BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Persamaan diferensial merupakan ilmu matematika yang dapat digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalah fisis merupakan masalah yang berkaitan dengan hukum alam, yang dibahas dalam ilmu fisika. Namun hanya sistem fisis sederhana saja yang dapat dimodelkan dalam persamaan diferensial biasa. Beberapa bidang fisis lainnya dimodelkan dalam persamaan diferensial parsial, salah satunya adalah masalah fluida. Fluida merupakan salah satu dari sekian banyak masalah fisis yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Masalah fluida yang menarik perhatian penulis adalah bencana alam yang disebabkan oleh air. Contoh dari beberapa bencana alam yang terjadi di Indonesia misalnya Tsunami yang terjadi di Aceh tahun 2004 dan bobolnya tanggul Situ Gintung di Ciputat, Tangerang Selatan yang terjadi pada tahun Kedua bencana alam tersebut disebabkan oleh aliran air yang dapat dimodelkan secara matematis. Salah satunya adalah dengan persamaan gelombang air dangkal. Gelombang air dangkal adalah gelombang yang terjadi pada permukaan air dangkal dimana panjang gelombangnya cukup besar dibandingkan kedalamannya (Ridwan, 2007). Persamaan gelombang air dangkal merupakan sistem persamaan diferensial parsial nonlinear orde satu. Dinamika dari fenomena gelombang air dangkal dapat diketahui melalui solusi dari persamaan diferensial parsial tersebut. Solusi yang diperoleh bermanfaat untuk memprediksi kemana air akan mengalir, kecepatan aliran air, luas daerah dampak air yang datang dan rute penyelamatan untuk lari ke daerah yang lebih aman (Mungkasi, 2012). Sehingga harapannya, permodelan beserta solusi dari persamaan gelombang air dangkal bermanfaat untuk 1

2 2 ahli di bidang lain untuk membuat sistem peringatan dini (early warning systems) untuk bencana yang disebabkan oleh aliran air. Dalam skripsi ini akan dikaji permodelan gelombang air dangkal beserta solusi analitiknya. Solusi analitik dari persamaan gelombang ini tersedia hanya untuk beberapa masalah tertentu. Salah satunya adalah masalah bendungan bobol. Oleh karena hal itu, dalam skripsi ini, persamaan gelombang air dangkal diterapkan pada masalah bendungan bobol (dam break problem). Kemudian, solusi analitik ditentukan melalui metode karakteristik Rumusan Masalah yaitu : Berdasarkan motivasi di atas, dapat dirumuskan beberapa permasalahan, 1. Bagaimana mengkonstruksi persamaan gelombang air dangkal? 2. Bagaimana menentukan kecepatan horizontal dan ketinggian lokal air pada masalah bendungan bobol? 1.3. Batasan Masalah Agar permodelan dapat merepresentasikan fenomena gelombang air dangkal, maka diperlukan beberapa asumsi atau batasan, yaitu gelombang air dangkal yang dimodelkan merupakan : 1. Gelombang air dangkal dengan topografi mendatar (rata) 2. Gelombang air dangkal dalam satu dimensi Tujuan dan Manfaat Tujuan dari penulisan skripsi ini, antara lain : 1. Mengkaji penurunan persamaan gelombang air dangkal.

3 3 2. Mengaplikasikan persamaan gelombang air dangkal pada masalah bendungan bobol. 3. Mendapatkan solusi persamaan gelombang air dangkal secara analitik dengan metode karakteristik. Penyusunan skripsi ini bermanfaat bagi pengembangan penelitian bidang terapan kaitannya dengan bencana alam yang disebabkan oleh aliran air. Selain itu, bermanfaat untuk menambah kajian pustaka tentang penyelesaian persamaan gelombang Tinjauan Pustaka Skripsi ini tidak lepas dari kontribusi para peneliti sebelumnya yang telah membahas Persamaan Gelombang Air Dangkal 1D. Penulis menggunakan beberapa dari hasil kontribusi tersebut untuk tinjauan pustaka. Persamaan gelombang air dangkal (shallow water equations) terdiri atas dua persamaan yang diperoleh dari konservasi massa dan konservasi momentum. Dalam skripsi ini penulis menjabarkan kedua hukum konservasi tersebut untuk mendapatkan persamaan gelombang air dangkal satu dimensi. Penurunan secara fisis telah dikaji melalui tulisan ilmiah yang berasal dari Massachusess Institute of Technology ( rap/courses/12333_notes/ A2%20SWeqs.pdf). Penurunan dan penjabaran hukum konservasi secara matematis diberikan lebih tuntas oleh LeVeque (1992) dan Liggett (1994). Selain itu, peneliti lain yang mengkaji penurunan persamaan gelombang air dangkal adalah Billingham and King (2000), Mungkasi (2011), Stoker (1957), dan Acheson (1990). Sedangkan penurunan persamaan gelombang air dangkal dua dimensi diberikan oleh Weiyan (1992). Stoker (1957), Liggett (1994), Acheson (1990), dan Billingham and King (2000) meneliti gelombang air dangkal pada topografi mendatar. Topografi mendatar membuat model gelombang tersebut menjadi lebih sederhana dibandingkan pada topografi miring (sembarang). Gelombang air dangkal pada topografi sem-

