KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari subruang vektor Dapat menghitung kombinasi linier dan span Dapat mengetahui contoh aplikasinya Surabaya, 3 September 2012 RUANG VEKTOR 2 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 2
Ruang Vektor (bentuk Umum) RUANG VEKTOR 3
Ruang Vektor V adalah himpunan tidak kosong Didefinisikan 2 operasi terhadap obyekobyek di V: penjumlahan, notasi u + v perkalian skalar, notasi kv Catatan: perlu diingat bahwa penjumlahan tidak selalu seperti (2, 1) + (1, 3) = (3, 4) perkalian skalar tidak selalu seperti 5( 2, 1) = (10, 5) RUANG VEKTOR 4
Ruang Vektor V disebut ruang vektor jika dipenuhi 10 (sepuluh) aksioma berikut: 1. Jika u, v V maka (u + v) V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w 4. Ada vektor nol 0 V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u 5. Untuk tiap u V, ada vektor u V yang dinamakan negatif u sedemikian sehingga u + ( u) = ( u) + u = 0 6. Jika k adalah skalar dan u V, maka ku V 7. k (u + v) = ku + kv 8. (k+m)u = ku + mu 9. k(mu) = (km) u 10. 1u = u RUANG VEKTOR 5
Ruang Vektor perhatikan aksioma 1, 4, 5, 6 berikut: 1. Jika u, v V maka (u + v) V 4. Ada vektor nol 0 V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u 5. Untuk tiap u V, ada vektor u V yang dinamakan negatif u sedemikian sehingga u +(-u) = (-u) + u = 0 6. Jika k adalah skalar dan u V, maka k u V ruang vektor bukan ruang vektor ruang vektor bukan ruang vektor u -u u v v 0 -v u+v 0 1 u+v 6 0 u ku ku u 0 RUANG VEKTOR 6
Teorema 5.1.1: V merupakan ruang vektor, u V dan k adalah skalar. Maka 1) 0u = 0 2) k0 = 0 3) ( 1)u = -u 4) Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0 RUANG VEKTOR 7
Subruang (subspace) RUANG VEKTOR 8
Subruang : W merupakan subset dari V. W disebut subruang dari V jika dan hanya jika W adalah ruang vektor, di bawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan di V, artinya 1. Jika u, v W maka (u + v) W 6. Jika k adalah skalar dan u W, maka ku W RUANG VEKTOR 9
V V u W u 0 (u+v) u v (u+v) v W v (u+v) u (u+v) v 0 W subspacev RUANG VEKTOR 10 W bukan subspace V
Catatan: Setiap Ruang Vektor memiliki paling sedikit 2 subruang yakni; V sendiri adalah sebuah subruang, dan himpunan {0} yang merupakan vektor 0 yang dinamakan sebagai subruang nol. RUANG VEKTOR 11
Contoh Subruang (1) (Sumber: Howard Anton, Aljabar Linear 5e, Subspace, 1997) RUANG VEKTOR 12
Contoh Subruang (2) RUANG VEKTOR 13
Contoh Subruang (3) RUANG VEKTOR 14
Contoh Subruang (4) Tinjaulah vektor-vektor u = (1, 2, -1) dan v = (6, 4, 2) di R 3. Perlihatkan bahwa w = (9, 2, 7) adalah kombinasi linear u dan v serta w, = (4, -1, 8) bukanlah kombinasi linear u dan v. Pemecahan: Kombinasi Linear? RUANG VEKTOR 15
Sub Ruang Hasil Jawaban SPL Himpunan dari semua vektor yang merupakan jawaban dari sistem persamaan homogen merupakan subruang di R n, dengan orde A adalah mxn. Contoh: Diberikan SPL homogin, x 1 +3x 2 5x 3 + 7x 4 =0 x 1 +4x 2 19x 3 +10x 4 =0 2x 1 +5x 2 26x 3 +11x 4 =0 Surabaya, 3 September 2012 RUANG VEKTOR 16 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 16
Matriks Eselon-nya : 1 0 3 2 0 1 4 3 0 0 0 0 x x 3 4 variable bebas, misal : x3 = sdan x4 = t x2 = 4s 3t dan x1 = 3s + 2t Jawaban dalam bentuk vektor : x 1 3 s + 2 t 3 2 x 2 4s 3t 4 3 x = = = s + t x 3 s 1 0 x4 t 0 1 x = su + tv u = (3, 4,1, 0) dan v = (2, 3, 0,1) Subruang dari jawaban SPL Homogin disebut Ruang Jawab. Surabaya, 3 September 2012 RUANG VEKTOR 17 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 17
Kombinasi Linier (Linear Combination) & Rentang (Span) RUANG VEKTOR 18
