Bab I Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan real yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks ini. Secara umum bilangan kompleks terdiri dari dua bagian : bagian real dan bagian imajiner (khayal). Bagian khayal bercirikan hadirnya bilangan khayal i yang didefinisikan sebagai i = 1 (1.1) Timbulnya bilangan kompleks dapat diikuti dari proses matematika yang sederhana, yaitu dari persamaan kuadrat : 2 ax + bx + c = 0 (1.2) dimana cara penyelesaiannya sudah teramat populer, yaitu rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus : b D x1, 2 = ± (1.3) 2a 2a dimana diskriminan : D = b 2 4 ac (1.4) Untuk nilai diskriminan D 0, tidak ada masalah, karena akar-akar persamaannya bersifat real menurut persamaan (1.3). Nah, untuk kasus D < 0, di dalam matematika dasar dikatakan bahwa persamaan kuadrat (1.2) tidak memiliki akar real. Implikasi selanjutnya adalah bahwa akar persamaannya termasuk bilangan kompleks. Bila diskriminan negatif itu dituliskan D = d 2, maka akar kompleksnya adalah : b d x1, 2 = ± i (1.5) 2a 2a Dalam himpunan bilangan kompleks, x 1 dan x 2 dikatakan sebagai konjugat (sekawan) satu terhadap yang lain, karena perkalian antar mereka akan menghasilkan bilangan real. Sifatsifat yang dimiliki bilangan kompleks akan dibahas lebih lanjut di bagian-bagian berikutnya. 1
Penyajian bilangan kompleks : 1. bentuk rectangular y 2. bentuk polar z = x + iy (1.6) x = Re(z) - bagian real y = Im(z) - bagian imajiner bilangan kompleks dapat digambarkan pada bidang Argand seperti tampak pada gambar di sebelah ini. Semua titik yang berada pada sumbu Re(z) mewakili garis bilangan real. z = r [ cos θ + i sin θ ] = r cis θ (1.7) r = z - modulus bilangan kompleks θ = arg(z) - argumen bilangan kompleks Range utama argumen : 0 Arg(z) < 2π sehingga : arg(z) = Arg(z) + k.2π Hubungannya dengan bentuk rectangular tampak dari gambar di bidang Argand : r = x + y θ = tan 2 2 1 y x 3. bentuk eksponen z = r e iθ Im(z) r θ z = x+iy (1.8) (1.9) bentuk ini dapat diperoleh dari bentuk polar (1.7) dengan mengingat hubungan fungsi trigonometri dengan eksponensial kompleks : x Re(z) sin θ = e iθ e 2i iθ θ sinθ = Im( e i ) (1.10a) cos θ = e iθ + e 2 iθ θ cosθ = Re( e i ) (1.10b) Bentuk yang sering dipakai adalah bentuk rectangular (1.6) dan eksponensial (1.9). Bentuk eksponensial banyak dipakai dalam operasi pemangkatan dan perkalian, juga pada kasus- 2
kasus yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti peristiwa perambatan gelombang, getaran, dan lain-lain. Perlu ditambahkan bahwa di antara dua bilangan kompleks z 1 dan z 2 hanya dikenal hubungan dengan pengertian : z = z x = x dan y = y 1 2 1 2 1 2 z z x x atau y y 1 2 1 2 1 2 (1.11) Pengertian lebih besar (>) atau lebih kecil (<) tidak ada dalam perbendaharaan kata himpunan bilangan kompleks. Operasi bilangan kompleks Operasi aljabar 1. penjumlahan : z 1 ± z 2 = (x 1 ± x 2 ) + i(y 1 ± y 2 ) (1.12) operasi penjumlahan dilakukan pada masing-masing bagian. Bagian real dijumlahkan dengan bagian real, bagian imajiner dengan bagian imajiner. Pengurangan adalah penjumlahan dengan nilai negatifnya. 2. perkalian : z 1.z 2 = (x 1 x 2 - y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) (1.13a) = r 1 r 2 exp[i(θ 1 +θ 2 )] (1.13b) Tampak bahwa perkalian antara 2 bilangan kompleks lebih sederhana apabila dilakukan dalam bentuk polar eksponensial (1.13b). Modulus hasilnya adalah perkalian antara modulus kedua bilangan itu, sedangkan argumen hasil tersebut merupakan jumlahan dari argumen-argumennya. Pembagian adalah proses perkalian dengan kebalikan bilangan. Dalam bentuk eksponensial kebalikan bilangan kompleks memiliki argumen yang negatif. z 1 /z 2 = (r 1 /r 2 ) exp[i(θ 1 θ 2 )] (1.14) Tugas 1-1 Dengan memanfaatkan persamaan untuk perkalian (1.13b) dan pembagian (1.14) buktikanlah kesamaan (identitas) trigonometri : cos( θ ± θ ) = cosθ cosθ m sinθ sinθ 1 2 1 2 1 2 sin( θ ± θ ) = sinθ cosθ ± cosθ sinθ 1 2 1 2 1 2 3
