BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Teori Gravitasi Newton Mengapa planet, bulan dan matahari memiliki bentuk mendekati bola? Mengapa satelit bumi mengelilingi bumi 90 menit, sedangkan bulan memerlukan waktu 27 hari untuk mengelilingi bumi? Dan mengapa satelit tidak jatuh ke bumi? Adanya istilah gravitasi menghasilkan jawaban untuk pertanyaan-pertanyaan ini dan juga banyak pertanyaan lain yang terkait. Gravitasi adalah salah satu dari empat kelas interaksi yang terjadi di alam, dan gravitasi adalah yang paling dahulu dipelajari secara intensif dan gaya yang paling lemah dibandingkan dengan ketiga gaya lainnya, yaitu gaya elektromagnetik, gaya interaksi kuat, gaya interaksi lemah. Newton menemukan pada abad ke-17 bahwa ada interaksi yang sama yang menyebabkan apel jatuh dari pohon dan menahan planet dari orbitnya mengelilingi matahari. Ini adalah awal dari mekanika benda angkasa, pelajaran tentang dinamika objek di ruang angkasa. Kini pengetahuan kita tentang mekanika benda angkasa memungkinkan kita untuk menentukan bagaimana meletakkan sebuah satelit pada suatu orbit yang diinginkan tempatnya mengelilingi bumi atau untuk memilih trayektori yang tepat untuk mengirimkan pesawat ruang angkasa ke planet lain.gravitasi memiliki hokum universal, gravitasi bekerja dengan cara mendasar yang sama antara bumi dan badan kita, antara matahari dan sebuah planet, dan antara sebuah planet dengan salah satu bulannya. Gravitasi dapat menjelaskan fenomena seperti perubahan berat pada ketinggian, orbit dari satelit mengelilingi bumi, dan orbit planet mengelilingi matahari. 2.1.1 Hukum gravitasi Newton Contoh gaya tarik gravitasi yang sudah sangat akrab dengan kita adalah berat badan kita, gaya yang menarik kita kebumi. Selama penelitiannya tentang gerak dari planet dan bulan, Newton menemukan karakter dasar dari gaya tarik gravitasi antara dua benda, apapun itu. Bersamaan dengan ketiga hukumnya tentang gerak, Newton

mempublikasikan hukum gravitasi (law of gravitation) pada tahun 1687. Hukum itu berbunyi sebagai berikut : Setiap partikel dari bahan di alam semesta menarik setiap partikel lain dengan gaya yang berbanding lurus dengan hasil kali massa-massa partikel dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak diantara partikel-partikel tersebut Dengan menterjemahkan hukum diatas kedalam sebuah persamaan, kita dapatkan F g = Gm 1m 2 r 2 (hukum gravitasi) (2.1) Dimana Fg adalah besar gaya gravitasi pada salah satu partikel, m1 dan m2 adalah massanya, r adalah jarak antara keduanya, dan G adalah konstanta fisika dasar yang disebut konstanta gravitasi (gravitational constant). Nilai numeric untuk G tergantung pada sistem satuan yang digunakan. Karena simbol g dan G hamper sama, seringkali arti kedua besaran gravitasi yang menggunakan kedua simbol tersebut jadi membingungkan. Huruf kecil g adalah percepatan yang tergantung pada gravitasi, yang berhubungan dengan berat w dari sebuah benda dengan m; w = mg. nilai g berbeda untuk tempat yang berbeda di permukaan bumi dan pada permukaan planet yang berbeda. Sebaliknya, huruf besar G berhubungan dengan gaya gravitasi antara dua benda akibat massa dan jarak diantara keduanya. Kita sebut G adalah konstanta universal sebab mempunyai nilai yang sama untuk setiap dua benda, tidak peduli dimanapun letaknya dalam ruang angkasa. Untuk menentukan nilai konstanta gravitasi G dapat diukur dengan alat yang disebut neraca torsi, yang digunakan oleh Sir Henry Cavendish pada tahun 1798. Nilai yang diperoleh adalah G = 6,67259(85)x 10 11 N. m 2 /kg 2 Gaya gravitasi selalu bekerja sepanjang garis yang menghubungkan dua buah partikel dan membentuk pasangan aksi-reaksi. Walaupun massa kedua partikel berbeda, kedua gaya interaksinya mempunyai besar yang sama. Pada titik di dalam bumi, misalkan kita dapat mengebor sebuah lubang ke pusat bumi dan mengukur gaya gravitasi dengan kedalaman yang berbeda-beda, kita akan mendapatkan bahwa makin mendekati pusat bumi gaya makin berkurang, dan

