Model SIR Peyakit Tidak Fatal Husi Tamri, M. Zaki Riyato *, Akhid, Ardhi Ardhia Jurusa Matematika FMIPA UGM Yogyakarta 2007 Itisari Model SIR dapat diguaka utuk memodelka peyebara suatu peyakit yag tidak fatal atau tidak meimbulka kematia dalam suatu populasi tertutup berdasarka asumsi-asumsi tertetu. Selajutya, dari model tersebut dapat diperoleh dua titik kesetimbaga. Megguaka titik kesetimbaga dapat diperoleh suatu iterpetasi dalam kehidupa yata, khususya yag berkaita dega eksistesi atau keberadaa peyakit dalam populasi, yaitu titik kesetimbaga bebas peyakit da titik kesetimbaga edemik. Pada titik kesetimbaga bebas peyakit terjadi jika proporsi subpopulasi reta adalah 1 da laju terserag kurag dari laju kesembuha ditambah dega laju kelahira/kematia. Kata kuci: SIR, stabil asymtotik, titik kesetimbaga bebas peyakit, titik kesetimbaga edemik 1. Pedahulua Model matematika merupaka salah satu alat yag dapat membatu mempermudah peyelesaia masalah dalam kehidupa yata. Masalah-masalah tersebut dapat di bawa ke dalam model matematis dega megguaka asumsi-asumsi tertetu. Selajutya, dari model yag didapat dicari solusiya, baik dega cara aalitis maupu secara umerik. Salah satu permasalaha di kehidupa yata adalah megeai peyebara suatu peyakit yag tidak meimbulka kematia (fatal) da idividu yag terifeksi aka mempuyai kekebala dalam jagka waktu tertetu, cotohya adalah peyakit campak, iflueza, da sebagaiya. Selajutya, masalah peyebara peyakit ii * E-mail: zaki@mail.ugm.ac.id http://zaki.math.web.id 1
aka dimodelka ke dalam betuk matematis megguaka tipe model peyebara peyakit SIR. Model SIR (Susceptibles, Ivectives, Recovered) pada awalya dikembagka utuk megetahui laju peyebara da kepuaha suatu wabah peyakit dalam populasi tertutup da bersifat epidemik. Pada paper ii dibahas megeai pembetuka model SIR pada peyakit yag tidak fatal da berdasarka asumsi-asumsi yag dibuat. Setelah model terbetuk, kemudia dicari solusi aalitis da titik kesetimbagaya, yag selajutya diiterpetasika dalam permasalaha yag sesugguhya dalam kehidupa yata. Dalam hal ii adalah megeai perilaku peyebara peyakit da eksistesiya, yaitu titik kesetimbaga bebas peyakit da titik kesetimbaga edemik. Titik kesetimbaga bebas peyakit adalah suatu kodisi di maa sudah tidak ada lagi peyakit yag meyerag atau dalam arti tidak ada lagi idividu yag terserag peyakit. Titik kesetimbaga edemik adalah suatu kodisi di maa peyakit selalu ada dalam populasi tersebut, maksudya adalah bahwa selalu saja ada idividu yag terserag peyakit. 2. Teori Kestabila Diberika sistem persamaa diferesial o liear 1 dega kodisi awal 1 = f ( x,..., x ) 1 1 = f ( x,..., x ) 1 (1) t0 0 x ( t ) = x, i = 1, 2,...,. Sistem (1) di atas dapat ditulis sebagai f ( x) =, i 2
