3 Kinemaika Relaiisik Tujuan Perkuliahan: Seelah mempelajari Bab 3 ini mahasiswa diharapkan dapa:. Menjelaskan rumusan-rumusan prinsip relaiias khusus.. Memahami menurunkan ransformasi Lorenz dan ransformasi baliknya sera akiba-akiba dari rasformasi Lorenz. 3. Menghiung besaran-besaran dalam ransformasi Lorenz: relaiias simulan, konraksi panjang, dan dilaasi waku. 4. Memahami 4-ekor ruang-waku. 5. Menyaakan ransformasi Lorenz dalam noasi 4-ekor. 6. Memahami ensor dan operasi-operasinya. 7. Menyaakan 4-ekor energi-momenum. 8. Menyelesaikan persoalan umbukan. 9. Menyelesaikan persoalan hamburan. Fisika parikel berujuan unuk mempelajari srukur ruang, waku dan maeri pada ingka yang paling fundamenal. Arinya kia mempelajari fisika pada skala jarak sependek mungkin. Jika kia menginga kembali hubungan keidakpasian Heisenberg, p h /, ini berari bahwa kia ingin menari dan membukikan momenum yang sanga besar. Dengan kaa lain, kia akan mengamai fenomena-fenomena hamburan parikel dengan momenum dan enunya juga energi inggi. Sehingga seringkali dijumpai isilah fisika parikel dan energi inggi. Keika momenum parikel dinaikkan sehingga melebihi dari perkalian massa dengan keepaan ahaya, m, maka parikel menjadi relaiisik. Oleh karena iu eori relaiias adalah bagian erpadu dari fisika parikel. Berolak dari kenyaaan ini, kajian kinemaika dari parikel didasarkan pada eori medan kuanum (eori relaiias khusus dan mekanika kuanum). Teori medan kuanum adalah ala unuk mempelajari parikel yang didasarkan aas obyek-obyek yang dapa menipakan parikel dan merusak parikel. Obyek ersebu adalah medanmedan dari eori medan kuanum. Medan-medan kuanum adalah obyek-obyek yang menyerap dimensi ruang-waku. Parikel-parikel dapa dihasilkan aau dirusak dimanamana dan pada seiap waku. Sebagai onoh, sebuah elekron aau foon dapa ampak aau idak ampak dimana-mana di dalam ruang, sesuai dengan afsiran probabilisik. 53
Proses-proses kuanum mengijinkan sejumlah parikel-parikel bermuaan di alam semesa unuk berubah melalui penipaan aau perusakan parikel. Masing-masing parikel diipakan aau dirusak oleh medan-medan. Berbeda dengan eori elekromagneik, dalam eori medan kuanum gaya dan ineraksinya digambarkan dalam ungkapan medan-medan yang erjadi pada seiap iik dalam ruang-waku. Konsep ruang-waku, ruang dan waku idak dapa diinjau seara bebas, berasal dari perumusan relaiias khusus Einsein unuk menggambarkan keepaan, energi dan momenum dari parikel yang sanga inggi, keepaannya mendekai keepaan ahaya. Meskipun ruang dan waku idak sama, ruang dan waku jelas berbeda, pengukuran kedua besaran ersebu berdasarkan pada keepaan dimana sisem bergerak relaif sau sama lain. Sebagai onoh, dalam dilaasi waku (ime dilaion), waku yang dialami oleh obyek-obyek yang bergerak epa adalah berbeda. Pengukuran dilaasi waku digunakan unuk mempelajari parikel-parikel elemener yang dihasilkan keika berumbukan dan bergerak pada keepaan relaiisik. Dalam bahasan beriku ini, akan diinjau ulang perumusan parikel relaiisik berdasarkan pada konsep relaiias. Perama akan dipelajari ransformasi Lorenz dan akiba-akibanya seperi konraksi Lorenz, dilaasi waku dan relaiias simulan. Kemudian melalui perumusan 4-ekor kia akan mempelajari hukum-hukum kekekalan relaiisik dalam proses umbukan dan hamburan parikel. 