bukan bertambah dengan factor sebesar 1/r 2. Ketika benda memasuki bagian dalam bumi, sebagian dari massa berada pada sisi benda yang berlawanan dari pusat dan memberikan tarikan pada arah yang berlawanan. Tepat di pusat bumi, gaya gravitasi bumi pada benda adalah nol. (Young, Hugh D. 2002) 2.1.2 Percepatan Melintang dan Radial Planet Gambar 2.1 Menunjukkan konstruksi geometri untuk menentukan percepatan melintang dan radial planet Sebuah vektor mewakili sebuah asumsi percepatan total planet, a, ditarik dari berberapa sudut dengan vektor radius, r. Dalam gambar 2.1, Akan lebih mudah menggambar "a" ke atas dan menjauh dari arah percepatan radial, ar, (yang berlawanan dengan garis tarik antara bumi dan matahari). Salah satu komponen dari percepatan planet diasumsikan, "a", harus sejalan dengan (tapi dalam arah yang berlawanan) gaya gravitasi antara matahari dan planet. Komponen percepatan ini, ar, adalah percepatan radial. Komponen lain dari percepatan planet diasumsikan, "a", ditempatkan tegak lurus dengan percepatan radial, adalah percepatan melintang, at. Tentu saja, kita tahu bahwa jika planet ini sebenarnya memiliki percepatan melintang, gaya melintang harus diterapkan. Tetapi jika gaya melintang diterapkan, planet ini akan didorong keluar dari orbitnya. Jadi kekuatan melintang harus nol dan percepatan melintang juga harus nol. Konsep percepatan melintang diasumsikan, akan menyediakan satu persamaan yang dibutuhkan untuk pembuktian ini. Jika percepatan diasumsikan, "a", telah ditempatkan sesuai dengan vektor radius, itu akan menjadi identik dengan ar dan tidak ada informasi baru bisa

diperoleh dari geometri. Meskipun ditempatkan seperti itu, percepatan "a" terdiri dari dua vektor, ar dan at. Percepatan radial, ar diambil sejalan dengan vektor radius, r. Percepatan melintang, at, ditarik tegak lurus dengan percepatan radial. Hal ini terlihat pada Gambar 2.1, percepatan yang "a" sama dengan dua set yang berbeda dari vektor komponen yang menyediakan informasi diperlukan untuk melanjutkan buktinya. Satu set komponen ini adalah ax dan ay. Pernyataan untuk kecepatan dari P dalam arah z adalah v z = d dr dφ (r cosφ) = cosφ r sinφ dt dt dt Untuk kecepatan P dalam arah y dengan bentuk yang sama adalah v y = d dr dφ (r sinφ) = sinφ + r cosφ dt dt dt (2.2) (2.3) Lalu dengan mengasumsi percepatan planet dalam arah z adalah az dan dalam arah y adalah ay. Maka dapat ditulis a z = d dt v z dan a y = d dt v y (2.4) a z = cosφ [ d2 r r (dφ dt2 dt )2 ] sinφ [r d2 φ + 2 dr dφ ] (2.5) dt 2 dt dt a y = sinφ [ d2 r r (dφ dt2 dt )2 ] + sinφ [r d2 φ + 2 dr dφ ] (2.6) dt 2 dt dt Kemudian pada gambar 2.1 menunjukkan bahwa, a R = a z cosφ + a y sinφ (2.7) a T = a y cosφ a z sinφ (2.8) Dengan mensubstitusikan persamaan (2.4) dan (2.6) kedalam persamaan (2.7) dan (2.8), maka dapat ditulis sebagai berikut a R = d2 r r (dφ dt2 dt )2 (2.9) a T = r d2 φ + 2 dr dφ dt 2 dt dt 2.2 Teori Relativitas Einstein (2.10) Teori relativitas memeriksa bagaimana pengukuran kuantitas fisis bergantung pada pengamat seperti juga pada peristiwa yang diamati. Dari relativitas muncul mekanika baru yang menyiratkan kaitan yang sangat erat antara ruang dan waktu, serta massa dan energi. Tanpa kaitan itu kita tidak mungkin mengerti dunia

