BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bagian ini diberikan beberapa konsep dasar yang menjadi landasan berpikir dalam penelitian ini, seperti fungsi nonlinier, fungsi smooth, fungsi nonsmooth, turunan fungsi smooth, turunan fungsi nonsmooth, dan metode Subgradien pada fungsi nonsmooth. 2.1 Fungsi Nonlinier Definisi 2.1.1. Sebuah fungsi dengan nilai real yang didefinisikan pada himpunan bilangan real adalah aturan yang menyatakan setiap bilangan yang berada dalam ke tepat satu bilangan real dinyatakan dengan. Himpunan yang beranggotakan seluruh bilangan di mana didefinisikan disebut Domain atau daerah asal fungsi. Bilangan yang merupakan fungsi dari disebut nilai pada titik, sedangkan himpunan semua nilai disebut Range (jelajah) dari (Razali dkk, 2010). Domain Range Gambar 2.1.1. Ilustrasi fungsi
Fungsi nonlinier merupakan fungsi yang tidak linier, yakni grafiknya bukan berupa garis lurus melainkan berupa kurva atau garis zig-zag. Bentuk umum dari fungsi nonlinier di mana dan merupakan koefisien. Beberapa bentuk dari fungsi nonlinier adalah 1. Fungsi kuadrat Fungsi kuadrat adalah fungsi yang mempunyai pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua. Gambar fungsi kuadrat bisa berupa lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah di mana dan. Gambar 2.1.2. Fungsi kuadrat
Diberikan beberapa ciri-ciri dari suatu fungsi kuadrat yaitu: 1. Jika dan maka bentuk kurvanya lingkaran. 2. dan mempunyai tanda yang sama maka bentuk kurvanya elips. 3. berlawanan tanda maka bentuk kurvanya hiperbola. 4. dan jika salah satu atau maka bentuk kurvanya parabola. 2. Fungsi kubik Fungsi kubik adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat tiga. Bentuk umum dari fungsi kubik adalah di mana.. Sebuah fungsi kubik setidak-tidaknya mempunyai sebuah titik belok (inflextion point), yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau sebaliknya. Selain titik belok, fungsi kubik memungkinkan mempunyai sebuah titik ekstrim (maksimum atau minimum) atau kedua titik ekstrim (maksimum dan minimum). Ada tidaknya titik ekstrim pada fungsi kubik bergantung dari besarnya nilai di dalam persamaan.
Gambar 2.1.3. Fungsi kubik untuk Gambar 2.1.4. Fungsi kubik untuk 3. Fungsi eksponensial Pada fungsi eksponensial kurvanya berada di kuadran I dan II pada sistem koordinat. Bentuk sederhana dari fungsi eksponensial di mana
Bentuk umum dari fungsi eksponensial di mana dan adalah konstanta Kurva fungsi eksponensial asimtotik terhadap garis Titik potong kurva eksponensial Gambar 2.1.5. Fungsi eksponensial untuk Gambar 2.1.6. Fungsi eksponensial untuk
4. Fungsi logaritmik Fungsi logaritmik merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial yang variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma. Bentuk sederhana dari fungsi logaritmik di mana Bentuk umum dari fungsi logaritmik y di mana Kurva fungsi logaritmik ada di sebelah kanan dan asimtotik terhadap garis Titik potong dengan sumbu * + Titik potong dengan sumbu * + Gambar 2.1.7 Fungsi logaritmik
2.1.1 Fungsi Smooth Sebuah fungsi pada dengan { ( ) Adalah smooth dan mempunyai turunan 0 pada. Sebuah fungsi diberikan sebagai berikut: yang kontinu dan mempunyai turunan pada setiap titik { di mana adalah polynomial dari derajat Bukti: Dengan menggunakan induksi matematika, untuk semua bilangan asli termasuk 0 ( ) di mana semua, karena adalah kontinu dan dapat didifferensialkan pada ( ) Menurut Power Series Representation of The Exponential Function
Oleh karena untuk semua bilangan positif maka digunakan persamaan fungsi pada fungsi eksponensial. diikutsertakan, ( ) Akan dibuktikan rumus untuk turunan ke dengan induksi matematika. Untuk turunan pertama dari untuk semua dan adalah polynomial dari derajat 0 adalah benar. Akibatnya turunan dari adalah 0 untuk. ( ) Tahap induksi matematika dari sampai adalah sama. Untuk diperoleh turunannya adalah ( )
di mana adalah polynomial dari derajat. Maka turunan pertama dari adalah 0 untuk semua. Turunan pada, adalah ( ) (Wikipedia, 2013). 2.1.2 Fungsi Nonsmooth Definisi 2.1.2.1. Istilah nonsmooth mengacu pada situasi dimana terjadi smoothness (differensiabilitas). Sebuah fungsi yang nonsmooth dapat berupa fungsi patah namun tetap kontinu. (Clarke, 1983). Contoh 2.1.2.1.. Fungsi di atas dapat digambarkan sebagai berikut: y -1 0 1 x
