Algoritma Expectation-Maximization(EM) Untuk Estimasi Distribusi Mixture
|
|
- Vera Kartawijaya
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Vol. 4, No., Oktober 04 Algoritma Expectation-Maximization(EM) Untuk Estimasi Distribusi Mixture Tomy Angga Kusuma ), Suparman ) ) Program Studi Matematika FMIPA UAD ) Program Studi Pend. Matematika UAD Abstrak Distribusi mixture merupakan distribusi yang dapat digunakan untuk memodelkan data yang populasinya tersusun dari beberapa sub populasi. Setiap sub populasi memiliki karakteristik yang berbeda. Namun kendala umum yang dihadapi adalah mengestimasi parameter pada distribusi mixture. Sehingga penelitian ini bertujuan untuk mengestimasi parameter pada distribusi mixture. Pendugaan parameter pada distribusi mixture dapat menggunakan metode algoritma Expectation-Maximization (EM). Algoritma EM memiliki kelebihan yaitu dapat menyelesaikan beberapa permasalahan pada bidang statistik seperti menduga parameter bagi gabungan fungsi-fungsi serta parameter dari data yang tidak lengkap. Kinerja Algoritma EM diuji dengan menggunakan data simulasi. Keywords Distribusi Mixture, Algoritma Expectation-Maximization (EM). Pendahuluan Statistika inferensia mencakup semua metode yang berhubungan dengan analisis sebagian data atau juga sering disebut sampel untuk kemudian sampai pada peramalan atau penarikan kesimpulan mengenai keseluruhan data induknya (populasi). Salah satu cara penarikan kesimpulan mengenai karakteristik populasi tersebut yaitu penaksiran parameter. Penaksiran parameter ini bertujuan untuk mendapatkan taksiran dari suatu nilai parameter populasi yang tak diketahui berdasarkan sampel. Dalam statistika terdapat dua jenis penaksiran parameter, yaitu penaksiran paramater titik dan penaksiran parameter interval. Penaksiran titik berupa sebuah nilai dari parameter populasi, sedangkan penaksiran interval berupa selang di mana parameter populasi terletak pada interval tersebut. Penentuan penaksiran parameter titik dapat ditempuh dengan menggunakan beberapa metode yaitu Metode Kemungkinan Maksimum, Metode Momen, Metode Kuadrat terkecil, dan sebagainya. Namun dalam beberapa kasus metode-metode tersebut tidak dapat memberikan solusi atas parameter yang ingin diketahui. Salah satu masalah yang tidak dapat diselesaikan mengenai distribusi mixture. Distribusi mixture menggabungkan sejumlah komponen yang kemungkinan berasal dari distribusi yang sama atau bahkan berbeda-beda sehingga dapat memberikan gambaran mengenai sifat-sifat data. Hasil distribusi mixture dapat memfasilitasi deskripsi suatu sistem yang kompleks dengan lebih teliti. Mixture beberapa distribusi tersebut menghasilkan distribusi baru yang mempunyai beberapa parameter. Sehingga Tomy Angga Kusuma 65
2 Vol. 4, No., Oktober 04 diharuskan mengestimasi parameternya. Pendugaan parameter dapat menggunakan beberapa metode salah satu metode terbaik yaitu algoritma Expectation-Maximization (EM). Algoritma EM memiliki kelebihan dimana mampu menyelesaikan beberapa permasalahan pada bidang statistik seperti menduga parameter bagi gabungan fungsifungsi serta parameter dari data yang tidak lengkap.. Tinjauan Pustaka. Distribusi Mixture Salah satu model khusus yang dapat digunakan untuk memodelkan data yang populasinya merupakan susunan dari beberapa sub populasi atau kelompok. Setiap sub populasi merupakan komponen penyusun dari model mixture serta mempunyai proporsi yang bervariasi untuk masing-masing komponennya (McLachlan dan Basford, 988) dan (Gelman, Carlin, Stren, dan Rubin, 995). Mixture distribution menggabungkan sejumlah komponen yang kemungkinan berasal dari distribusi yang sama atau berbeda-beda sehingga dapat memberikan gambaran mengenai sifat-sifat dari data. Hasil dari distribusi mixture dapat memfasilitasi deskripsi dari suatu sistem yang kompleks dengan lebih teliti. Distribusi mixture menyediakan kerangka parametrik yang fleksibel dalam permodelan dan analisis statistik (Marin, Mengersen, dan Robert, 005). McLahlan dan Krishnan (008) menjabarkan suatu model mixture merupakan sebuah model probabilistik yang digambarkan dengan densitas f(w; Ψ) = π f (w) Eq. Dimana 0 π, π = Keterangan π : Probabilitas atau proporsi dari komponen mixture. f (w) : Fungsi densitas yang menggambarkan mekanisme probabilistik untuk membangkitkan data w di dalam populasi F yang secara lengkap dapat dikenali dari parameter Ψ. g : Melambangkan banyaknya komponen dalam mixture. Model yang dijabarkan pada Eq. disebut sebagai finite mixture model yang berlaku untuk model dengan jumlah komponen g tertentu.. Maximum Likelihood Estimation Maximum Likelihood Estimation (MLE) diperkenalkan oleh R. A Fisher pada tahun 9. MLE merupakan salah satu metode penduga yang banyak sekali digunakan. MLE biasanya digunakan untuk menduga nilai-nilai parameter yang dimiliki suatu fungsi, seperti mean, variansi, dan sebagainya. 66 Tomy Angga Kusuma
3 Vol. 4, No., Oktober 04 Bain dan Engelhardt (99) mendefinisikan MLE sebagai berikut : Misalkan X, X,, X adalah sampel random dari populasi dengan densitas f(x ; θ) fungsi likelihood didefinisikan dengan : L(θ, θ,, θ ) = f(x ; θ) Eq. Bila fungsi likelihood ini terdiferensikan dalam θ maka calon estimator likelihood yang mungkin adalah θ sedemikian sehingga L(θ) = 0 θ Untuk membuktikan bahwa θ benar-benar memaksimumkan fungsi likelihood L(θ) harus ditunjukkan bahwa : L(θ) < 0 θ Dalam banyak kasus dimana diferensi digunakan, akan lebih mudah bekerja pada logaritma dari L(θ)yaitu log L(θ). Hal ini dimungkinkan karena fungsi logaritma naik tegas pada (0, ) yang berarti bahwa L(θ) mempunyai ekstrem yang sama. Sehingga untuk menentukan estimator maksimum likelihood dari θ sebagai berikut :. Tentukan fungsi likelihood L(θ, θ,, θ ) = f(x ; θ). Bentuk log likelihood l = log L(θ) 3. Tentukan turunan dari l = log L(θ) terhadap θ log [Lθ] = 0 θ Penyelesaian dari persamaan poin 3 merupakan estimator maksimum likelihood untuk θ. 4. Tentukan turunan kedua dari l = log L(θ)terhadap θ. Jika () < 0, maka akan membuktikan bahwa θ benar-benar memaksimumkan fungsi likelihood..3 Algoritma Expectation-Maximization (EM) Definisi (Hogg, McKean dan Craig, 005) Algoritma EM pertama kali diperkenalkan oleh Dempster, Laird, dan Rubin pada tahun 977. Secara garis besar, algoritma EM adalah algoritma untuk menduga suatu parameter dalam suatu fungsi dengan menggunakan MLE, di mana fungsi tersebut mengandung data yang tidak lengkap. Algoritma EM merupakan proses yang terbagi atas dua langkah yaitu : Langkah Expectation (E-step) Pencarian nilai ekspektasi untuk fungsi likelihood berdasarkan variabel yang diamati. Langkah Maximization (M-Step) Tomy Angga Kusuma 67