3. Teori Relaiias Khusus Teori relaiias khusus Einsein adalah salah sau eori sanga pening yang merupakan deiasi dramaik dari fisika klasik dan sanga esensial dalam perkembangan eori relaiias umum dan eori medan kuanum. Teori ini didasarkan aas dua posula: () Hukum-hukum fisika adalah sama dalam semua kerangka inersia. () Laju ahaya,, adalah sama dalam seiap kerangka inersia. Pada posula perama dinyaakan keiadaan kerangka auan yang uniersal. Bila hukum-hukum fisika berbeda unuk kerangka auan yang berbeda dalam keadaan gerak relaif, maka kia dapa menenukan mana yang dalam keadaan diam dan mana yang bergerak dari perbedaan ersebu. Namun, karena idak erdapa kerangka auan uniersal, perbedaan ersebu idak erdapa, sehingga munul posula di aas. Posula ini mengikui konsep inuiif mengenai ruang dan waku yang kia benuk dalam kehidupan sehari-hari. Conoh yang sederhana, kia mempunyai dua buah kapal, A dan 54
B. Kapal A diam di aas air sedangkan kapal B bergerak dengan keepaan eap r. daerah ersebu dilipui kabu sehingga kedua pengama pada masing-maisng kapal idak bisa mengeahui kapal mana yang bergerak. Pada saa B berdampingan dengan A, api dinyalakan unuk sesaa. Menuru posula kedua dari relaiias khusus, ahaya api akan meramba kesegala arah dengan kelajuan eap. Pengama pada masing-masing kapal mendapakan bola ahaya dengan ia sebagai pusa, walaupun salah sau pengama berubah kedudukannya erhadap empa padamnya api ersebu. Jadi, kalau kia menempakan kerangka auan pada masing-masing kapal maka pengama pada kedua kapal akan meliha perisiwa yang sama karena kelajuan ahaya sama dalam kedua kerangka auan esebu. Dua posula Einsen kemudian menjadi dasar dari eori relaiias khusus. Jika kia menyakini aau seuju dengan kedua posula ersebu, ada beberapa akiba dari posula ersebu:. Waku idak uniersal.. Simulanias adalah relaif. 3. Dilaasi waku: gerak jam berjalan lamba. 4. Konraksi panjang: benda yang bergerak akan mengkeru dalam arah geraknya. 5. Massa dan energi adalah ekuialen. 3.. Transformasi Lorenz Berdasarkan eori relaiias khusus, semua hukum fisika adalah sama pada kerangka yang bergerak dengan keepaan konsan (sisem kerangka lembam). Tinjaulah dua kerangka lembam, S dan S, dengan S bergerak dengan keepaan uniform (besarnya r ) erhadap S (S, juga bergerak dengan keepaan r erhadap S ), liha Gambar 3.. Misalkan kerangka S bergerak searah, dan keika. Anggap, suau perisiwa erjadi pada posisi (,y,z) dan waku di kerangka S, bagaimana koordina ruang-waku (,y z ) dan di kerangka S? Jawabannya adalah Transformasi Lorenz yaiu ( i) ' γ ( ), (3.a) ( ii) y ' y, (3.b) ( iii) z ' z, (3.) ( i) ' γ, (3.d) 55
