Contoh Solusi PR 4 Statistika & Probabilitas 1. Nilai probabilitas pada masing-masing soal mengacu pada tabel Standard Normal Distribution. a X := curah hujan satu tahun. X : N 42,16. Dit: PX > 50. 50 42 PX > 50 = P Z > 16 = PZ > 2 =.0228. b Definisi dan jenis distribusi X sama dengan a. Dit: P40 < X < 43. 40 42 43 42 P40 < X < 43 = P < Z < 16 16 = P 0.5 < Z < 0.25 = PZ < 0.25 PZ < 0.5 =.5987.3085 =.2902. c Definisi dan jenis distribusi X sama dengan a. Dit: x sehingga PX > x = 0.975. Akan dicari x sehingga PX < x = 0.025. Nilai z sehingga PZ < z = 0.025 adalah 1.96. Jadi x harus memiliki nilai-z sebesar 1.96. x = µ + zσ = 42 1.964 = 34.16. d Definisikan X i sebagai curah hujan tahun ke-i, i = 1,2,3,4,5. Definisikan X = X 1 + X 2 + + X 5 yaitu jumlah curah hujan 5 tahun ke depan. X : N 5µ,5σ 2. Dit: PX > 200. 200 210 PX > 200 = P Z > 4 5 = PZ > 1.12 = 1 PZ < 1.12 = 1.1314 =.8686. e Definisi X i sama dengan d. Definisikan X = 1 5 X 1 + X 2 + + X 5 yaitu rata-rata curah hujan 5 tahun ke depan. X : N µ,σ 2 /5. 1
Dit: P40 < X < 43. 40 42 P40 < X < 43 = P 4/ 43 42 < Z < 5 4/ 5 = P 1.12 < Z < 0.56 = PZ < 0.56 PZ < 1.12 =.7123.1314 =.5809. f Definisikan X banyak tahun dari 5 tahun ke depan yang curah hujannya di atas 50 inchi. X : Bin5, 0.0228 berdasarkan a. Dit: PX 1. PX 1 = 1 PX = 0 5 = 1 0.0228 0 0.9772 5 0 =.109. Bobot: 30 angka a Setiap sub-soal a, b,..., f masing-masing berbobot 5 angka. b Untuk masing-masing sub-soal, 5 angka diberikan dengan komposisi sebagai berikut: i. 2 angka untuk mendefinisikan variabel acak yang digunakan dan parameternya dengan baik ii. 1 angka untuk memformulasikan yang ditanyakan pada sub-soal dengan baik iii. 2 angka untuk perhitungan yang benar termasuk pembacaan tabel-z c Penggunaan variabel acak yang sama dan tidak ditulis ulang tidak apa-apa. 2. Ini adalah permasalahan pemilihan sampel dari populasi berhingga. a X :=jumlah laki-laki yang merokok dari 300 orang laki-laki µ = 300.284 = 85.2. σ 2 = 300.2841.284 = 61.0032. X : µ,σ 2. Dit: PX 100. 100 85.2 PX 100 = P Z < 61.0032 = PZ < 1.89 =.9706. b X := jumlah perempuan yang jarang sarapan dari 300 perempuan. µ = 300.42 = 126. σ 2 = 300.421.42 = 73.08. X : N µ,σ 2. Dit: PX 100. 2
100 126 PX 100 = P Z 73.08 = PZ 3.04 =.9988. c L := jumlah laki-laki yang tidur kurang dari 6 jam dari 300 laki-laki. P := jumlah perempuan yang tidur kurang dari 6 jam dari 300 perempuan. µ L = 300.227 = 68.1. µ P = 300.214 = 64.2. = 300.2271.227 = 52.6413. σl 2 σp 2 = 300.2141.214 = 50.4612. Definisikan S := L P yaitu jumlah laki-laki dikurangi jumlah perempuan yang tidur kurang dari 6 jam. µ S = µ L µ P = 3.9. σs 2 = σ L 2 + σ P 2 = 103.1025. S : N µ S,σS 2. Dit: PS 0. Bobot: 25 angka PS 0 = P Z 0 3.9 103.1025 = PZ 0.38 =.352. a Sub-soal a dan b masing-masing berbobot 6 angka dengan komposisi: i. 3 angka untuk mendefinisikan semua variabel acak yang digunakan dan parameternya dengan benar. ii. 1 angka untuk