4 Vol. 4, No., Oktober 04 Pencarian MLE dari parameter-parameter dengan memaksimumkan ekspektasi likelihood yang dihasilkan dari E-step. Parameter-parameter yang dihasilkan dari M-step akan digunakan kembali untuk E- step yang berikutnya, dan langkah ini akan diulang terus sampai memberikan nilai yang konvergen serta merupakan penduga dari suatu parameter. Misalkan kita anggap ada sampel dari n item dimana n dari item tersebut teramati sementara n = n n item tidak teramati. Item yang teramati dilambangkan dengan X = (X, X,, X ) dan item yang tidak teramati dilambangkan dengan Z = (Z, Z,, Z ). Asumsikan X S adalah variable saling bebas dan berdistribusi identik (independent and identically distribution) dengan fungsi kepadatan peluang f(x θ),dimana θ Ω. Asumsikan X S dan Z S adalah saling bebas. Mari kita lambangkan fungsi kepadatan peluang gabungan dari X dengan g(x θ). Kemudian h(x, z θ) untuk fungsi kepadatan peluang gabungan untuk data yang teramati dan tidak teramati. Sedangkan k(z θ, x) melambangkan notasi fungsi kepadatan peluang bersyarat dari data yang hilang untuk memberikan data yang teramati. Maka dapat kita peroleh k(z θ, x) = h(x, z θ) g(x θ) Eq. 5 Fungsi Likelihood data yang teramati yaitu L(θ x) = g(x θ)eq. 6 Kemudian fungsi likelihood untuk data lengkap didefinisikan dengan L (θ x, z) = h(x, z θ)eq. 7 Tujuan kita adalah memaksimalkan fungsi likelihood L(θ x) dengan menggunakan fungsi likelihood lengkap L (θ x, z) didalam proses. Gunakan persamaan k(z θ, x), kita peroleh log L(θ x) = log L(θ x) k(z θ, x)dz log L(θ x) = log g(x θ) k(z θ, x)dz log L(θ x) = [log h(x, z θ) log k(z θ, x)] k(z θ, x)dz log L(θ x) = log h(x, z θ) k(z θ, x)dz log k(z θ, x) k(z θ, x)dz log L(θ x) = E [log L (θ x, Z) θ, x] E [log k(z θ, x) θ, x] Dimana ekspektasi diambil di bawah fungsi kepadatan peluang bersyarat dari k(z θ, x). Kemudian mendefinisikan bagian pertama di sisi kanan pada fungsi di atas Q(θ θ, x) = E [log L (θ x, Z) θ, x] Ekspektasi yang didefinisikan fungsi Q dinamakan E-Step dari Algoritma EM. Ingat kita ingin memaksimalkan log L(θ x). Dilambangkan θ() inisial estimasi dari θ, berdasarkan pada fungsi likelihood teramati. Kemudian θ() menjadi argumen yang memaksimalkan Qθθ(), x. Ini adalah langkah pertama untuk mengestimasi θ kemudian kita definisikan algoritma EM sebagai berikut. 68 Tomy Angga Kusuma
5 Vol. 4, No., Oktober 04 Dilambangkan θ() dalam mengestimasi langkah ke-m. Kemudian untuk mengestimasi langkah ke (m + ) : Dimana Langkah Expectation (E-step) Qθθ(), x = E ()log L (θ x, Z) θ(), x Dimana ekspektasi diambil dari fungsi kepadatan peluang bersyarat k(z θ (), x) Langkah Maximization (M-step) 3. Metode Penelitian θ() = Arg max Qθθ(), x Qθ() θ(), x Qθ() θ(), x Metodologi penelitian merupakan cara berfikir dan berbuat yang dipersiapkan secara matang dalam rangka untuk mencapai tujuan penelitian, yaitu menemukan, mengembangkan atau mengkaji kebenaran suatu pengetahuan secara ilmiah. Salah satu unsur terpenting dalam metodologi penelitian adalah penggunaan metode ilmiah tertentu yang digunakan sebagai sarana yang bertujuan untuk mengidentifikasi besar kecilnya objek atau gejala dan mencari pemecahan masalah yang sedang diteliti, sehingga hasil yang diperoleh dapat dipertanggung jawabkan kebenarannya secara ilmiah. Pada dasarnya fakta-fakta tidak tergeletak disekitar begitu saja tetapi butuh suatu metode untuk mengetahui dan mengambil masalah tersebut. Penelitian dilakukan dengan mempelajari literatur-literatur yang memuat dan membahas tentang MLE, Distribusi Mixture, Algoritma EM, dan beberapa teori teori pendukung. Tahap tahap penelitiannya adalah sebagai berikut : 3. Pengumpulan Literatur Penulis mencari dan mengumpulkan literatur-literatur yang berhubungan dengan teori-teori probabilitas, variabel random, ekspektasi, estimasi parameter dan berbagai metode-metode lain yang relevan untuk sampai pada pembahasan tentang estimasi distribusi mixture menggunakan algoritma EM. Pengumpulan berasal dari berbagai sumber seperti dari buku, skripsi, jurnal, artikel, dan situs-situs internet yang menunjang materi yang diperlukan. 3. Pengkajian Literatur Penulis membaca dan mengkaji literatur-literatur yang telah terkumpul, kemudian mengelompokkan dan mencatat literatur-literatur tersebut sesuai dengan masalah yang akan dibahas. Tomy Angga Kusuma 69
6 Vol. 4, No., Oktober 04 Sebagai langkah pertama penulis mempelajari teori probabilitas, teori estimasi parameter dan teori mengenai distribusi-distribusi dalam statistika pada buku Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan (Walpole dan Myers, 995). Dilanjutkan dengan memahami maksud Distribusi Mixture dalam buku Introduction to Mathematical Statistics (Hogg, McKean dan Craig, 005), Finite Mixture Models (McLachlan dan Peel, 000). Selanjutnya mempelajari maksud dan teori Algoritma EM dalam buku The EM Algorithm and Extensions (McLachlan dan Krishnan, 008), 3.3 Pengembangan Literatur Pada tahap ini penulis pengelompokan dan mencatat literatur-literatur tersebut maka akan dilanjutkan dengan melakukan pengembangan-pengembangan dengan memberi uraian-uraian, yang diharapkan dapat lebih memahami konsep-konsep, sifatsifat, dan teorema-teorema yang sudah ada. 3.4 Pembuatan Program MATLAB Pembuatan program digunakan untuk aplikasi algoritma EM untuk mengestimasi distribusi mixture sehingga memudahkan perhitungan yang rumit. Selanjutnya mempelajari hasil praktek program aplikasi algoritma EM untuk mengestimasi distribusi mixture sesuai dengan tujuan dari penulisan skripsi ini. Program aplikasi algoritma EM untuk mengestimasi distribusi mixture ditulis dalam bahasa pemrograman Matlab00. Hasil penelitan yang diperoleh kemudian akan dikaji dan dianalisa. 3.5 Penyusunan Hasil Penelitian Penyusunan hasil penelitian digunakan sebagai langkah awal untuk memberi gambaran secara menyeluruh tentang topik yang akan dibahas. 4. Algoritma EM untuk Estimasi Distribusi Mixture Algoritma EM adalah metode umum untuk mencari MLE ketika ada data yang hilang atau variabel tersembunyi. Dalam konteks mixture model, data yang hilang direpresentasikan dengan himpunan pengamatan Z dari variabel random diskrit Z dimana z {,, K} menunjukkan komponen mixture yang dihasilkan dari pengamatan x. Adapun fungsi likelihood dari data lengkap (X, Z) mengambil bentuk multinomial berikut h(x, Z Ψ) = L (Ψ X, Z) = g(x Z, Ψ)f(Z Ψ) = (π f (x )) ( ) Eq. 8 Dimana adalah fungsi indikator (z = k) = jika z = k dan (z = k) = 0 untuk yang lain. 70 Tomy Angga Kusuma
7 Vol. 4, No., Oktober 04 Sebelum itu, kita perlu mendefinisikan posterior probabiltas dari z = k dengan aturan Bayes kita dapat mendefinisikan sebagai berikut misalkan k(z = k x, Ψ) = p(z = k x, Ψ) kemudian kita dapat tuliskan p(x z = k, Ψ) = p (x ψ ), p(z = k Ψ) = π dan p(x Ψ) = π p (x ψ ) p(z = k x, Ψ) = p(x, z = k, Ψ) p(x, Ψ) = p(z = k, Ψ)p(x z = k, Ψ) p(x, Ψ) = p(z = k Ψ)p(Ψ) p(x z = k, Ψ) p(x Ψ)p(Ψ) = p(z = k Ψ)p(x z = k, Ψ) p(x Ψ) = π p (x ψ ) π p (x ψ ) Eq. 9 Dalam kasus mixture model maka kita dapat memanipulasi algoritma EM sebagai berikut ; Q(Ψ, Ψ ) = E[log L (Ψ X, Z) X, Ψ ] = Z log L ( Ψ X, Z)p(z X, Ψ ) = logπ p (x ψ ) p(z x, Ψ ) Z = Z δ, log[π p (x ψ )] p(z x, Ψ ) = log[π p (x ψ )] Z δ, p(z x, Ψ ) = log[π p (x ψ )] δ, p(z x, Ψ ) = log[π p (x ψ )] pz X, Ψ p(k x, Ψ ) = log[π p (x ψ )] pz X, Ψ p(k x, Ψ ) = log[π p (x ψ )] p(k x, Ψ ) Berdasarkan penjabaran di atas maka persamaan dapat kita tuliskan sebagai berikut Q(Ψ, Ψ ) = log(π ) p(k x, Ψ ) + log[p (x ψ )] p(k x, Ψ ) Eq. 0 Kita perlu mencari nilai ekspektasi atau E-step dari L (Ψ X, Z) denagn diberikan x dan parameter. Dimana log L (Ψ X, Z) adalah linier di x langkah ini mengurangi untuk menghitung nilai ekspektasi z = k dengan diberikan x dan parameter Ψ sehingga dapat dituliskan E[z = k x, Ψ ] = p(z = k x, Ψ )Eq. Tomy Angga Kusuma 7
