BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan salah satu bidang ilmu yang sangat berperan dalam kehidupan sehari-hari. Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang akan lebih mudah, bahkan untuk beberapa kasus, hanya dapat diselesaikan jika dibawa kedalam model matematika. Selain itu, banyak bidang ilmu yang dalam perkembangannya sangat bergantung pada matematika, seperti Fisika, Kimia, Ekonomi, dll. Matematika adalah ilmu pengetahuan yang menuntut penggunanya untuk berpikir secara kritis, logis dan terstruktur. Dalam perkembangan matematika, para ilmuwan membentuk pola dari suatu permasalahan ke dalam model matematika, sehingga pola-pola yang sudah dibentuk bisa diselesaikan dengan menggunakan metode-metode yang telah dikembangkan sebelumnya. Masalah nilai eigen dan sistem persamaan linear merupakan salah satu dari sekian banyak permasalahan yang banyak ditemukan dalam berbagai penelitian. Banyak metode yang dikembangkan untuk menyelesaikan masalah nilai eigen dan sistem persamaan linear, baik secara analitik maupun numerik. Untuk beberapa kasus, pencarian solusi secara analitik dalam masalah nilai eigen dan sistem persamaan linear cukup sulit untuk dilakukan, khususnya pada permasalahan dengan ukuran matriks yang cukup besar. Sehingga, dibutuhkan metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan ini. Seiring dengan perkembangan jaman, banyak pengembang yang membuat program komputer untuk membantu menyelesaikan permasalahan matematika. Program-program yang dibuat tentunya menggunakan algoritma yang didasari oleh metode-metode yang telah dikembangkan sebelumnya, sehingga pengguna dapat menggunakan syntax yang sederhana untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika, termasuk masalah nilai eigen dan sistem persamaan linear. 1
2 Pada skripsi ini, penulis ingin mengetahui salah satu algoritma yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai eigen dan sistem persamaan linear. Algoritma Arnoldi adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyederhanakan masalah nilai eigen pada matriks yang berukuran besar, khususnya matriks jarang. Selain itu, algoritma Arnoldi juga dapat digunakan untuk menghitung penyelesaian sistem persamaan linear yang memiliki persamaan dan variabel dalam jumlah besar. 1.2. Perumusan Masalah Rumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini yaitu : 1. Konsep pembentukan algoritma Arnoldi untuk mereduksi matriks yang berukuran besar menjadi matriks Hessenberg yang lebih sederhana untuk menyelesaikan masalah nilai eigen. 2. Residu yang muncul dalam algoritma Arnoldi pada masalah nilai eigen. 3. Konsep pembentukan algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan algoritma Arnoldi dan algoritma Arnoldi yang dikombinasikan dengan faktorisasi LU. 4. Residu yang muncul dalam algoritma Arnoldi dan Arnoldi-LU untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. 1.3. Batasan Masalah Pada penulisan skripsi ini, penulis membatasi masalah nilai eigen pada matriks real bujur sangkar. Selain itu, pada masalah sistem persamaan linear, penulis juga membatasinya pada sistem yang memiliki matriks koefisien berupa matriks real nonsingular. Selanjutnya, penulis memberikan contoh penggunaan algoritma pada contoh yang sederhana, dan untuk permasalahan yang cukup besar, penulis menggunakan program MATLAB untuk mengimplementasikan algoritma yang dibentuk.
