BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Ruang vektor adalah suatu grup abelian yang dilengkapi dengan operasi pergandaan skalar atas suatu lapangan. Suatu ruang vektor dapat dikawankan dengan ruang vektor yang lain. Pengawanan yang merupakan suatu pemetaan dan bersifat mengawetkan operasi-operasi biner pada ruang vektor tersebut disebut transformasi linier. Suatu transformasi linier yang mengawankan antar ruang vektor yang berbasis hingga dapat direpresentasikan dalam suatu matriks atas lapangan. Pembentukan matriks representasi transformasi linear yaitu dengan setiap kolom dari matriks representasi transformasi linear merupakan suatu matriks koordinat pemetaan elemen basis domain terhadap basis kodomain. Matriks representasi dari suatu transformasi linear memiliki beberapa sifat. Sifat-sifat tersebut diantaranya matriks koordinat dari suatu elemen image transformasi linier merupakan suatu hasil pergandaan matriks representasi transformasi linier tersebut dengan matriks koordinat yang dipetakan, suatu matriks perpindahan basis merupakan matriks representasi dari transformasi linier pemetaan identitas terhadap basis yang berbeda pada domain dan kodomainnya, matriks komposisi dari suatu transformasi linier merupakan hasil pergadaan matriks yang saling dikomposisikan, dua matriks similar jika dan hanya jika dua matriks tersebut merepresentasikan linier operator yang sama terhadap basis yang berbeda. Pada perkembangan struktur aljabar, suatu ruang vektor mengalami perumuman menjadi struktur yang dikenal sebagai modul. Suatu modul memiliki himpunan bagian yang membangun modul tersebut. Apabila himpunan bagian tersebut merupakan suatu himpunan bebas linier maka modul tersebut dikatakan memiliki basis. Modul yng memiliki basis ini selanjutnya disebut modul bebas. Suatu modul dapat dikawankan dengan modul yang lainnya. Suatu penga- 1
2 wanan yang merupakan pemetaan dan bersifat mengawetkan operasi biner pada modul tersebut disebut homomorfisma modul. Apabila homomorfisma modul tersebut memetakan modul bebas ke modul bebas maka homomorfisma modul tersebut disebut homomorfisma modul bebas. Berdasarkan beberapa hal yang penulis pelajari mengenai ruang vektor dan modul diperoleh bahwa suatu ruang vektor pasti merupakan suatu modul bebas dan suatu transformasi linear pasti merupakan homomorfisma modul bebas tetapi hal sebaliknya belum tentu berlaku. Hal ini berarti sifat-sifat yang ada pada modul bebas pasti berlaku pada ruang vektor dan sifat-sifat yang ada pada homomorfisma modul bebas pasti berlaku pada transformasi linier. Hal tersebut melandasi suatu pertanyaan alami yang muncul ketika suatu transformasi linier yang mengawankan antar ruang vektor berbasis hingga dapat direpresentasikan dalam suatu matriks atas lapangan apakah hal ini dapat diperluas permasalahannya, yaitu apakah suatu homomorfisma modul bebas juga dapat direpresentasikan dalam matriks atas gelanggang? Pertanyaan alami yang selanjutnya muncul yaitu apakah sifat-sifat yang ada pada matriks representasi transformasi linier dapat diperluas menjadi sifat dari matriks representasi homomorfisma modul bebas? Oleh karena itu, matriks representasi homomorfisma modul bebas diangkat menjadi acuan Skripsi ini. Dalam Skripsi ini, akan dibahas mengenai matriks koordinat suatu elemen modul bebas, matriks homomorfisma, ekuivalensi matriks dan ekuivalensi homomorfisma, similaritas endomorfisma, trace dan determinan suatu homomorfisma, serta modul bagian invarian. 1.2. Perumusan Masalah Rumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini adalah: 1. Apa yang dimaksud dengan modul dan homomorfisma modul? 2. Apa saja operasi yang dapat dikenakan pada himpunan matriks atas gelanggang? 3. Apa saja sifat yang dimiliki matriks atas gelanggang?