8 Vol. 4, No., Oktober 04 Kemudian untuk mengestimasi parameter proporsi π dari Eq.0 kita akan menggunakan λ sebagai pengali Lagrange, kemudian kita atur λ = N maka kita dapatkan log(π ) p(k x, Ψ ) + λ π = 0 Sehingga diperoleh p(k x π, Ψ ) + λ = 0 p(k x, Ψ ) + π λ = 0 π = N p(k x, Ψ ) Eq. Untuk mencari p(k x, Ψ ) telah dijabarkan pada Eq. 9 untuk selanjutnya persamaan Eq. kita sebut M-step untuk mecari proporsi. 5. Estimasi Distribusi Mixture untuk Dua Distribusi Pada bagian ini, penulis menggunakan mixture yang terdiri dari dua distribusi kemudian akan ditaksir menggunakan algoritma EM. Adapun distribusi yang digunakan yaitu distribusi normal atau gaussian yang dijabarkan sebagai berikut Andaikan variabel random X adalah disitribusi mixture dengan X adalah distribusi independen kemudian π = θ dan π = θ kita tuliskan X ~θg(x) + ( θ)h(x) i =,, n Dimana g(. ) dan h(. ) diketahui. Algoritma EM dapat digunakan untuk mencari estimator maksimum likelihood dari θ. Misalkan Z,, Z dimana Z menunjukkan dari mana distribusi X digambarkan sebagai berikut X Z = ~g(x) X Z = 0~h(x) Maka dari permasalahan di atas dapat diketahui bahwa L(θ x) = [θg(x ) + ( θ)h(x )] Eq. 3 Kemudian kita akan menuliskan L (θ x, z) dengan memperhatikan Eq. 8 sebagai berikut L (θ x, z) = [z g(x ) + ( z )h(x )]θ ( θ) Eq. 4 Untuk E-step dari penjabaran pada persamaan Eq. 9 dan Eq. dimana kita dapatkan 7 Tomy Angga Kusuma
9 Vol. 4, No., Oktober 04 E[Z θ, x ] = p(z θ, x ) = θg(x ) Eq. 5 [θg(x ) + ( θ)h(x )] Maka diperoleh M-step berdasarkan pada persamaan () yaitu θ = n θ g(x ) Eq. 6 [θ g(x ) + θ h(x )] 6. Perhitungan Numerik Pengujian akan difokuskan pada distribusi normal dan distribusi poisson yang dibatasi atas mixture dua distribusi. Agar perhitungan lebih akurat dan efisien penelitian akan menggunakan Matlab00. Adapun pembahasan tertera seperti berikut 6. Estimasi Parameter Distribusi Mixture Menggunakan Algoritma EM untuk Kasus Distribusi Normal Penelitian pada kasus ini bertujuan mengukur kinerja algoritma EM dalam mengestimasi distribusi mixture dengan dibatasi dua distribusi yang diketahui berdistribusi normal yang merupakan distribusi kontinu. Dimana diketahui X Z = ~N(μ, σ ) X Z = 0~N(μ, σ ) Berdasarkan persamaan (4.7) maka fungsi likelihood yang diperoleh yaitu L(θ x) = [θ e πσ ( ) + ( θ) e πσ ( ) ] Kemudian untuk data fungsi likelihood lengkap dari persamaan (4.8) L (θ x, z) = z πσ e ( ) + ( z ) e πσ ( ) θ ( θ) Sehingga dapat kita tuliskan algoritma EM untuk mencari parameter distribusi mixture pada kasus distribusi normal sebagai berikut. Inisialisasi nilai untuk θ, μ, μ, σ, σ dan banyaknya data atau n serta nilai toleransi untuk kriteria berhenti.. E-Step Evaluasi nilai parameter θ E[Z θ, x ] = p(z θ, x ) = 3. M-Step untuk mendapatkan nilai θ θ exp ( ) [θ exp ( ) + ( θ ) exp ( ) ] Tomy Angga Kusuma 73
10 Vol. 4, No., Oktober 04 θ = n p(z θ, x ) 4. Evaluasi nilai θ sehingga memenuhi kriteria dari nilai toleransi yaitu θ θ < nilai toleransi yang diberikan Proses akan terus berjalan sampai θ konvergen pada satu nilai sesuai dengan kriteria berhenti. Untuk mempermudah pembuktian kinerja algoritma EM di atas kita akan menggunakan MATLAB sebagai media dalam perhitungan. Namun sebelum itu terlebih dahulu bentuk data yang berasal dari distribusi mixture berdasarkan teori bilangan acak dengan diberikan nilai eksak θ = 0.6. Adapun kode program algoritma EM yang digunakan untuk mengestimasi parameter distribusi mixture untuk kasus distribusi normal sebagai berikut. Selanjutnya Graphical User Interface (GUI) dari program algoritma EM untuk mengestimasi parameter distribusi mixture berdasarkan kode program diperlihatkan pada gambar berikut Gambar. GUI program algoritma EM untuk estimasi parameter distribusi mixture kasus distribusi normal Adapun keterangan mengenai aplikasi pada Gambar yaitu Inisial : Sebagai nilai awal inisialisai θ dengan range 0 < θ <. n : Banyaknya jumlah data yang ingin diestimasi. Toleransi : Nilai toleransi yang digunakan sebagai kriteria berhenti. 74 Tomy Angga Kusuma
11 Vol. 4, No., Oktober 04 Mu : Nilai μ yang berasal dari distribusi normal pertama. : Nilai σ yang berasal dari distribusi normal pertama. Mu : Nilai μ yang berasal dari distribusi normal kedua. : Nilai σ yang berasal dari distribusi normal kedua. : Nilai proporsi estimasi yang dihasilkan dari algoritma EM. Iterasi : Banyaknya iterasi dalam mengestimasi niali proporsi. Kemudian penelitian akan dilanjutkan dengan menguji lebih dalam kemampuan algoritma EM dengan mengganti nilai masukkan baik itu Inisial, n, Mu,, Mu, dan. Sehingga dapat terlihat keakuratan dan kecepatan algoritma EM dalam mengestimasi nilai parameter distribusi mixture untuk kasus distribusi normal. 6. Pengujian Dengan Nilai Awal Yang Beragam Pada bagian ini penelitian akan menguji kinerja algoritma EM dalam mengestimasi parameter distribusi mixture dengan diberikan nilai proporsi awal yang berbeda-beda. Pengujian yang dilakukan dengan diberikan nilai eksak θ = 0.3 maka akan dibuktikan kemampuan dari algoritma EM dalam menemukan nilai estimasi parameter proporsi distribusi mixture untuk kasus distribusi normal yang mendekati nilai eksak. Adapun pembuktian sebagai berikut No Inisial n Toleransi Mu Mu Iterasi Tabel. Tabel estimasi parameter dengan nilai Awal yang berbeda-beda untuk kasus distribusi normal 6.3 Pengujian Dengan Jumlah Data Yang Beragam Tomy Angga Kusuma 75
12 Vol. 4, No., Oktober 04 Pada pengujian dengan nilai masukkan dari banyaknya data atau n yang berbedabeda, dimana diberikan nilai eksak θ = 0.3 maka akan memberikan hasil sebagai berikut No Inisial n Toleransi Mu Mu Tabel. Tabel estimasi parameter dengan nilai n yang berbeda-beda untuk kasus distribusi normal 6.4 Pengujian Dengan Nilai Kriteria Berhenti Yang Beragam Iterasi Penelitian akan menguji hasil estimasi algoritma EM terhadap distribusi mixture kasus distribusi normal dengan diberikan nilai dari toleransi yang berbeda-beda dimana nilai eksak dari θ = 0.3. Pengujian digunakan untuk mengukur dampak dari perbedaan nilai toleransi yang merupakan kriteria algoritma berhenti dalam memberikan pengaruh terhadap hasil estimasi parameter menggunakan algoritma EM. Adapun pembahasan sebagai berikut No Inisial n Toleransi Mu Mu Iterasi Tabel 3. Tabel estimasi parameter dengan nilai Toleransi yang berbeda-beda untuk kasus distribusi normal 6.5 Pengujian Dengan Nilai μ Yang Beragam Penelitian pada bagian ini menguji pengaruh dari nilai μ yang berbeda-beda terhadap kinerja algoritma EM dalam menemukan parameter distribusi mixture kasus distribusi normal dimana nilai eksak θ = 0.3. Adapun penjabarannya sebagai berikut No Inisial n Toleransi Mu Mu Iterasi 76 Tomy Angga Kusuma
13 Vol. 4, No., Oktober Tabel 4. Tabel estimasi parameter dengan nilai μ yang berbeda-beda untuk kasus distribusi normal 6.6 Pengujian Dengan Nilai σ Yang Beragam Sedangkan pada pengujian bagian ini kita akan melihat pengaruh dari nilai σ yang berbeda-beda dalam menemukan parameter distribusi mixture menggunakan algoritma EM kasus distribusi normal dengan diketahui nilai eksak θ = 0.3. Pemaparan akan disajikan sebagai berikut No Inisial n Toleransi Mu Mu Iterasi Tabel 5. Tabel estimasi parameter dengan nilai σ yang berbeda-beda untuk kasus distribusi normal 6.7 Pengujian Dengan Nilai μ Yang Beragam Penelitian dilanjutkan untuk menguji pengaruh dari nilai μ yang berbeda-beda terhadap kinerja algoritma EM dalam menemukan parameter distribusi mixture kasus distribusi normal dimana nilai eksak θ = 0.3. Adapun penjelasan sebagai berikut No Inisial n Toleransi Mu Mu Iterasi Tomy Angga Kusuma 77