dimana γ /. (3.) Transformasi balik Lorenz, yaiu mengubah koordina ruang-waku dari kerangka S ke kerangka S dapa diperoleh dengan mengubah anda dari keepaan yaiu ( i) γ ( ' + '), (3.3a) ( ii) y y ', (3.3b) ( iii) z z ', (3.3) ( i) γ ' + '. (3.3d) y y S S P O O z z Gambar 3.. Dua buah kerangka auan S dan S bergerak relaif sau sama lain dengan keepaan searah sumbu- Sekarang kia perhaikan kedua persamaan di aas, persamaan (3.) dan (3.3). Ada beberapa hal yang dapa kia pahami:. bila kia mengambil / ukup keil aau aau sehingga γ, maka kia akan memperoleh persamaan ransformasi Galileo,. koordina ruang dan waku idak dipisahkan (, ), 3. persamaannya idak berubah benuk dari sau kerangka auan dengan kerangka auan yang lain. Berari persamaannya mengikui posula Einsein yang perama. 4. hanya ada keepaan relaif. Kerangka auan S memiliki keepaan relaif (-) erhadap S aau sebaliknya. 56
Transformasi Lorenz di aas memiliki sejumlah akiba-akiba yang akan dipelajari pada pasal berikunya. 3.3. Akiba-akiba dari ransformasi Lorenz 3.3. Relaiias Simulan Misalkan kia injau dua buah iik ruang-waku (, ) dan (, ) dalam kerangka auan S. Andaikan keduannya adalah simulan, sehingga dalam kerangka auan S,. Akankah keduannya eramai juga simulan dalam kerangka S? Unuk ransformasi waku dalam S, ransformasi Lorenznya diberikan oleh ' γ, dan ' γ. (3.4a) Maka ineral waku dalam S anara dua perisiwa diberikan oleh Sebagaimana ( ) ' ' γ, (3.4b), yakni perisiwa adalah simulan dalam S, maka simulanias dalam S idak mengakibakan simulanias dalam S. Keuali, jika kedua perisiwa berada pada empa yang sama, yaiu dalam kasus, maka ineral waku anara dua perisiwa adalah nol. Demikian pula, jika / adalah keil, yaiu sanga keil dibandingkan dengan laju ahaya, dua perisiwa adalah simulan dalam kedua kerangka auan. 3.3. Konraksi Panjang Lorenz. Kia ingin melakukan suau pengukuran pada panjang dari sebuah objek dalam kerangka auan yang berbeda. Panjang yang dimaksud adalah jarak dari sau iik ujung ke iik ujung yang lainnya dari sebuah objek. Misalnya, kia injau sebuah baang yang diam dalam kerangka auan lembam S, berada sejajar dengan sumbu-. Sau ujungnya memiliki koordina (,,) dan ujung yang lain dengan koordina (,,). Maka dalam kerangka S, kia memiliki panjang baang adalah L ' ', (3.5a) disini L dinamakan dengan panjang proper yaiu jarak anara dua iik yang diukur pada keadaan diam, panjang yang diukur pada kerangka auan diam. 57
Seorang pengama berada dalam kerangka auan S, akan mengamai baang bergerak dengan laju. Pada waku yang sama juga akan mengamai panjang baang dengan beda koordina ( ) anara kedua ujungnya. Koordina-koordina dan dihubungkan dengan, dan melalui ransformasi Lorenz, adalah Maka beda koordinanya adalah aau /, dan / L / / / L /,. (3.5b) L L L, (3.5) γ disini L adalah panjang baang dalam S. Jadi unuk >, persamaan (3.5) memperlihakan bahwa L < L. Akiba ini dinamakan dengan konsraksi panjang Lorenz. Conoh 3.. Seorang asrono yang ingginya epa 8 m di bumi, berbaring sejajar dengan sumbu pesawa angkasa yang bergerak dengan kelajuan,8 relaif erhadap bumi. Berapakah inggi asrono jika diukur oleh pengama dalam pesawa ersebu? Peranyaan yang serupa, eapi diukur oleh pengama di bumi.? Jawab: Dikeahui: L 8 m,8 Menuru pengama yang ada di pesawa angkasa asronau iu diam jadi ingginya eap 8 m (panjang proper). Teapi menuru pengama di bumi dia bergerak dengan laju,8 maka 58
