Bab III Model Estmas Outstandng Clams Lablty. Model ELRF Suatu model yang dgunaan untu menasr outstandng clams lablty, tda cuup hanya melbatan data pada run-off trangle saa. Sebab, pembayaran lam d masa datang merupaan eadan aca yang tda detahu ba besarnya maupun watu pembayaran. Suatu model probablst dperluan untu menasr outstandng clams lablty. Model probablst n dharapan dapat mengaomodr fator etdapastan (uncertanty) dalam penasran outstandng clams lablty. Beratan dengan penggunaan model probablst hal yang perlu menad perhatan sebelum menggunaan model adalah melauan pemersaan asums model. Tuuannya adalah memastan apaah asums model yang dgunaan dpenuh data. Ja asums model tda dpenuh data, maa praraan estmas outstandng clams lablty aan mengarah pada ndas yang salah dan uasa yang rendah, sehngga standar error dar tasran menad tda berart. Beberapa model probablst yang dapat dgunaan untu menasr outstandng clams lablty dantaranya ; model-model regres yang ddasaran pada raso hubung (ln rato) dbangun oleh: Brosus (99), Mac (99), dan Murphy (994). Model-model d atas dperluas Barnett dan Zehnwrth () dengan melbatan trend dalam data ncremental, eluarga model d atas denal sebaga: ELRF (extended ln rato famly). y() - x() = a + a + (b -) x() + () (.) ( ) δ Var( ( )) = σ x, =,,... n (): x nla umulatf pada development perod untu accdent perods y (): nla umulatf pada development perod untu accdent perods a : ntercept parameter
a : trend parameter b : slope parameter δ :' weghtng ' parameter σ : base varance Bsa terad model terba dalam ELRF tda tepat untu suatu data rl, arena data tda memenuh asums-asums dar model. Hal n aan membawa pada ndas yang salah dan uasa yang rendah, sehngga standar error dar tasran menad tda berart. Sebab-sebab umum dar egagalan memenuh asumsasums n memotvas pembangunan eranga-era pemodelan secara statsta.. Keranga Kera Pemodelan Secara Statsta Berdasaran peneltan yang dlauan oleh Barnett dan Zehnwrth (), model ELRF mempunya beberapa elemahan:. Asums model ELRF, error berdstrbus normal, asums n arang seal dpenuh oleh loss data. Error secara umum sewed to the rght.. Model- model dalam ELRF, tda melbatan trend dalam development perod dan dalam payment perod, padahal dalam stuas prats, trend-trend tersebut serng terad. Kelemahan elemahan dalam ELRF memotvas munculnya eluarga model PTF. Keluarga model-model statsta dalam eranga-era model PTF bersan asums yang lebh realsts. Keranga-era pemodelan secara statsta ddasaran pada logartma natural dar data ncremental (ln (ncremental)). Setap model dalam eranga-era pemodelan secara statsta mempunya 4 omponen pentng, yatu :. Komponen dalam arah perode perembangan (development perod). Komponen dalam arah perode eadan (accdent perod),. Komponen dalam arah perode pembayaran/alender (payment perod) 4. Dstrbus data d setar trend.
