BAB III TENSOR Berdasarkan uraian bab sebelumnya yang telah menjelaskan beberapa istilah dan materi pendukung yang berkaitan dengan tensor, pada bab ini akan dijelaskan pengertian dasar dari tensor. Tensor merupakan generalisasi dari bentuk skalar dan vektor, sehingga jika tensor dengan dim = 0 maka disebut skalar, sedangkan jika tensor dengan dim = 1 maka disebut vektor. Pada bagian ini terlebih dahulu akan dijelaskan konsep ruang berdimensi hingga atau lebih dikenal dengan ruang Euclid. Selanjutnya dalam ruang tersebut akan mendefinisikan tensor-tensor kovariant, kontavariant dan campuran. 3.1 Ruang Berdimensi Hingga/Ruang- Euclid Definisi 3.1 Jika Z, maka tupel--terorde (ordered--tupel) adalah suatu pasangan terurut bilangan real 1, 2,,. Himpunan semua bilangan pasangan terurut- dinamakan ruang- dan dinyatakan dengan. Suatu kurva pada suatu ruang- adalah himpunan titik-titik yang memenuhi buah persamaan, yaitu =, dimana adalah parameter dan = 1, 2,,. Misalkan adalah subruang dari dengan <, maka adalah himpunan yang memenuhi buah persamaan yaitu = 1, 2,, dimana, = 1, 2,, menyatakan buah parameter dan = 1, 2,,. Kasus khusus, jika = 1, maka disebut hypersurface pada ruang.
18 1, 2,, disebut membentuk suatu sistem koordinat di. Setiap = 1, 2,, menyatakan sebagai titik pada ruang, sedangkan = {,,, } menjadi basis untuk, dengan kata lain R = + + +. Misalkan ada suatu transformasi,, dimana 1, 2,, =. Sehingga diperoleh persamaan 1 = 1 1, 2,, 2 = 2 1, 2,, 1 = 1, 2,, Atau = 1, 2,,, dimana = 1, 2,,. Transformasi tersebut dikenal sebagai transformasi koordinat yang terdiri dari buah persamaan. Karena persamaan (1) belum tentu bebas linear maka nilai Jacobian atau determinan Jacobinya tidak sama dengan nol. = 0 Dalam bentuk vektor (seperti vektor berarah atau vektor kecepatan), contoh vektor kontravariant adalah posisi sebuah objek relatif kesuatu tempat kedudukan, atau setiap turunan dari suatu posisi yang berhubungan dengan waktu,
19 termasuk kecepatan, akselerasi dan hentakan. Dalam notasi Einstein, komponen kontravariant memiliki indeks-indeks pada bagian atas, seperti =. Selanjutnya akan dijelaskan mengenai tensor kontravariant rank satu atau yang lebih dikenal dengan tensor kontravariant. 3.2 Vektor Kontravariant Definisi 3.2 Fungsi dalam sistem koordinat,,, disebut vektor kontravariant jika pada suatu transformasi koordinat, sehingga fungsi akan ditransformasikan menjadi = =1, = 1,2,, 2 dimana merupakan fungsi dalam sistem koordinat 1, 2,,. = disebut komponen vektor kontravariant atau tensor kontravariant rank satu atau order satu. Untuk suatu vektor dual, vektor kovariant biasanya muncul ketika dikonstruksi gradien dari suatu fungsi (effektifnya pembagian dengan suatu vektor). Dalam notasi Einstein, komponen kovariant memiliki indeks-indeks pada bagian bawah, seperti =.