Definisi: Vektor w disebut kombinasi linier dari v 1, v 2,, v n jika w = k 1 v 1 + k 2 v 2 +.. + k n v n k 1, k 2,.. k n adalah skalar Teorema 5.2.3.: Jika v 1, v 2,, v n merupakan himpunan vektor di V, maka 1. Himpunan dari semua kombinasi linier dari v 1, v 2,, v n, disebut himpunan W, adalah subspace V 2. W adalah subspace terkecil yang berisi v 1, v 2,, v n RUANG VEKTOR 19
Teorema 5.2.3.: Jika v 1, v 2,, v r merupakan himpunan vektor di V, maka 1. Himpunan dari semua kombinasi linier dari v 1, v 2,, v r, disebut himpunan W, adalah subspace V 2. W adalah subspace terkecil yang berisi v 1, v 2,, v r Bukti 1: W adalah subspace jika u, v W, maka (u + v) W Vektor u, v W; k i, c i, a i adalah skalar u = c 1 v 1 + c 2 v 2 +.. + c r v r kombinasi linier dari v 1, v 2,, v r v = k 1 v 1 + k 2 v 2 +.. + k r v r kombinasi linier dari v 1, v 2,, v r (u + v) = (c 1 + k 1 )v 1 + (c 2 + k 2 )v 2 +.. + (c r + k r )v r = a 1 v 1 + a 2 v 2 +.. + a r v r kombinasi linier dari v 1, v 2,, v r RUANG VEKTOR 20
Teorema 5.2.3.: Jika v 1, v 2,, v r merupakan himpunan vektor di V, maka 1. Himpunan dari semua kombinasi linier dari v 1, v 2,, v r, disebut himpunan W, adalah subspace V 2. W adalah subspace terkecil yang berisi v 1, v 2,, v r Bukti 1: W adalah subspace jika u W, maka ku W Vektor u W; k, c i, d i adalah skalar u = c 1 v 1 + c 2 v 2 +.. + c r v r kombinasi linier dari v 1, v 2,, v r ku = kc 1 v 1 + kc 2 v 2 +.. + kc r v r = d 1 v 1 + d 2 v 2 +.. + d r v r kombinasi linier dari v 1, v 2,, v r RUANG VEKTOR 21
Contoh Subruang (4) Penyelesaian: (9,2,7) = k 1 (1,2,-1) + k 2 (6,4,2) SPL nya : k 1 + 6 k 2 = 9 2k 1 + 4 k 2 = 2 -k 1 + 2 k 2 = 7 Jika diselesaikan, didapatkan k 1 = -3 dan k 2 = 2 Sehingga w = -3u + 2v Bagaimana dengan w? Surabaya, 3 September 2012 RUANG VEKTOR 22 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 22
Contoh : Nyatakanlah a=(7,7,9,11) sebagai kombinasi linier dari u 1 =(2,0,3,1),u 2 = (4,1,3,2) danu 3 = (1,3,-1,3) Jawab : Tentukanlah s 1,s 2, dan s 3 yang memenuhi : Dalam bentuk matriks dinyatakanlah sebagai : a = s1u1 + s2u1 + s3u3 2 4 1 7 0 1 3 7 s 1 + s 2 + s 3 = 3 3 1 9 1 2 3 11 ATAU 2s 1 + 4s 2 + s 3 = 7 4s 2 + 3s 3 = 7 3s 1 + 3s 2 s 3 = 9 s 1 + 2s 2 + 3s 3 = 11 Surabaya, 3 September 2012 RUANG VEKTOR 23 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 23
Matriks lengkapnya : 2 4 1 7 0 1 3 7 3 3 1 9 1 2 3 11 Matriks Eselonnya : s 3 = 3, s 2 = -2, dan s 1 = 6 2 4 1 7 0 1 3 7 0 0 13 39 2 2 0 0 0 0 Dengan demikian dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari : a = 6u 2u + 6u 1 1 3 RUANG VEKTOR 24 Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 24
Rentang: Jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear v 1, v 2,, v r maka kita mengatakan bahwa vektor-vektor tersebut merentang V Diketahui suatu Ruang Vektor V S = {v 1, v 2,, v r } dan S V W = { x x merupakan kombinasi linier vektor-vektor S artinya: x = k 1 v 1 + k 2 v 2 +.. + k n v r } maka S adalah rentang (span) W RUANG VEKTOR 25
Contoh (1): Tentukan apakah v 1 =(1,1,2), v 2 =(1,0,1), dan v 3 =(2,1,3) merentang pada R 3 Contoh (2): Misalkan u=(2,0,-1,4) dan v=(2,-1,0,2). Tentukan apakah w=(-2,4,-3,4) merupakan span {u,v} Contoh (3): Diketahui u 1 =(2,0,-1,2,4), u 2 =(1,0,0,-1,2), dan u 3 =(0,1,0,0,-1). Apakah vektor-vektor tersebut span (merentang) w=(1,12,3,-14,-1)? RUANG VEKTOR 26
Latihan: 1. Nyatakanlah persamaan berikut sebagai Kombinasi Linear: p 1 =2 + x + 4x 2, p 2 =1 x + 3x 2, p 3 =3 + 2x + 5x 2 a. 5x 2 + 9x + 5 b. 3x 2 + 2x + 2 2. Nyatakanlah vektor berikut sebagai kombinasi linear dari: 3. Tunjukkan apakah polinomial berikut merentang P 2 p 1 =1 + 2x- x 2 p 2 =3 + x 2 p 3 =5 + 4x -x 2 p 4 =-2 + 2x - 2x 2 RUANG VEKTOR 27