mikroskopik dalam atom yang penjelasannya merupakan persoalan sentral dalam fisika modern. 2.2.1 Teori Relativitas Khusus (TRK) Ketika kuantitas seperti panjang, selang waktu, dan massa ditinjau dalam fisika pendahuluan, tidak terdapat pembahasan khusus bagaimana kuantitas itu diukur. Karena terdapat satuan baku untuk kuantitas semacam itu, seakan-akan tidak menjadi persoalan siapa yang menentukan kuantitas itu : setiap orang harus mendapatkan hasil yang sama. Jika kita katakana sesuatu bergerak, kita maksudkan kedudukannya berubah relatif terhadap sesuatu. Penumpang bergerak relatif terhadap kapal udara, kapal udara bergerak relatif terhadap bumi, bumi bergerak relatif terhadap matahari, matahari bergerak relatif terhadap galaxi bimasakti dan sebagainya. Untuk menyatakan bahwa suatu bergerak selalu menyangkut kerangka khusus sebagai acuan. Kita tidak bisa mendapatkan kerangka universal yang meliputi seluruh ruang, ini berarti tidak terdapat gerak absolut. Teori relativitas muncul sebagai hasil analisis konsekuensi fisis yang tersirat oleh ketiadaan kerangka acuan universal. Dikembangkan oleh Albert Einstein tahun 1905, mempersoalkan kerangkan acuan universal yang merupakan kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan tetap terhadap kerangka lainnya. Teori relativitas umum (TRU), di usulkan oleh Einstein sepuluh tahun kemudian mempersoalkan kerangka yang dipercepat satu terhadap lainnya. Teori relativitas khusus bersandar pada dua postulat, yaitu 1. Postulat dengan prinsip relativitas, menyatakan bahwa hukum fisika dapat dinyatakan dalam persamaan yang berbentuk sama dalam semua kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan tetap suatu terhadap lainnya. 2. Postulat kedua menyatakan bahwa kelajuan cahaya dalam ruang hampa sama besar untuk semua pengamat, tidak bergantung dari keadaan gerak pengamat itu. Kesan pertama postulat ini kelihatannya sangat radikal. Sebenarnya postulat itu mengikuti hamper semua konsep intuitif mengenai waktu dan ruang yang kita bentuk berdasarkan pengalaman sehari-hari.

2.2.1.1 Transformasi Lorentz Anggaplah kita berada pada kerangka acuan S dan mendapatkan koordinat suatu kejadian pada saat t ialah x,y,z. pengamat yang berada pada kerangka acuan yang lain S yang bergerak terhadapt S dengan kecepatan v akan mendapatkan bahwa kejadian yang sama terjadi pada saat t dan koordinat x,y,z. untuk lebih sederhana, kita akan mengambil v dalam arah +x, seperi pada gambar 2.1. Bagaimana hasil pengukuran x, y, z, t berhubungan dengan x,y,z,t? Jika kedua waktu system diukur dari saat ketika titik-aral S dan S berimpit, pengukuran dalam arah x yang dilakukan di S akan melebihi yang di S dengan vt, yang menyatakan jarak yang ditempuh S dalam arah x. Jadi x = x vt (2.11) tidak terdapat gerak relatif dalam arah y dan z, sehingga : y = y, z = z, dan t = t (2.12) Himpunan persamaan diatas dikenal sebagai transformasi Galilei. Gambar 2.2. Kerangka S bergerak dalam arah +x dengan kelajuan v relatif terhadap kerangka S Dengan menurunkan rumus berdasarkan asumsi-asumsi itu, kita dapatkan transformasi lengkap dari pengukuran suatu kejadian alam S terhadap pengukuran yang sesuai dilakukan dalam S, memenuhi persamaan : x = x vt 1 v2 c 2 (2.13) y = y (2.14) z = z (2.15)

