RUANG VEKTOR -5 ALJABAR LINIER

Transkripsi

1 RUANG VEKTOR -5 ALJABAR LINIER

2 Ruang Vektor berdimensi- n Untuk n= 1, 2 atau 3 : suatuvektordapat digambarkan, namun vektor tidak mungkin dapat digambarkan bila berada di ruang-n > 3 karena keterbatasandariruang. Denganadanyadefinisivektoryang diperluas, maka suatu matrik dan fungsi dapat diklasifikasikan sebagai vektor

3 Ruang Vektor riel SuatuobjekdidalamruangvektorVdisebut: vektor Vdikatakansebagairuangvektorbilamemenuhi10 aksioma berikut: 1. JikaudanvdidalamV, makau+ vjugaharusdidalamv 2. u+ v = v + u 3. u+ (v+ w) = (u+ v) + w 4.Di dalamruangvektorvadaobjek0, yang disebutsebagai vektor0 sedemikiansehingga0 + u = u + 0 = u, untuk semuaudidalamvektorv 5. UntuksetiapudidalamV, adaobjekyang disebutsebagai udidalamv, yang disebutsebagainegatipu, sehinggau + (-u) = (-u) + u = 0

4 6. Jika kadalah sebarang skalar dan uadalah objek di dalam ruang vektor V, maka ku juga ada di dalam ruang vektor V 7. k(u+v) = ku+ kv 8. (k+ m)u= ku+ mu 9. k(mu) = (km)u 10.1.u= u

5

6 Contoh soal : 1. Tunjukkan bahwa kumpulan matrik 2 x 2 dengan komponen riel adalah sebuah ruang vektor jika berlaku penjumlahan dan perkalian skalar. Jawab : Dalam kasus ini mungkin akan lebih mudah bila dibuktikan dengan aksioma yang urutannya sebagai berikut : 1, 6, 2, 3, 7, 8, 9, 4, 5 dan 10 Misalkan : u u u = u21 u 22 dan v v v = v21 v 22

7 Untuk membuktikan bahwa matrik memenuhi aksioma1, makau + v didalamruangv atau merupakanmatrik 2 x 2 u11 u12 v11 v12 u11 + v11 u12 + v12 u+ v = u u + v v = u + v u + v Demikian juga dengan aksioma 6, untuk semua bilanganriel k : u11 u12 ku11 ku12 ku = k u u = ku ku ku jugamerupakanmatrik 2 x 2, makakudi dalam V

8 Aksioma2, 3 merupakankonsekuesidariaksioma1, sedangkan aksioma 7, 8 dan 9 terpenuhi karena aksioma 6. Untuk membuktikan aksioma 4, harus dapat ditemukanobjek0 didalamruangv, yakni : u11 u12 u11 u12 = sehingga: u+0=0+u = u u = = u u u Sedangkan untuk aksioma 5, harus dapat ditemukan uuntuksetiapuyang adadidalamruangvektor Vsehingga u + u = 0 u u u u ( u) + u = + = = 0 u21 u 22 u21 u

9 2. Misal V = R 2 danoperasipenjumlahansertaperkaliandari u = (u 1,u 2 ) danv= (v 1,v 2 ) adalahsebagaiberikut: u + v = (u 1 +v 1, u 2 +v 2 ) danbilakadalahelemenbilanganriel, maka ku =(ku 1,0) Tentukan apakah V adalah ruang vektor? Jawab: Operasi penjumlahan dalam ruang ini adalah standar penjumlahan sehingga pasti memenuhi aksioma yang mengandung penjumlahan yaitu aksioma1 s/d 5. Sedangkan untuk perkalian, operasi ini tidak standar sehingga tidak memenuhiaksiomayang mengandungperkalianterutamaaksioma10 : 1.u= 1.(u 1,u 2 ) = (u 1,0) u Jikaadasatusajadari 10 aksiomaadayang tidakdipenuhi, makavadalah bukan ruang vektor

10 Sub-Ruang vektor Sub ruang vektor adalah sebenarnya ruang vekctor juga, namun dengan syarat-syarat khusus Jika Wadalah sekumpulan dari satu vektor atau lebih dari ruang vektor V, maka W disebut sebagai sub ruang V, jika dan hanya jika kedua kondisi di bawah ini berlaku : 1.Jika udan vadalah vektor di W maka u+v juga ada di W 2.Jika kadalah sembarang skalar dan uadalah sembarang vektor di W, maka ku juga ada di W

11

12 Contoh soal: Tentukan apakah W yang merupakan kumpulan titiktitik(x,y) diruang R 2 denganx 0 dany 0 adalahsub ruangvektorr 2 Jawab: Kondisi 1 memang terpenuhi Namun kondisi 2 tidak terpenuhi Jikau=(1,2) beradadidalamruangvektorvdan k = -1, makaku=(-1,-2) tidak beradadidalamruang vektor V OlehsebabituWbukanmerupakansub ruang dari V

13 Contoh sub ruang dari R 2 adalah : 1 {0} 2. Garis yang melalui titik (0,0) 3. R 2 itu sendiri Contoh sub ruang dari R 3 adalah : 1 {0} 2. Garis yang melalui titik (0,0,0) 3. Bidang yang melalui titik (0,0,0) 4. R 3 itu sendiri

14 KombinasiLinier danspan Sebuah vektor w dikatakan merupakan suatu kombinasilinier darivektor-vektorv 1, v 2 v n jika vektorw dapatdituliskansebagai : w = a 1 v 1 + a 2 v a n v n dengana 1, a 2 a n adalahsembarangskalaryang memenuhi persamaan. Jikadalamsistempersamaanlinier homogen(ax=0) dengan p persamaan dan n variabel, maka kumpulan darisolusinyaadalahsub ruangvektorr n