14 Vol. 4, No., Oktober 04 Tabel 6. Tabel estimasi parameter dengan nilai μ yang berbeda-beda untuk kasus distribusi normal 6.8 Pengujian Dengan Nilai σ Yang Beragam Pengujian terakhir akan dilihat pengaruh dari nilai σ yang berbeda-beda dalam menemukan parameter distribusi mixture menggunakan algoritma EM kasus distribusi normal dengan diketahui nilai eksak θ = 0.3. Adapun penjabaran akan disajikan sebagai berikut No Inisial n Toleransi Mu Mu Iterasi Tabel 7. Tabel estimasi parameter dengan nilai σ yang berbeda-beda untuk kasus distribusi normal 7. Estimasi Parameter Distribusi Mixture Menggunakan Algoritma EM untuk Kasus Distribusi Poisson Pada kasus distribusi poisson penelitian juga bertujuan untuk menguji kinerja algoritma EM dalam menghasilkan nilai estimasi parameter distribusi mixture khususnya untuk masalah diskrit. Dimana diketahui X Z = ~Poisson(λ ) X Z = 0~Poisson(λ ) Berdasarkan persamaan (4.7) maka fungsi likelihood yang diperoleh yaitu L(θ x) = [θ e λ + ( θ) e λ ] x! x! Kemudian untuk data fungsi likelihood lengkap dari persamaan (4.8) L e λ (θ x, z) = z + ( z x! ) e λ θ ( θ) x! Maka dapat kita tuliskan algoritma EM untuk mencari parameter distribusi mixture untuk kasus distribusi poisson sebagai berikut. Inisialisasi nilai untuk θ, λ, λ dan banyaknya data atau n serta nilai toleransi untuk kriteria berhenti.. E-Step Evaluasi nilai parameter θ 78 Tomy Angga Kusuma
15 Vol. 4, No., Oktober 04 E[Z θ, x ] = p(z θ, x ) 3. M-Step untuk mendapatkan nilai θ = [θ! θ! θ = n p(z θ, x ) + ( θ ) ] 4. Evaluasi nilai θ sehingga memenuhi kriteria dari nilai toleransi yaitu θ θ < nilai toleransi yang diberikan Proses akan terus berjalan sampai θ konvergen pada satu nilai sesuai dengan kriteria berhenti. Pembuktian kinerja algoritma EM di atas akan menggunakan MATLAB sebagai media dalam perhitungan. Namun sebelum itu terlebih dahulu bentuk data yang berasal dari distribusi mixture yang dijabarkan berdasarkan teori bilangan acak dengan diberikan nilai eksak θ = 0.6. Adapun kode program untuk menghasilkan bilangan acak pada distribusi poisson sebagai berikut Selanjutnya GUI program algoritma EM untuk mengestimasi parameter distribusi mixture berdasarkan kode program 3 diperlihatkan pada Gambar berikut! Gambar. GUI program algoritma EM untuk estimasi parameter distribusi mixturekasus distribusi poisson Adapun keterangan mengenai aplikasi pada Gambar yaitu Inisial : Sebagai nilai awal inisialisai θ dengan range 0 < θ <. n : Banyaknya jumlah data yang ingin diestimasi. Tomy Angga Kusuma 79
16 Vol. 4, No., Oktober 04 Toleransi : Nilai toleransi yang digunakan sebagai kriteria berhenti. Lamda : Nilai λ yang berasal dari distribusi poisson pertama. Lamda : Nilai λ yang berasal dari distribusi poisson kedua. Pengujian Dengan Nilai Awal Yang Beragam Penelitian pertama pada bagian ini yaitu menguji pengaruh nilai proporsi awal yang beragam terhadap kinerja algoritma EM dalam menemukan parameter distribusi mixture untuk kasus distribusi poisson yang merupakan distribusi diskrit. Pengujian yang dilakukan dengan diberikan nilai eksak θ = 0.7 maka akan dibuktikan kemampuan dari algoritma EM dalam menemukan nilai estimasi parameter proporsi distribusi mixture untuk kasus distribusi diskrit yang mendekati nilai eksak. Adapun pembuktian sebagai berikut No Inisial n Toleransi Lamda Lamda Iterasi Tabel 8. Tabel estimasi parameter dengan nilai Inisial yang berbedabeda untuk kasus distribusi poisson Pengujian Dengan Jumlah Data Yang Beragam No Inisial n Toleransi Lamda Lamda Iterasi Tabel 9. Tabel estimasi parameter dengan Jumlah Data atau n yang berbedabeda untuk kasus distribusi poisson Pengujian Dengan Nilai Kriteria Berhenti Yang Beragam No Inisial n Toleransi Lamda Lamda Iterasi Tomy Angga Kusuma
17 Vol. 4, No., Oktober Tabel 0. Tabel estimasi parameter dengan Nilai Toleransi yang berbeda-beda untuk kasus distribusi poisson Pengujian Dengan Nilai λ Yang Beragam No Inisial n Toleransi Lamda Lamda Iterasi Tabel. Tabel estimasi parameter dengan nilai λ yang berbeda-beda untuk kasus distribusi poisson Pengujian Dengan Nilai λ Yang Beragam 8. Kesimpulan No Inisial n Toleransi Lamda Lamda Iterasi Tabel. Tabel estimasi parameter dengan nilai λ yang berbeda-beda untuk kasus distribusi poisson Adapun kesimpulan yang diperoleh dari penilitian mengenai kinerja algoritma EM dalam mengestimasi parameter distribusi mixture sebagai berikut. Algoritma EM menunjukkan kinerja yang baik dalam menemukan nilai parameter distribusi mixture untuk kasus distribusi normal yang merupakan distribusi kontinu dengan diberikan sembarang nilai inisialisasi proporsi, Tomy Angga Kusuma 8
18 Vol. 4, No., Oktober 04 banyaknya jumlah data atau n, nilai toleransi kriteria berhenti, nilai μ, μ, σ, dan σ yang berbeda-beda dimana nilai proporsi estimasi yang dihasilkan mendekati nilai proporsi eksak serta memenuhi sifat-sifat estimator yang baik. Pengaruh yang signifikan hanya terlihat pada kecepatan iterasi atau kecepatan kekonvergenan yang beragam dalam menemukan nilai parameter proporsi yang ingin diestimasi.. Algoritma EM menunjukkan kinerja yang baik dalam menemukan nilai parameter distribusi mixture untuk kasus distribusi poisson yang merupakan distribusi diskrit dengan diberikan sembarang nilai inisialisasi proporsi, banyaknya jumlah data atau n, nilai toleransi kriteria berhenti, nilai λ dan λ yang berbeda-beda dimana nilai proporsi estimasi yang dihasilkan mendekati nilai proporsi eksak serta memenuhi sifat-sifat estimator yang baik. Pengaruh yang signifikan hanya terlihat pada kecepatan iterasi atau kecepatan kekonvergenan yang beragam dalam menemukan nilai parameter proporsi yang ingin diestimasi 8 Tomy Angga Kusuma
19 Vol. 4, No., Oktober 04 DAFTAR PUSTAKA [] Bain, L., & Engelhardt. 99. Introduction to Probability and Mathematical Statistics ( ed.). California, USA : Duxbury Press. [] DeGroot, M. H. &Schervish, M. J. 0. Probability and Statistics (4 ed.). Addison- Wesley. [3] Dempster, A. P., Laird, N. M., & Rubin, D. B Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm. Journal of the Royal Statistical Society B, 39 (), -38. [4] Gelman, A, Carlin, J.B, Stren, H.S, dan Rubin, D.B. (995). Bayesian Analysis Theory and Methods. New York : Springer. [5] Hogg, R. V., McKean J. W., & Craig, A. T Introduction to Mathematical Statistics (6 ed.). United States of America : Pearson Education. [6] Marin, J.M, Mengersen, K, dan Robert, C.P Bayesian Modelling and Inference on Mixtures of Distribution. Handbook of Statistics. Vol. 5, hal 50. [7] McLachlan, G.J. and Basford, K.E. (988). Mixture Models: Inference and Applications to Clustering. New York: Marcel Dekker. [8] McLahlan, G. J., & Krishnan, T The EM Algorithm and Extensions ( ed.).united States of America : John Wiley & Sons. Tomy Angga Kusuma 83
PENAKSIR RATA-RATA DISTRIBUSI EKSPONENSIAL TERPOTONG. Agustinus Simanjuntak ABSTRACT
