Pertemua0 BAHAN AJAR STATISTIKA MATEMATIKA 2 Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 7. PENAKSIRAN ( Taksira Iterval utuk rataa, varia da proporsi) 7.1 Pedahulua Pada pembahasa sebelumya adalah meletakka dasar utuk mearik kesimpula dari parameter-parameter populasi dari data percobaa. Sebagai cotoh, teorema limit pusat memberi iformasi tetag distribusi sampel X distribusiya megadug rataa dari populasi. Jadi setiap kesimpula yag ditarik megeai µ dari suatu rata-rata sampel yag diamati haruslah tergatug pada pegetahua distribusi sampelya. 7.2 Iferesi Statistika Iferesi statistik dapat dibagi dalam dua bagia besar yaitu peaksira da pegujia hipotesis. 7.3 Metode peaksira klasik Nilai x suatu statistik X, dihitug dari suatu sampel ukura, merupaka suatu taksira parameter populasi µ Cotoh 7.1 Tujukka bahwa S 2 merupaka peaksir tak bias parameter σ 2 Kedatipu S 2 merupaka peaksir tak bias σ 2, tetapi sebalikya S suatu peaksir σ yag bias da bias itu mejadi tak bearti bila sampelya besar. Defeisi 7.1 Dari semua peaksir tak bias yag mugki di buat, peaksir yag memberika variasi terkecil disebut peaksir yag palig efisie. Peaksir tak bias yag palig efisie sekalipu jarag aka meaksir parameter populasi µ dega tepat. Memag bear bahwa ketelitia meigkat bila sampelya membesar, tetapi masih tetap tidak beralasa megharapka suatu taksira titik dari suatu sampel tertetu aka tepat sama dega parameter populasi yag hedak ditaksir. Dalam bayak hal kita aka lebih meyukai meetuka suatu selag yag kedua ujugya kita harapka aka megapit ilai parameter yag sesugguhya. Selag seperti ii disebut taksira selag. 7.4 Meaksir rataa Peaksir titik rataa populasi µ diberika oleh statistik X. Sekarag padag taksira selag µ. P ( z α/2 < Z < z α/2 ) = 1 α bila Z = X µ σ/ 1
Jadi P ( z α/2 < X µ σ/ < z α/2) = 1 α atau P (X z α/2 σ < µ < X + z α/2 σ ) = 1 α bila α = 0, 05, diperoleh selag kepercayaa 95%. Da bila α = 0, 01, diperoleh selag kepercayaa 99%. Cotoh 7.2 Rataa ilai sampel acak 36 mahasiswa tigkat sarjaa adalah 2,6. Hituglah selag kepercayaa 95% da 99% utuk rataa ilai matematika semua mahasiswa tigkat sarjaa. Aggap bahwa simpaga baku populasi 0,3. Teorema 7.1 Bila x dipakai utuk meaksir µ maka dega kepercayaa (1 α)100% galatya aka lebih kecil dari z α/2 σ Teorema 7.2 Bila x dipakai utuk meaksir µ, maka dega kepercayaa (1 α)100% galatya aka lebih kecil dari suatu bilaga g yag ditetapka sebelumya asal saja ukura sampel = ( z α/2σ g ) 2 Cotoh 7.3 Berapa besar sampel diperluka pada cotoh 7.2 bila igi percaya 95& bahwa taksira utuk µ meleset kurag dari 0,05?. Serig kita igi meaksir rataa populasi padahal variasi tidak diketahui. Telah diketahui sebelumya bila ada suatu sampel acak dari suatu distribusi ormal maka peubah acak sehigga kita aka dapatka T = X µ S/ P (X t α/2 S < µ < X + t α/2 S ) Cotoh 7.4 Tujuh botol yag mirip masig-masig berisi asam sulfat 9,8, 10,2, 10,4, 9,8, 10,0, 10,2, da 9,6 liter. Carilah selag kepercayaa 95% utuk rataa isi botol semacam itu bila distribusiya diagap hampir ormal. 7.5 Galat Baku Taksira titik Telah diketahui σ 2 x = σ2 Jadi simpaga baku dari X atau galat baku dari X. Sehigga batas kepercayaa utuk µ berbetuk s x ± t α/2 = x ± t α/2 galatbakux 2
