Ruang Vektor Adri Priadana ilkomadri.com
MEDAN SKLAR Misalkan diketahui bahwa K adalah himpunan, dan didefinisikan 2 buah operasi penjumlahan (+) dan perkalian (*). Maka K dikatakan medan skalar jika dipenuhi 10 aksioma berikut: 1. Untuk setiap α, β K maka α + β K dan α * β K 2. Untuk setiap α, β, γ K maka (α + β) + γ = α + ( β + γ ) 3. Terdapat 0 K disebut elemen nol, sedemikian sehingga 0 + α = α + 0 = α, untuk setiap α K 4. Untuk masing-masing α K, terdapat α K disebut negatif dari α sedemikian sehingga (-α) + α = α + (-α) = 0 5. Untuk setiap α, β K maka α + β = β + α
MEDAN SKLAR 6. Untuk setiap α, β, γ K maka (α * β) * γ = α * ( β * γ ) 7. Untuk setiap α, β, γ K a. α * ( β + γ ) = α * β + α * γ b. ( β + γ ) * α = β * α + γ * α 8. Untuk setiap α, β K maka α * β = β * α 9. Terdapat 1 K disebut elemen satuan, sedemikian sehingga 1 * α = α * 1, untuk setiap α K 10. Untuk masing-masing α 0 K, terdapat α -1 K disebut invers dari α sedemikian sehingga α -1 * α = α * α -1 = 1 Dalam hal ini semua anggota dari Field adalah skalar
MEDAN SKLAR Contoh Himpunan bilangan riil R adalah medan skalar terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Berikut adalah pembuktiannya : misal 1, 2, 3 R 1. 1 + 2 = 3, 3 R dan 1 * 2 = 2, 2 R 2. (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) => 6 = 6 3. Elemen 0 dari R adalah 0, dan 0 + 1 = 1 + 0 = 1, dimana 1 R 4. (-1) + 1 = 1 + (-1) = 0 5. 1 + 2 = 2 + 1
MEDAN SKLAR 6. (1 * 2)*3 = 1*(2*3) => 6 = 6 7. Untuk setiap 1, 2, 3 R a. 1 * ( 2 + 3 ) = 1 * 2 + 1 * 3 => 6 = 6 b. ( 2 + 3 ) * 1 = 2 * 1 + 3 * 1 => 6 = 6 8. 1 * 2 = 2 * 1 => 2 = 2 9. Elemen 1 dari R adalah 1, dan 1*1 = 1*1 = 1 10. 1-1 * 1 = 1 * 1-1 = 1 Tidak hanya pada 1, 2, 3, semua bagian dari R harus terpenuhi semua aksioma tersebut agar dapat dikatakan medan skalar.
RUANG VEKTOR Ada 8 syarat agar V (himpunan vektor) disebut sebagai ruang vektor, yaitu: 1. Jika vektor-vektor u, v V, maka vektor u + v V dan jika α K, maka α u V 2. Jika vektor-vektor u, v, w V, maka (u + v) + w = u + (v + w) 3. Untuk setiap u, v V dan α K maka α * (u + v) = α*u + α*v 4. Ada 0 V (vektor 0) sehingga 0 + u = u + 0, untuk semua u V
RUANG VEKTOR 5. Untuk semua u V terdapat - u V sehingga u + (-u) = 0 6. Untik setiap u, v V, maka u + v = v + u 7. Untuk setiap u, v V dan α, β K berlaku a. (α + β) * u = α*u + β*u b. (α β) * u = α (β*u) 8. Untuk setiap u V berlaku 1 * u = u, dimana 1 adalah elemen satuan dari K
RUANG VEKTOR Contoh Terdapat himpunan vektor V = { [1, 2, 3], [2, 3, 4], [3, 5, 7], [2, 6, 12] } dan himpunan skalar R {1, 2, 3}. Apakah himpunan vektor V adalah ruang vektor? Jawab untuk membuktikannya harus dicari apakah himpunan vektor tersebut memenuhi aksioma 1. u + v V [1, 2, 3] + [3, 5, 7] = [4, 7, 10] karena [4, 7, 10] V, aksioma pertama tidak terpenuhi maka himpunan vektor tersebut bukan ruang vektor
RUANG BAGIAN (SUBSPACE) Ruang bagian atau sub ruang vektor adalah sebenarnya ruang vektor juga, namun dengan syarat-syarat khusus Jika W adalah sekumpulan dari satu vektor atau lebih dari ruang vektor V, maka W disebut sebagai sub ruang V, jika dan hanya jika kedua kondisi di bawah ini berlaku : 1. W Ø (W tidak kosong) atau W { } 2. Untuk setiap u, v W maka u + v W 3. Untuk setiap u W dan α K, maka αu W
RUANG BAGIAN (SUBSPACE) Contoh Apakah ruang nol, O, merupakan sub ruang? O = {0} Jawab Bukti: 1. Ada 0 O, jadi O 2. Ambil u, v O, berarti u = 0 dan v = 0, akibatnya u + v = 0 + 0 = 0, jadi u + v O 3. Ambil u O, berarti u = 0, akibatnya ku = k0 = 0, jadi ku O Jadi O merupakan sub ruang dari setiap ruang vektor yang melingkupinya.
