BAB 4 ENTROPI PADA PROSES STOKASTIK RANTAI MARKOV 4. Proses Sokask Dalam kehdupa yaa, sergkal orag g megama keerkaa sau kejada dega kejada la dalam suau erval waku ereu, yag merupaka suau barsa kejada. Msalya bayakya kecelakaa yag erjad pada ruas jala yag sama selama 40 har. Dega megeahu kecelakaa har ka dapa mempredks peluag erjad kecelakaa esok har. Hal dapa dlakuka dega proses sokask. Proses sokask bayak daplkaska pada bdag pemasara (markeg), keuaga da produks barag. Proses Sokask sedr dapa ddefska sebaga berku. Defs 4. Proses Sokask { X, T} seap T erdapa peubah acak X. merupaka barsa peubah acak,yau uuk Nla peubah acak X damaka keadaa (sae) pada saa. Hmpua T dsebu ruag parameer aau ruag deks dar proses sokask X. Hmpua semua la X ()yag mugk dsebu ruag keadaa dar X. 38
BAB 4 ENTROPI PADA PROSES STOKASTIK RANTAI MARKOV 39 Proses-proses sokask dapa dklasfkaska berdasarka jes deks parameer da ruag keadaaya.. Proses Sokask dega ruag keadaa dskr da deks parameerya dskr aau kou. 2. Proses Sokask dega ruag keadaa kou da deks parameerya dskr aau kou. Proses sokask dega deks parameer dskr dkaaka sasoer apabla dsrbus gabuga hgga dak berubah erhadap waku, dapa dulska sebaga ( +,..., + m) (,..., m) P X = x X = x = P X = x X = x (4.) m uuk sebarag m Ν da semua, 0, m. m 4. Laju Erop dar Proses Sokask Ukura kedakpasa, erop juga dapa derapka pada proses sokask. Erop dapa dlha sebaga laju erop da ddefska dega Defs 4.2 : Laju erop dar suau proses sokask, {X } adalah H ( X ) ( X X X ) H,,..., lm jka lmya ada aau dapa pula dulska sebaga 2 = (4.2) ( X ) ( X X X 2 X) H = lm H,,..., (4.3) Umumya perhuga laju erop derapka jka proses sokask {X } sasoer. Uuk {X } yag sasoer (salg bebas da dek), aura raa dar erop meujukka H ( X ) H ( X ) = H( X ) = lm = lm = H ( X ) (4.4)
BAB 4 ENTROPI PADA PROSES STOKASTIK RANTAI MARKOV 40 4.2 Raa Markov Sebagamaa elah duaraka pada Sub Bab 4., erdapa klasfkas dalam proses sokask, da salah sauya adalah proses sokask khusus yag mempuya ruag keadaa dskr da deks parameerya dskr yau raa Markov. Cooh dalam kehdupa yaa adalah proses perubaha cuaca, dega keadaa cuaca har dpegaruh oleh keadaa cuaca sau har sebelumya. Secara maemas, raa Markov ddefska sebaga berku. Defs 4.3 Proses sokask dskr {X, =,2,...,m} dsebu raa Markov jka uuk >0 berlaku ( X X X X ) ( X X ) P = =,..., =, = = P = = (4.5) + + + + Dalam memudahka peulsa dalam beuk marks maka persamaa (4.5) dulska ( = =,..., =, = ) = ( = = ) P X+ j X X X j P X+ j X j (4.6) Sehgga dperoleh marks peluag rass (sau lagkah) dar {X,, =,2,...,m}doaska P, adalah suau marks dega eleme ke (, j)ya adalah peluag rass,p j. Jad P p p p p p p p p p 2 m 2 22 2m = m m2 mm Eleme-eleme dar marks rass P berla o egaf da jumlah elemeeleme pada seap barsya sama dega sau, m p j =, uuk seap =,2...,m. Defska pula q, peluag awal pada ap keadaa (sae), dega P(X =) = q. Vekor yag memua la awal dar ap keadaa, damaka dsrbus peluag awal, dega q = [ q, q2,..., q ].
BAB 4 ENTROPI PADA PROSES STOKASTIK RANTAI MARKOV 4 Dalam kasus, fmp dar peubah acak-peubah acak ersebu dulska sebaga (,,..., ) ( ) ( ) ( )... ( ) p x x2 x = p x p x2 x p x3 x2 p x x (4.7) Sehgga jka pmf dar peubah acak pada waku adalah p(x ), maka pmf uuk + adalah ( ) ( ) P p x + = p x x x + (4.8) x Defs 4.4: Raa Markov dkaaka me vara aau homoge jka peluag bersyara p( x + x dak bergaug pada, ) ( X b X a) ( X b X a) P = = = + P = 2 =, uuk a,b X. (4.9) Defs 4.5 : Suau dsrbus peluag p j, j dkaaka sasoer uuk suau raa markov jka (4.0) P( X = j) = P( X = j X = ) P( X = ) = PP j j dega duks dapa dperoleh, 2 2 = 2 = 2 (4.) P( X = j) = P( X = j X = ) P( X = ) = PP j j = 2 = 2 Dega kaa la, peluag sasoer adalah peluag uuk suau sehgga erjadya rass ke suau keadaa, bak masuk maupu keluar dar suau keadaa, laya relaf dak berubah. Jad, γ j merupaka solus uggal dar ssem persamaa lear γ = γ P, j =, 2,, da = j = k j γ k = Pejelasa lebh dalam megea raa Markov dapa dlha pada buku seper Taylor da Karl (994).