Fungsi merupakan dua buah garis yang bertemu pada satu titik, yaitu di titik. Kedua garis memiliki turunan yang berbeda. Turunan dari sebelah kiri adalah dan turunan dari sebelah kanan adalah. (Martono, 2002) Berdasarkan contoh di atas fungsi nonsmooth dapat diartikan sebagai fungsi yang mempunyai turunan berarah. 2.2 Turunan Fungsi Nonlinier Definisi 2.2.1 Untuk fungsi maka turunannya di titik didefinisikan oleh: jika limit ini ada. Jika ada, maka dikatakan fungsi terdifferensialkan (dapat diturunkan) di titik. (Razali dkk, 2010) Untuk menentukan turunan dari, Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah 1. Tentukan 2. Tentukan selisih 3. Bagilah dengan untuk mendapatkan 4. Ambil limit lalu hitung
Thomas, G.B (2012) memaparkan beberapa aturan pada turunan, yaitu: Teorema 2.2.1. (Aturan Fungsi konstanta) Jika, di mana adalah konstanta, maka untuk sebarang berlaku Bukti: Jadi, terbukti jika maka Teorema 2.2.2. (Aturan Pangkat) Jika di mana sebarang bilangan rasional, maka turunannya adalah Bukti: Langkah 1
Langkah 2 [ ] Langkah 3 [ ] Langkah 4 Ambil limit untuk hasil akhir langkah 3 diperoleh:
Teorema 2.2.3. (Aturan perkalian fungsi dengan konstanta) Misalkan adalah sebarang bilangan real. Jika ada maka turunan dari fungsi adalah Artinya turunan dari perkalian konstanta dengan fungsi adalah sama dengan perkalian konstanta dengan turunan. Bukti: Teorema 2.2.4. (Aturan jumlah selisih) Jika diberikan fungsi di mana dan terdifferensialkan, maka: Artinya turunan dari jumlah atau selisih dua fungsi adalah sama dengan jumlah atau selisih dari turunan keduanya. Aturan ini berlaku pada tiga fungsi atau lebih.
Bukti: Ambil jumlah dua fungsi. Dengan menggunakan definisi turunan Untuk, maka: Langkah 1 Langkah 2, -, -, -, - Langkah 3, -, -, -, - Kemudian ambil limit pero eh Langkah 4, -, -
Teorema 2.2.5. ( Aturan perkalian ) di mana dan dapat diturunkan, maka turunan dari adalah Bukti: * + Teorema 2.2.6. (Aturan pembagian) Jika diberikan turunannya adalah di mana dan terdifferensialkan maka, -
Bukti: * +,* + -, - 2.2.1 Turunan Fungsi Smooth Beberapa interpretasi penting mengenai turunan, yaitu: 1. Turunan ditafsirkan sebagai gradien garis singgung kurva di titik. 2. Turunan ditafsirkan sebagai laju perubahan dari fungsi di titik. 3. Turunan ditafsirkan sebagai kecepatan sesaat dari sebuah persamaan gerak di titik. Pada fungsi smooth, turunannya ditafsirkan sebagai gradien garis singgung kurva di titik.
2.2.2 Turunan fungsi Nonsmooth Andaikan adalah sebuah fungsi dan merupakan sebuah titik di maka fungsi tersebut dikatakan Lipschitz terhadap jika terdapat sebuah skalar dan bilangan positif ɛ sehingga: e er di mana B adalah sebuah unit ball yang terbuka di, maka ɛ adalah open ball pada radius ɛ pada. Andaikan adalah Lipschitz terhadap dan andaikan vektor lain pada X. Generalizad directional derivative pada di yang menuju, disimbolkan, dan didefinisikan sebagai berikut: di mana adalah vektor di X dan adalah sebuah skalar positif. Proposisi 2.2.2 Andaikan adalah Lipschitz pada rank K terhadap, maka: 1. Fungsi adalah finite, positively homogeneous, dan subadditive pada X, dan memenuhi. 2. adalah upper semicontinuous sebagai fungsi dari dan hanya sebagai fungsi saja, adalah Lipschitz dari rank K pada X. 3.
Bukti: Pada kondisi Lipschitz, nilai dari pada dimana mendekati dan mendekati 0 p p p Dapat disimpulkan bahwa Andaikan * + dan * + berturut-turut konvergen pada terdapat dalam X dan sehingga, maka Dengan mengambil limit diperoleh p Andaikan dan berada di X, maka p
p di mana (Clarke, 1983). Sebagai sebuah fungsi dari adalah positively homogeneous, dan subadditive, sehingga dapat didefinisikan himpunan tak kosong adalah generalized gradien pada di, sebagai berikut: * + Dengan mempertimbangkan sifat dari, maka himpunan bagian tak kosong yang konveks pada, untuk setiap * + Maka sama dengan. dapat dikatakan subdifferential pada analisis konveks, dan himpunan dari vektor yang berada di dapat ditulis sebagai berikut : untuk semua Yi Zhang (2013) menjelaskan bahwa sebuah vektor subgradien dari pada jika adalah Jika konveks dan terdifferensialkan maka dari pada. adalah subgradien