PENAKSIR RATA-RATA DISTRIBUSI EKSPONENSIAL TERPOTONG Agustinus Simanjuntak Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya Pekanbaru
Lebih terperinciOLEH : Riana Ekawati ( ) Dosen Pembimbing : Dra. Farida Agustini W, M.S
OLEH : Riana Ekawati (1205 100 014) Dosen Pembimbing : Dra. Farida Agustini W, M.S Salah satu bagian penting dari statistika inferensia adalah estimasi titik. Estimasi titik mendasari terbentuknya inferensi
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER MODEL MIXTURE AUTOREGRESSIVE (MAR) MENGGUNAKAN ALGORITMA EKSPEKTASI MAKSIMISASI (EM) Abstract
Estimasi Parameter (Mika Asrini) ESTIMASI PARAMETER MODEL MIXTURE AUTOREGRESSIVE (MAR) MENGGUNAKAN ALGORITMA EKSPEKTASI MAKSIMISASI (EM) Mika Asrini 1, Winita Sulandari 2, Santoso Budi Wiyono 3 1 Mahasiswa
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Pengantar Statistika Matematika II Distribusi Sampling Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia March 20, 2017 atinaahdika.com Bila sampling berasal dari populasi yang
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Bab 3: Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Bila sampling berasal dari populasi yang digambarkan melalui fungsi peluang f X (x θ), pengetahuan tentang θ menghasilkan karakteristik mengenai keseluruhan
Lebih terperinciMENAKSIR PARAMETER µ DARI N( µ, ) DENGAN METODE BAYES
MENAKSIR PARAMETER µ DARI N( µ, ) DENGAN METODE BAYES Hartayuni Saini 1 1 Jurusan Matematika, FMIPA-UNTAD. e-mail: yunh3_chendist@yahoo.co.id Abstrak Untuk menaksir nilai µ dari N(µ, ) umumnya digunakan
Lebih terperinciPENAKSIR MAKSIMUM LIKELIHOOD DENGAN METODE ITERASI NEWTON - RAPHSON
PENAKSIR MAKSIMUM LIKELIHOOD DENGAN METODE ITERASI NEWTON - RAPHSON Haposan Sirait 1 dan Rustam Efendi 2 1,2 Dosen Program Studi Matematika FMIPA Universitas Riau. Abstrak: Makalah ini menyajikan tentang
Lebih terperinciModel Regresi Zero Inflated Poisson Pada Data Overdispersion
Model Regresi Zero Inflated Poisson Pada Data Overdispersion Wirajaya Kusuma Fakultas MIPA, Universitas Mataram e-mail: Kusuma_Wirajaya@yahoo.co.id Desy Komalasari Fakultas MIPA, Universitas Mataram e-mail:
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Dalam pembicaraan statistik, jawaban yang diinginkan adalah jawaban untuk ruang lingkup yang lebih luas, yakni populasi. Tetapi objek dari studi ini menggunakan sampel
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel
5 II. LANDASAN TEORI 2.1 Model Regresi Poisson Analisis regresi merupakan metode statistika yang populer digunakan untuk menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel prediktor
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI ZERO-INFLATED POISSON (ZIP) MENGGUNAKAN METODE BAYESIAN
ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI ZERO-INFLATED POISSON (ZIP) MENGGUNAKAN METODE BAYESIAN Karima Puspita Sari, Respatiwulan, dan Bowo Winarno Program Studi Matematika FMIPA UNS Abstrak. Model regresi zero-inflated
Lebih terperinciPENERAPAN MODEL REGRESI LINIER BAYESIAN UNTUK MENGESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL
PENERAPAN MODEL REGRESI LINIER BAYESIAN UNTUK MENGESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL Vania Mutiarani 1, Adi Setiawan, Hanna Arini Parhusip 3 1 Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW, 3 Dosen
Lebih terperinciTeorema Newman Pearson
pengujian terbaik Andi Kresna Jaya andikresna@yahoo.com Jurusan Matematika October 6, 2014 Outline 1 Review 2 Uji dua sisi untuk mean 3 Teorema Neyman-Pearson Back Outline 1 Review 2 Uji dua sisi untuk
Lebih terperinciPenaksiran Parameter Model Kalibrasi Linier yang Berdistribusi Skew-Normal dengan Algoritma-EM
Vol. 12, No. 1, 36-47, Juli 2015 Penaksiran Parameter Model Kalibrasi Linier yang Berdistribusi Skew-Normal dengan Algoritma-EM Try Widyaiswara Hairil 1, Anna Islamiyati 1, Raupong 1 Abstrak Sebuah penelitian
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. dapat dianggap mendekati normal dengan mean μ = μ dan variansi
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang melambangkan kemajuan zaman. Oleh karena itu matematika banyak digunakan oleh cabang ilmu lain
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. sєs (S ruang sampel) dengan sebuah bilangan real. Salah satu peubah acak adalah
II. LANDASAN TEORI Peubah acak X(s) merupakan sebuah fungsi X yang menetapkan setiap anggota sєs (S ruang sampel) dengan sebuah bilangan real. Salah satu peubah acak adalah peubah acak diskrit, yaitu banyaknya
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN TRANSFORMASI MODEL REGRESI MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL LINIER
ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN TRANSFORMASI MODEL REGRESI MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL LINIER 1 ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN TRANSFORMASI MODEL REGRESI MENGGUNAKAN
Lebih terperinciPENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI INVERS MAXWELL UKURAN BIAS SAMPEL MENGGUNAKAN METODE BAYESIAN. Rince Adrianti 1, Haposan Sirait 2 ABSTRACT ABSTRAK
PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI INVERS MAXWELL UKURAN BIAS SAMPEL MENGGUNAKAN METODE BAYESIAN Rince Adrianti, Haposan Sirait Mahasiswa Program Studi S Matematika Dosen Matematika, Jurusan Matematika Fakultas
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER UNTUK DISTRIBUSI HALF LOGISTIK. Jl. A. Yani Km. 36 Banjarbaru, Kalimantan Selatan
Jurnal Matematika Murni dan Terapan εpsilon Vol. 07, No.01, 201, Hal. 45 52 ESTIMASI PARAMETER UNTUK DISTRIBUSI HALF LOGISTIK Rizqi Elmuna Hidayah 1, Nur Salam 2 dan Dewi Sri Susanti 1,2, Program Studi
Lebih terperinciALGORITMA PENENTUAN UKURAN SAMPEL EKSAK UNTUK DISTRIBUSI NORMAL, DISTRIBUSI POISSON DAN DUA DISTRIBUSI BINOMIAL DALAM MODEL KELUARGA EKSPONENSIAL
ALGORITMA PENENTUAN UKURAN SAMPEL EKSAK UNTUK DISTRIBUSI NORMAL, DISTRIBUSI POISSON DAN DUA DISTRIBUSI BINOMIAL DALAM MODEL KELUARGA EKSPONENSIAL 1) Program Studi Matematika Universitas Ahmad Dahlan dian@math.uad.ac.id
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
1 \ BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Informasi-informasi faktual yang diperoleh berdasarkan hasil observasi maupun penelitian sangatlah beragam. Informasi yang dirangkum sedemikian rupa disebut dengan
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN TRANSFORMASI MODEL REGRESI MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL LINIER
1 ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN TRANSFORMASI MODEL REGRESI MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL LINIER A. Musdalifa, Raupong, Anna Islamiyati Abstrak Estimasi parameter adalah merupakan hal
Lebih terperinciSarimah. ABSTRACT
PENDETEKSIAN OUTLIER PADA REGRESI LOGISTIK DENGAN MENGGUNAKAN TEKNIK TRIMMED MEANS Sarimah Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Lebih terperinciSTATISTIKA UNIPA SURABAYA
MATEMATIKA STATISTIKA (MATHEMATICAL STATISTICS) GANGGA ANURAGA Materi : Distribusi variabel random Teori Himpunan Fungsi Himpunan Fungsi Himpunan Peluang Variabel Random Fungsi Kepadatan Peluang Fungsi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Distribusi probabilitas binomial adalah distribusi probabilitas diskrit yang paling sering digunakan untuk merepresentasikan kejadian dalam kehidupan sehari-hari.