7.6 Batas Tolerasi Jika rataa µ da variasi σ tidak diketahui, batas tolerasi diberika x ± ks, k ditetuka sedemikia rupa sehigga dapat ditegaska00(1 γ)% kepercayaa bahwa batas tersebut megadug palig sedikit 1 α proporsi pegukura 7.1 Meaksir selisih dua rataa Bila ada dua populasi masig-masig dega rataa µ 1 da µ 2 da variasi σ1 2 da σ2, 2 maka peaksir titik utuk selisih µ 1 da µ 2 diberika oleh statistik X 1 X 2 Meurut teorema pada bab 6, dapat diharapka distribusi sampel X 1 X 2 aka berdistribusi hampir ormal dega rataa µ x1 x 2 = µ 1 µ 2 da simpaga baku σ x1 x 2 = (σ1 2/) + (σ2 2/), Jadi dega peluag 1 α peubah ormal baku Z = (X1 X2) (µ1 µ2) (σ 2 1 /)+(σ 2 2 /2) peluagya adalah P ( z α/2 < Z < z α/2 ) = 1 α gati Z pada rumus diatas, maka diperoleh : (x 1 x 2 ) z α/2 σ 2 1 + σ2 2 < µ 1 µ 2 < (x 1 + z α/2 σ 2 1 + σ2 2 dega = bayak sampal populasi pertama da = bayak sampel pada populasi kedua. Cotoh 7.5 Suatu ujia kimia yag telah dibakuka diberika pada 50 siswa waita da 75 siswa pria. Nilai rata-rata waita 76, sedagka murid pria medapat ilai rata-rata 82. Carilah selag kepercayaa 96% utuk selisih µ 1 µ 2, bila µ 1 meyataka rataa ilai semua siswa pria da µ 2 rataa ilai semua siswa waita yag mugki aka megikuti ujia ii. Aggap simpaga baku populasi utuk waita da pria, masig-masig 6 da 8. Bila variasiya tidak diketahui da kedua distribusi hampir ormal, maka distribusi t kembali harus diguaka seperti sampel tuggal. 1 (x 1 x 2 ) t α/2 s p + 1 1 < µ 1 µ 2 < (x 1 + x 2 ) t α/2 s p + 1 Cotoh 7.6 Dalam makalah Macro ivertebrate Commuity Structure as a Idicator of Acid Mie Pollutio yag diterbitka di Joural of Evirometal Pollutio (Vol.6,1974), disajika lapora megeai peelitia yag dilakuka di Cae Creek, Alabama, utuk meetuka hubuga atara paremeter fisiokimia yag terpilih dega ukura yag berlaia dari struktur kelompok makroivertebrata. Satu segi dari peeltia itu ialah peilaia dari keefektifa. Suatu ideks keragama spesies makroivertebrata seharusya meujukka sistem peraira yag tidak tergagu, sedagka ideks keragama yag redah meujukka sistem peraira yag tergaggu. Dua stasio samplig yag bebas dipilih utuk tujua peelitia ii, satu dititik 3
muara pembuaga asam tambag da satu lagi dihulu. Sebayak 12 sampel bulaa diambil dari statio muara, data ideks keragama spesiesya meghasilka ilai rataa x 1 = 3, 11 da simpaga baku s 1 = 0, 771, sedagka dari satsio hulu diambil 10 sampel bulaa dega ilai rataa ideks x 2 = 2, 04 da simpaga baku s 2 = 0, 448. Buat selag kepercayaa 90% utuk selisih rataa populasi dari kedua stasio, aggap kedua populasi berdistribusi hampir ormal dega variasi yag sama. Bila variasi populasi yag tidak diketahui mugki sekali tidak sama. s (x 1 x 2 ) t 2 1 α/2 + s2 2 s < µ 1 µ 2 < (x 1 + t 2 1 α/2 + s2 2 Cotoh 7.7 Suatu peelitia megeai Nutriet retetio ad Macroivertebrata Commuity Respose to Swage Stress i a Stream Ecosystem yag dilakuka oleh departemet of zoology di Virgiia Polytechic Istitute da State Uiversity tahu980 meaksir selisih bayakya baha kimia ortofosfor yag diukur pada dua statio yag berlaia di sugai james. Ortofosfor diukur dalam mg per liter. Lima belas sampel dikumpulka dari stasio da2 sampel dari stasio 2. Ke 15 sampel dari stasio mempuyai rata-rata kadar ostofosfor 3,84 mg per liter da simpaga baku 3,07 mg per liter, sedagka ke 12 sampel dari stasio 2 mempuyai rata-rata kadar ostofosfor 1,49 mg per liter da simpaga baku 0,8 mg per liter. Cari selag kepercayaa 95% utuk selisih rata-rata kadar ortofosfor sesugguhya pada