3. pemangkatan : Operasi pemangkatan juga memanfaatkan kemudahan yang dimiliki oleh bentuk eksponensial : z n = r n e inθ (1.15) dimana n adalah sembarang bilangan real Persamaan (1.15) biasa dikenal dengan dalil de Moivre. Contoh pemanfaatan dalil ini adalah perhitungan akar persamaan : z 5 1 = 0. Tampak bahwa penyelesaian realnya adalah +1, bagaimana dengan penyelesaian kompleksnya? Ternyata mudah sekali untuk dikerjakan : z 5 ik e 2 π = 1 = z = exp( i 2 kπ) 5 Penyelesaian ini sudah lengkap, yaitu 5 buah akar persamaan untuk nilai k = 0 sampai dengan 4. Penyelesaian z = +1 adalah untuk k = 0. Tugas 1-2 Dengan memanfaatkan dalil de Moivre (1.15) jabarkanlah ekspresi berikut dalam fungsi sudut tunggal θ : cos 3θ sin 3θ 4. logaritma : ln z = ln z + i Arg(z) (1.16) = ln r + i θ Sekali lagi bentuk eksponensial menampakkan keunggulannya di dalam operasi logaritma ini. Sebuah hal penting yang perlu dicatat adalah fungsi logaritma di dalam himpunan bilangan kompleks sebenarnya adalah fungsi bernilai jamak (multi-valued), artinya untuk sebuah bilangan z, nilai logaritmanya lebih dari sebuah (dalam hal ini tak hingga banyaknya). Hal ini tampak pada persamaan (1.16) yang seharusnya memakai arg(z) di ruas kanan, bukan nilai utama Arg(z). Tetapi untuk membatasi agar fungsi ini bernilai tunggal (single-valued), range argumen dibatasi pada range utamanya saja (0 θ < 2π). Operasi konjugasi 4
Istilah konjugat sudah disinggung di bagian depan. Jika dua bilangan kompleks dikalikan menghasilkan bilangan real, kedua bilangan itu lantas disebut konjugat satu terhadap yang lain. Suatu bilangan kompleks z memiliki sekawan (konjugat) z* yang didefinisikan dan ditulis sebagai : z* = z = x iy = re iθ (1.17) sehingga perkaliannya dengan z menghasilkan bilangan real : z*z = z 2 = r 2 = x 2 +y 2 (1.18) Sifat ini dimanfaatkan untuk me-real-kan penyebut dalam pecahan bilangan kompleks, karena menurut persamaan (1.18) : 1/z = z*/ z 2 (1.19) Sifat lain bilangan konjugat ini adalah distributif terhadap penjumlahan maupun perkalian : (z 1 +z 2 )* = z 1 * + z 2 * (z 1.z 2 )* = z 1 *.z 2 * (1.20a) (1.20b) Hal lain yang menyangkut konjugat adalah bagian real dan imajiner suatu bilangan kompleks z : x = Re(z) = (z+z*)/2 y = Im(z) = (z z*)/2i Geometri bilangan kompleks (1.21a) (1.21b) Persamaan bilangan kompleks dapat dipakai untuk menggambarkan beberapa bentuk geometri dua dimensi di bidang Argand. Beberapa di antaranya adalah : Lingkaran z-z 0 = R z-z 0 > R R z 0 z-z 0 < R Persamaan untuk lingkaran berpusat di z 0 dan beruji R adalah : z - z 0 = R (1.22) sehingga daerah di dalam dan di luar lingkaran tersebut dapat ditulis : z - z 0 < R dan z - z 0 > R Garis lurus Persamaan untuk garis lurus yang menjadi garis sumbu di antara dua titik z 1 dan z 2 : 5
z - z 1 = z - z 2 (1.23) Sedangkan persamaan garis yang dituliskan dalam bentuk linier : y = ax + b dapat dituliskan dalam bentuk kompleks melalui substitusi persamaan (1.21) untuk x dan y : z z * a = ( z + z *) + b (1.24) 2i 2 Elips Persamaan elips yang fokus-fokusnya di z 0 dan -z 0, dan memiliki semimayor (ruji panjang) R adalah : z + z 0 + z - z 0 = 2R (1.25) Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap kedua fokus sama besar. Aplikasi Mungkin jarang diduga bahwa aplikasi bilangan kompleks ternyata amat luas. Tentu saja tidak mungkin semua jenis aplikasi dapat disebutkan di sini, kecuali