dega ( x1,..., x ) T = R, f ( x) = ( f1( x), f2( x),..., f ( )) T x, da memeuhi kodisi awal x( t0) = ( x01, x02,..., x0 ) T. Selajutya, otasi x( t) = x( x0, t) meyataka solusi sistem (1) di atas yag melalui x 0. Defiisi 1. (Perko, 1991) Titik sistem (1) jika f ( x ) = 0. x R disebut titik kesetimbaga (titik equilibrium) Defiisi 2. (Fiizio & Ladas, 1988) 1) Titik kesetimbaga x dikataka stabil jika utuk setiap bilaga ε > 0 terdapat bilaga δ > 0 sedemikia higga utuk setiap solusi y( t ) yag memeuhi y( t0) x < δ berlaku x( t) x < ε utuk t t0. 2) Titik kesetimbaga x dikataka stabil asymtotik jika x stabil da terdapat bilaga δ 0 > 0 sedemikia higga utuk setiap setiap solusi y( t ) yag memeuhi y( t0) x < δ0 berlaku y( t) x 0 utuk t. Diberika sistem persamaa diferesial o liear f ( x) = (2) dega f adalah fugsi o liear da kotiu, f : E R, E R. Perilaku solusi pada persekitara titik kesetimbaga sistem o liear (2) dapat ditetuka setelah dilakuka peliiera pada persekitara titik kesetimbaga sistem. Defiisi 3. (Kocak, 1991) Diberika f = ( f1,..., f ) pada sistem (2) di atas dega f C 1 ( E), i = 1,2,..,. Matriks i 3
f1 f1 ( x) ( x) x1 x J ( f ( x)) = f f ( x) ( x) x1 x diamaka matriks Jacobia dari f di titik x. (3) Defiisi 4. (Perko, 1991) Sistem = J ( f ( x)) x disebut liearisasi sistem (2) di x. Teorema 5. (Wiggis, 1990) Jika semua ilai eige dari matriks Jacobia J ( f ( x )) mempuyai bagia real egatif, maka titik kesetimbaga x pada sistem (2) stabil asymtotik. 3. Model SIR Peyakit Tidak Fatal Peyebara peyakit yag tidak fatal (tidak meimbulka kematia) dalam suatu populasi yag diasumsika memiliki jumlah tetap da dalam satu periode waktu wabah. Pada saat t misal dalam satu populasi terdiri dari : S(t) : susceptibles : adalah subpopulasi di maa aggotaya terdiri dari orag-orag yag reta terkea peyakit tersebut. I(t) : ifectives : adalah subpopulasi dimaa aggotaya tersiri dari oragorag yag sudah terjagkit peyakit tersebut. R(t) : Recovered : adalah orag-orag yag telah sembuh dari peyakit tersebut. Dega proporsi S + I + R = 1. Asumsi asumsi : 1) Populasi tertutup (tidak ada proses migrasi). 2) Terjadi proses kelahira da kematia. 3) Laju kelahira sama dega laju kematia (jumlah populasi tetap). 4) Peyakit dapat disembuhka. 4
5) Setiap idividu yag belum terserag peyakit masuk ke subpopulasi susceptibles (reta terserag). 6) Idividu yag sembuh mempuyai kekebala dalam jagka waktu tertetu. 7) Peyakit meular melalui kotak lagsug atara idividu reta dega pederita. 8) Tidak ada masa ikubasi apabila terjadi proses peulara. 9) Masa terjagkit yag cukup lama. Diasumsika terdapat kotak yag tetap dari subpopulasi S da I dalam populasi tersebut da agka susceptible S(t) ditambah dega bilaga kosta µ. Bilaga kosta µ melambagka kodisi di maa mucul kelahira baru da bayi yag baru lahir otomatis masuk dalam kodisi reta. Karea laju kelahira sama dega laju kelahira, maka ilai kedua laju sama yaitu µ. Misalka laju peulara peyakit adalah β, maka dalam satu waktu laju dari susceptibles mejadi ifective adalah : ds = β SI + µ µ S (4) dega β, µ adalah kosta positif da µs adalah jumlah kematia pada subpopulasi S. Jika α > 0 adalah laju kesembuha dari ifected mejadi recovered, maka = β SI α I µ I (5) dega µi adalah jumlah kematia pada subpopulasi I, da laju perubaha subpopulasi recovered mejadi dr = α R µ R (6) dega µr adalah jumlah kematia dari subpopulasi R. µ β α S I R µ µ µ Gambar 1. Model SIR dega kelahira da kematia 5