15

16 Contoh soal: Jika terdapat sistem persamaan linier berikut : x y 0 = z 0 Tunjukkan bahwa solusi dari system persamaan adalah sub ruang vektor R 3 Jawab : Dapat dibuktikan bahwa solusi dari persamaan adalah : x-2y+3z =0. Hasil ini menunjukkan suatu bidang yang melalui titik (0,0,0) yang merupakan sub ruang R 3

17 Jika terdapat vektor u=(-1,1,2) dan v=(2,-3,0) di ruang R 3, tentukan apakah vektor-vektor berikut ini adalah kombinasi linier dari udan v : a) (-4,5,4) dan (1,-2,0) Jawab : Untuk mengetahui suatu vektor adalah kombinasi linier dari vektor yang lainnya, dibuat penulisan persamaan vektor sebagai berikut : w = au 1 + a 2 v a 1 1 a 2-3 = = -a 1 + 2a 2 ; 5 = a 1-3a 2 ; 4 = 2a 1 Jadi : a 1 = 2 dan a 2 = -1

18 JikaS={v 1,v 2,,v r ) adalah himpunanvektordi dalamruangvektorv, makasub ruang Wdari V yang memuat semua kombinasi linier dari vektorvektoryang adadi Sdisebutsebagai spaced spanneddari v 1,v 2,,v r dandapatdikatakan bahwav 1,v 2,,v r adalah span W. Biasanya diatulisdengannotasi : W=span (S) atau W = span {v 1,v 2,,v r } Contohsoal : Tentukanapakah v 1 =(-2,1,2), v 2 =(0,1,3), v 3 =(-1,0,1) spandariruangvektorr 3

19 Jawab: Untukmenentukan spandiruangvektorr 3, makadicari kemungkinansetiapvektordiruang R 3 adalahkombina-si linier dari v 1, v 2 danv 3. Misalkanvektora=(a 1,a 2,a 3 ) diruang vektorr 3, makaadapatditulissebagai kombinasi linier dari v 1,v 2,dan v 3 a a k1 a2 = k1 1 + k k3 0 a2 = k 2 a a k 3 Agar supayaadanilai k 1,k 2 dank 3, makamatrik3 x 3 tersebut harus mempunyai invers atau determinan tidak boleh sama dengannol. Karenadeterminanmatriktersebutadalah-3, makak 1,k 2 dank 3 didapatkan. Jadidisimpulkanbahwav 1,v 2 danv 3 merupakanspandariruangvektorr 3

20 Bebas linier dan bergantung linier JikaterdapatsekumpulanvektorH={v 1, v 2,.. v n }, makapersamaan linier homogenyang mengandung vektor-vektor tersebut yakni a 1 v 1 +a 2 v a n v n =0 mempunyai jawaban minimal satu yaitu ketika setiap koefisiennya (a,a 1 2,.. a n )samadengannol (0) sehingga H disebutsebagai kumpulan bebaslinier (linearly independent). Jika ditemukan jawaban yang lain, maka H disebut sebagai kumpulan bergantunglinier (linearly dependent).

21

22 Contoh soal: 1. Apakah vektor-vektor berikut v 1 =(1,0,1), v 2 =(2,-1,3) dan v 3 =(-3,1,-4) saling bebas atau bergantung linier? Jawab : Untuk mengecek kebergantungan linier, langkah yang dilakukan adalah dengan menuliskan persamaan homogen yang mengandung vektorvektor tersebut yakni : a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 = 0 a 1 (1,0,1) + a 2 (2,-1,3) +a 3 (-3,1,-4) = 0 Diperoleh persamaan : a 1 + 2a 2 3a 3 =0; -a 2 + a 3 = 0 dan a a 2 4 a 3 = 0, didapatkan :a 1 =a 2 =a 3 = 1 Jadi vektor v 1, v 2 dan v 3 adalah bergantung linier.

23 2. Apakah polinomial-polinomial berikut ini bebas linier? p 1 = 1 2x + 3 x 2 p 2 = 5 + 6x x 2 p 3 = 3 + 2x + x 2 Jawab: Untuk menguji polynomial bebas atau bergantung linier, langkah yang dilakukan adalah dengan menuliskanpersamaan homogensebagai berikut: a 1 p 1 + a 2 p 2 + a 3 p 3 = a a -2 + a 6 + a 2 = a = a 3

24 Agar supaya a 1, a 2 dan a 3 memiliki nilai, maka determinan dari matrik 3 x 3 harus nol (0). Hasil perhitungan determinan matrik 3 x 3 adalah 0, jadi nilai a 1, a 2 dan a 3 ada. Dengan demikian polinomial-polinomial tersebut adalah bergantung linier.

25 Beberapa catatan : 1.Sebuah kumpulan vektor yang ada di dalam S, maka a)saling bergantung linier jika dan hanya jika paling sedikit ada 1 vektor di dalam Syang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain yang juga di dalam S b)saling bebas linier jika dan hanya jika tidak ada vektor di dalam Syang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor lainnya di dalam S. 2.Sekumpulan vektor berjumlah berhingga yang memuat vektor nol (0) adalah saling bergantung linier. 3.Jika S ={v 1, v 2, v 3,. v n } adalah sekumpulan vektor di ruang R m. Apabila n>m, maka himpunan Sadalah saling bergantung linier.

26 Basis dan dimensi Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut : Jika V adalah ruang vektor dan S = {v 1, v 2, v 3,.., v n } adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basisdari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi : 1. Ssaling bebas linier 2.S spandari V