yang terkait dengan bidang-bidang dasar. Ambil contoh perhitungan impedansi, tegangan dan arus maksimum, dan fase getar pada listrik AC. Lihat pula diktat Fisika II. Di dalam rangkaian AC setiap komponen dapat ditulis dalam bentuk bilangan kompleks : - resistor ditulis dengan bilangan real R - reaktansi induktif ditulis dengan bilangan imajiner ix L - reaktansi kapasitif ditulis dengan bilangan imajiner ix C - tegangan yang diberikan ditulis dengan bilangan kompleks V 0 e iθ Misalnya untuk rangkaian seri RLC seperti rangkaian di bawah ini : Impedansi rangkaian ini dapat dicari dari jumlahan (seri) dari ketiga komponennya : z = R + i (X L X C ) (1.26) = Z e iφ Dari bilangan kompleks (1.26) dapat diartikan : modulusnya merupakan impedansi rangkaian : 2 2 Z = z = R + ( X X ) (1.27) L C argumennya merupakan beda fase antara arus dan tegangan rangkaian : 6
φ = tan X 1 L X R C (1.28) Untuk mengetahui mana yang bergetar lebih dulu, arusnya atau tegangannya, dapat V 0 e iθ ~ R -ix C ix L digunakan hukum Ohm : I = V V = z 0 Z ei ( θ φ) (1.29) yang menunjukkan bahwa arusnya I ketinggalan fasenya sejauh φ dari tegangannya. Aplikasi pencarian akar kompleks Tugas 1-3 Selidiki bagaimana impedansi dan beda fase antara arus dan tegangannya jika ketiga komponen R, L, dan C dirangkai secara paralel satu sama lain! suatu persamaan terjadi pada saat penentuan stabilitas suatu sistem. Sebuah sistem, misalnya dalam sebuah rangkaian penguat, dapat bersifat stabil atau tidak stabil. Secara umum sebuah penguat dengan umpan balik dapat digambarkan sebagai berikut. Sinyal datang E s masuk ke dalam sistem E s E g penguat A, diperkuat menjadi sinyal keluaran A βe 0 E0 E 0. Sebagian keluaran, βe 0, dium- pan balik untuk bergabung dengan sinyal E s menjadi E g. Jadi yang sebenarnya diperkuat adalah E g ini : E 0 = A E g (1.30) dimana : E g = E s + βe 0 (1.31) 7
A disebut perkuatan sinyal, dan β adalah bagian keluaran yang menjadi umpan balik. Baik A maupun β dapat berupa bilangan kompleks. Perpaduan persamaan (1.30) dan (1.31) akan menghasilkan : E 0 = A E s + Aβ E 0 (1.32) Ketakstabilan sistem, berupa getaran misalnya, dapat ditengarai dari terjadinya keluaran E 0 tanpa adanya masukan E s. Maka kondisi tak stabil terjadi jika E 0 0 untuk E s = 0, sehingga kondisi ini menyebabkan persamaan (1.32) menghasilkan persamaan : 1-A(z)β(z) = 0 (1.33) Jika persamaan (1.33) memiliki akar real positif, sistem ini tak stabil dan menjadi semakin liar. Jika akarnya itu bilangan kompleks di belahan sebelah kanan bidang Argand, sistemnya juga tidak stabil, sistem akan mengalami getaran. Barulah jika akarnya ada di belahan kiri bidang Argand, sistem berada dalam keadaan stabil. 8
SOAL 1. Hitung akar-akar dari persamaan-persamaan berikut : a. x 6 +1 = 0 b. x 6 1 = 0 2. Berapakah sudut kompleks ψ bila : a. sin ψ = 2 b. cos ψ = 2 3. Hitung modulus dan argumen z bila : a. z = i i b. z = i + 1 i 1 4. c. z = ln (1 i 3) R = 1Ω Hitung impedansi untai AC berikut. Tentukan pula beda fase arus terhadap tegangannya V 0 e it ~ X L = 1Ω X C = ½ Ω antara titik A dan B! Nyatakan arusnya dalam fungsi waktu t! 5. Sebuah untai listrik AC terdiri dari resistor R, -ix C reaktansi induktif X L dan reaktansi kapasitif X C, seperti pada gambar. V ~ ix L R R = 10 Ω dan X L = 5 Ω Arus listrik yang mengalir pada untai ini : I = V/Z, dimana V adalah tegangan sumber dan Z adalah impedansi untainya. Berapa X C yang harus dipasang agar arus dan 9
tegangannya sefase, yakni jika argumen bilangan kompleks untuk arus dan tegangannya sama besar? 6. Hitung modulus dan argumen bilangan kompleks z, bila ia memenuhi persamaan : 3 2 a. z + z + z + 1 = 0 2 b. z z + 1 = 0 10