BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam matriks disebut elemen matriks atau entri matriks. Entri ij atau elemen ij, muncul pada baris i dan kolom j. Biasanya matriks hanya ditulis sebagai. Suatu matriks dengan m baris dan n kolom disebut dengan matriks m kali n, ditulis. Pasangan bilangan m dan n disebut ukuran matriks. 2.2 Operasi Matriks Adapun macam- macam operasi matriks diantaranya sebagai berikut: a. Penjumlahan Matriks Penjumlahan dua matriks dapat dilakukan jika ukuran-ukuran matriksnya sama. Misalkan dan adalah dua matriks yang ukurannya sama, misalnya. Jumlah dan ditulis +, adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang bersesusaian dari dan yaitu: + b. Perkalian Matriks + + + + + + + + + Definisi 2.2 (Lipschutz, 2006): Anggaplah dan adalah matriks-matriks yang sedemikian rupa sehingga banyaknya kolom dari sama dengan banyaknya baris dari ; Misalnya, adalah matriks yang berukuran II-1
dan adalah matriks. Maka hasil kali adalah matriks yang berukuran yang entri -nya diperoleh dengan cara mengalikan baris kedari dengan kolom ke- dari. Yaitu,............. dengan + + +...... Hasil kali tidak dapat ditentukan jika adalah matriks dan adalah matriks., dimana. 2.3 Invers Matriks Definisi 2.3 (Anton, 2004): Jika adalah sebuah matriks bujursangkar, dan jika terdapat matriks yang ukurannya sama sedemikian rupa sehingga, maka dikatakan dapat dibalik (invertible) dan dinamakan invers ( inverse) dari. Jika matriks tidak dapat didefinisikan, maka dinyatakan matriks singular. Untuk mencari invers dari matriks yang dapat dibalik, kita harus mencari suatu urutan operasi baris elementer yang mereduksi menjadi identitas dan melakukan urutan operasi yang sama terhadap untuk memperoleh, sehingga matriks akhir akan mempunyai bentuk. Contoh 2.1 : Tentukan invers matriks di bawah ini: A Penyelesaian: 1 1 0 1 0 1 6 2 3 Dengan menggunakan operasi baris elementer maka invers matriks dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1 1 0 1 0 1 6 2 3 II-2
Kalikan baris pertama dengan ( 1) dan tambahkan ke baris kedua 1 1 0 0 1 1 6 2 3 1 1 0 Kalikan baris pertama dengan (6) dan tambahkan ke baris ketiga 1 1 0 0 1 1 0 4 3 1 1 0 6 0 1 Kalikan baris kedua dengan (1) dan tambahkan ke baris pertama 1 0 1 0 1 1 0 4 3 1 1 0 6 0 1 Kalikan baris kedua dengan ( 4) dan tambahkan ke baris ketiga 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 2 4 1 Kalikan baris ketiga dengan ( 1) 1 0 1 0 1 1 1 1 0 2 4 1 Kalikan baris ketiga dengan (1) dan tambahkan ke baris pertama 0 1 1 2 3 1 1 1 0 2 4 1 Kalikan baris ketiga dengan (1) dan tambahkan ke baris kedua Sehingga diperoleh : 2 3 1 3 3 1 2 4 1 2 3 1 3 3 1 2 4 1 2.4 Matriks Diagonal Sebuah matriks bujursangkar yang mempunyai elemen-elemen nol kecuali elemen-elemen pada diagonal utamanya disebut matriks diagonal (Gere, 1987). Contoh untuk matriks seperti ini adalah: II-3
0 0 0 0 0 0 Invers matriks diagonal dapat diperoleh dengan mudah, yaitu matriks diagonal lain yang elemen pada diagonal utamanya berkebalikan dengan elemen yang sepadan pada matriks asal, sehingga: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2.5 Sistem Persamaan Linear Definisi 2.4 (Lipschutz, 2006): Persamaan linear dengan variabel tidak diketahui,, adalah persamaan yang dapat disusun dalam bentuk standar: + + + dengan,, dan adalah konstanta. Definisi 2.5 (Lipschutz, 2006): Sistem persamaan linear adalah sekumpulan persamaan linear dengan variable-variabel tidak diketahui yang sama. Secara khusus, sistem persamaan linear yang terdiri dari persamaan,, dengan variabel tidak diketahui,,, dapat disusun dalam bentuk standar + + + + + + + + + dengan dan adalah konstanta. Huruf adalak koefisien dari variable tidak diketahui pada persamaan dan adalah konstanta dari persamaan. II-4