3 4. Bagaimana cara pembentukan matriks koordinat dari suatu elemen modul bebas? 5. Bagaimana cara pembentukan matriks representasi homomorfisma modul bebas. 6. Apa saja sifat-sifat yang dimiliki matriks homomorfisma? 1.3. Batasan Masalah Pada penulisan skripsi ini, penulis membahas mengenai matriks atas modul, gelanggang, dan matriks representasi dengan batasan-batasan tertentu. Pada pembahasan modul, penulis mengenalkan definisi modul, homomorfisma, modul bagian, jumlah langsung, dan modul bebas. Pada pembahasan matriks atas gelangggang penulis membatasi pembahasan hanya pada operasi-operasi yang umumnya dapat dilakukan pada himpunan matriks atas gelanggang, matriks similar, transpose matriks, trace matriks, matriks elementer, matriks diagonal, definisi dan beberapa sifat determinan. Pada pembahasan matriks representasi homomorfisma modul bebas dibahas mengenai matriks koordinat, matriks homomorfisma beserta beberapa sifat dari matriks homomorfisma, ekuivalensi matriks dan ekuivalensi homomorfisma beserta beberapa sifat yang dimilikinya, similaritas endomorfisma beserta beberapa sifat yang dimiliki, trace dan determinan suatu homomorfisma, dan yang terakhir modul bagian invarian. 1.4. Maksud dan Tujuan Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan untuk menyelidiki apakah suatu matriks atas sebarang gelanggang dengan elemen identitas dapat merepresentasikan suatu homomorfisma modul. Tujuan selanjutnya dari penulisan skripsi ini adalah untuk mengetahui sifat-sifat yang dimiliki matriks homomorfisma modul bebas dan apa saja kegunaan yang dapat diperoleh dari sifat matriks homomorfisma.
4 1.5. Tinjauan Pustaka Dasar teori mengenai modul, penulis menggunakan buku Adkins (1992). Selanjutnya, pada pembahasan matriks atas gelanggang, penulis menggunakan buku Adkins (1992) dan buku Brown (1993). Pada pembahasan matriks representasi homomorfisma modul bebas, penulis menggunakan buku Adkins (1992) dan untuk membandingkannya dengan matriks representasi transformasi linier penulis menggunakan buku Howard Anton (1981) dan buku Dummit dan Foote (2002). 1.6. Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan terlebih dahulu melakukan studi literatur mengenai matriks representasi homomorfisma modul bebas pada buku Adkins (1992) dan selanjutnya mempelajari beberapa hal yang diperlukan dalam pembentukan matriks representasi homomorfisma modul bebas. Pada pembentukan matriks representasi homomorfisma modul memerlukan beberapa materi yang lain seperti modul dan matriks atas gelanggang, serta sebagai pembandingnya dan sebagai motivasi terbentuknya matriks representasi homomorfisma modul bebas ini penulis mempelajari lagi mengenai matriks representasi transformasi linier. 1.7. Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang, perumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penulisan skripsi, tujuan pustaka, metode penulisan, serta sistematika penulisan skripsi. BAB II DASAR TEORI Pada bab ini dibahas mengenai modul kiri dan modul kanan, homomorfisma, modul bagian dan modul kuosien, jumlah langsung, serta modul bebas.
5 BAB III MATRIKS ATAS GELANGGANG Pada bab ini dibahas mengenai matriks atas gelanggang, diantaranya matriks similar, transpose matriks, trace matriks, matriks elementer, matriks diagonal, dan determinan. BAB IV MATRIKS REPRESENTASI MODUL BEBAS Pada bab ini dibahas mengenai matriks representasi homomofisma modul bebas yang meliputi matriks koordinat, matriks homomorfisma, ekkuivalensi matriks dan ekuivalensi homomorfisma, similaritas endomorfisma, trace dan determinan suatu endomorfisma. BAB V PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dan saran yang menyajikan secara ringkas dari keseluruhan pembahasan skripsi ini.