SCRAMBLING INDEX DARI GRAF RING-STAR DAN VARIASINYA

SCRAMBLING INDEX DARI GRAF RING-STAR DAN VARIASINYA SKRIPSI FITRIANA 100803027 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014

SCRAMBLING INDEX DARI GRAF RING STAR DAN VARIASINYA SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains FITRIANA 100803027 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014

PERSETUJUAN Judul Kategori Nama : Scrambling Index dari Graf Ring Star dan Variasinya : Skripsi : Fitriana Nomor Induk Mahasiswa : 100803027 Program Studi Departemen Fakultas : Sarjana (S1) Matematika : Matematika : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Medan, Oktober 2014 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2 Pembimbing 1 Dr. Mardiningsih, M.Si Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP.19630405 198811 2 001 NIP.19640109 198803 1 004 Diketahui oleh : Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. 19620901 198803 1 002 i

PERNYATAAN SCRAMBLING INDEX DARI GRAF RING STAR DAN VARIASINYA SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Oktober 2014 FITRIANA 100803027 ii

PENGHARGAAN Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat dan ridho-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini yang berjudul SCRAMBLING INDEX DARI GRAF RING STAR DAN VARIASINYA. Shalawat dan salam dipersembahkan kepada Rasulullah Muhammad SAW, semoga keberkahan selalu tercurah kepada beliau, keluarga, sahabat dan para pengikutnya. Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis banyak mendapatkan bantuan, motivasi, do a dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU Medan. 2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing I dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku Dosen Pembimbing II, yang telah banyak membantu penulis dan memberikan dukungan baik berupa nasihat, motivasi maupun ilmu pengetahuan kepada penulis dalam menyelesaikan penelitian ini. 3. Bapak Dr. Suwarno Ariswoyo, M.Si, selaku Dosen Pembanding I, dan Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku Dosen Pembanding II, yang telah memberikan nasehat, kritik dan saran yang membangun selama penelitian. 4. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara, Medan. 5. Ibunda Demsi Marpaung dan Ayahanda Parwono serta adinda Dwi Indah Noviana dan Riski Ramadhan yang dengan sabar membimbing, memotivasi, mend oakan, mengingatkan dan memberikan dukungan moril maupun materil selama penulisan skripsi ini. iii

Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada teman-teman (Ayu, Ibah, Dewi, Husna, Lani, Rika dan Tria) yang senantiasa saling menyemangati dan saling memotivasi dalam menyelesaikan skripsi ini, semoga Allah meridhoi semua usaha yang dilakukan. Terima kasih kepada rekan-rekan Komutatif 2010, Murni 2010, Al FALAK, IM 3, HMM, dan lainnya yang telah banyak memberikan inspirasi dan pengalaman yang berharga dan berguna untuk bekal hidup di masa yang akan datang, hanya Tuhan yang dapat membalasnya. Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini, untuk itu saran dan kritik yang membangun dari pembaca sangat diharapkan. Penulis menyampaikan terima kasih atas perhatiannya, semoga tulisan ini dapat bermanfaat. Medan, Oktober 2014 FITRIANA iv

SCRAMBLING INDEX DARI GRAF RING STAR DAN VARIASINYA ABSTRAK Sebuah graf terhubung G dikatakan primitif bila terdapat bilangan bulat positif k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v terdapat jalan yang menghubungkan u dan v dengan panjang k. Scrambling index dari sebuah graf primitf G, k(g), adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda terdapat sebuah titik w dengan sifat bahwa ada jalan yang menghubungkan u dan w dengan panjang k. Untuk sebuah s-ring star R dengan panjang lingkaran ganjil s diperlihatkan bahwa k(r) = (s + 1)/2. Dua variasi graf ring star yang lainnya adalah graf s-wheel (W ) yang dan graf s-steering ship (S) dengan nilai scrambling index masing-masing graf adalah k(w ) = 1 untuk graf s-wheel dan k(s) = 2 untuk graf s-steering ship. Kata kunci: terhubung, graf primitif, ring star, scrambling index. v

SCRAMBLING INDEX OF RING STAR GRAPH AND ITS VARIATION ABSTRACT A connected graph G is called primitive provided that there is a positive integer k such that for each pair of vertices u dan v in G there is a walk of length k connecting u and v. A scrambling index of a primitive graph G, k(g), is the smallest positive integer k such that for each pair of distinct vertices u and v there is a vertex w with the property that there is a walk connecting u and v and a walk connecting v and w of length k. For a s-ring star R with cycle of odd length s we show that k(r) = (s + 1)/2. Two others variation of ring star graph is s-wheel (W ) graphand s-steering ship (S), we show that k(w ) = 1 for s-wheel graph and k(s) = 2 for s-steering ship graph. Keywords: connected, primitive graph, ring star, scrambling index. vi

DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR i ii iii v vi vii ix BAB 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 4 1.3 Tujuan Penelitian 5 1.4 Manfaat Penelitian 5 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 6 2.1 Graf 6 2.2 Matriks Ketetanggaan (Adjacency) 7 2.3 Graf Terhubung 9 2.4 Primitifitas suatu Graf 11 2.5 Matriks Tak Negatif dan Eksponen dari Graf 12 2.5.1 Matriks Tak Negatif 12 2.5.2 Eksponen dari Graf 14 2.6 Scrambling Index 15 2.6.1 Scrambling Index Graf Primitif 15 2.6.2 Scrambling Index dari Lingkaran Ganjil 17 vii

2.6.3 Graf dengan Scrambling Index 1 18 BAB 3 METODE PENELITIAN 20 BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 21 4.1 Scrambling Index dari Graf Ring Star 21 4.2 Scrambling Index dari Graf Wheel 22 4.3 Scrambling Index dari Graf Steering Ship 24 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 25 5.1 Kesimpulan 25 5.2 Saran 26 DAFTAR PUSTAKA 27 viii

DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman Gambar 1.1 Bentuk umum graf primitif s-ring star (R) 3 1.2 Bentuk umum graf primitif s-wheel (W ) 4 1.3 Bentuk umum graf primitif s-steering ship (S) 4 2.1 Sebuah graf 6 2.2 Graf 4-wheel (W) 8 2.3 Contoh graf terhubung dan graf tidak terhubung 10 2.4 Contoh graf primitif 12 4.1 Lintasan terpendek yang menghubungkan v s+1 dan v 2s 21 4.2 Setiap titik di W berada pada sebuah segitiga 23 4.3 u, v pada 2 segitiga berbeda terhubung dengan panjang jalan = 2 23 ix