L L (,8 ) 8m 8m,36 8m Jadi, inggi asrono menuru pengama di dalam pesawa adalah 8 m sedangkan inggi asrono menuru pengama di bumi adalah 8 m. 3.3.3 Dilaasi Waku. Sekarang kia ingin mengukur waku pada dua kerangka auan yang berbeda. Misalkan kia menempakan sebuah jam pada kerangka auan S di ' dan andaikan bahwa dan ' adalah dua waku beruruan (yaiu < ' ' ' ), diukur oleh seorang pengama dalam kerangka auan S. Sehingga ineral waku yang berhubungan dalam kerangka auan S adalah '. (3.6a) ' ' Selanjunya, seorang pengama di dalam kerangka auan S mengukur waku ersebu sebagai dan. Waku ini dihubungkan dengan pengukuran dalam kerangka auan S melalui ransformasi balik Lorenz yaiu ' + '/, dan + '/ '. (3.6b) Karena iu, ineral waku menuru pengama di S, adalah beda anara dua waku yang diukur dalam S: aau dapa diulis kembali menjadi, ' ' ', γ '. (3.6) Jadi dapa disimpulkan bahwa sebuah jam yang bergerak pada laju dalam kerangka auan S berjalan lebih lamba erhadap seorang pengama yang diam pada kerangka auan S. Akiba dari ransformasi Lorenz ini dinamakan dilaasi waku. 59
Conoh 3.. Berapa kelajuan pesawa ruang angkasa yang bergerak relaif erhadap bumi supaya jam didalam pesawa sama dengan jam di bumi. Jawab: Dikeahui: jam jam Kelajuan pesawa dapa diari dengan menggunakan rumus (3.6) Maka. aau jam jam 4 3 4 Jadi, kelajuan pesawa ruang angkasa adalah,86.,86 3.3.4 Penjumlahan Keepaan Misalkan suau parikel bergerak pada arah dengan laju laju u erhadap S? Parikel ersebu menempuh jarak γ ( ' ') waku γ ( ) u ' erhadap S. Berapakah + dalam selang ' + / ', karena / u dan '/ ' u ' maka u ' + u u ' +. (3.7a) Persamaan (3.7a) dinamakan hukum penjumlahan keepaan relaiisik. Apabila / << dan u '/ <<, maka u u ' +, berhubungan dengan limi klasik. Persamaan (3.7a) jelas merupakan afsiran dari posula (ii) relaiias khusus, yaiu dengan mengambil u ' maka u, laju ahaya adalah sama dalam sisem inersia. Namum, 6
bila salah sau keepaannya mendekai, maka penyimpangan aau koreksi relaiisik keepaan akan menjadi pening. Persamaan (3.7a) dapa diulis dalam benuk: ( / )( w/ ) u + w/ (3.7b) Dengan ungkapan ini jelas bahwa u idak mungkin akan sama aau lebih besar daripada, asalkan baik dan u ' lebih keil dari. 3.4. Empa-Vekor (Four-Veor) Dalam fisika klasik, kia membedakan anara koordina ruang dan waku. Koordina waku selalu berransfomasi ehadap dirinya sendiri. Oleh karena iu, ineral waku dalam injauan fisika klasik adalah inarian. Sedangkan dalam eori relaiias, ransformasi dari koordina waku, dari sau koordina ke koordina yang lain berganung pada waku dan koordina ruang dari sisem koordina yang lain, asalkan kedua sisem yang diinjau idak diam relaif sau dengan yang lain. Hukum-hukum fisika klasik selalu dirumuskan sedemikian sehingga koodina waku erpisah dari koordina ruang. Ini ukup beralasan karena iri dari ransformasinya erhadap hukumhukum ersebu adalah koarian. Pada pembahasan sebelumnya