t = t vx c 2 1 v2 c 2 (2.16) Persamaan tersebut merupakan transformasi Lorentz. Pertama kali ditemukan oleh seorang fisikawan belanda H.A. Lorentz yang menunjukkan bahwa rumus dasar dari keelktromagnetan sama dalam semua kerangka acuan yang dipakai. Baru bertahun-tahun Einstein menemukan arti penting yang sesungguhnya dari persamaan itu. Jelaslah bahwa transformasi Lorentz tereduksi menjadi transformasi galilei jika kelajuan relatif v kecil dibandingkan dengan kelajuan cahaya c. (Beisher, Athur. 1986) Bentuk-bentuk transformasi Lorentz pada persamaan (2.13), (2.14), (2.15), (2.16) dapat digunakan untuk menurunkan persamaan relativitas sebagai efek penggunaan transformasi ini, yaitu : Pemuluran Waktu Relativistik yang mana waktu bergerak lebih lambat dari penanda waktu yang berada dalam keadaan diam. Kontraksi Panjang Lorentz, (2.17) l = l o 1 v2 c 2 = γl 0 (2.18) Transformasi Kecepatan, (2.19) Bila untuk laju yang lebih kecil dari laju cahaya c dalam ruang hampa, transformasi kecepatannya memperlihatkan kepada kita bahwa sebuah benda yang bergerak dengan laju yang lebih kecil dari c dalam satu kerangka acuan selalu mempunyai laju yang lebih kecil dari c dalam tiap-tiap kerangka acuan yang lain. Ini merupakan alasan yang digunakan untuk menyimpulkan bahwa tidak ada benda yang berjalan dengan laju yang sama atau lebih besar dari c dalam ruang hampa relatif terhadap sembarang kerangka acuan inersial. (Longair, M. S. 1987)

2.2.2 Teori Relativitas Umum (TRU) Pada tahun 1915, Einstein memperkenalkan teori relativitas umum, yang merupakan generalisasi dari teori khusus yang telah dirancang secara spesifik untuk melibatkan gaya-gaya gravitasi. Menurut teorinya, semua benda pasti jatuh dengan kecepatan yang sama. Relativitas umum didasarkan pada prinsip ekuivalensi, yang berpendapat bahwa efek kelembamban dan gravitational tidak dapat dibedakan, apapun keadaan gerak yang mungkin mereka miliki. Untuk memadukan prinsip ekuivalensi, relativitas umum mendeskripsikan efek-efek gravitasi dan kelembaman dengan metode yang sama, dalam kerangka geometri ruang-waktu. Relativitas umum juga memperkirakan keberadaan radiasi gravitasi, yang dihasilkan oleh massa yang bergerak. Ini analog dengan radiasi elektromagnetik yang dihasilkan oleh muatan bergerak menurut teori Maxwell. Einstein juga telah memprediksi pembelokkan berkas cahaya oleh matahari, pertama kali dilihat saat gerhana matahari berlangsung pada tahun 1919. (Pinari, Felix. 2004) Teori gravitasi yang diperoleh dari postulat relativitas umum, unggul bukan hanya dalam keindahannya, bukan dalam membuang kerusakan yang tersemat pada mekanika klasik, bukan juga dalam menginterpretasikan hukum empiris mengenai kesamaan massa inersial dengan massa gravitasional, tetapi juga telah menjelaskan hasil observasi dalam astronomi dimana mekanika klasik tidak berdaya terhadap hal ini. Jika kita menaikkan akurasi dari perhitungan pergerakan planet, maka muncullah deviasi (penyimpangan) dari teori Newton. Menurut teori Newton planet bergerak mengelilingi matahari dalam lintasan berbentuk elips telah teruji dengan akurasi yang tinggi, telah dikonfirmasi untuk semua planet kecuali satu, yaitu presesi perihelion Merkurius. (Einstein, Albert. 2010) Telah dilakukan penelitian untuk mengkaji secara teoretis efek relativistik pada gerak planet. Persamaan gerak planet dalam ruang waktu Scwarzhschild didapat dari solusi persamaan geodesik. Berdasarkan solusi tersebut, diperoleh suatu persamaan gerak orbit planet mengelilingi matahari dengan pergeseran