2.6 Rank Matriks Definisi 2.6 (Ruminta, 2009): Rank dari suatu matriks berukuran adalah jumlah maksimum dari vektor baris (kolom) yang bebas linear ( independen linear). Rank dari suatu matriks merupakan dimensi dari vektor baris (kolom) non-zero pada matriks tersebut. apakah suatu matriks itu singular atau non singular. Jika dengan dimensi, maka: a. matriks adalah non singular apabilah matriks dapat digunakan untuk mengetahui b. matriks merupakan matriks singular apabila < matriks bujur sangkar Solusi sistem persamaan (baik untuk yang non homogen ataupun homogen) mempunyai beberapa bentuk solusi. Keadaan solusi, bahkan ada atau tidaknya solusi dapat ditentukan dengan menyelidiki rank dari dua macam matriks. Matriks yang pertama adalah matriks koefisien dari persamaan yang dinyatakan dengan. Matriks kedua, disebut matriks lengkap, yaitu matriks yang dilengkapi oleh suatu kolom yang unsurnya diambil dari vektor ruas kanan yang dinyatakan dengan Tabel 2.1 Syarat-syarat Solusi, yaitu: Persamaan Tipe Persamaan Syarat dari Rank Keadaan Solusi Persamaan konsisten Solusi tunggal < Banyak solusi Persamaan tak konsisten < Tidak mempunyai solusi Persamaan homogen Solusi tunggal Sumber: Aljabar Matriks untuk Para Insinyur < Banyak solusi II-5
Contoh 2.2 : Tentukan Penyelesaian : dari matriks dibawah ini: 1 2 3 2 3 4 3 5 7 Dengan menggunakan operasi baris elementer kita dapat menentukan dari matriks dengan cara melihat banyaknya baris tak nol pada matriks elementer yang didapat. Maka perhitungannya dapat dilakukan sebagai berikut: Jadi rank dari matriks 2 2.7 Generalized Invers 1 2 3 2 3 4 2 3 5 7 1 2 3 0 1 2-3 3 5 7 1 2 3 0 1 2-0 1 2 1 2 3 0 1 2 Definisi 2.7 (Searle, 1971): Jika adalah matriks berukuran, kemudian adalah generalized invers dari dengan ukuran matriks maka berlaku (2.1) Jika mempunyai invers, maka dapat dikalikan dengan terhadap kedua sisi dari persamaan (2.1) sehingga diperoleh Selanjutnya dari persamaan (2.1) diperoleh artinya. Hal Ini membenarkan istilah generalized inverse. Selanjutnya akan dilihat bahwa setiap matriks berukuran setidaknya memiliki satu generalized inverse. Tetapi, jika matriks berukuran dan memiliki II-6
invers, ada banyak generalized inverse yang berbeda, sehingga tunggal. bersifat tidak Jika persamaan (2.1) dikali dengan yang berbentuk dan, misalkan dan maka berlaku untuk yang disebut dengan matriks proyeksi. Sehingga dan merupakan matriks proyeksi. Karena adalah matriks dan adalah matriks, maka adalah matriks proyeksi berukuran dan adalah matriks proyeksi berukuran. Secara umum jika adalah matriks proyeksi, maka berlaku untuk ( ) dan untuk semua ada di dalam range. Dengan kata lain, jika adalah matriks, maka untuk setiap di dalam ruang { : } (range dari ). Jika, maka dan memenuhi +,, dan 0. Disebabkan +, kita dapat mengatakan bahwa merupakan matriks proyeksi atas range dengan ruang : 0. Kedua proyeksi dan muncul pada hasil selanjutnya, yang menunjukkan bagaimana generalized inverse dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan matriks. Contoh 2.3 : Diberikan matriks dan sebagai berikut: 1 2 3 6 dan 1 0 0 0 Buktikan adalah generalized invers dari! Penyelesaian: Akan ditunjukkan adalah generalized invers dari apabila berlaku, yaitu: 1 2 3 6 1 0 0 0 1 2 3 6 1 0 3 0 1 2 3 6 1 2 3 6 sehingga disimpulkan bahwa adalah generalized invers dari. II-7