Dalam tess n dgambaran bagamana mengdentfas model PTF yang optmal dalam eranga-era pemodelan secara statsta melalu prosedur dentfas model setahap dem setahap. Karena pemodelannya secara statsta, maa eranga-era pemodelan n. Memungnan untu memsahan etdapastan (uncertanty) parameter dan varabltas proses.. Memungnan untu memersa bahwa semua asums dalam model dpenuh oleh data.. Memungnan untu menghtung dstrbus tasran cadangan, termasu total cadangan. 4. Memungnan untu meng-update model-model secara mudah dan mengawas tasran eta tbanya data baru.. Model PTF Dan Matrs Desan Dalam eranga pemodelan PTF, sebuah model yang optmal d dentfas dbangun atau ddesan sehngga menangap varabltas (volatlty) dalam run-off trangle dar data ncremental. Varabltas dgambaran menggunaan 4 omponen, yatu trend dalam arah (development, accdent, payment) dan varabltas dar dstrbus data dsetar trend. Barnett dan Zehnwrth () menulsan, + y ( ) = α + γ + ιt + = t = (.) y ( ) = ln( p, ) + y ( ) ~ Normal α + γ + ιt, σ = t= + E( y( ) ) = α + γ + ιt (.) = t= Var ( y( ) ) = σ
p + ~ Lognormal α + γ + ιt σ = t=,, + E ( p ) = exp α + γ + ιt + σ = t= p y( ) α γ τ t =,,..., n : =,,..., n t =,,..., + + Var ( p ) = exp α + γ + ιt + σ exp( ) σ = t= ncremental payment data : log natural dar dan development perod : level untu accdent perod : parameter trend pada development perod : parameter trend pada ncremental payment data payment untu accdent perod dan development perod perod t untu accdent perod Dar pers (.) terlhat bahwa model PTF dalam penerapannya melbatan trend pada accdent year, trend pada development year dan uga trend pada payment year. Secara geometr trend n terbag dalam arah (accdent year, development year, payment year), sepert gambar d bawah n Development year Payment year Accdent year t dar gambar d atas, accdent year dan development year salng bebas, sedang payment year tda bebas terhadap arah yang lan. Secara mplst, payment year dbangun dar accdent year dan development year. Persamaan (.) mewal
expected values dar masng-masng cell dalam log (ncremental) data, bla dbuat tabelnya aan menad sepert d bawah n Accd Development perod ent K K n α + γ + τ + τ α K α + γ + τ K K t α + γ + τ t α α + γ + τt t = M M M M M N α + t = τ t + t = K α + = = γ + t = + t = + α + γ + τ K t α + γ + τt M M M N M M M n n αn + τt t = = t = τ t K N n n = t= Tabel d atas nlah yang nantnya aan menad dasar dalam pembentuan matrs desan dar model PTF. Sebaga contoh sederhana, aan duraan pembentuan matrs desan dar run-off trangle untu data empat tahun (full model). Dar persamaan (.) dan analog tabel d atas dperoleh, (,) = α + (,) = α + τ + (,) = α + τ + τ + (,) = α + τ + τ + τ + (,) = α + γ + τ +! (,) = α + γ + τ + τ + (,) = α + γ + τ + τ + τ + (,) = α + γ + γ + τ + τ + 4
5,) ( + + τ + τ + τ + γ + γ = α,) ( + + τ + τ + τ + γ + γ + γ = α dengan manpulas matrs bentu persamaan datas dapat dpandang sebaga permasalahan regres yang berbentu β + = r r r X dengan (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) = τ τ τ γ γ γ α α α α + Matrs X (matrs desan d atas) dapat dtuls dalam bentu sepert d bawah α α α α γ γ γ ι ι ι (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) r X β r r
Selanutnya penasran outstandng clams lablty menggunaan model PTF, secara umum aan melalu tahapan-tahapan berut :. Analss awal terhadap data serta modfas data (bla dperluan). Identfas model yang aan dplh. Estmas outstandng clams lablty.4 Analss Awal Terhadap Data Analss awal terhadap data merupaan tahapan pentng yang harus dlauan. Tuuannya untu memersa esesuaan antara data yang ada dengan model yang aan dgunaan. Data yang aan dgunaan dalam tess n berasal dar data Automatc Facultatve Busness n General Lablty (AFG) dambl dar Rensurance Assocaton of Amerca s Hstorcal Loss Development Study (9). Tabel III. Run-off trangle data ncremental (Nla dalam rbuan US$) Accdent Development year year 4 5 6 7 8 9 98 5 57 68 898 74 64 88 599 54 7 98 6 479 57 6 87-67 55 98 4 558 488 68 594 479 649 6 984 5655 59 4 55 59 658 984 985 9 847 67 6 786 5 986 5 49 557 97 987 557 46 696 68 988 5 5596 665 989 6 99 6 Dar tabel III. terlhat ada data yang bernla negatf, yatu data pada accdent year 98, development year 6. Data ncremental yang bernla negatf n emungnan abat salah satu dar :. Dperolehnya pembayaran dar pha etga. Hasl dar salvage recoveres. Keputusan ur 4. errors 6