3 1.4. Maksud dan Tujuan Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini mempunyai tujuan untuk : 1. Menjelaskan konsep pembentukan algoritma Arnoldi untuk mereduksi matriks yang berukuran besar menjadi matriks Hessenberg yang lebih sederhana untuk menyelesaikan masalah nilai eigen. 2. Menyelidiki residu yang muncul dalam algoritma Arnoldi pada masalah nilai eigen. 3. Menjelaskan konsep pembentukan algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan algoritma Arnoldi dan algoritma Arnoldi yang dikombinasikan dengan faktorisasi LU. 4. Menyelidiki residu yang muncul dalam algoritma Arnoldi dan Arnoldi-LU untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. 1.5. Tinjauan Pustaka Saad (2011) dalam bukunya menjelaskan konsep dasar dari penyelesaian numerik masalah nilai eigen dengan menggunakan algoritma Arnoldi. Dalam bukunya tersebut diberikan konsep penghitungan nilai eigen dengan mereduksi matriks yang berukuran besar, menjadi matriks Hessenberg yang lebih kecil. Sehingga nilai eigen dari matriks Hessenberg mendekati beberapa atau seluruh nilai eigen dari matriks yang direduksi. Bjork (2015) menjelaskan konsep dasar pembentukkan algoritma Arnoldi. Setelah itu, dijelaskan pula residu yang muncul dari pendekatan nilai eigen matriks Hessenberg yang dibentuk oleh algoritma Arnoldi. Pada bukunya yang lain, Saad (2003) membahas masalah sistem persamaan linear yang diselesaikan dengan menggunakan algoritma Arnoldi. Dalam bukunya tersebut dijelaskan konsep pembentukan algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Terdapat dua algoritma yang dijelaskan untuk menyelesaikan
4 sistem persamaan linear dengan algoritma Arnoldi, algoritma pertama adalah algoritma Arnoldi yang membutuhkan invers dari matriks Hessenberg yang akan mengacu pada Chen dan Yu (2011) dan algoritma kedua adalah algoritma Arnoldi yang dikombinasikan dengan fatorisasi LU yang mengacu pada Trefethen dan Bau (1997). Anton dan Rorres (2010) dalam bukunya membahas konsep-konsep dasar yang digunakan dalam penulisan skripsi ini. Konsep yang dibahas antara lain, ruang vektor secara umum, ruang hasil kali dalam, matriks, nilai eigen dan similaritas. 1.6. Metode Penelitian Metode peneilitian yang digunakan penulis adalah studi literatur. Diawali dengan mencari dan memahami literatur-literatur yang terkait dengan algoritma Arnoldi. Kemudian penulis menjabarkan proses pembentukan algoritma Arnoldi untuk selanjutnya diaplikasikan ke dalam suatu masalah. Langkah-langkah yang dilakukan penulis adalah : 1. Memahami konsep-konsep dasar dan sifat-sifat matriks dalam aljabar. 2. Memahami dan melakukan percobaan menggunakan algoritma Arnoldi untuk mencari nilai eigen dari suatu matriks. 3. Menyelidiki residu yang muncul dalam komputasi algoritma Arnoldi untuk mencari nilai eigen dari suatu matriks. 4. Memahami dan melakukan percobaan menggunakan algoritma Arnoldi dalam menyelesaikan sistem persamaan linear. 5. Menyelidiki residu yang muncul dalam komputasi algoritma Arnoldi dalam menyelesaikan sistem persamaan linear. 1.7. Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika penulisan sebagai berikut.
5 BAB I PENDAHULUAN Bab ini menjelaskan latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Bab ini berisikan landasan teori untuk bab-bab berikutnya yang mencakup definisi, sifat, teorema, dan contoh yang berkaitan dengan algoritma Arnoldi untuk penyelesaian numerik masalah nilai eigen dan sistem persamaan linear. BAB III ALGORITMA ARNOLDI Bab ini menjelaskan konsep pembentukan algoritma Arnoldi untuk penyelesaian masalah nilai eigen, residu yang dihasilkan, contoh penggunaan algoritma Arnoldi, dan ekperimen numerik pada masalah yang lebih nyata. BAB IV PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN ALGORITMA ARNOLDI Bab ini menjelaskan konsep pembentukan algoritma untuk menghitung solusi pendekatan dari sistem persamaan linear dengan menggunakan algoritma Arnoldi dan algoritma Arnoldi yang dikombinasikan dengan faktorisasi LU, selanjutnya dijelaskan residu yang dihasilkan dari pendekatan ini dan dilakukan ekperimen numerik pada masalah yang lebih nyata. BAB V PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dari pembahasan bab-bab sebelumnya dan saran yang dapat dilanjutkan sebagai penelitian.