BAB 4 ENTROPI PADA PROSES STOKASTIK RANTAI MARKOV 42 Cooh 4. uuk raa Markov orde sau, msalka suau barsa DNA. Baga dmula dar kromosom-x GATCATTGATATGTTGCTAGAACTATGAGTGTTAAAGGTGCTTGTGGTGA GTTATCAGACAGAAACGCAGAAGATGTTATTGGAAGCTTGAGGAAAAGT GATCCTGGATTTACAGTGCCAAGAATTGGCCTGTATTGTGTTCTCAATGTT TTTGAGGAAGGTAGAAACTGTAAGTGATGA Pada keyaaaya barsa basa DNA lebh pajag, hampr mecapa ga jua barsa. Dalam kasus ada empa (4) karaker yau basa A, G, C, T. Bayakya kemucula basa A pada baga A = 54 kal, C = 9 kal, G = 5 kal, da T= 56 kal. Dar cooh barsa dapa dbua marks rass Karaker perama Karaker kedua A C G T Toal A 7 5 7 4 53 C 7 3 8 9 G 20 6 8 7 5 T 0 5 24 7 56 Toal 54 9 50 56 79 Tabel 4. : Frekues rass ap basa Marks rass dapa dbua mejad marks peluag rass dega membag seap la dega jumlah pada seap barsya (frekues relafya) Karaker perama Karaker kedua A C G T A 0,32075472 0,09434 0,320755 0,2645 C 0,3684205 0,57895 0,052632 0,42053 G 0,3925686 0,7647 0,56863 0,333333 T 0,785743 0,089286 0,42857 0,30357 Tabel 4.2 : Peluag rass ap basa
BAB 4 ENTROPI PADA PROSES STOKASTIK RANTAI MARKOV 43 Terlebh dahulu dhug aksra P da haslya 0,3207 0,0943 0,3208 0,2642 ˆ 2 0,3684 0,579 0,0526 0,42 P = 3 0,3922 0,76 0,569 0,3333 4 0,786 0, 0893 0, 4286 0,3035 4.3 Erop pada Raa Markov Ukura erop juga dapa dguaka pada raa Markov. Pada ulsa dbahas erop uuk raa Markov orde. Msalka berada pada keadaa, peluag pada aka berada d keadaa j, doaska p j, da kedakpasa memlh keadaa selajuya dapa dlha sebaga erop yag ddefska sebaga H ( ) = pjlog p j (4.2) Uuk p j = 0, ddefska p j log p j = 0. Nla H adalah erop keadaa ke. Apabla raa Markov sasoer pada keadaa, yau γ, maka erop sae mejad H = = γ H = γ p log ( p ) j j = (0.) Ekspres meyaaka raa-raa jumlah b yag dbuuhka uuk meyadka observas pada sae selajuya, da damaka erop (rass) raa Markov, dyaaka dega H. Jad jka deapka bahwa marks rass P 3 3 3 = 0 2 2 3 0 4 4
BAB 4 ENTROPI PADA PROSES STOKASTIK RANTAI MARKOV 44 maka erop perbars dar marks ersebu adalah H =,5849, H2 =, H3 = 0,83. Apabla dbadgka dega marks rass yag berbeuk P 8 9 8 8 = 0 2 2 3 0 4 4 eropya mejad H = 0,644, H2 =, H3 = 0,83. Padag kembal cooh 4. megea barsa DNA. Dar marks peluag rass aka dcar aksra erop dar, dega formula pada persamaa (4.3) dega bass yag dguaka pada log adalah 2. Hasl yag ddapa dega megguaka program pada Malab 7.0 adalah Ĥ p j ( p j), 2 p2j ( p2j) Ĥ = log =,88 Ĥ = log =, 700 p j ( p j), 4 p4j ( p4j) Ĥ = log =,8403 3 3 3 Ĥ = log =,80 Sehgga erop merupaka marks berukura x 4 yau Ĥ = (,88,700,8403,80) 4.4 Laju Erop pada Raa Markov Pada raa Markov juga dkeal laju erop sebaga berku. Defs 4.6 : Msalka raa Markov dak ereduks (rreducble) dega sae yag hgga, laju erop dapa dhug melalu ( X ) ( X X X 2 X) ( X2 X) H = lm H,,..., = H (4.4)
BAB 4 ENTROPI PADA PROSES STOKASTIK RANTAI MARKOV 45 Raa Markov yag mempuya dsrbus sasoer, γ da marks rass P, laju eropya mejad H = og P (4.5) ( X ) γ Pjl ( j) = Sama seper cooh kasus d aas, aka dhug erop dar dsrbus sasoer raa Markov, π da aksra peluag rass 0,3207 0,0943 0,3208 0,2642 ˆ 2 0,3684 0,579 0,0526 0,42 P = 3 0,3922 0,76 0,569 0,3333 4 0,786 0, 0893 0, 4286 0,3035 dega γ = [0.304 0.060 0.280 0.325]. Maka dega memafaaka defs erop pada persamaa (2.4) ddapa H( γ ) = ( 0.525 0.3432 0.5426 0.5244). Sedagka laju erop dar dsrbus sasoer da marks rass P dperoleh dega memasuka la-la ke persamaa (2.43) sehgga 4 4 ( X ) γ j 2 ( j) H = P log P = 0.5859 =