Data ncremental yang bernla negatf, tda bsa langsung dgunaan untu menasr outstandng clams menggunaan model PTF. Hal n arena model PTF beera pada logartma natural dar data ncremental (ln(ncremental)), onseuensnya nla-nla dalam data ncremental harus postf. Oleh arenanya sebelum melauan penasran outstandng clams lablty, perlu dpersa dulu apaah data run-off trangle (data ncremental) mempunya nla negatf atau nol. Apabla dalam data ncremental terdapat nla negatf atau nol, maa terlebh dahulu dlauan modfas dalam data ncremental, sebelum estmas outstandng clams lablty dlauan. Verral dan L (99) mengulas permasalahan tentang nla negatf dalam data ncremental. Menurut Verral dan L (99), eta menghadap nla negatf dalam data ncremental, maa lauan modfas pada data tsb dengan :. Plh onstanta C yang sesua. Tambahan C pada semua nla dalam data ncremental, sehngga data ncremental bernla postf semua. Gunaan data ncremental modfas nuntu mendapatan ln(ncremental)nya. 4. Lauan penasran outstandng clams lablty. Setap hasl estmas urangan lag dengan C, untu mendapatan nla tasran yang sesungguhnya. Pemlhan onstanta C dapat d aproxmas dengan mengaplasan metoda maxmum lelhood pada three parameter lognormal dstrbuton, dengan C dmsalan τ sebaga parameter e nya (perhtungan selengapnya delasan pada lampran A dan lampran B) untu data AFG, dperoleh τ = 575.6559. Nla = 575.6559 dgunaan sebaga onstanta C yang sesua. Sehngga tabel III. aan menad τ 7
Tabel III. Data ncremental dar data AFG yang telah d modfas Accdent Development year year 4 5 6 7 8 9 98 6588 48 44 474 48 44 75 6 748 98 68 5755 687 6846 469 9 47 49 98 4986 758 6457 844 47 555 5 79 984 7 7476 5787 776 75 44 56 985 668 49 7847 799 56 8 986 89 658 68 89 449 987 59 85 944 988 97 77 774 989 479 88 99 69.5 Identfas Model Dar tabel III. terlhat bahwa nla-nla dalam data ncremental sudah postf semua, tahapan selanutnya yatu dentfas model. Pada dentfas model terdapat dua tahapan proses yatu. Pembentuan model PTF yang dapat menangap trend dalam data ncremental (mash berupa praraan model).. Estmas parameter model d ut penguannya (parameter model sgnfan atau tda) serta pemersaan esesuaan asums model dengan data..5. Pembentuan Model PTF Pembentuan model PTF dperoleh melalu beberapa langah pendahuluan, yatu dengan melauan transformas logartma natural terhadap data tabel III. terlebh dahulu (haslnya sepert tersa dalam tabel III.). Kemudan langah selanutnya adalah membuat plot dar masng-masng arah trend (accdent year, development year dan payment year), untu mengetahu varas parameter trend.. 8
Tabel III. ln (ncremental) dar data tabel III. Accdent Development year year 4 5 6 7 8 9 98 8.79 8.48 8.5 7.8 8.5 8.47 8. 7.685 7.96 7.466 98 7.48 8.658 7.9 8.8 8.454 8.9 7.95 7.78 7.655 98 8.54 8.876 8.77 8.54 8.6 8.58 7.77 7.686 984 8.886 8.99 8.66 8.864 8.5 8.5 7.848 985 7.889 9.5 8.97 8.976 8.587 7.496 986 8.5 8.78 8.8 7.94 8.4 987 7.665 8.55 9.5 7.987 988 7.98 8.878 8.95 989 8.457 8.5 99 8.99 Dar tabel III. ddapat plot trend dalam arah accdent year,development year, dan payment year. ln (ncremental) 8 6 4 98 98 984 986 988 99 99 accdent year Gambar III. plot ln(ncremental) vs accdent year. ln(ncremental) 8 6 4 4 6 8 development year Gambar III. plot ln(ncremental) vs development year. 9
ln(ncremental) 8 6 4 98 98 984 986 988 99 99 payment year Gambar III. plot ln(ncremental) vs payment year. Dar gambar III., gambar III., dan gambar III. terlhat trend-trend yang muncul ba dalam accdent year, development year maupun payment year, yatu :. Pada accdent year, terdapat satu trend α * ln (ncremental) α 8 6 4 98 98 984 986 988 99 99 accdent year Gambar III. 4 Dugaan trend yang muncul pada accdent year.. Pada development year terdapat dua trend, yatu pada development year - ( γ * ) dan pada development year -8 ( γ * ) ln(ncremental) 8 6 4 γ γ 4 6 8 development year Gambar III.5 Dugaan trend yang muncul pada development year.