ruang dan waku idak dapa diinjau seara bebas erhadapa ransformasi Lorenz. Oleh karena iu, ada ara unuk meninjau ruang dan waku berbeda dari sebuah obyek, yaiu ekor ruang-waku dengan 4 komponen. Selanjunya akan disebu dengan 4-ekor. Unuk menyaakan sebuah perisiwa dalam suau sisem koordina, kia dapa menggunakan noasi indeks. Misalnya sisem koordina 4-dimensi, kia akan menuliskan dengan 3,,, r 3, dimana,, y, z. (3.8) ( ) ( ) Komponen nol dari noasi 4-ekor diberikan oleh, yaiu kia membenuk perkalian (keepaan ahaya) (waku) pada salah sau koordina, sehingga kia memperoleh sauan jarak. Sedangkan komponen sisanya adalah ruang 3-dimensi biasa. Indeks aas (superskrip) hanya label saja, bukan berari pangka. Sehingga adalah sebuah radius 4-ekor dalam ruang ekor 4-dimensi. Dalam pembahasan selanjunya kia sering kali akan mejumpai alfabe Yunani seperi (mu), ν (nu) dan seerusnya adalah sebagai sebuah indeks ruang-waku,, ν,,,3. Indeks ini adalah noasi 4-6
ekor. Sehingga unuk seiap koordina dapa diulis r y z dimana 3 (,, ) (,, ) (, i ) aau (, ) adalah bagian ruang dari ruang-waku empa-dimensi. Dalam noasi 4-ekor, maka ransformasi Lorenz menjadi ( i) ' γ ( β ) r, dengan, (3.9a) ( ii) ', (3.9b) 3 3 ( iii) ', (3.9) ( i) ' γ ( β ), (3.9d) β. (3.9e) Keempa persamaan (3.9a) (3.9d) dapa dinyaakan sebagai persamaan marik dengan sebagai sebuah marik kolom 4, Aau seara singka dapa diulis ' γ γβ ' γβ γ '. (3.) 3 3 ' { 4444443 { ν ' Λν dimana 3 ' Λ, (3.) Λ Λ Λ Λ 3 γ γβ γβ γ Λ Λ Λ Λ 3 Λ. (3.) Λ Λ Λ Λ 3 3 3 3 3 Λ Λ Λ Λ3 Unuk menghindari banyak menulis Σ (sigma), kia akan mengikui konesi penjumlahan Einsein yaiu indeks-indeks Yunani yang berulang (yaiu indeks bawah dan indeks aas) adalah suau penjumlahan dari sampai 3. Sehingga persamaan (3.) menjadi Λ. (3.3) ' Persamaan (3.3) dengan elemen makrik Λ diberikan oleh persamaan (3.) adalah ransformasi Lorenz yangmana kerangka S bergerak sepanjang sumbu. Sumbu S 6
dan sumbu S idak harus parallel. Persamaan (3.3) bersifa umum dengan elemen marik Λ berbeda berganung arah gerak kerangka S erhadap S. Teapi meskipun demikian menuru persamaan (3.3) dalam ransformasi S ke S, erdapa suau kombinasi khusus anara S dan S yang eap sama yaiu 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ') ( ') ( ') ( ') I. (3.4) Suau kuanias yang demikian, yaiu yang memiliki nilai yang sama di sembarang sisem inersia disebu inarian erhadap ransformasi Lorenz (sama halnya dengan kuanias r + y + z adalah inarian erhadap roasi). Besaran I disini idak lain adalah ineral/jarak anara dua iik di dalam ruang-waku. Sekarang, kia akan menuliskan inarian ini dalam benuk somasi 3 eapi erdapa anda minus (-). Unuk iu perlu dikenalkan merik g ν yang komponennya dinyaakan dalam benuk marik g ν g ν g g g g3 g g g g 3. (3.5) g g g g 3 g3 g3 g3 g33 Sehingga kuanias inarian (I) dapa diuliskan sebagai penjumlahan ganda 3 3 I g g. (3.6) Unuk langkah selanjunya, kia definisikan 4-ekor koarian (indeks bawah) sebagai beriku: g ν ν. (7) Dengan ν benuk adalah 4-ekor konraarian, sehingga inarian dapa diuliskan dalam I. (3.8) Kia definisikan sebuah 4-ekor, a, sebagai suau objek 4-komponen yang berransformasi dengan ara yang sama dengan, berransformasi dari kerangka inersia yang sau ke kerangka inersia yang lain, maka berlaku juga Λ. (3.9) ' a a a 63