perihelion dari planet tersebut.untuk planet Merkurius diprediksi solusi gerak planet dengan nilai pergeseran sebesar 43 detik per abad. Pergeseran ini sesuai dengan hasil pengamatan para ahli astronomi. Presesi perihelion ini dapat dilihat berdasarkan hasil visualisasi gerak planet yang didapat dari solusi persamaan Einstein yang dipengaruhi massa bintang. Semakin besar massa bintang semakin besar sudut perihelion yang terbentuk. Massa planet dan jarak planet terhadap bintang mempengaruhi bentuk orbit planet (eksentrisitas) dan kecepatan planet mengelilingi bintang. (Wospakrik,1987) 2.2.2.1 Bentuk Umum Persamaan Medan Einstein Persamaan medan Einstein menghubungkan kelengkungan ruang waktu dan distribusi massa-energi. Persamaan ini berbentuk: dengan : R, G, Λ R μν 1 2 g μνr g μν Λ = 8πG c 4 T μν (2.20) = merupakan besaran yang bukan tensor karena tidak memiliki indeks. R μν, g μν, T μν = tensor kovarian rank 2 Dimana Λ adalah konstanta kosmologi. Konstanta kosmologi dapat bernilai positif dan negatif dengan nilai yang mendekati harga nol. Jika konstanta kosmologi bernilai negatif mendekati nol maka gravitasi akan bersifat menarik secara kuat dan seluruh alam semesta luasnya bisa menjadi beberapa kaki, sedangkan jika konstanta kosmologi bernilai positif mendekati nol maka gravitasi akan bersifat menolak dan segala sesuatu akan beterbangan menjauh dari kita begitu cepatnya sehingga cahayanya tidak akan pernah mencapai kita. Nilai konstanta kosmologi sangat berkaitan dengan model kosmologi alam semesta. (Anugraha, R. 2005) 2.3 Pengenalan Ruang Datar dan Lengkung Ditinjau dua buah titik yang berdekatan dalam ruang tida dimensi yang dinyatakan dengan koordinat Cartesian. Kedua titik itu masing-masing A (x,y,z) dan B (x+dx,y+dy,z+dz). Kuadrat jarak antara keduanya adalah ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 (2.21)

Jika dilakukan perpindahan dalam koordinat silinder melalui transformasi x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z (2.22) Maka jaraknya menjadi ds 2 = dρ 2 + ρ 2 dφ 2 + dz 2 (2.23) Melalui transformasi inversi ρ = x 2 + y 2, φ = arctan y, z = z (2.24) x Ruang tiga dimensi dimana bentuk ds 2 dapat dikembalikan ke bentuk dx 2 + dy 2 + dz 2 dinamakan ruang datar atau ruang Euclid. Jika tidak dapat dicari suatu system koordinat (x,y,z) maka ruang tersebut dinamakan ruang lengkung atau ruang Riemann. Bentuk ds 2 untuk ruang datar satu dan dua dimensi berturut-turut adalah dx 2 dan dx 2 + dy 2. Contoh ruang datar untuk dimensi masing-masing tersebut adalah garis lurus dan bidang datar. Sedangkan contoh ruangb lengkung dua dimensi adalah permukaan bola, ellipsoida, parabolodia, permukaan sadel kuda, dan lainlain. Contoh ruang datar empat dimensi (3 dimensi ruang dan 1 dimensi waktu berkoordinat t) dengan invarian kuadrat elemen garis adalah ruang-waktu Minkowski yang memiliki bentuk ds 2 adalah ds 2 = dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 (2.25) Adapun contoh ruang-waktu lengkung 4 dimensi adalah apa yang dinamakan dengan ruang bermetrik Schwarzschild untuk mana kuadrat elemen garisnya berbentuk ds 2 = (1 a r ) c2 dt 2 + (1 a r ) 1 dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (2.26)

Berberapa konsekuensi kelengkungan ruang yang membedakan antara ruang Riemann dan ruang Euclid adalah 1. Jumlah sudut dalam segitiga dengan sisi segitiga merupakan penghubung terpendek antara titik sudutnya tidak sama dengan 180 0. 2. Perbandingan antara keliling dengan diameter lingkaran π. 3. Garis penghubung terpendek antara dua titik tidak berbentuk garis lurus melainkan garis melengkung. 4. Dua garis sejajar lokal dapat berpotongan. Ilustrasi antara ruang datar dan ruang lengkung dua dimensi terdapat pada gambar 2.3 dan gambar 2.4 Gambar 2.3 Ruang 1 dimensi (a) datar dan (b) lengkung Gambar 2.4 Ruang 2 dimensi (a) datar dan (b) lengkung 2.3 Metrik Schwarzschild Karl Schwarzschild adalah seorang ilmuan astronomi Jerman yang pertama kali memecahkan persamaan medan gravitasi Einstein secara eksak pada tahun 1916, yang dimaksud dengan pemecahan medan gravitasi Einstein adalah beliau mendapatkan komponen-komponen tensor metrik g dari kuadrat metriknya ds 2