4. Kestabila Sistem Dari persamaa (4), (5) da (6) di atas, diperoleh sistem persamaa diferesial ds = µ β SI µ S, = β SI α I µ I (7) dr = α I µ R Karea persamaa pertama da kedua tidak dipegaruhi oleh persamaa ketiga, maka persamaa ketiga dapat diabaika terlebih dahulu sehigga sistem persamaa (7) mejadi ds = µ β SI µ S, = β SI α I µ I Dari sistem persamaa (8) diperoleh titik kesetimbaga Misalka (S,I) = (1,0) da f ( S, I ) = µ β SI µ S g( S, I) = β SI α I µ I (S,I) =, β α + µ β. Utuk meyelediki kestabila titik kesetimbaga dilakuka liearisasi terhadap persamaa o liear di atas f ( S, I ) ( µ β SI µ S) = = β I µ S S f ( S, I ) ( µ β SI µ S) = = β S I I g( S, I ) ( β SI α I µ I) = = β I S S g( S, I ) ( β SI α I µ I) = = β S α µ I I (8) 6
Proposisi 6. Jika β < α + µ, maka titik kesetimbaga (S,I) = (1,0) stabil asymtotik. Bukti: Utuk titik kesetimbaga di (S,I) = (1,0) diperoleh matrik Jacobia µ β J =. 0 β α µ Sehigga diperoleh sistem liear ds µ β S =. 0 β α µ I Det (λi-j) = 0 λ + µ β = 0 0 λ β + α + µ ( λ + µ )( λ β + α + µ ) = 0. Diperoleh λ 1 = -µ da λ 2 = β α µ. Jelas bahwa λ 1 = -µ < 0 da diperoleh bahwa ilai λ 2 = β α µ < 0 β < α + µ. Jika β < α + µ, maka megguaka Teorema 5 di atas diperoleh bahwa titik kesetimbaga (S,I) = (1,0) stabil asymtotik. Proposisi 7. Titik kesetimbaga (S,I) =, β α + µ β Bukti: stabil asymtotik. Utuk titik kesetimbaga di (S,I) =, β α + µ β Jacobia βµ α µ α + µ J = βµ µ 0 α + µ sehigga diperoleh sistem liear maka diperoleh matriks 7
ds βµ α µ α + µ S =. βµ I µ 0 α + µ Selajutya, Det (λi-j) = 0 βµ λ + α + µ α + µ = 0 βµ µ λ α + µ βµ α + µ 2 λ + λ + µ β α µ = ( ) 0 βµ βµ λ + ( λ) ( α + µ ) µ = 0 α + µ α + µ βµ βµ ± 4µ ( β α µ ) α + µ α µ + λ1,2 =, 2 2 1 βµ dega bagia real Re(λ 1,2 ) = < 0. Akibatya, megguaka Teorema 5 di 2 α + µ atas, diperoleh bahwa titik kesetimbaga (S,I) =, β α + µ β asymtotik. stabil 5. Kesimpula Berdasarka hasil yag diperoleh dari perhituga di atas, diperoleh dua titik kesetimbaga, yaitu (S,I) = (1,0) da (S,I) =, β α + µ β. Jika diperoleh titik kesetimbaga (1,0) da jika β < α + µ, berdasarka Proposisi 6 maka titik kesetimbaga (1,0) stabil asymtotik. Artiya jika terjadi kodisi seperti ii maka dalam waktu yag lama tidak ada peyebara peyakit atau 8
tidak ada idividu yag masuk ke subpopulasi ifectives atau dapat disebut titik ii adalah titik kesetimbaga bebas peyakit. Jika diperoleh titik kesetimbaga, β α + µ β, berdasarka Proposisi 7 maka stabil asymtotik. Artiya kodisi ii dalam waktu yag lama, maka peyakit aka selalu ada dalam populasi tersebut da selalu ada idividu yag masuk ke subpopulasi ifectives. Kodisi seperti ii dapat disebut sebagai titik kesetimbaga edemik. Daftar Pustaka Diekma, O ad Heesterbeek, J.A.P, 2000, Mathematical Epidemology of Ifectious Diseases: Model Buildig, Aalysis ad Iterpretatio, Joh Wiley, New York Fiizio, N. ad Ladas, G., 1998, Persamaa Diferesial Biasa dega Peerapa Moder, Erlagga, Jakarta Haberma, Richard, 1977, Mathematical Model i Mechaical Vibratios, Populatio Dyamics, ad Traffic Flow, Pretice-Hall, New Jersey Lawrace, P., 1991, Differetial Equatio ad Dyamical System, Spriger-Verlag, Berli Olders, G.J. ad Voder Woude, J.W., 1994, Mathematical System Theory, First Editio, Delftse Witgevers Maatschappij, The Netherlads 9