Unuk seiap 4-ekor konraarian, berhubungan dengan 4-ekor koarian a, yang diperoleh dengan mengubah anda dari komponen ruang aau a g a ν ν. (3.) Sebaliknya, kia juga dapa mengubah dari koarian ke konraarian dengan membalikkan anda yaiu ν g, (3.) ν dimana g ν adalah inerse dari marik dari g ν aau g ν ( g ). Jadi merik ν memebrikan suau ara bagaimana sebuah ekor konraarian dihubungkan dengan sebuah ekor koarian. Misalkan dua buah 4-ekor a danb, maka kuanias a b a b g a b a b a b a b a b ν 3 3 ν, (3.) adalah inarian (sama nilainya dalam sisem inersia sembarang). Operasi dua buah 4- ekor ini adalah perkalian skalar dari a dan b. Perkalian skalar 4-dimensi ini analog dengan perkalian skalar/iik (do produ) dari ekor -dimensi aau 3-dimensi. (eapi idak ada 4-ekor yang anolog dengan perkalian ekor/ross produ). Sehingga dapa diuliskan a b a b. (3.3) Unuk membedakan perkalian skalar 4-dimensi dengan perkalian skalar -dimensi aau 3-dimensi, maka ekor 3-dimensi, dinyaakan dengan huruf yang diberi anda panah pada bagian aas r r. (3.4a) a b a b a b Noasi sehingga a adalah perkalian skalar a a a a a a Nilai anda dari ( ) ( ) a a a a r. (3.4b) a idak harus bernilai posiif. Semua 4-ekor dapa diklasifikasikan berdasarkan a : Jika Jika a >, maka a disebu serupa waku (imelike), (3.5a) a <, maka a disebu serupa ruang (spaelike), (3.5b) Jika a, maka a disebu serupa ahaya (lighlike). (3.5) Dalam merik ruang-waku, ineral (I) (serupa ahaya) jika kedua iik ersebu berada pada linasan ahaya yaiu dengan laju. Jika I > (serupa waku) arinya jika kedua iik erleak pada linasan parikel yang memiliki laju < dan jika I < 64
(serupa ruang) jika kedua iik erleak pada linasan parikel yang memiliki laju >. Vekor adalah langkah awal menuju ensor. Sebuah ensor rank-dua S ν erdapa dua indek yang memiliki 4 6 komponen dan berransformasi dengan fakor Λ S Λ Λ S. (3.6) ' κσ κ σ Sebuah ensor rank-iga νλ memiliki 4 3 64 komponen dan berransformasi dengan 3 fakor Λ Λ Λ Λ, (3.7) λ ' κστ κ σ τ dan begiu seerusnya. Dalam hal ini dapa dikaakan bahwa ekor adalah sebuah ensor rank-sau dan skalar (inarian) adalah sebuah ensor rank-nol. Kia dapa membangun ensor koarian dan menampur dengan mengubah indeks aas menjadi indeks bawah dengan menggunakan ensor merik g ν, sebagai onoh λ S g S, (8a) ν λν S g g S λσ ν λ νσ dan seerusnya. (8b) Tensor rank-n dapa diliha dari jumlah indeks yang berbeda. Sebagai onoh S Tensor rank-, S ν Tensor rank-, S Tensor rank-, S νκ κ Tensor rank-. Tensor rank- dikaakan simerik jika erhadap perukaran dua indeksnya idak berubah S ν ν S dan dikaakan anisimerik jika berubah anda a a. ν ν Conoh 3.3. Dikeahui empa-ekor A (5,,, ). Bila S bergerak dengan laju pada arah- relaif erhadap S, arilah komponen-komponen empa-ekor ersebu dalam S, dimana empa-ekor konraarian didefinisikan sebagai suau besaran yang ν memenuhi ransformasi A A L A. Jawab: Dengan menggunakan persamaan () maka A Λ A Λ A + Λ A + Λ A + Λ A ν ν 3 3 γ 5 + ( γ / ) + + 65