. pada payment year terdapat dua trend, yatu pada payment year 98-98 ( τ * ) dan pada payment year 98-99 ( τ * ) ln(ncremental) 8 6 ι 4 ι 98 98 984 986 988 99 99 payment year Gambar III.6 Dugaan trend yang muncul pada payment year. Berdasar hasl gambar III.4, III.5, dan III.6 ddapat praraan model-model PTF antara lan :. Bentu model yang melbatan α, γ dan τ ( α *, γ *, γ *, τ *, τ * ). Dengan membuat matrs desan untu semua parameter yang mungn, dan dengan melauan penyederhanaan parameter sesua dengan praraan model menurut trend (uraan selengapnya bsa d lhat pada lampran C), dperoleh : α * = α = α =... = α9 γ * = γ, γ * = γ +... + γ9 τ * = τ, τ * = τ +... + τ9. Bentu model yang melbatan α dan γ ( α *, γ *, γ * ) dengan * α = α = α =... = α9 γ * = γ, γ * = γ +... + γ9. Bentu model yang melbatan α dan γ ( α *, γ * ) dengan α = α =... = α α * = 9 γ +... + γ γ * = 9
.5. Estmas Serta Penguan Parameter Model Dar etga model d atas, selanutnya dplh satu model yang optmal. Dar hasl penguan pada lampran D, dperoleh macam model optmal, yang parameternya sgnfan serta asums model sesua dengan data, yatu model dengan α dan γ. y( ) = α ˆ + ( ) ˆ + γ + ( ) E ( y( ) ) = α ˆ + + ( ) γ (.4) ˆ dengan nla estmas parameter sebaga berut : αˆ σ = 8.849 =.654 = -.77 =.9.6 Estmas Outstandng Clams Lablty dan Analss Kestablan Setelah mendapatan satu model PTF yang optmal dar sub bab.4, langah selanutnya adalah melauan penasran outstandng clams lablty menggunaan model tersebut. Apabla data ncremental bernla postf semua, maa penasran outstandng clams lablty dapat langsung menggunaan pers (.) atau tepatnya pers(.4). Namun arena data ncremental dar data yang dgunaan (data AFG) mengandung nla negatf, maa pers (.) tda bsa langsung dgunaan untu penasran outstandng clams lablty, ada sedt penyesuaan sepert uraan dbawah n. Berangat dar pers (.) + y ( ) = α + γ + ιt + = t= y ( ) ~ Normal α + = γ + + t = + E( y( ) ) = α + γ + ι = t = ι σ t, y ) = ln( ) (.5) ( p, t
untu menghlangan nla negatf dalam data ncremental, sedt modfas dlauan. Sehngga (.5) menad y( ) ln(, + τˆ) = p p E ( p + + τˆ ~ Lognormal α + γ + ιt = t =, + ) + τˆ = exp α + γ + ι = t = t σ + σ + E ( p, ) = exp α + γ + ι + σ τ ˆ t (.6) = t = dar pers (.4) dan pers (.6) dperoleh E( p, ) = exp α ˆ + + ( ) + σˆ τˆ, (.7) Persamaan (.7) nlah yang aan dgunaan untu mempreds nla dalam run off trangle bagan bawah (menasr outstandng clams lablty), dengan α ˆ = 8.849 =.654. = -.77 σ =.9 τ = 575.6559 Hasl selengapnya tersa dalam tabel d bawah n Tabel III.4 Nla tasran outstandng clams. Accdent Development year year 4 5 6 7 8 9 98 98. 98 45.. 984 84. 45.. 4 985.5 84. 45.. 5 986 87.8.5 84. 45.. 6 987 54.7 87.8.5 84. 45.. 7 988 4.4 54.7 87.8.5 84. 45.. 8 989 494. 4.4 54.7 87.8.5 84. 45.. 9 99 54.7 494. 4.4 54.7 87.8.5 84. 45..