Lebih terperinciINFERENSI PARAMETER MEAN POPULASI NORMAL DENGAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF
INFERENSI PARAMETER MEAN POPULASI NORMAL DENGAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF Adi Setiawan Program Studi Matematika Industri dan Statistika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl
Lebih terperinciPENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI BETA DENGAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 2 Hal. 23 28 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI BETA DENGAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD FEBY RIDIANI Program
Lebih terperinciKAJIAN METODE IMPUTASI DALAM MENANGANI MISSING DATA. Triyani Hendrawati Staf Pengajar Statistika Universitas Padjadjaran
KAJIAN METODE IMPUTASI DALAM MENANGANI MISSING DATA Triyani Hendrawati Staf Pengajar Statistika Universitas Padjadjaran triyani.hendrawati@gmail.com ABSTRAK. Pada sebuah survey, adakalanya tidak semua
Lebih terperinciPenaksiran Parameter Regresi Linier Logistik dengan Metode Maksimum Likelihood Lokal pada Resiko Kanker Payudara di Makassar
Vol.14, No. 2, 159-165, Januari 2018 Penaksiran Parameter Regresi Linier Logistik dengan Metode Maksimum Likelihood Lokal pada Resiko Kanker Payudara di Makassar Sutrianah Burhan 1, Andi Kresna Jaya 1
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. sewajarnya untuk mempelajari cara bagaimana variabel-variabel itu dapat
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Jika kita mempunyai data yang terdiri dari dua atau lebih variabel maka sewajarnya untuk mempelajari cara bagaimana variabel-variabel itu dapat berhubungan, hubungan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Kesehatan merupakan bagian yang penting dalam kehidupan manusia karena kesehatan memengaruhi aktifitas hidup manusia. Dengan tubuh yang sehat manusia dapat menjalankan
Lebih terperinci(R.1) KAJIAN MODEL GEOGRAPHICALLY WEIGHTED POISSON REGRESSION UNTUK MASALAH DATA SPASIAL DISKRIT
REGRESI 2 (R.1) KAJIAN MODEL GEOGRAPHICALLY WEIGHTED POISSON REGRESSION UNTUK MASALAH DATA SPASIAL DISKRIT Dani Robini, Budi Nurani R., Nurul Gusriani Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jl.
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI MULTIVARIAT BAYESIAN DENGAN DISTRIBUSI PRIOR INFORMATIF 1. PENDAHULUAN
ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI MULTIVARIAT BAYESIAN DENGAN DISTRIBUSI PRIOR INFORMATIF Dina Ariek Prasdika, Dewi Retno Sari Saputro, Purnami Widyaningsih Program Studi Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciPENENTUAN UKURAN CONTOH DAN REPLIKASI BOOTSTRAP UNTUK MENDUGA MODEL REGRESI LINIER SEDERHANA
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 2 Hal. 53 61 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENENTUAN UKURAN CONTOH DAN REPLIKASI BOOTSTRAP UNTUK MENDUGA MODEL REGRESI LINIER SEDERHANA OLIVIA ATINRI,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Di zaman sekarang, kemajuan sains dan teknologi sangat berkembang pesat. Salah satu ilmu yang berkembang adalah matematika yang merupakan induk dari semua ilmu
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Permasalahan
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Permasalahan Analisis regresi merupakan suatu metode dalam statistik yang popular, karena banyak digunakan pada penelitian dalam berbagai bidang. Contoh dari penggunaan
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Bab 2: Sifat-Sifat Estimator Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Statistik Cukup Dalam kondisi real, kita tidak mengetahui parameter dari populasi data yang akan kita teliti Informasi dalam sampel
Lebih terperinciPenentuan Daerah Kritis Terbaik dengan Teorema Neyman- Pearson
Vol. 6, No.1, 44-48, Juli 2009 Penentuan Daerah Kritis Terbaik dengan Teorema Neyman- Pearson Georgina M. Tinungki Abstrak Terdapat beberapa metode untuk membangun uji statistik yang baik, diantaranya
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Bab 6: Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Inferensi Statistik Pendahuluan Inferensi Statistik Inferensi statistik adalah metode untuk menarik kesimpulan mengenai suatu populasi. Inferensi statistik
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Statistika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari prosedur-prosedur
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Statistika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari prosedur-prosedur yang digunakan dalam pengumpulan, penyajian, analisis dan interpretasi data. Statistika
Lebih terperinciMODEL REGRESI DATA TAHAN HIDUP TERSENSOR TIPE III BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL. Jln. Prof. H. Soedarto, S.H., Tembalang, Semarang.
MODEL REGRESI DATA TAHAN HIDUP TERSENSOR TIPE III BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL Winda Faati Kartika 1, Triastuti Wuryandari 2 1, 2) Program Studi Statistika Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
4 BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada sub bab ini akan diberikan beberapa definisi dan teori yang mendukung rancangan Sequential Probability Ratio Test (SPRT) yaitu percobaan dan ruang sampel, peubah acak dan fungsi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. penerbangan, kedokteran, teknik mesin, software komputer, bahkan militer
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Statistika merupakan salah satu ilmu matematika yang terus berkembang dari waktu ke waktu. Di dalamnya mencakup berbagai sub pokok-sub pokok materi yang sangat bermanfaat
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA
II. TINJAUAN PUSTAKA. Pendahuluan Uji perbandingan dua distribusi merupakan suatu tekhnik analisis ang dilakukan untuk mencari nilai parameter ang baik diantara dua distribusi. Tekhnik uji perbandingan
Lebih terperinciBAB III. Hidden Markov Models (HMM) Namun pada beberapa situasi tertentu yang ditemukan di kehidupan nyata,
BAB III Hidden Markov Models (HMM) 3.1 Pendahuluan Rantai Markov mempunyai state yang dapat diobservasi secara langsung. Namun pada beberapa situasi tertentu yang ditemukan di kehidupan nyata, beberapa
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. landasan pembahasan pada bab selanjutnya. Pengertian-pengertian dasar yang di
5 BAB II LANDASAN TEORI Bab ini membahas pengertian-pengertian dasar yang digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab selanjutnya. Pengertian-pengertian dasar yang di bahas adalah sebagai berikut: A.