ruang waktu lengkung yang memenuhi hubungan antara persamaan medan Einstein. Metrik yang didapat Schwarzschild ini dalam teori kerelatifanya disebut dengan metrik Schwarzschild. Schwarzschild juga mempunyai hubungan yang sangat erat dengan teori lubang hitam. Lubang hitam adalah sebuah pemusatan massa yang cukup besar sehingga menghasilkan gaya gravitasi yang sangat besar. Gaya gravitasi yang sangat besar ini mencegah apapun lolos darinya kecuali melalui perilaku terowongan kuantum. Medan gravitasi begitu kuat sehingga kecepatan lepas di dekatnya mendekati kecepatan cahaya. Tak ada sesuatu, termasuk radiasi elektromagnetik yang dapat lolos dari gravitasinya, bahkan cahaya hanya dapat masuk tetapi tidak dapat keluar atau melewatinya, dari sini diperoleh kata hitam. Istilah lubang hitam telah tersebar luas, meskipun ia tidak menunjuk ke sebuah lubang dalam arti biasa, tetapi merupakan sebuah wilayah di angkasa dimana semua tidak dapat kembali. Secara teoritis, lubang hitam dapat memliki ukuran apa pun, dari mikroskopik sampai ke ukuran alam raya yang dapat diamati. Teori adanya lubang hitam pertama kali diajukan pada abad ke-18 oleh John Michell and Pierre-Simon Laplace, selanjutnya dikembangkan oleh astronom Jerman bernama Karl Schwarzschild pada tahun 1916 dengan berdasar pada teori relativitas umum dari Albert Einstein, dan semakin dipopulerkan oleh Stephen William Hawking. Pada saat ini banyak astronom seperti charis yang percaya bahwa hampir semua galaksi dialam semesta ini mengelilingi lubang hitam pada pusat galaksi. John Archibald Wheeler pada tahun 1967 yang memberikan nama Lubang Hitam sehingga menjadi populer di dunia bahkan juga menjadi topik favorit para penulis fiksi ilmiah. Kita tidak dapat melihat lubang hitam, akan tetapi kita bisa mendeteksi materi yang tertarik/tersedot ke arahnya. Dengan cara inilah, para astronom mempelajari dan mengidentifikasikan banyak lubang hitam di angkasa lewat observasi yang sangat hati-hati sehingga diperkirakan di angkasa dihiasi oleh jutaan lubang hitam. (Hasan, Nailul, 2005)

2.4.1 Persamaan Geodesik Jalur terpendek antara dua titik dalam ruang melengkung dapat ditemukan dengan menulis persamaan untuk panjang kurva, dan kemudian meminimalkan panjang ini menggunakan kalkulus variasi. Ini memiliki beberapa masalah teknis kecil, karena ada ruang dimensi yang tak terbatas. Diperlihatkan dalam gambar 2.3, andaikan kurva x i = x i (t) menghubungkan titik A dan B dengan koordinat A dan B masingmasing diberikan oleh x i 1 (t 1 ) = x i (t 1 ) dan x i 2 (t 2 ) = x i (t 2 ). Maka persamaan geodesik diberikan oleh Gambar 2.4. Garis geodesik dalam 2 dimensi d 2 x i ds 2 + Γ i dxj dx k jk = 0 ds ds (2.26) Penjumlahan pada indeks-indeks j, k = 1, 2,, n, dimana s adalah panjang busur dan adalah simbol Christoffel dari jenis kedua. Untuk kasus bagaimana persamaan geodesik untuk koordinat kartesius di ruang Euklidean. Jika jaraknya konstan maka turunannya nol, dan simbol Christoffelnya juga nol. Akibatnya, persamaan geodesiknya menjadi (2.27) 2.4.2 Solusi Schwarzschild Metrik ruang-waktu 4 dimensi dicirikan oleh koordinat yang terdiri dari 1 koordinat waktu dan 3 koordinat ruang akan dirumuskan dalam wakilan koordinat bola. Sebagai contoh ruang Minkowski dicirikan oleh koordinat x a = (x 0, x 1, x 2, x 3 ) = (t, r, θ, φ).