4 4 barang telah diselesaikan oleh Bouchut and Westdickenberg (2004). Solusi analitik dari persamaan gelombang air dangkal ada hanya untuk beberapa kasus tertentu seperti dam break problem, debris avalanche problems dan waves on a sloping beach (Mungkasi, 2012). Oleh karena itu, penyelesaian persamaan gelombang air dangkal oleh Mungkasi (2012) didekati dengan metode volume hingga (finite volume methods). Sedangkan Stoker (1957), Liggett (1994), Acheson(1990), dan Billingham and King (2000) menerapkan persamaan gelombang air tersebut pada masalah bendungan bobol (dam break problem). Beberapa tipe masalah bendungan bobol telah diselesaikan oleh Liggett(1994). Namun, masalah bendungan bobol dengan suatu kondisi awal (Riemann Problem) diselesaikan secara lebih terperinci oleh Acheson (1990) dan Billingham and King (2000). Ketiga peneliti tersebut mendapatkan solusi analitik persamaan gelombang air dangkal pada masalah bendungan bobol dengan menggunakan metode karakteristik Metode Penelitian Metode penelitian yang digunakan oleh penulis adalah studi literatur. Diawali dengan mencari dan memahami literatur-literatur yang terkait dengan gelombang air dangkal satu dimensi. Kemudian secara logis dan sistematis, penulis mengkonstruksi model gelombang air tersebut yang kemudian diaplikasikan pada suatu masalah dan selanjutnya dicari solusi analitisnya. Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut : 1. Memahami sifat-sifat fluida, dalam hal ini air. Kemudian, mencari kaitan hukum-hukum fisis yang berlaku dengan adanya sifat yang dimiliki. 2. Mengkonstruksi persamaan gelombang air dangkal dari hukum-hukum konservasi yang berlaku. 3. Mengaplikasikan persamaan gelombang air dangkal pada masalah bendungan bobol (dam break problem).

5 5 4. Mencari penyelesaian analitik kasus yang diambil Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Bab ini memuat latar belakang permasalahan, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat, tinjauan pustaka dan metode penelitiaan penulisan skripsi ini. Bab ini memberikan gambaran secara umum topik yang dibahas. BAB II DASAR TEORI Bab ini memuat teori-teori yang menjadi dasar dalam proses pemecahan masalah dari permasalahan yang telah dirumuskan sebelumnya. Beberapa teori yang dibahas, diantaranya teori persamaan diferensial parsial yang beberapa merupakan akibat dari teori persamaan diferensial biasa, masalah syarat awal, teori karakteristik, sistem persamaan, invers matriks, ekspansi kofaktor, aturan Cramer, nilai eigen dan vektor eigen. BAB III KONSTRUKSI PERSAMAAN GELOMBANG AIR DANGKAL Pada bab ini dibahas mengenai penurunan persamaan gelombang air dangkal yang diperoleh dari hukum konservasi massa dan hukum konservasi momentum. BAB IV MASALAH BENDUNGAN BOBOL Pada bab ini persamaan gelombang air dangkal diaplikasikan pada masalah bendungan bobol. Penyelesaian masalah tersebut diselesaikan dengan metode karakteristik untuk mendapatkan solusi analitiknya. BAB V KESIMPULAN DAN SARAN Bab ini memuat kesimpulan dan saran terkait dengan pembahasan yang diberikan pada bab III dan IV.