Ada beberapa metode yang digunakan untuk menemukan generalized inverse dari suatu matriks, yaitu dengan metode pendiagonalan matriks dan aturan algoritma. 2.7.1 Metode Pendiagonalan Matriks (Searle, 1971) menyatakan bahwa matriks diagonal merupakan suatu matriks dimana semua elemen diluar diagonal utama mempunyai nilai nol dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama 0, biasanya diberi simbol. Jika berdimensi direduksi menjadi bentuk diagonal dapat dinyatakan sebagai Atau secara sederhana dinyatakan 0 ( ) 0 0 ( ) dengan : dan operasi baris elementer rank matriks matriks diagonal orde r. 0 0 0 Secara umum apabila,, menyatakan elemen-elemen diagonal dari sebarang matriks diagonal, dengan menggunakan notasi untuk, dapat dinyatakan: 0 0 0 0 0 0 untuk 1,,. Invers dari dinyatakan dengan yang ditulis 0 0 0 Maka. (2.2) II-8
Adapun langkah-langkah aturan pendiagonalan matriks adalah sebagai berikut : a. Diketahui matriks sembarang A yang berukuran n x n. b. Menentukan matriks P dengan melakukan operasi baris elementer (OBE) pada matriks dengan bentuk [ ]. c. Menentukan matriks Q dengan menggunakan operasi kolom elementer (OKE) pada matriks yang telah di OBE dengan bentuk. d. Hitung PAQ. e. Menentukan. f. Selanjutnya cari G Q P dengan G adalah generalized inverse dari matriks tersebut. Contoh 2.4 : Diketahui matriks 4 1 2 3 1 3 mempunyai generalized inverse sebagai berikut: Penyelesaian:, dengan aturan pendiagonalan maka matriks a. Diketahui matriks sembarang A yang berukuran 3 3. 4 1 2 3 1 3 b. Akan dicari matriks P dengan melakukan operasi baris elementer (OBE) pada matriks dengan bentuk, maka akan diperoleh : 4 1 2 3 1 3 4 1 2 3 1 3 3 4 1 2 0 2 12 0 3 1 4 II-9
0 3 18 1 4 0 0 2 12 0 3 1 1 4 0 0 3 18 2 3 1 3 1 1 4 0 2 3 1 3 1 2 3 c. Kemudian dengan melakukan operasi kolom elementer (OKE) pada matriks yang telah di OBE dengan bentuk, maka akan diperoleh : 0 3 18 0 3 18 1 1 5 0 3 0 1 1 1 0 1 6 1 1 1 0 1 6 d. Setelah didapatkan dan selanjutnya akan ditentukan dengan menggunakan persamaan 5 6 II-10
1 4 0 2 3 1 3 1 4 1 2 3 1 3 1 1 1 0 1 6 0 3 0 e. Kemudian dicari, diperoleh : 0 1 3 0 f. Selanjutnya cari dengan adalah generalized inverse dari matriks yaitu: 1 3 2.7.2 Aturan Algoritma 1 1 1 0 1 6 1 1 0 1 4 0 1 3 1 3 0 1 4 0 3 3 0 1 3 0 1 4 0 2 3 1 3 1 (Searle, 1971) menyatakan bahwa dalam mencari invers suatu matriks terkadang matriks dibagi-bagi menjadi beberapa matriks yang lebih kecil yang disebut submatriks. Proses membagi-bagi matriks menjadi beberapa submatriks dinamakan partisi matriks. Sedangkan generalized inverse diperoleh berdasarkan penyusunan kembali invers submatriks non-singular dan null matriks yang memenuhi persamaan. II-11
dengan :,, dengan submatriks adalah non-singular berukuran dengan rank ;, dan merupakan matriks nol. Selanjutnya ditentukan invers dari submatriks sehingga diperoleh submatriks ( lalu di transposekan ). Susun kembali submatriks submatriks ( ),, dan dengan ketentuan submatriks selain submatriks ( ) dinolkan. ( ) 0 0 0 Kemudian ditransposekan kembali untuk memperoleh generalized inverse dari matriks 0 0 0 sehingga dengan bentuk di atas merupakan generalized inverse dari yaitu : yang memenuhi 0 0 0 Sehingga terbukti. II-12