Metrik ruang-waktu datar dalam wakilan koordinat bola diberikan oleh ds 2 = c 2 dt 2 + dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (2.28) Mengikuti penulisan Weinberg (1972), nilai c sementara diisikan sama dengan 1 sehingga metrik diatas menjadi ds 2 = dt 2 + dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (2.29) Gambar 2.5. Sistem Koodinat Bola Selanjutnya akan ditinjau metrik untuk medan gravitasi isotropik statik. Tensor metrik untuk medan tersebut, yang dalam hal ini komponen gtt dan grr hanya merupakan fungsi radial r. Bentuk metriknya menjadi ds 2 = B(r) dt 2 + A(r)dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (2.30) dimana metrik di atas akan kembali ke metrik Minkowski jika sumber medan gravitasi diabaikan. Dari metrik di atas, komponen tensor metrik kovarian yang tak lenyap adalah: g tt = B(r), g rr = A(r), g θθ = r 2, g φφ = r 2 sin 2 θ (2.31) Dengan fungsi A(r) dan B(r) ingin didapatkan untuk menyelesaikan persamaan medan gravitasi. Selanjutnya syarat batas untuk A dan B adalah bahwa untuk r, bentuk metrik isotropik statik tersebut harus kembali ke bentuk metrik Minkowski dalam koordinat bola. lim A(r) = lim B(r) = 1 (2.32) r r Dengan syarat batas ini hubungan antara A (r) dan B (r) dapat dituliskan secara lebih eksplisit dalam bentuk

A(r) = 1 B(r) (2.33) Untuk jarak yang cukup jauh dari pusat massa m yang terletak di pusat koordinat O, komponen g tt = B harus bernilai mendekati (1+2U) dengan U adalah potensial Newtonian benda bermassa M pada jarak r yang bernilai U = GM r. Jadi dapat ditulis sebagai dan juga, B(r) = (1 + 2U) = (1 2GM r ) (2.34) A(r) = (1 2GM r ) 1 (2.35) Akhirnya bentuk metrik isotropik statik untuk ruang-waktu 4 dimensi berkoordinat bola adalah: ds 2 = (1 2GM ) r dt2 + (1 2GM r ) 1 dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (2.36) Bentuk metrik ini pertama kali diturunkan oleh K. Schwarzschild pada tahun 1916. Karena itu, metrik ini sering disebut metrik Schwarzschild. Bentuk metrik tersebut masih mengisi nilai c=1. Apabila nilai c diisikan kedalam persamaan, bentuk metrik Schwarzschild menjadi: ds 2 = (1 2GM c 2 r ) c2 dt 2 + (1 2GM c 2 r ) 1 dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (2.37) Dengan m = GM, m (bersatuan panjang) maka metrik di atas menjadi: c2 ds 2 = (1 2m r ) c2 dt 2 + (1 2m r ) 1 dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (2.38) Dari persamaan (2.23) tampak bahwa metrik tersebut valid untuk Dengan: ds α α = 2m = 2GM c 2 (2.39) = Jarak terdekat antara peristiwa yang terjadi pada ruang Minkowski. = Radius Schwarzschild G = Tetapan gravitasi (6.673 10x 11 Newton m 2 /s 2 ) c M = Kecepatan cahaya 3 x 10 8 m/s = Massa Benda

Jari-jari Schwarzschild tersebut membentuk horizon peristiwa yang memisahkan dua daerah: I. 2m < r < II. 0 < r < 2m Wilayah I disebut wilayah lubang hitam sedangkan titik r = 0 disebut titik singularitas intrinsik. Beberapa karakteristik penting dari solusi Schwarzschild adalah: 1. Partikel yang bergerak menuju titik singularitas akan merasakan tarikan gravitasi yang sangat kuat. 2. Partikel (termasuk cahaya) tidak ada yang mampu keluar dari wilayah I (batas horizon peristiwa). Partikel/cahaya yang bergerak radial keluar tidak akan pernah menembus horizon peristiwa. 3. Cahaya atau sinyal yang dipancarkan dari dekat horizon peristiwa (wilayah II) akan mengalami pergeseran ketika diterima oleh pengamat yang jauh. (Anugraha, R. 2005).