VEKTOR YANG BEBAS LINIER DAN BERGANTUNG LINIER Himpunan m buah vektor {u 1, u 2,..., u m } disebut bergantung linier (linearly dependent) bila terdapat skalar-skalar λ 1, λ 2,..., λ m yang tidak semuanya nol sedemikian rupa sehingga : λ 1 u 1 + λ 2 u 2 +... + λ m u m = 0 (0 adalah vektor nol) Sebaliknya, himpunan vektor {u 1, u 2,..., u m } disebut bebas linier (linearly independent) jika λ 1 u 1 + λ 2 u 2 +... + λ m u m = 0 hanya dipenuhi oleh λ 1 = λ 2 =... = λ m = 0
VEKTOR YANG BEBAS LINIER Contoh Selidiki apakah DAN BERGANTUNG LINIER 1. a = [8, 18, 13], b = [1, 3, 2], c = [2, 4, 3] 2. a = [2, 3] dan b [7, 1] bebas linier atau bergantung linier? 1. λ 1 [8, 18, 13] + λ 2 [1, 3, 2] + λ 3 [2, 4, 3] = 0 Misalnya λ 1 = 1, λ 2 = -2, λ 3 = -3, maka persamaan tersebut menjadi 1 [8, 18, 13] - 2 [1, 3, 2] - 3 [2, 4, 3] = 0 karena ada λ yang 0, maka ketiga vektor tersebut bergantung linier
VEKTOR YANG BEBAS LINIER DAN BERGANTUNG LINIER 2. Untuk a = [2, 3] dan b [7, 1] maka λ 1 [2, 3] + λ 2 [7, 1] = 0 sehingga 2 λ 1 + 7 λ 2 = 0 3 λ 1 + 1 λ 2 = 0 persamaan tersebut hanya dipenuhi bila λ 1 = 0 dan λ 2 = 0. Jadi vektor tersebut bebas linier.
KOMBINASI LINIER Suatu vektor v dikatakan kombinasi liner dari himpunan vektor {u 1, u 2,..., u m } bila terdapat skalar-skalar λ 1, λ 2,..., λ m sedemikian hingga v = λ 1 u 1 + λ 2 u 2 +... + λ m u m
KOMBINASI LINIER Contoh 1. Apakah a = [5, 15, 16] merupakan kombinasi linier dari b = [3, 3, 2] dan c = [1, 6, 7] 2. Apakah a = [5, 3] merupakan kombinasi linier dari b = [4, 3] dan c = [3, 7]
KOMBINASI LINIER Jawab Kita akan menyatakan a sebagai kombinasi linier dari b dan c 1. Kita hitung λ 1 dan λ 2 yang memenuhi [5, 15, 16] = λ 1 [3, 3, 2] + λ 2 [1, 6, 7] 5 = 3λ 1 + λ 2 15 = 3λ 1 + 6λ 2 16 = 2λ 1 + 7λ 2 Dengan subtitusi, diperoleh λ 1 = 1 dan λ 2 = 2, jadi a merupakan kombinasi linier dari b dan c, dimana komposisi a = b + 2c
KOMBINASI LINIER 2. Kita hitung λ 1 dan λ 2 yang memenuhi [5, 3] = λ 1 [4, 3] + λ 2 [3, 7] 5 = 4λ 1 + 3λ 2 3 = 3λ 1 + 7λ 2 Dengan subtitusi, tidak diperoleh nilai λ 1 dan λ 2 yang memenuhi. Jadi a bukan kombinasi linier dari b dan c.
