ANALISIS SISEM NON LINEAR MELALUI PENDEKAAN SISEM LINEAR DENGAN PARAMEER BERUBAH-UBAH Widowati Jurua Matematika FMIPA UNDIP Jl Prof H Soedarto SH Semarag 5075 e-mail: wiwied_mathudip@yahoocom Abtrak Pada paper ii dikemukaka hubuga atara item oliear dega item LPV (Liear Parameter Varyig ytem) dimaa item o liear dapat didekripika ebagai item LPV Melalui dekripi item LPV ii ketaklieara dari item direpreetaika dega parameter yag berubah-ubah terhadap waktu Sifat-ifat lokal dari item oliear terebut dikaji Diaumika bahwa emua yarat-yarat utuk ekitei da keuika olui telah dipeuhi Juga diaumika bahwa origi(titik aal) merupaka titik taioer Kemudia aka dibaha bagaimaa megaalii ketabila dari item o-liear ii dega megguaka pedekata item LPV Selajutya diberika bata-bata pada parameter yag berubah terhadap waktu ehigga mejami ketabila aimtotik dari item oliear terebut Sebagai verifikai dari metode yag dikemukaka terakhir diberika imulai umerik Kata-kata kuci : item oliear bouded real lemma item LPV 1 PENDAHULUAN Hukum kedali o liear dibetuk dega trategi utuk meyeleaika maalah aalii da itei dega ettig operai berbeda yag direpreetaika oleh uatu parameter Dega megguaka metode itei utuk item liear dega parameter berubah-ubah yaitu bahwa item o liear aka didekripika ebagai item LPV [] Dekripi item LPV ii adalah koervatif dalam hal ketaklieara dari item dapat ditagai oleh parameter yag berubah-ubah terhadap waktu Nilai parameter ii da kadag-kadag juga ada kedala laju variai parameter diberika didalam bo parameter yag terbata Hal i berarti bahwa item LPV tidak haya medekripika item o liear di titik aal tetapi juga emua item oliear yag diperoleh ketika parameter berubah ecara embarag diepajag ilaiya didalam bo parameter Pada paper ii aka dibaha haya pada item oliear yag ecara ekak dapat didekripika ebagai item LPV Sifat-ifat yag berkaita dega ketabila dari item oliear dikaji dalam kotek item LPV yag memeuhi bouded real lemma Beberapa peeliti [1 5 7] telah megkaji maalah ketabila dari item LPV dega laju variai parameter tak terbata da terbata eori umpa balik da fugi Lyapuov kuadratik diguaka utuk megaalii ketabila item LPV Maalah ketabila ii dapat dikarakteriai ebagai maalah pertidakamaa matrik liear (Liear matri iequality(lmi)) utuk meemuka matrik imetri defiit poitif Sebagai verifikai dari metode yag dikemukaka diberika cotoh utuk megaalii ketabila item oliear (perama Va der Pol) melalui pedekata item LPV Sitematika dari paper ii adalah ebagai berikut eori igkat tetag item liear dega parameter berubahubah diberika pada bagia Pada bagia 3 diajika pembahaa tetag pedekata item oliear dega item LPV Selajutya pada bagia 4 didikuika tetag cotoh umerik utuk megaalii ketabila item o liear melalui item liear dega parameter berubah-ubah da terakhir diajika keimpula SISEM LINIER DENGAN PARAMEER BERUBAH-UBAH Pada bagia ii diula ecara igkat tetag item liear dega parameter berubah-ubah Diberika himpua kompak 15
Widowati (Aalii Sitem No Liier Melalui Pedekata Sitem Liier dega Parameter Berubah-ubah) I R Himpua trayektori parameter feaible F ρ meotaika himpua dari emua fugi kotiu bagia demi bagia dari R + (waktu) ke I dega ejumlah higga dikotiuita dalam uatu iterval ~ + Fρ = { ρ: R R ρi ρi ρi i = 1 } (1) mi Himpua kompak I R berama-ama dega fugi kotiu A: R R m p p m B : R R C : R R D : R R merepreetaika item LPV G ( berorde dega peramaa ruag keadaa ebagai berikut = A( ρ ( ) + B( ρ ( ) u ( () y( = C ( ρ ( ) + D ( ρ ( ) dega ma ( R adalah vektor keadaa m y( R adalah keluara k R adalah mauka ρ ( R adalah vektor parameter da matrik ruag keadaa (ABCD) diaumika ebagai fugi kotiu dari parameter Berikut diberika koep ketabila dari item LPV dega laju variai parameter ρɺ ( tak terbata da terbata Diberika fugi kotiu A: R R Padag item LPV (dega laju variai parameter tak terbata) tapa mauka = A( ) ρ (3a) Fugi berilai kalar V : R R didefiiika ebagai V () := (P dega P R P > 0 urua dari fugi Lyapuov kuadratik V() diberika oleh dv( ) = [ A ( ρ ( ) P + PA( )] dt dega ρ epajag trayektori dari item (3a) Defiii 1[1 5 6] Fugi A dikataka tabil kuadratik ata P jika terdapat matrik real P > 0 edemikia ehigga A ( ) P + PA( ) < 0 ρ (3b) Norm teriduki L [ 7] dari item LPV yag tabil kuadratik dega keadaa awal ol didefiiika ebagai y G( = up up i ρ ( t ) Fρ u 0 ul u (4) Bouded Real Lemma (BRL) meyataka bahwa item LPV () dega laju variai parameter terbata adalah tabil aimtotik da mempuyai orm teriduki L yag terbata oleh γ γ > 0 utuk etiap ρ da ~ ɺ ρ F ρ 1 + { ρ C ( R R ) ρ I ɺ ρ ɺ ρ ɺ ρ i = 1 } ~ F = ρ i i i 1 C meotaika kela dari fugi-fugi terdifereialka kotiu bagia demi bagia jika terdapat fugi matrik defiit poitif P ( yag memeuhi (elajutya utuk peyigkata t tidak ditulika) A ( + A( + Pɺ ( B ( C( mi ma B( C ( γi D ( < 0 D( γi (5) Karea bata dari vektor parameter ecara impliit medefiiika himpua validita dari BRL pada pertidakamaa matrik liear (5) maka peguata L dari item berifat lokal 3 PENDEKAAN SISEM NONLINIER DENGAN SISEM LPV Sitem o liear yag didikuika diii mempuyai peramaa k = f ( ) D R R (6) Diaumka bahwa emua kodii utuk ekitei da keuika olui dipeuhi [] Selajutya perhatika cotoh item oliear dari peramaa Va der Pol 1 = = 1 03(1 1 ) + u (7) y = Dekripi item LPV dari peramaa Va der Pol di ata adalah ɺ 1 0 1 1 0 = + u (8) 1 03 + 03 ɺ ρ 1 16
Jural Matematika Vol 13 No1 April 010:15-19 dega ρ = 1 Haya bagia oliear pada peramaa (7) digati dega parameter ρ Dalam hal ii trayektori dari item oliear mempuyai trayektori yag ama dega trayektori dari item LPV dega megguaka hubuga dari ρ = 1 Dega megguaka program MALAB (LMI Cotrol oolbo) [3] dapat diperoleh matrik P defiit poitif olui dari pertidakamaa matrik liear (3b) da bata ata γ = 6683 jika diambil trayektori parameter pada { ρ R 0 09} F ρ= ρ Diperoleh bahwa jika ρ 1 maka ilai eige dari matrik A utuk froze parameter ( ρ ( t ) = ρ0 ) berada di ebelah kaa umbu imajier Akibatya alah atu kemugkia utuk parameter dega waktu kota ρ ( t ) = ρ0 olui dari pertidakamaa matrik liear (3b) tidak ada Sehigga bata ata dari peguata L valid utuk himpua yag berkorepodei dega ilai parameter pada F ρ yaitu { R 09 ρ 09} 1 eorema 31 [] Padag item o liear k = f ( u) R u R (9) z = h( u) da dekripi item LPV = A( + B( u (10) y = C( + D( u dega ρ = ) Aumika bahwa item LPV (10) memeuhi bouded real lemma dega LMI (5) utuk emua parameter ρ F ρ da ɺ ρ F ~ ρ Defiiika himpua χ = { D ) } (11) ~ ~ χ = { D ɺ ) } (1) Γ β = { D V ( ) β} (13) dega V = Jika ( χ ~ χ) Γ β maka item (9) adalah tabil aimtotik utuk ilai awal ( t 0 ) Γβ da utuk ( t 0 ) = 0 γ uu up u y dega himpua iput didefiiika ebagai V U = u L ( A( + B( u) 0 Γβ (14) Bukti: Bereuaia dega pertidakamaa matrik liear (5) pada bouded real lemma item LPV (10) tabil aimtotik da mempuyai peguata teriduki L (iduced L gai ) yag terbata oleh γ utuk etiap parameter ρ da ɺ ρ F ~ ρ da khuuya utuk ρ = ) Sitem LPV dega ρ = ) merupaka item oliear (9) yag megimplikaika bahwa item oliear mempuyai peguata teriduki L yag terbata oleh γ epajag keadaa didalam daerah χ ~ χ Secara umum terdapat ( χ ~ χ ) yag maa trayektori dari item oliear berada pada daerah χ ~ χ Bagaimaapu peguaa fugi V = yag diebut ebagai fugi Lyapuov utuk item tapa mauka (u = 0) megakibatka terdapat daerah di dalam χ ~ χ yag maa trayektoriya berada pada daerah terebut elama ada pembataa pada mauka u Etimai daerah yag berkaita dega fugi Lyapuov diberika pada Γ β Dari ii dapat diimpulka bahwa Γ β ( χ ~ χ ) da trayektori dari item tapa mauka berada di Γ β Kemudia perhatika item dega mauka ( u 0 ) urua dari fugi Lyapuov epajag trayektori parameter pada item LPV meghailka dv V = ( A( φ ( + B( u) (15) dt Sehiga jika U pada peramaa (14) terpeuhi utuk etiap Γβ maka trayektori yag berada di Γ β dapat tidak perah berada di Γ β hal ii kotradiki Selajutya dapat diimpulka bahwa item oliear (9) yag diperoleh ecara khuu dari item LPV dega parameter ρ = ) adalah tabil aimtotik Sehigga teorema terbukti 17