Adapun langkah-langkah aturan algoritma adalah sebagai berikut : a. Dalam matriks dengan rank, temukan sembarang matriks minor non singular dengan orde. Notasikan dengan. b. Temukan invers matriks, yaitu kemudian transposkan,. c. Dalam matriks, ganti setiap elemen matriks dengan elemen matriks dan ganti elemen lainnya dengan nol. d. Transposkan matriks. Hasilnya berupa matriks dan adalah generalized inverse dari. Contoh 2.5 : Diketahui matriks 4 1 2 3 1 3 mempunyai generalized inverse sebagai berikut, dengan aturan algoritma maka matriks Penyelesaian: Akan ditentukan rank dari matriks dengan operasi baris elementer sebagai berikut : 4 1 2 3 1 3 4 1 2 0 2 12 0 3 18 Jadi rank matriks adalah. 4 4 1 2 3 1 3 0 3 18 0 2 12 3 a. Dalam matriks dengan rank, temukan sembarang matriks minor nonsingular dengan orde. Notasikan dengan. 1 2 1 5 b. Temukan invers matriks, yaitu kemudian transposkan,. 5 2 1 1 ; II-13
c. Dalam matriks, ganti setiap elemen matriks dengan elemen matriks dan ganti elemen lainnya dengan nol. 5 0 1 3 3 0 2 1 3 3 d. Transposkan matriks dan hasilnya berupa matriks dan adalah generalized inverse dari. 0 0. 2.8 Solusi Umum Sistem Persamaan Linear dengan Generalized Inverse Teorema 2.1 (S.Sawyer, 2008): Misalkan matriks berukuran dan diasumsikan bahwa adalah generalized invers dari (berarti, ). Maka untuk yang tetap i. Persamaan, (2.3) mempunyai solusi untuk jika dan hanya jika (artinya, jika dan hanya jika ada didalam range pada proyeksi ) ii. Jika mempunyai banyak solusi, maka adalah solusi dari jika dan hanya jika + untuk (2.4) catatan : jika kita ingin sebuah solusi tertentu dari untuk didalam range, kita dapat gunakan Bukti: (i). Diketahui dan, akan dibuktikan. Jika didalam range pada proyeksi, artinya jika, maka dan adalah solusi dari. Diketahui dan. Akan dibuktikan II-14
Jika, maka dan, sedangkan berarti. Sehingga ( ). Selanjutnya, jika memiliki solusi untuk yang diberikan, maka adalah solusi khusus. (ii). Diketahui +, akan dibuktikan Jika +, kalikan terhadap persamaan ( 2.4) maka diperoleh, + + + Diketahui dan, akan dibuktikan + Dari persamaan ( 2.4) ganti pada persamaan sisi kanan, maka diperoleh + + +. Jadi solusi dari adalah persamaan (2.4) dengan. Contoh 2.6 : Tentukanlah solusi dari sistem persamaan linear berikut: + 1 + 3 2 + 1 2 0 2 Penyelesaian: Sistem persamaan linear di atas dapat diubah menjadi matriks lengkap atau matriks yang diperluas (augmented matrix), yaitu: 1 1 1 1 3 2 0 1 1 2 2 akan ditentukan rank dari matriks berikut : 1 1 1 1 3 2 0 1 1 2 2 dengan operasi baris elementer sebagai II-15
+ 1 1 1 0 1 2 1 0 1 2 1 1 1 1 0 1 2 1 0 0 0 Jadi rank matriks adalah. Berdasarkan Tabel 2.1, jika < maka persamaan di atas mempunyai banyak solusi. Dengan aturan algoritma diperoleh generalized inverse sebagai berikut : a. Dalam matriks dengan rank, temukan sembarang matriks minor nonsingular dengan orde. Notasikan dengan. 1 1 1 3 2 b. Temukan invers matriks, yaitu kemudian transposkan,. 3 2 2 2 ; 3 2 2 2 c. Dalam matriks, ganti setiap elemen matriks dengan elemen matriks dan ganti elemen lainnya dengan nol. 3 2 2 2 0 0 d. Transposkan matriks dan hasilnya berupa matriks. 3 2 0 2 2 0 Terakhir didapat bentuk solusi umum dari sistem persamaan linear sebagai berikut: + dengan 3 2 0 2 2 0 II-16
maka diperoleh: 1 1 3 2 0 2 2 0 1 0 2 + 1 0 0 1 3 2 0 2 2 0 1 3 2 1 1 2 3 2 + 1 0 0 1 1 0 0 1 ambil, 0, maka 3 2 + 0 0 3 2 sehingga nilai dan diperoleh dengan nilai dan 2 atau dapat ditulis sebagai 3 dan 2. II-17