RENTANGAN (SPAN) Misalkan S = {v 1, v 2,..., v k } adalah himpunan vektor dalam ruang vektor real V dan span (S), adalah himpunan yang berisi semua vektor kombinasi linier dari v 1, v 2,..., v k, yaitu span (S) = {c 1 v 1 + c 2 v 2 +... + c k v k c 1, c 2, c 3,..., c k R } jika span (S) = V, maka dikatakan bahwa V dibangun / dibentuk oleh S atau S membentuk V
RENTANGAN (SPAN) Contoh Tentukan apakah v 1 =(-2,1,2), v 2 =(0,1,3), v 3 =(-1,0,1) span dari ruang vektor R 3 Jawab : Untuk menentukan span di ruang vektor R 3, maka dicari kemungkinan setiap vektor di ruang R 3 adalah kombinasi linier dari v 1, v 2 dan v 3. Misalkan vektor a = (a 1,a 2,a 3 ) di ruang vektor R 3, maka a dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari v 1,v 2,dan v 3
RENTANGAN (SPAN) a1-2 0-1 a1-2 0-1 k1 a k 1 k 1 k 0 a 1 1 0 k 2 1 2 3 2 2 a 3 2 3 1 a 3 2 3 1 k 3 Agar supaya ada nilai k 1,k 2 dan k 3, maka matrik 3 x 3 tersebut harus mempunyai invers atau determinan tidak boleh sama dengan nol. Karena determinan matrik tersebut adalah -3, maka k 1,k 2 dan k 3 didapatkan. Jadi disimpulkan bahwa v 1,v 2 dan v 3 merupakan span dari ruang vektor R 3
BASIS DAN DIMENSI Vektor-vektor v 1, v 2,..., v k dalam ruang vektor V dikatakan membentuk basis dimensi V, jika 1. v 1, v 2,..., v k membangun V atau span (v 1, v 2,..., v k ) = V 2. v 1, v 2,..., v k adalah bebas linier Dimensi dari ruang vektor V adalah jumlah vektorvektor yang membentuk basis pada V
BASIS DAN DIMENSI Contoh Tentukan apakah vektor V = {a, b, c} basis dalam R 3 dan tentukan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh: 1. a = [2, 3, 6], b = [5, 7, 2], c = [7, 10, 8] 2. a = [1, 3, 5], b = [2, -3, 1], c = [-3, 0, 1]
BASIS DAN DIMENSI Jawab 1. λ 1 [2, 3, 6] + λ 2 [5, 7, 2] + λ 3 [7, 10, 8] = 0 Misalnya λ 1 = 1, λ 2 tersebut menjadi = 1, λ 3 = -1, maka persamaan 1 [2, 3, 6] + 1 [5, 7, 2] - 1 [7, 10, 8] = 0 karena ada λ yang 0, maka ketiga vektor tersebut bergantung linier dan vektor a, b, c bukan basis dalam R 3 dan dimensi ruang vektor V adalah 2, (c = a + b) -> {a, b} bebas linier karena tidak berkelipatan.
BASIS DAN DIMENSI 2. λ 1 [1, 3, 5] + λ 2 [2, -3, 1] + λ 3 [-3, 0, 1] = 0 sehingga [1, 3, 5] + [2, -3, 1] + [-3, 0, 1] = [0, 0, 0] maka λ 1 + 2λ 2-3λ 3 = 0, 3λ 1-3λ 2 = 0, 5λ 1 + λ 2 + λ 3 = 0 persamaan kedua menyebabkan λ 1 = λ 2, kalau hasil ini disubstitusikan ke persamaan pertama menyebabkan λ 1 = λ 2 = λ 3. Karena tidak ada λ yang 0, maka ketiga vektor tersebut bebas linier.
BASIS DAN DIMENSI 2. a = [1, 3, 5], b = [2, -3, 1], c = [-3, 0, 1] Jika kita jadikan matriks 1 2-3 3-3 0 5 1 1 dari matrik tersebut didapatkan determinan yaitu - 99 maka kedua syarat terpenuhi sehingga vektor a, b, c basis dalam R 3 dan dimensi ruang vektor V adalah 3.
Matur Nuwun