Sebaga contoh perhtungan, msal aan d tasr nla cell pada (,9) atau accdent year 98 (bsa dwal notas ), development year e 9. Gunaan pers (.7) E( p, ) = exp α ˆ + + ( ) + σˆ τˆ, untu cell (,9) = dan = 9 maa pers(.7) menad E ( p,9,9) = exp α ˆ + + (9 ) + σˆ τˆ (.8) dengan memasuan nla estmas parameter maa (.8) menad E α ˆ = 8.849 =.654 σ = -.77 =.9 τ = 575.6559,9) = exp (8.849) + (.654) + (8)(-.77) + (.9) ( p, 9 E ( p, 9,9) = 696.76 575.6559 E p,9) =.6 (, 9 575.6559 Hasl d atas, sesua dengan tabel (III.4) pada cell (,9). Dengan menumlahan semua nla-nla cell dalam tabel III.4 dperoleh tasran dar total outstandng clams lablty sebesar $ 6,4,896 atau setar $ 6 uta. Untu data yang sama, d bawah n aan dtamplan uga hasl tasran outstandng clams lablty dar beberapa model. atu model Chan ladder dan Hertg s model (Hertg, 985). Model chan ladder denal sebaga basc method dalam penasran outstandng clams lablty. Hal n dsebaban arena, emudahan/esederhanaan dalam aplasnya serta penggunaannya yang cuup serng dalam general nsurance. Hertg s model adalah model raso yang mash beratan dengan model Chan ladder yang melbatan fator etdapastan serta 4
melbatan uga fator varans parameter dalam penasran outstandng clams lablty. Tabel III.5 Tasran total outstandng clams lablty dar beberapa model Model Tasran dar total outstandng clams lablty Chan Ladder $5,5,8 Hertg s Model $86,889,465 PTF Model $6,4,896 Dar tabel III.5 terlhat bahwa model yang berbeda aan menghaslan nla tasran total estmas outstandng clams lablty yang berbeda pula. Dar tabel III.5 tda bsa dputusan model mana yang terba dalam menasr outstandng clams lablty, sebab masng-masng model mempunya elebhan dan eurangan masng-masng. Aan tetap penggunaan model PTF untu menasr outstandng clams lablty menawab eurangan yang ada pada model penasr outstandng clams lablty yang lan. Kadang ala ngn detahu lebh auh bagamana araterst penasr; apaah penasr yang ta gunaan termasu penasr yang stabl atau tda. Menurut Barnett dan Zehnwrth (), establan penasr outstandng clams lablty dapat du dengan cara: penasran dlauan berulang al dengan menghlangan tahun pengamatan satu persatu (accdent year). Uraan lebh lengapnya dsaan pada lampran E. Tabel III.6 Perbandngan nla total tasran outstandng clams lablty, antara data tahun pengamatan lengap (98-99) dengan data tahun pengamatan yang dhlangan satu persatu. N Tahun Total tasran 55 98-99 $6,4,896 45 98-989 $6,55,48 6 98-988 $6,85,76 8 98-987 $,455,577 98-986 $9,79,8 5 98-985 $66,849,65 5
Dar tabel III.6 terlhat bahwa penasr cuup stabl sampa tahun pengamatan yang dhlangan (tahun pengamatan lengap 98-99). Flutuas terad mula tahun pengamatan 98-987, 98-986, 98-985. Hal n mungn dsebaban oleh hal berut :. Pada tahun pengamatan 98-99, 98-989, 98-988 penasran outstandng clams lablty melalu tahapan modfas data terlebh dahulu, sebab dalam data ncremental mash terdapat nla negatf, baru emudan proses penasran menggunaan model PTF dlauan. Hal deman tda terad pada tahun pengamatan 98-987, 98-986, 98-985, penasran untu tahun pengamatan d atas dlauan secara langsung, tanpa melauan modfas data terlebh dahulu. Sebab data ncremental sudah tda mengandung nla negatf lag (serng dengan penghlangan satu persatu tahun pengamatan).. Hal lan yang mungn menad sebab penasr urang stabl serng dengan penghlangan satu persatu tahun pengamatan, adalah seman sedtnya data yang dgunaan untu menasr. Seman sedt data yang dgunaan, penasr seman urang vald. 6