Lebih terperinciESTIMASI TOTAL DAYA LISTRIK YANG HILANG MELALUI PROSES POISSON TERPANCUNG MAJEMUK
ESTIMASI TOTAL DAYA LISTRIK YANG HILANG MELALUI PROSES POISSON TERPANCUNG MAJEMUK Adri Arisena 1, Anna Chadidjah 2, Achmad Zanbar Soleh 3 Departemen Statistika Universitas Padjadjaran 1 Departemen Statistika
Lebih terperinciEstimasi Titik. (Point Estimation) Minggu ke 1-3. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada
Estimasi Titik (Point Estimation) Minggu ke 1-3 Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada 2014 Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi 2014 1 / 33 DAFTAR ISI 1 Minggu 1 Pertemuan 1
Lebih terperinciINFERENSI STATISTIK DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN METODE BAYES MENGGUNAKAN PRIOR KONJUGAT. Oleh : ADE CANDRA SISKA NIM: J2E SKRIPSI
INFERENSI STATISTIK DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN METODE BAYES MENGGUNAKAN PRIOR KONJUGAT Oleh : ADE CANDRA SISKA NIM: J2E 006 002 SKRIPSI Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Ruang sampel S adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan. Kejadian E
5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Peluang Ruang sampel S adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan. Kejadian E adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Peluang suatu kejadian P(E) adalah
Lebih terperinciUJI LIKELIHOOD RASIO UNTUK PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL
UJI LIKELIHOOD RASIO UNTUK PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL Sartika 1) Wayan Somayasa 2) Rahmaliah Sahupala 2) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika 2) Dosen Program Studi Matematika Jurusan Matematika F-MIPA
Lebih terperinciPROSES PERCABANGAN PADA DISTRIBUSI POISSON
PROSES PERCABANGAN PADA DISTRIBUSI POISSON Nur Alfiani Santoso, Respatiwulan, dan Nughthoh Arfawi Kurdhi Program Studi Matematika FMIPA UNS Abstrak. Proses percabangan merupakan suatu proses stokastik
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. beberapa konsep dan teori yang berkaitan dengan penduga parameter distribusi GB2
5 II. LANDASAN TEORI Dalam proses penelitian penduga parameter dari suatu distribusi diperlukan beberapa konsep dan teori yang mendukung dari ilmu statistika. Berikut ini akan dijelaskan beberapa konsep
Lebih terperinciKONVOLUSI DISTRIBUSI EKSPONENSIAL DENGAN PARAMETER BERBEDA
Jurnal Matematika UNAND Vol. No. 4 Hal. 9 ISSN : 33 9 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND KONVOLUSI DISTRIBUSI EKSPONENSIAL DENGAN PARAMETER BERBEDA MARNISYAH ANAS Program Studi Magister Matematika, Fakultas
Lebih terperinciPENAKSIRAN PARAMETER REGRESI LINIER DENGAN METODE BOOTSTRAP MENGGUNAKAN DATA BERDISTRIBUSI NORMAL DAN UNIFORM
BIAStatistics (2015) Vol. 9, 2, hal. 28-32 PENAKSIRAN PARAMETER REGRESI LINIER DENGAN METODE BOOTSTRAP MENGGUNAKAN DATA BERDISTRIBUSI NORMAL DAN UNIFORM Munawar Jurusan Matematika FMIPA Universitas Syiah
Lebih terperinciKAJIAN DATA KETAHANAN HIDUP TERSENSOR TIPE I BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL DAN SIX SIGMA. Victoria Dwi Murti 1, Sudarno 2, Suparti 3
JURNAL GAUSSIAN, Volume 1, Nomor 1, Tahun 2012, Halaman 241-248 Online di: http://ejournal-s1.undip.ac.id/index.php/gaussian KAJIAN DATA KETAHANAN HIDUP TERSENSOR TIPE I BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL DAN
Lebih terperinciDistribusi Weibull Power Series
Distribusi Weibull Power Series Maulida Yanti 1, Sarini S.Si.,M.Stats 2 1 Mahasiswa Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424 2 Staff Pengajar Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.. Konsep Dasar Analisis Runtun Waktu Pada bagian ini akan dikemukakan beberapa definisi yang menyangkut pengertian dan konsep dasar analisis runtun waktu. Definisi Runtun waktu
Lebih terperinciDEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA
digilib.uns.ac.id DEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA oleh ANIS TELAS TANTI M0106003 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
Lebih terperinciMODEL ASURANSI KENDARAAN BERMOTOR MENGGUNAKAN DISTRIBUSI MIXED POISSON ABSTRACT
JURNAL GAUSSIAN, Volume 1, Nomor 1, Tahun 2012, Halaman 229-240 Online di: http://ejournal-s1.undip.ac.id/index.php/gaussian MODEL ASURANSI KENDARAAN BERMOTOR MENGGUNAKAN DISTRIBUSI MIXED POISSON Tina
Lebih terperinciSTATISTIKA MATEMATIKA
STATISTIKA MATEMATIKA Penulis: Prof. Subanar, Ph.D Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2013 Hak Cipta 2013 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Generalized Lambda Distribution (GLD) awalnya diusulkan oleh Ramberg dan
4 II. LANDASAN TEORI Generalized Lambda Distribution (GLD) awalnya diusulkan oleh Ramberg dan Schmeiser (1974), yang memiliki empat parameter dari pengembangan distribusi Lambda Tukey. Keluarga distribusi
Lebih terperinciMA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: Distribusi Samp
MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: We love Statistics Pengantar Parameter adalah... ...suatu karakteristik dari populasi. Statistik adalah... ...suatu karakteristik dari sampel. Statistik adalah fungsi
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI POISSON TERGENERALISASI TERBATAS DENGAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD
ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI POISSON TERGENERALISASI TERBATAS DENGAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD Fitra1, Saleh2, La Podje3 Mahasiswa Program Studi Statistika, FMIPA Unhas 2,3 Dosen Program Studi Statistika,
Lebih terperinciBAB IV MODEL HIDDEN MARKOV
BAB IV MODEL HIDDEN MARKOV 4.1 State dan Proses Observasi Semua proses didefinisikan pada ruang peluang (Ω, F, P). Misalnya X = {X : k N} adalah rantai Markov dengan state berhingga yang bersifat homogen
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan beberapa definisi sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar ini berkaitan dengan masalah yang dibahas dalam
Lebih terperinciPenerapan Model Frailty Weibull-Eksponensial pada Data Tabel Mortalitas Indonesia Tahun 1999
Prosiding Statistika ISSN: 2460-6456 Penerapan Model Frailty Weibull-Eksponensial pada Data Tabel Mortalitas Indonesia Tahun 1999 1 Anjalina Kusumawardhani, 2 Aceng Komarudin Mutaqin, 3 Lisnur Wachidah
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Pengantar a Matematika II - Estimator Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia April 17, 2017 atinaahdika.com Dalam kondisi real, kita tidak mengetahui parameter dari populasi
Lebih terperinci4. Mahasiswa mampu melakukan estimasi parameter, melakukan uji hipotesis statistic serta estimasi interval. Diskripsi Singkat MK
INSTITUT TEKNOLOGI KALIMANTAN JURUSAN MATEMATIKA DAN TEKNOLOGI INFORMASI PROGRAM STUDI MATEMATIKA RENCANA PEMBELAJARAN MATA KULIAH KODE Rumpun MK BOBOT (sks) SEMESTER Tgl Penyusunan Matematika Statistika
Lebih terperinciPERBANDINGAN KUASA WILCOXON RANK SUM TEST DAN PERMUTATION TEST DALAM BERBAGAI DISTRIBUSI TIDAK NORMAL
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 4 Hal. 139 146 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PERBANDINGAN KUASA WILCOXON RANK SUM TEST DAN PERMUTATION TEST DALAM BERBAGAI DISTRIBUSI TIDAK NORMAL
Lebih terperinciKata Kunci: Model Regresi Logistik Biner, metode Maximum Likelihood, Demam Berdarah Dengue
Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 9 16 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PEMODELAN FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI KEJADIAN DBD (DEMAM BERDARAH DENGUE) MENGGUNAKAN REGRESI LOGISTIK
Lebih terperinciINDEKS KEMAMPUAN PROSES BERDASARKAN PROPORSI PERSESUAIAN UNTUK DISTRIBUSI NON NORMAL
J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 7, No. 2, November 2010, 47 55 INDEKS KEMAMPUAN PROSES BERDASARKAN PROPORSI PERSESUAIAN UNTUK DISTRIBUSI NON NORMAL Laksmi P Wardhani 1, Resty Z Fahrida, Nur
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. ruang sampel dan dilambangkan dengan huruf S. Ruang sampel beranggotakan
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Percobaan dan Ruang Sampel Menurut Walpole (1995), istilah percobaan digunakan untuk sembarang proses yang dapat membangkitkan data. Himpunan semua hasil suatu percobaan disebut
Lebih terperinciMODEL DISTRIBUSI TOTAL KERUGIAN AGGREGAT MANFAAT RAWAT JALAN BERDASARKAN SIMULASI