kedua stasio tersebut, aggap bahwa pegamata berasal dari populasi ormal dega variasi berbeda. Pegamata berpasaga d t α/2 s d < µd < d + t α/2 s d Cotoh 7.8 Dalam makalah Essetial Elemets i Fresh ad Caed Tomatoers, yag diterbitka di Joural of Food Sciece (Jilid 46,1981), kaduga usur petig ditetuka dalam tomat segar da kalega megguaka spektrofotometer peyerapa atom. Kaduga tembaga dalam tomat segar dibadig dega kaduga tembaga tomat yag sama setelah di kalegka dicatat da hasilya seperti beriku Pasaga Tomat segar Tomat kaleg d i 1 0,066 0,085 0,019 2 0,079 0,088 0,009 3 0,069 0,091 0,022 4 0,076 0,096 0,020 5 0,071 0,093 0,022 6 0,087 0,095 0,008 7 0,071 0,079 0,008 8 0,073 0,078 0,005 9 0,067 0,065-0,002 10 0,062 0,068 0,006 4
7.8 Meaksir proporsi Peaksir titik utuk proporsi P dalam suatu percobaa biomial diberika oleh statistik ˆP = X dega X meyataka bayakya yag berhasil dalam usaha. Jadi proporsi sampel ˆp = x aka diguaka sebagai taksira titik utuk parameter p.meurut teorema limit pusat, utuk cukup besar, distribusi ˆp hampir ormal dega rataa µˆp = E(ˆp) = E( X p da variasi = p = p σp 2 = σ 2 x = σ2 x = pq 2 = pq 2 Sehigga dalam selag kepercayaa besar utuk p, hampira selag kepercayaa (1 α)100% utuk parameter biomial p adalah ˆP z α/2 ˆpˆq < p < ˆP + z α/2 ˆpˆq Cotoh 7.9 Pada suatu sampel acak = 500 keluarga yag memiliki pesawat televisi dikota hamilto, Kaada, ditemuka bahwa x = 340 memiliki tv bewara. Carilah selag kepercayaa 95% utuk proporsi sesugguhya dari keluarga yag memiliki tv bewara di kota tersebut. 7.9 Meaksir selisih dua proporsi. Diketahui ˆP1 ˆP 2 masig-masig berdistribusi hampir ormal dega µˆp1 ˆp 2 = p 1 p 2 dega variasi σˆp1 ˆp 2 = p1q1 + p2q2 gati p 1, p 2, q 1, da q 2 dega taksira ˆp 1 = x1, ˆp 2 = x2, ˆq 1 = 1 ˆp 1, da ˆq 2 = 1 ˆp 2, sehigga Selag kepercayaa sampel besar utuk p 1 p 2 (ˆp 1 ˆp 2 ) z α/2 ˆp 1 ˆq 1 + ˆp2 ˆq2 ˆp < p 1 p 2 < (ˆp 1 ˆp 2 ) + z 1 ˆq 1 ˆp2 ˆq2 α/2 + Cotoh 7.10 Suatu perubaha dalam cara pembuata suku cadag sedag direcaaka. Sampel diambil dari cara lama maupu yag baru utuk melihat apakah cara baru tersebut memberika perbaika. Bila 75 dari 1500 suku cadag yag berasal dari cara lama teryata cacat dari 80 dari 2000 yag berasal dari cara baru yag cacat, carilah selag kepercayaa 90% utuk selisih sesugguhya proporsi yag cacat dalam kedua cara. 7.10 Meaksir variasi Taksira selag utuk σ 2 dapat dituruka dega megguaka statistik X 2 = ( 1)S2 σ 2 sehigga Utuk selag kepercayaa utuk σ 2 5
( 1)S 2 ) < σ 2 < ( 1)S2 ) X 2 X 2 α/2 1 α/2 Cotoh 7.11 Data berikut meyataka berat, dalam gram, 10 bugkus bibit sejeis taama yag dipasarka oleh suatu perusahaa : 46,4, 46,1, 45,8, 47,0, 46,1, 45,9, 45,8, 46,9, 45,2, da 46,0. Carilah selag kepercayaa 95% utuk variasi semua bugkusa bibit yag dipasarka perusahaa tersebut, aggap populasiya ormal. 7.11 Meaksir Nisbah dua variasi Selag kepercayaa utuk σ2 1 σ 2 2 s 2 1 1 s 2 2 f α/2 (v 1,v 2 < σ2 1 σ2 2 < s2 1 s 2 2 f α/2 (v 1, v 2 Cotoh 7.12 Suatu selag kepercayaa utuk perbedaa rataa kadar ortofosfor, diukur dalam mg per liter, pada dua stasio di sugai James telah dihitug pada cotoh yag lalu, dega megaggap kedua variasi populasi ormal da tidak sama. Tugas pertemua0 Statistik Matematika 2 1. 7.1,7.2,7.3,7.4,7.5,da 7.6 halama79 omor 10 2. 7.7 halama91 omor 6 3. 7.8 da 7.9 Halama 300-302 Nomor 15 4. 7.10 da 7.11 Halama 307 Nomor 7 6