Widowati (Aalii Sitem No Liier Melalui Pedekata Sitem Liier dega Parameter Berubah-ubah) Kodii bouded real lemma utuk item LPV mejami peguata L lokal utuk item oliear diekitar titik taioer Hal ii berkaita dega kepoitifa (poitivee) dari fugi Lyapuov V = da epajag himpua χ da ~ χ yag memuat titik aal Bahwa himpua χ da ~ χ memuat titik aal ii adalah atural karea titik aal adalah titik taioer dari item oliear da termauk dalam χ da jika ρɺ = 0termauk dalam F ~ ρ maka titik aal termauk dalam ~ χ yag bereuaia dega ρ ρɺ = f ( 0) = 0 Oleh karea itu aka elalu ada himpua Γ β tidak koog yag maa bata ata dari peguata L dari item LPV adalah valid utuk item oliear 4 SIMULASI NUMERIK Perhatika kembali peramaa Va der Pol dega meguaka dekripi item LPV (8) haya pada domai 1 1 1 BRL dipeuhi Sitem aka mejadi tidak tabil utuk ilai 1 yag lebih bear Utuk memperbear domai padag dekripi LPV dari peramaa Va der Pol berikut ɺ 1 0 1 1 = (16) 1 + 03 03 ɺ ρ dega ρ = 1 Dari peramaa (16) utuk froze parameter diperoleh bahwa item matrik mempuyai 10 ilai eige egatif pada ρ < Hal ii 3 dapat memugkika bahwa domai peguata L dari item lebih bear dari pada kau (8) Utuk megkaji hal ii elajutya diguaka matrik P bergatug parameter yag diajika ecara affie [4] pada bouded real lemma Matrik ii dapat dicari dega meyeleaika pertidakamaa matrik liear (5) dega tekik griddig ruag parameter da dega megguaka paket oftware LMI [3] diperoleh matrik P ( 100 0181 0098 0017 = 0181 1079 + ρ 0017 0088 0607 1570 10 3 3 + ρ 1570 5449 1944 0017 3 5 + 10 ρ 0017 068 (17) Bata ata peguata L dari item adalah γ = 1411 utuk emua ilai parameter yag bervariai pada ρ = 1 169 (18) da dega laju variai parameter pada ρɺ = + 1( 1 03(1 1 ) ) 3 (19) Bagimaapu bereuaia dega eorema 1 maka item oliear (7) yag didekripika dega item LPV (16) tabil aimtotik pada domai yag bereuia dega kurva level Γ β dari fugi Lyapuov P yag termauk dalam iria himpua yag didefiiika eperti pada pertidakamaa (18) da (19) 5 PENUUP Daerah peguata L dari item LPV yag mejami peguata yag ama utuk item oliear dapat ditetuka berdaarka aalii item LPV Dari hail imulai umerik item o liear dapat didekripika dega beberapa item LPV yag berbeda berdaarka pemiliha parameter Juga diilutraika bahwa pemiliha parameter ecara khuu petig utuk meetuka domai ketabila item oliear berdaarka kodii aalii item LPV dega megguaka bouded real lemma 6 DAFAR PUSAKA [1] GS Becker (1993) Quadratic Stability ad Performace of Liear Parameter Varyig Sytem PhD Diertatio Uiverity of Califoria at Berkeley [] FBruzeliu (004) Liear Parameter- Varyig Sytem a approach to gai chedulig hei for he Degree of Doctor of Philoophy Chalmer 18
Jural Matematika Vol 13 No1 April 010:15-19 Uiverity of echology G oteborg Swede [3] PGahiet ANemirovki ALaub ad MChilali (1995) he LMI Cotrol oolbo he Math Work Ic: Natick MA [4] PGahiet ANemirovki PApkaria ad MChilali (1996) Affie Parameter Depedet Lyapuov Fuctio ad Real Parametric Ucertaity IEEE traactio o Automatic Cotrol 41(3) [5] P J Goddard ad K Glover (1998) Cotroller Approimatio: Approache for Preervig H Performace IEEE raactio o Automatic Cotrol 3(7)858-871 [6] GD Wood PJ Goddard ad K Glover (1996) Approimatio of Liear Parameter Varyig Sytem Proceedig of the 35th IEEE Coferece o Deciio ad Cotrol Kobe Japa [7] F Wu (1995) Cotrol of Liear Parameter Varyig Sytem PhD Diertatio Departmet of Mechaical Egieerig Uiverity of Califoria at Berkeley 19