memformulasikan yang ditanyakan dengan benar. iii. 2 angka untuk perhitungan yang benar. b Soal c berbobot 13 poin dengan komposisi sebagai berikut: i. 5 poin mendefinisikan semua variabel acak yang digunakan dan parameternya dengan baik. ii. 2 poin memformulasikan yang ditanyakan dengan benar. iii. 3 poin untuk perhitungan yang benar termasuk pembacaan tabel-z. 3. Jika S 2 adalah variansi sampel berukuran n dan σ 2 adalah variansi populasi, maka X : n 1S 2 /σ 2 memiliki distribusi Chi-Square dengan degree of freedom df n 1. Tabel Chi-Square menunjukkan probabilitas PX χα 2 = α. Kita ingin mencari n terkecil sehingga n 1S 2 P σ 2 2.25n 1 sedikitnya 0.99. Dengan demikian, kita perlu mencari pada kolom α = 0.1, nilai χ 2 α lebih kecil dari 2.25 d f. Untuk d f = 10, diperoleh χ 2 α = 23.209 > 22.5. Untuk d f = 11, diperoleh χ 2 α = 24.725 < 24.75. Jadi, ukuran sampel yang dibutuhkan adalah n = d f + 1 = 11 + 1 = 12 bungkus. 3
Bobot: 10 angka a 4 angka untuk memformulasikan yang ditanya dengan baik. Mahasiswa dapat menghubungkan apa yang ditanyakan dengan distribusi Chi-Square, menyederhanakan apa yang ditanya dalam istilah/parameter pada distribusi Chi-Square. b 4 angka untuk pembacaan Tabel Chi-Square dengan benar. c 2 angka untuk memperoleh nilai n yang benar. 4. Maximum Likelihood Estimator digunakan untuk mengestimasi parameter yang belum diketahui dari suatu distribusi populasi yang jenisnya sudah diketahui. a Likelihood function-nya adalah f x 1,x 2,...,x 20 p = f x 1 p f x 2 p... f x 20 p Di sini, n = 20 dan 20 i=1 x i = 47. b Log-likelihood function-nya adalah = 1 p x 1 1 p 1 p x 2 1 p... 1 p x n 1 p = 1 p 20 i=1 x i 20 p 20. f x 1,x 2,...,x 20 p = 1 p 27 p 20. log f = 27log1 p + 20log p. c Nilai maksimum log f dapat diperiksa pada nilai p yang membuat d d p log f = 0: 27 1 p + 20 p = 0 47p 20 p1 p = 0 p = 20 47. Dapat diperiksa bahwa nilai p = 47 20 0.426 membuat nilai f di atas maksimum. Bobot: 20 angka a 5 angka untuk mendapatkan ekspresi untuk Likelihood Function. Jika masih dinyatakan dalam n,x 1,x 2,...,x n, tidak apa-apa. b 5 angka untuk mendapatkan Log-likehood function. c 10 angka untuk berhasil mendapatkan parameter p yang memaksimumkan fungsi Likelihood. 5. 1001 0.1% CI yang two-sided: α = 0.1. z α/2 = 1.65. 4
z α/2 σ n = 1.65 11.3 81 = 2.072. CI: x z α/2 σ n,x + z α/2 σ n = 74.6 2.072,74.6 + 2.072 = 72.528, 76.672. 1001 0.1% CI yang one-sided: α = 0.1. z α = 1.28. z α σ n = 1.28 11.3 81 = 1.607. CI lower:,x + z α σ n =,74.6 + 1.607 =,76.207. CI upper: σ x z α n, = 74.6 1.607, = 72.903,. Bobot: 15 angka a Ada tiga interval estimate yang diminta pada soal. b Masing-masing interval estimate membawa 5 angka dengan komposisi: i. 3 angka untuk menentukan nilai x, σ n,α,z α/2, atau z α yang benar. ii. 2 angka untuk perhitungan yang benar hingga mendapatkan interval estimates yang sesuai. c Penggunaan nilai yang sama dan tidak ditulis ulang tidak apa-apa. 5