BAB 2 PDB Linier Order Satu 2

BAB 1 Konsep Dasar 1

BAB 2 PDB Linier Order Satu 2

BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3

BAB 4 PDB Linier Order Dua 4

BAB 5 Aplikasi PDB Order Dua 5

BAB 6 Sistem PDB 6

BAB 7 PDB Nonlinier dan Kesetimbangan 7

BAB 8 Potret Fase Sistem PDB Nonlinier dan Aplikasi Pada bagian ini akan dibahas potret fase sistem otonomus nonlinier dalam aplikasi. Suatu teorema mengenai potret fase sistem otonomus nonlinier x 1 = ax 1 + bx 2 + f 1 (x 1 x 2 ) (8.1) x 2 = ax 1 + bx 2 + f 2 (x 1 x 2 ) (8.2) Misal r 1 r 2 adalah akar-akar persamaan karakteristik (nilai eigen) dari sistem yang dilinierkan maka potert fase dan stabilitasnya dapat dilihat dalam tabel berikut. 8.0.1 Interaksi Populasi Dalam bagian ini akan dibahas dua spesies yang berbeda, satu spesies disebut pemangsa dan spisies lainnya disebut mangsa (Predator-Prey). Spesies mangsa mempunyai persediaan makanan yang berlebihan sedangkan spesies pemangsa 100

BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 101 x 0 = Ax det(a ; ri) = 0 det A 6= 0 Nilai eigen Tipe titik kritis Stabilitas r 1 > r 2 > 0 Simpul Tidak stabil r 1 < r 2 < 0 Simpul Stabil asimtotik r 1 < 0 > r 2 Titik plana Tidak stabil r 1 = r 2 > 0 Simpul atau Titik spiral (Fokus) Tidak stabil r 1 = r 2 < 0 Simpul atau Titik spiral (Fokus) Stabil asimtotik r 1 r 2 = i Titik spiral (Fokus) > 0 Tidak stabil < 0 Stabil asimtotik r 1 = i r 2 = ;i Pusat atau Titik spiral (Fokus) Taktentu Tabel 8.1: Potret fase dan stabilitas sistem PDB otonomus nonlinier diberi makanan spesies mangsa. Kajian matematis mengenai ekosistem seperti ini pertama kali diperkenalkan oleh Lotka dan Volterra dalam pertengahan tahun 1920. Misalkan x 1 (t) dan x 2 (t) masing-masing menunjukkan banyaknya spesies mangsa dan pemangsa pada saat t maka bila kedua spesies itu terpisah model matematisnya digambarkan sebagai berikut: x 0 1 = a 1 x 1 (8.3) x 0 2 = ;a 1 x 2 : (8.4) Dalam hal ini a 1 > 0 karena populasi mangsa akan terus bertambah dengan adanya makanan yang banyak, sedangkan spesies pemangsa akan berkurang jumlahnya sehingga ;a 1 < 0. Akan tetapi bila kedua spesies itu berinteraksi maka model matematis yang diungkapkan oleh Lotka dan Volterra menjadi x 0 1 = a 1 x 1 ; a 2 x 1 x 2 (8.5) x 0 2 = ;a 3 x 2 + a 4 x 1 x 2 : (8.6) Populasi pemangsa akan memakan populasi mangsa sehingga beralasan untuk

BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 102 mengandaikan bahwa jumlah yang membunuh besarnya tiap satuan waktu berbanding lurus dengan x 1 dan x 2, yaitu x 1 x 2. Jadi populasi mangsa akan berkurang sedangkan populasi pemangsa akan bertambah. Persamaan (8.5-8.6) ini tak linier dan sulit diselesaikan dengan cara analitik untuk menentukan solusi eksplisitnya. Namun demikian dengan teori kualitatif sistem semacam ini dapat dianalisa untuk membuat ramalan tentang kelakuan kedua spesies tersebut. Dengan menyelesaikan sistem a 1 x 1 ; a 2 x 1 x 2 = 0 (8.7) ;a 3 x 2 + a 4 x 1 x 2 = 0 (8.8) untuk menentukan titik kritisnya didapat (0 0) dan (a 3 =a 4 a 1 =a 2 ). Dengan demikian sistem ini akan mencapai solusi seimbang pada x 1 (t) = 0 x 2 (t) = 0 dan x 1 (t) = a 3 =a 4 x 2 (t) = a 1 =a 2. Dalam hal ini solusi seimbang kedua akan dikaji. Secara intuitif dapatlah ditentukan solusi sistem itu, yaitu x 1 (t) = 0 x 2 (t) = x 2 (0)e ;a 3t merupakan solusi khusus dengan trayektori sumbu x 2 positif dan x 2 (t) = 0 x 1 (t) = x 1 (0)e a 1t merupakan solusi khusus dengan trayektori sumbu x 1 positif. Karena ketunggalan penyelesaian ini, maka setiap penyelesaian sistem ini yang pada t = 0 berawal pada kuadran pertama tidak akan memotong sumbu x 1 dan x 2 oleh karena itu solusi itu akan tetap berada pada kuadran pertama. Trayektori sistem ini diperoleh dari dx 2 dx 1 = ;a 3x 2 + a 4 x 1 x 2 a 1 x 1 ; a 2 x 1 x 2 = (;a 3 + a 4 x 1 )x 2 (a 1 ; a 2 x 2 )x 1 a 1 ; a 2 x 2 x 2 dx 2 = ;a 3 + a 4 x 1 x 1 dx 1

BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 103 atau a1 x 2 ; a 2 dx 2 = ; a 3 + a 4 dx 1 x 1 Inegralkan kedua ruas persamaan ini diperoleh penyelesaian umum a 1 ln x 2 ; a 2 x 2 = ;a 4 ln x 1 + a 4 x 1 + k ln x a 1 2 + ln x a 3 1 = a 2 x 2 + a 4 x 1 + k x a 1 2 e a 2x 2 x a 1 2 xa 3 1 = e a 2x 2 +a 4 x 1 +k dimana K = e k dan k merupakan konstanta sebarang. x a 3 1 e a 4x 2 = K (8.9) Dapat dilihat bahwa bila K > 0, trayektori (8.9) merupakan kurva tertutup, lihat Gambar 8.1, dan karena itu tiap penyelesaian (x 1 (t) x 2 (t)) dari (8.5-8.6) dengan nilai awal (x 1 (0) x 2 (0)) dalam kuadran pertama merupakan fungsi dari waktu yang periodik. Jika T merupakan periode dari penyelesaian x 1 (t) x 2 (t), yaitu, jika (x 1 (t + T ) x 2 (t + T ) = x 1 (t) x 2 (t) untuk semua t 0, maka nilai rata-rata dari populasi x 1 (t) dan x 2 (t) adalah x 1 = 1 T Z T x 1 (t)dt x 2 = 1 T Z T x 2 (t)dt: 0 0 Untuk menentukan nilai integral ini dapatlah diturunkan langsung dari persamaan (8.5-8.6) tanpa mengetahu solusi eksplisit. Dalam hal ini x 0 2 = ;a 3 x 2 + a 4 x 1 x 2 Z T x 0 2 x 2 = ;a 3 + a 4 x 1 : Integralkan kedua ruas dari 0 sampai dengan T, 0 1 x 2 (t) dx 2 = Z T ln x 2 (T ) ; ln x 2 (0) = ;a 3 T + a 4 0 Z T (;a 3 + a 4 x 1 (t))dt 0 x 1 (t)dt:

BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 104 Karena x 2 (T ) = 0 maka ;a 3 T + a 4 Z T 0 x 1 (t)dt = 0 atau 1 T Z T 0 x 1 (t)dt = a 3 a 4 : Dengan demikian x 1 = a 3 a 4 : Dengan cara yang sama akan diperoleh x 2 = a 1 a 2 : Dari (8.10) dan (8.10) dapatlah dibuat ramalan yang menarik bahwa ukuran rata-rata dari dua populasi x 1 (t) dan x 2 (t) yang berinteraksi sesuai dengan model matematis yang digambarkan pada persamaan (8.5-8.6) akan tepat mempunyai nilai setimbang pada x 1 = a 3 =a 4 dan x 2 = a 1 =a 2. Selanjutnya de-ngan menggunakan pengamatan ini dapatlah dibuat ramalan lain yang menarik. Misal populasi mangsa x 1 (t) berkurang dalam jumlah yang sedang, maka po-pulasi mangsa dan pemangsa akan berkurang jumlahnya pada laju, katakanlah, x 1 (t) dan x 2 (t). Sehingga sistem menjadi x 0 1 = a 1 x 1 ; a 2 x 1 x 2 ; x 1 x 0 2 = ;a 3 x 2 + a 4 x 1 x 2 ; x 2 : atau x 0 1 = (a 1 ; )x 1 ; a 2 x 1 x 2 (8.10) x 0 2 = ;(a 3 + )x 2 + a 4 x 1 x 2 : (8.11) Dengan menerapkan persamaan (8.10-8.10) dapat ditentukan bahwa rata-rata

BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 105 populasi mangsa dan pemangsa setelah adanya pengurangan masing-masing adalah x 1 = a 3 + a 4 (8.12) x 2 = a 1 ; a 2 : (8.13) Dengan kata lain rata-rata populasi mangsa akan lebih besar sedikit dari ratarata sebelum adanya pengurangan sedangkan rata-rata populasi pemangsa sedikit lebih kecil dari rata-rata sebelumnya. x 2 a1 a 2 a3 (, a a a 4 1 ) 2 a a 3 4 x 1 Gambar 8.1: Potret fase model interaksi Pemangsa dan Mangsa Melalui fungsi DEplot didapat potret fase umum berikut. Gambar 8.2: Potret fase sistem secara umum

BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 106 8.0.2 Mekanika Taklinier Ayunan Sederhana Ayunan sederhana terdiri dari sebuah bandul B bermassa m pada spotong tongkat yang ringan dan kaku sepanjang L, diikat bagian atasnya sedemikian hingga sisem itu dapat berayun pada bidang vertikal, lihat Gambar 8.3. 0 θ C T C L B s A mg sinθ mg mg cosθ Gambar 8.3: Ayunan Bandul Bila bandul itu ditarik satu arah dan dilepas dari keadaan diam pada saat t = 0 dan misal (t) merupakan perpindahan sudut dari tongkat pada saat t dari keadaan setimbang )A dimana sudut (t) positif bila bandul berada disebelah kanan dari kedudukan setimbang dan negatif bila berada disebelah kiri. Kita ingin mengkaji (t) bila bandul berayun kembali dan bergerak sepanjang busur lingkaran CC 0. Dari informasi yang ada telah diketahui (0) = 0 0 (0) = 0 dimana (0) = 0 adalah perpindahaan sudut awal dari tongkat dan (0) = 0 karena bandul dilepas dari keadaan diam. Ada dua gaya yang berkerja yaitu gaya berat (;mg) dan gaya tegangan tongkat T. Gaya ;mg dipecah menjadi dua komponen ;mg cos dan ;mg sin, lihat Gambarband. Gaya ;mg cos mengimbangi tegangan T pada tongkat, sedang gaya ;mg sin menggerakkan

BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 107 bandul sepanjang busur lingkaran BA. Menurut H.K. Newton II diperoleh dimana s adalah panjang busur AB dan d2 s dt 2 m d2 s = ;mg sin (8.14) 2 dt L merupakan panjang tongkat maka panjang busur s = L. atau m d2 s dt 2 percepatan sepanjang busur. Karena 2 = Ld (8.15) dt 2 d 2 dt + g sin = 0 (8.16) 2 L (0) = 0 0 (0) = 0: (8.17) Kedua persamaan terakhir ini menggambarkan secara lengkap gerak pendulum itu bersama nilai awalnya. Selanjutnya persamaan ini dapat dirubah kedalam sistem PDB order satu, dengan memisalkan! 2 = g L x 1 = dan x 2 = 0, sehingga diperoleh x 0 1 = x 2 (8.18) x 0 2 = ;! 2 sin x 1 : (8.19) Untuk menganalisa titik kritis persamaan ini, dapat ditentukan dari mengnolkan ruas kiri, sehingga x 2 = 0 ;! 2 sin x 1 = 0: Dengan menyelesaikan persamaan kedua diperoleh x 1 = = 0 2 3 : : : sehinggga titik kritisnya adalah : : : (;2 0) (; 0) (0 0) ( 0) (2 0) : : :

BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 108 Memahami sin x adalah fungsi periodik maka cukup dipelajari (0 0) ( 0) saja. Untuk (0 0) maka ekspansi deret Taylor disekitar x = 0 adalah sin x = x ; x3 3! + x 5 5! ; : : : sehingga persamaan (8.18-8.19) dapat dihampiri oleh sistem linier x 0 1 = x 2 x 0 2 = ;!2 x: (8.20) Dengan demikian persamaan karakteristik (8.20) adalah r 2 +! 2 = 0 dengan akarakar r 12 =!i. Menurut Tabel?? Tabel 8.1 dan maka titik kritis (0 0) adalah stabil pusat untuk sistem (8.20) dan merupakan titik pusat atau fokus untuk sistem (8.18-8.19), lihat Gambar 8.3. Panah pada trayektori menunjukkan arah perputaran jarum jam karena persamaan pertama dalam (8.20) yaitu x membesar bila y positif. Analog dengan ini sistem (8.18-8.19) juga mempunyai titik kritis pada (2n 0) untuk n = 1 2 : : :. x 2 2π π 0 π 2π x 1 Gambar 8.4: Trayekktori sistem ayunan bandul Selanjutnya kita kaji titik kritis ( 0). Ekspansi deret Taylor untuk sin x disekitar x = diberikan oleh sin x = ;(x ; ) + (x ; )3 3 ; (x ; )5 5! + : : : :

BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 109 Jadi sistem yang dilinierkan berbentuk x 0 1 = x 2 x 0 2 =! 2 (x ; ): (8.21) dan mempunyai titik kritis pada ( 0). Titik kritis dapat dipetakan ke (0 0) dengan memisalkan v = x ; sehingga menjadi v 0 = x 2 x 0 2 =! 2 v: (8.22) Persamaan karakteristiknya adalah r 2 ;! 2 = 0 dengan akar-akar r 12 =!. Karena akar-akarnya riel dan tandanya berlawanan, maka titik kritis (0 0) merupakan titik plana oleh karena itu merupakan titik kesetimbangan takstabil dari (8.22). Sebagai implikasinya, titik kritis ( 0) juga merupakan titik plana dan karena itu merupakan titik kesetimbangan takstabil dari sistem yang dilinierkan (8.21), lihat Tabel??. Selanjutnya menurut Tabel 8.1, diperoleh kenyataan bahwa karena ( 0) merupakan titik plana maka titik ini merupakan kesetimbangan stabil dari sistem (8.18-8.19). Sistem ini juga akan mempunyai sebuah titik plana pada titik (2n+1) 0) untuk n = 1 2 : : :, dan selengkapnya dapat dilihat dalam Gambar 8.5. Dengan menggunakan fungsi DEplot diperoleh potret x 2 4π 3π 2π π 0 π 2π 3π 4π x 1 Gambar 8.5: Potret fase fase dapat dilihat dalam Gambar 8.6.

BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 110 2π π π 2π Gambar 8.6: Potret fase secara umum Secara eksplisit kita juga dapat menurunkan persamaan trayektori persamaan (8.18-8.19). Dengan menggabungkan kedua persamaan itu, yaitu dx 2 dx 1 = ;! 2 sin x 1 x 2 maka persamaan ini merupakan PDB terpisah dimana solusinya adalah 1 2 x2 2 ;!2 cos x 1 = c: (8.23) Untuk menggambarkan potret fase dari persamaan ini adalah tepat sekali untuk menyatakan c dalam syarat awal. Andaikan bahwa x 2 = (x 2 ) 0 bila x 1 = 0 maka dari (8.23) didapat bahwa c = 1 2 (x 2) 2 0 ;!2 1 2 x2 2 ;!2 cos x 1 = 1 2 (x 2) 2 0 ;!2 x 2 2 + 2! 2 (1 ; cos x 1 ) = (x 2 ) 2 0 x 2 2 + 4!2 sin 2 x 1 2 = (x 2 ) 2 0 (8.24) Persamaan terakhir ini merupakan persamaan yang menggambarkan tiga tipe kurva yang beraputan dalam Gambar 8.5 dalam tiga kasus berikut.

BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 111 KASUS 1 j(x 2 ) 0 j < 2!. Nilai maksimum dari sudut x 1 (ingat bahwa x 1 = ) dicapai bila x 2 = 0 dan x maks = 2 arcsin (x 2) 0 2! < : Dalam kasus ini ayunan itu berosilasi antara sudut ekstrem x maks. Trayektorinya merupakan kurva tertutup sebagaimana terlihat dalam bagian paling dalam kurva dalam Gambar 8.5. KASUS 2 j(x 2 ) 0 j > 2!. Dalam kasus ini ayunan membuat putaran lengkap. Trayektorinya akan berbentuk kurva ombak pada bagian atas dan bawah kurva dalam Gambar 8.5. KASUS 3 j(x 2 ) 0 j = 2!. Dalam hal ini trayektori berbentuk simpal (kop) tebal yang memisahkan trayektori tertutup dan trayektori ombak dalam Gambar 8.5. Persamaan trayektori ini dapat diturunkan langsung dari persamaan (8.24) jika kita substitusikan 2! dalam (x 2 ) 0 sehingga diperoleh x 2 = 2! cos x 2

BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 112 Latihan Tutorial 3 1. Dalam interaksi mangsa dan pemangsa, misal populasi mangsa mempunyai persediaan makanan yang terbatas maka model persamaan interaksi itu akan menjadi x 0 1 = a 1 x 1 ; a 2 x 1 x 2 ; 1 x 2 1 x0 2 = ;a 3 x 2 + a 4 x 1 x 2 ; 2 x 2 2 dimana 1 1 > 0. Sebagi contoh khusus model ini adalah x 0 1 = 3x 1 ; x 1 x 2 ; 2x 2 1 x0 2 = ;x 2 + 2x 1 x 2 ; x 2 2, dimana x 1 x 2 diukur dalam ratusan mahluk. Kajilah stabilitsa dari tiap titik kritisnya dan tentukan apakah ini merupakan titik simpul, plana atau fokus. 2. Persamaan difrensial 00 + k +! 2 sin = 0 k > 0 merupakan gerak ayunan yang dipengaruhi gaya gesekan (gaya peredam) yang berbanding lurus dengan kecepatan sudut. Transformasikan PDB ini kedalam sistem PDB order satu dan buktikan bahwa hanya (n 0) untuk n = 0 1 2 : : : merupakan titik kritis dari sistem ini. Dalam setiap kasus kajilah stabilitas sistem pada (0 0) dan tentukan apakah (0 0) merupakan titik simpul, plana atau fokus untuk (a) k < 2! (b) k = 2! (c) k > 2! 3. Persamaan difrensial x 00 + (x 2 ; 1)x 0 + x = 0 > 0 disebut persamaan vanderp ol dan mengatur rangkaian listrik tertentu yang mengandung pipa hampa. Transformasikan PDB ini kedalam sistem PDB

BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 113 order satu dan buktikan bahwa hanya (0 0) satu-satunya titik kritis dari sistem ini. Kajilah stabilitas sistem pada (0 0) bila < 2 dabn > 2. Dalam setiap kasus tentukan apakah (0 0) merupakan titik simpul, plana atau fokus. 4. Dua tangki saling berhubungan (lihat Gambar 1). Awal mula tangki I berisi 30 Lt air yang berisi 20 gram garam, sementara tangki II berisi 20 Lt air dengan 15 gram garam. Kemudian air yang berisi 1 gram/lt dituangkan kedalam tangki I dengan laju 2 Lt/menit dan bercampur sempurna dalam tangki I, pada saat yang bersamaan campuran itu mengalir ke tangki II dengan laju 4 Lt/menit. Disisi lain air yang berisi 3 gram/lt dituangkan kedalam tangki II dengan laju 1 Lt/menit dan bercampur sempurna dalam tangki II dan pada saat yang bersamaan pula campuran itu mengalir ke luar dimana 2 Lt/menit mengalir kembali ke tangki I dan 3 Lt/menit mengalir keluar meninggalkan sistem. 2 Lt/min, 1 gram/lt 1 Lt/min, 3 gram/lt 4 Lt/min 2 Lt/min 3 Lt/min Gambar 8.7: Dua tangki yang saling berhubungan. (a) Tentukan model matematik lengkap dengan masalah nilai awalnya dari

BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 114 peristiwa ini. (b) Tentukan titik kesetimbangan (titik kritis) dari dari sistem PD order pertama tersebut. (c) Tentukan ekspresi model matematik yang menyatakan banyaknya garam dalam tangki I dan II setiap saat. 5. Suatu rangkaian tertutup seri dari hambatan (R), induktor (L) dan kapasitor (C) dihubungkan dengan sumber tegangan bolak balik E = 100 sin 60t Volt, lihat Gambar 2 dibawah ini. Jika muatan listrik awal dan arus listrik awal sama dengan nol, tentukan fungsi muatan listrik Q dalam kapasitor setelah saat tertentu t > 0. R = 2 ohm E I Keterangan: R : Hambatan L : Induktor C : Kapasitor C=1/260 farad L=1/10 henry Gambar 8.8: Rangkaian tertutup seri R L dan C.

Daftar Pustaka Boyce, W. E. & Diprima, R. C. 1997. Elementary Dierential Equations and Boudary Value Problems. John Wiley & Sons, Inc. Singapore Burden, R. L. and Faires, J. D. 1997.Numerical Analysis. Brooks/Cole Publishing Company. U.S. Lambert, J.D. 1993. Numerical Methods for Ordinary Dierential Systems. John Wiley & Sons, Inc. Singapore Powell, M.J.D. 1981. Approximation Theory and Methods. Cambridge University Press. U.K. Ross, S. L. 1989. Introduction to Ordinary Dierential Equations. John Wiley & Sons, Inc. New York. U.S. Shampine, L. F. & Baca, L.S. 1989. Computer Solution of Ordinary Dierential Equations: The Initial Value Problem. Freeman. San Francisco. 115