketelitian (toleransi) e = 1e ; 5 (a) e x + 2 ;x + 2 cos x ; 6 = 0 untuk [1,2] (b) ln(x ; 1) + cos(x ; 1) = 0 untuk [1.3,2] (c) 2x cos 2x ; (x ; 2) 2 = 0 untuk [2,3] 5. Ulangi soal nomor 8 diatas dan gunakan metoda secant 6. Ulangi soal nomor 8 diatas dan gunakan metoda posisi palsu