MODEL DISTRIBUSI TOTAL KERUGIAN AGGREGAT MANFAAT RAWAT JALAN BERDASARKAN SIMULASI Puspitaningrum Rahmawati, Bambang Susanto, Leopoldus Ricky Sasongko Program Studi Matematika (Fakultas Sains dan Matematika,
Lebih terperinciESTIMASI INTERVAL KEPERCAYAAN (CONFIDENCE INTERVAL) PARAMETER MODEL PROSES GEOMETRIK WEIBULL PADA ANALISIS UJI HIDUP UNTUK DATA TERSENSOR TIPE II
ESTIMASI INTERVAL KEPERCAYAAN (CONFIDENCE INTERVAL) PARAMETER MODEL PROSES GEOMETRIK WEIBULL PADA ANALISIS UJI HIDUP UNTUK DATA TERSENSOR TIPE II Asep Solih A 1* Rini Cahyandari 2 Tarkinih 3 123 Program
Lebih terperinciPemodelan Data Besar Klaim Asuransi Kendaraan Bermotor Menggunakan Distribusi Mixture Erlang
Statistika, Vol. 17 No. 1, 45 51 Mei 2017 Pemodelan Data Besar Klaim Asuransi Kendaraan Bermotor Menggunakan Distribusi Mixture Erlang Indah permatasari, aceng komarudin mutaqin, lisnur wachidah Program
Lebih terperinciDISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS
DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS UNIFORM (SERAGAM) BERNOULLI BINOMIAL POISSON MULTINOMIAL HIPERGEOMETRIK GEOMETRIK BINOMIAL NEGATIF MA3181 Teori Peluang 27 Oktober 2014 Utriweni Mukhaiyar DISTRIBUSI UNIFORM (SERAGAM)
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Metode statistika adalah prosedur-prosedur yang digunakan dalam pengumpulan, penyajian, analisis, dan penafsiran data. Metode statistika dibagi ke dalam dua kelompok
Lebih terperinciPENERAPAN REGRESI ZERO INFLATED POISSON DENGAN METODE BAYESIAN
PENERAPAN REGRESI ZERO INFLATED POISSON DENGAN METODE BAYESIAN A. Rofiqi Maulana; Suci Astutik Universitas Brawijaya; arofiqimaulana@gmail.com ABSTRAK. Filariasis (Penyakit Kaki Gajah) adalah penyakit
Lebih terperinciKEKUATAN KONVERGENSI DALAM PROBABILITAS DAN KONVERGENSI ALMOST SURELY
KEKUATAN KONVERGENSI DALAM PROBABILITAS DAN KONVERGENSI ALMOST SURELY Joko Sungkono* Abstrak : Tujuan yang ingin dicapai pada tulisan ini adalah mengetahui kekuatan konvergensi dalam probabilitas dan konvergensi
Lebih terperinciPenentuan Momen ke-5 dari Distribusi Gamma
Jurnal Penelitian Sains Volume 6 Nomor (A) April 0 Penentuan Momen ke-5 dari Distribusi Gamma Robinson Sitepu, Putra B.J. Bangun, dan Heriyanto Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Sriwijaya, Indonesia
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Perkembangan teori statistika telah mempengaruhi hampir semua aspek kehidupan. Hal ini disebabkan statistika merupakan salah satu disiplin ilmu yang berperan
Lebih terperinciPENERAPAN METODE PENGGEROMBOLAN BERDASARKAN GAUSSIAN MIXTURE MODELS DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA EXPECTATION MAXIMIZATION ULA SUSILAWATI
PENERAPAN METODE PENGGEROMBOLAN BERDASARKAN GAUSSIAN MIXTURE MODELS DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA EXPECTATION MAXIMIZATION ULA SUSILAWATI DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Himpunan Fuzzy Tidak semua himpunan yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari terdefinisi secara jelas, misalnya himpunan orang miskin, himpunan orang pandai, himpunan orang tinggi,
Lebih terperinciMODEL REGRESI DATA TAHAN HIDUP TERSENSOR TIPE III BERDISTRIBUSI LOG-LOGISTIK ABSTRAK
JURNAL GAUSSIAN, Volume 1, Nomor 1, Tahun 2012, Halaman 83-92 Online di: http://ejournal-s1.undip.ac.id/index.php/gaussian MODEL REGRESI DATA TAHAN HIDUP TERSENSOR TIPE III BERDISTRIBUSI LOG-LOGISTIK Ibnu
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER MODEL KELAS LATEN MENGGUNAKAN ALGORITMA EXPECTATION- MAXIMIZATION (EM)
digilib.uns.ac.id ESTIMASI PARAMETER MODEL KELAS LATEN MENGGUNAKAN ALGORITMA EXPECTATION- MAXIMIZATION (EM) oleh NURNAINI HIDAYATI M0105014 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
Lebih terperinciPENDUGAAN PARAMETER MODEL AUTOREGRESSIVE PADA DERET WAKTU
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 4 Hal. 28 37 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENDUGAAN PARAMETER MODEL AUTOREGRESSIVE PADA DERET WAKTU NELFA SARI Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI.1 Peubah Acak dan Distribusinya.1.1 Peubah Acak Definisi.1: Peubah acak adalah suatu fungsi yang menghubungkan sebuah bilangan real dengan setiap unsur di dalam ruang contoh, (Walpole
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Bab 3: Estimasi Titik dengan Metode Bayes Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Dalam pendekatan klasik, parameter θ adalah besaran tetap yang tidak diketahui Sampel random X 1, X 2,..., X n diambil
Lebih terperinciPEMILIHAN MODEL REGRESI LINIER DENGAN BOOTSTRAP. Tarno. Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Semarang. Subanar Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta
PEMILIHAN MODEL REGRESI LINIER DENGAN BOOTSTRAP Tarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Semarang Subanar Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta Abstrak Tulisan ini membicarakan tentang penerapan bootstrap
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam bab ini akan dijelaskan pengertian tentang distribusi Weibull, maximum
4 II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dijelaskan pengertian tentang distribusi Weibull, maximum likelihood estimation, penyensoran, bias relatif, penduga parameter distribusi Weibull dan beberapa istilah
Lebih terperinciKAJIAN MODEL MARKOV WAKTU DISKRIT UNTUK PENYEBARAN PENYAKIT MENULAR PADA MODEL EPIDEMIK SIR. Oleh: RAFIQATUL HASANAH NRP.
TUGAS AKHIR KAJIAN MODEL MARKOV WAKTU DISKRIT UNTUK PENYEBARAN PENYAKIT MENULAR PADA MODEL EPIDEMIK SIR Oleh: RAFIQATUL HASANAH NRP. 1208 100 021 Dosen Pembimbing: Dra. Laksmi Prita Wardhani, M.Si. Drs.
Lebih terperinciTaksiran Titik Parameter Populasi pada Small Area dengan Metode Spatial Empirical Bayes Berdasarkan Model Tingkat Area
Taksiran Titik Parameter Populasi pada Small Area dengan Metode Spatial Empirical Bayes Berdasarkan Model Tingkat Area Yudistira 1, Titin Siswantining 2 1. Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Indonesia,
Lebih terperinciDISTRIBUSI ERLANG DAN PENERAPANNYA. Rini Kurniasih 1, Getut Pramesti 2 Mahasiswi Pendidikan Matematika FKIP UNS, Dosen Pendidikan Matematika FKIP UNS
DISTRIBUSI ERLANG DAN PENERAPANNYA Rini Kurniasih 1, Getut Pramesti 2 Mahasiswi Pendidikan Matematika FKIP UNS, Dosen Pendidikan Matematika FKIP UNS nia.rini.purita2316@gmail.com, getut.uns@gmail.com ABSTRAK
Lebih terperinciHUKUM ITERASI LOGARITMA. TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains SORTA PURNAWANTI NIM.
HUKUM ITERASI LOGARITMA TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains SORTA PURNAWANTI NIM. 00290 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
Lebih terperinciPenaksiran Mean Stratum pada Sampling Acak Stratifikasi dengan Menggunakan Metode Empirical Bayes
Penaksiran Mean Stratum pada Sampling Acak Stratifikasi dengan Menggunakan Metode Empirical Baes Sisca Agnessia Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 6 sisca.agnessia@ahoo.com Abstrak Dalam
Lebih terperinciKONSEP DASAR TERKAIT METODE BAYES
KONSEP DASAR TERKAIT METODE BAYES 2.3. Peubah Acak dan Distribusi Peluang Pada statistika kita melakukan percobaan dimana percobaan tersebut akan menghasilkan suatu peluang. Ruang sampel pada percobaan
Lebih terperinciMODEL PARTISIPASI PEMILIH MASYARAKAT KABUPATEN DHAMASRAYA PADA PEMILU 2014 DENGAN MENGGUNAKAN METODE REGRESI LOGISTIK BAYESIAN
Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 128 133 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND MODEL PARTISIPASI PEMILIH MASYARAKAT KABUPATEN DHAMASRAYA PADA PEMILU 2014 DENGAN MENGGUNAKAN METODE
Lebih terperinciMASALAH NILAI AWAL ITERASI NEWTON RAPHSON UNTUK ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI LOGISTIK ORDINAL TERBOBOTI GEOGRAFIS (RLOTG)
MASALAH NILAI AWAL ITERASI NEWTON RAPHSON UNTUK ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI LOGISTIK ORDINAL TERBOBOTI GEOGRAFIS (RLOTG) Shaifudin Zuhdi, Dewi Retno Sari Saputro Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciKajian Generalisasi Distribusi Binomial yang Bertipe COM-Poisson dan Sifat-Sifatnya
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 4, No.2, 2015 2337-3520 2301-928X Print A-67 Kajian Generalisasi Distribusi Binomial yang Bertipe COM-Poisson dan Sifat-Sifatnya Marselly Dian Saputri, Farida Agustini Widjajati,
Lebih terperinci