5γ. Dengan ara yang sama, ν A Λ A 5 γ /, A Λ, A ν A Λ. 3 3 A ν Maka A (5 γ, 5 γ /,, ). 3.5. Energi dan Momenum Dalam ruang iga dimensi, kuadra jarak dari dua buah iik dinyaakan oleh persamaan sehingga arus panjang didefinisikan sebagai inegral garis ds d + dy + dz, (3.9) P. (3.3) P s d + dy + dz Dengan analogi ini, waku proper τ juga didefinisikan sebagai inegral dari elemen diferensial dτ sepanjang world line dari parikel. Dari persamaan (3.4), kia definisikan elemen diferensial sepanjang world line dari parikel adalah ds Maka dτ ds ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) 3 d d d + + d d d 3 ( ) + ( y ) + ( z ) d d d. γ Maka waku proper didefinisikan sebagai: d dτ, γ γ / d dτ. (3.3) yangmana konsisen dengan dilaasi waku yang elah dipelajari sebelumnya. Persamaan unuk sebuah parikel elemener yang bergerak dengan keepaan mendekai ahaya. Tenunya unuk benda yang bergerak dengan laju, d dan dτ sama 66
karenaγ. Penggunaan waku yang paling epa unuk benda yang bergerak dengan laju mendekai laju ahaya adalah waku proper karena τ inarian. Dalam membiarakan keepaan parikel, dikenal keepaan laboraorium yaiu dan juga keepaan proper η yaiu d, (3.3) d d η. (3.33) dτ Dari persamaan (3.) kedua keepaan dihubungkan dengan fakor γ η γ. (3.34) Jika kia akan mengukur dari sisem laboraorium S ke sisem yang bergerak S baik penyebu dan pembilang pada persamaan (3.33) harus diransformasi sehingga dimana komponen η adalah η d, (3.35) dτ d d( ) η γ dτ (/ γ ) d, d d η γ γ dan seerusnya dτ (/ γ ) d sehingga η Dan η η haruslah inarian yaiu γ (,,, ). (3.36a) y z η η γ ( ) γ ( β ). (3.36b) y z Seara klasik, momenum adalah massa dikalikan dengan keepaan. Dalam kasus relaiisik, momenum adalah massa dikalikan dengan keepaan proper. Mengapa? Karena jika menggunakan momenum seara klasik maka prinsip relaiias dilanggar, sehingga momenum relaiisik diulis p r mη r. (3.37) Karena keepaan proper merupakan 4-ekor, maka momenum pun juga demikian sehingga dengan p mη, (3.38) 67
p mη γ m, p γ m, p γ m, p γ m, (3.39) 3 y z i Disini p ( i,,3) adalah momenum ruang dan massa m adalah massa relaiisik m γ m m β, (3.4) dimana m adalah massa diam. Bila kedua ruas persamaan (3.4) dikalikan dengan dan ruas kanan kemudian diekspansi dalam dere Taylor maka diperoleh m 3 m + β + β +... 8, (3.4) 4 3 m + m + m +... 8 4 maka menuru eori relaiias khusus energi kineik parikel diberikan oleh Suku 4 3 Energi kineik m + m +... ( m m ). (3.4) 8 m menyaakan energi diam (res energy), sebuah suku konsana yang masih ada keika. Unuk laju maka diperoleh ungkapan energi kineik klasik yang berari bahwa perumusan relaiisik konsisen dengan perumusan klasik. Sehingga dapa diliha bahwa perbedaan anara mekanika klasik dan eori relaiisik hanya pada ungkapan energi kineiknya, perhaikan Gambar 3.. Gambar 3.. Energi kineik relaiisik dan klasik. 68
ERROR: ypehek OFFENDING COMMAND: semari STACK: [... -.. 76.67 ]