20 3.3 Vektor Kovariant Definisi 3.3 Fungsi dalam sistem koordinat,,, disebut vektor kovariant jika pada suatu transformasi koordinat, sehingga fungsi akan ditransformasikan menjadi = =1, = 1,2,, 3 dimana merupakan fungsi dalam sistem koordinat 1, 2,,. = disebut komponen vektor kovariant atau tensor kovariant rank satu atau order satu. 3.4 Invariant Definisi 3.4 Suatu fungsi =,,, disebut invariant jika pada suatu transformasi koordinat, sehingga fungsi akan ditransformasikan menjadi = 4 Contoh: Jika adalah suatu vektor kontravaiant dan adalah suatu vektor kovariant, maka adalah suatu invariant. Perhatikan bentuk,
21 = = = = = = Karena indeks sembarang, maka berlaku dengan memilih =. Diperoleh adalah suatu invariant. menjadi Misalkan untuk tensor kontravariant rank dua, maka sifat transformasinya 1 2 = 1 2 1 2 1 2 2 =1 1 =1, 1, 2 = 1,2,, sehingga bentuk umum transformasi tensor kontravariant rank adalah 1 2 = =1 1 2 1 2 1 2 2 =1 1 =1 dimana 1, 2,, = 1,2,, dengan 1 2 = 1 2 1 2 1 〱 2 adalah komponen tensor kontravariant rank. menjadi Sekarang untuk tensor kovariant rank dua, maka sifat transformasinya
22 2 1 2 = や 1 1 1 2 2 2 =1 1 =1, 1, 2 = 1,2,,, sehingga bentuk umum transformasi tensor kovariant rank adalah 1 2 = =1 1 2 1 2 1 2 2 =1 1 =1 dimana 1, 2,, = 1,2,, dengan 1 2 = 1 1 2 2 1 2 adalah komponen tensor kovariant rank. Setelah mengetahui definisi dari komponen-komponen kontravariant dan kovariant rank, selanjutnya akan didefinisikan tensor pada Definisi 3.5 berikut. 3.5 Tensor Definisi 3.5 1. Misalkan ruang vektor dan misalkan = +,,,,, ; R ( untuk, sedangkan untuk ). Unsur-unsur dari disebut tensor pada yang berjenis,. 2. Jika maka disebut tensor. 3. Misalkan 1 1 1 dan 2 2 2, hasilkali tensor dari 1 dan 2 adalah tensor 1 2 1 + 2 1 + 2 didefinisikan oleh 1 2 1,, 1, 1,, 2, 1,, 1, 1,, 2 = 1 1,, 1, 1,, 1, 1,, 2 2 1,, 2, 1,, 2 dimana, dan,.
23 Contoh Jika adalah tensor jenis 0, 2 pada maka tensor mempunyai komponenkomponen =, adalah suatu matriks. Dengan cara inilah menghubungkan bentuk bilinear dengan suatu matriks. Misalnya, dalam R 2 bentuk bilinear, = + + + (dimana =, dan =, ) dihubungkan ke bentuk matriks. Dalam konsep tensor, suatu tensor campuran adalah tensor yang bukan jenis kovariant kuat maupun kontravariant kuat. Berdasarkan definisi tensor selanjutnya akan didefinisikan tensor campuran. Definisi 3.5.2 Tensor Campuran Fungsi dalam sistem koordinat,,, disebut tensor campuran yang memiliki komponen kontravariant rank satu dan komponen kovariant rank satu, jika pada suatu transformasi koordinat fungsi ditransformasikan menjadi = =1 =1, 晜, = 1,2,, dimana merupakan fungsi dalam sistem koordinat 1, 2,,. Diperoleh = adalah komponen tensor campuran. Kemudian, untuk fungsi 1 2 1 2 disebut tensor campuran yang memiliki komponen kontravariant rank dan komponen kovariant rank, jika pada suatu transformasi koordinat fungsi 1 2 1 2 ditransformasikan menjadi
24 1 2 1 2 1 2 1 2 = 1 1 1 1 Diperoleh 2 2 1 2 楜 2 2 1 2. 1 2 1 2 = 1 1 2 2 1 1 2 adalah komponen tensor campuran order,. 2 1 2 1 2 Contoh: Akan ditunjukkan bahwa adalah suatu tensor campuran. Sekarang perhatikan persamaan transformasi berikut = = = dimana 1, = = 0, dan 1, = =. 0, Jadi, bahwa tensor merupakan tensor campuran dengan kontravariant dan kovariant masing-masing rank satu. 3.6 Tensor Simetri dan Antisimetri Misalkan 1 2 sebarang tensor kontravariant,berlaku 1. Jika 1 2 = 2 1 maka 1 2 disebut simetri terhadap pertukaran indeks 1 dan 2. 2. Jika 1 2 = 2 1 maka 1 2 disebut antisimetri terhadap pertukaran indeks 1 dan 2.
25 Demikian juga berlaku untuk tensor kovariant. Misalkan 1 2 tensor kovariant sebarang, berlaku 1. Jika 1 2 = 2 1 maka 1 2 disebut simetri terhadap pertukaran indeks 1 dan 2. 2. Jika 1 2 = 2 1 maka 1 2 disebut antisimetri terhadap pertukaran indeks 1 dan 2. Sekarang perhatikan, jika 1 2 adalah suatu tensor simetri dan 1 2 adalah suatu tensor antisimetri, maka 1 2 1 2 = 0. Setiap tensor selalu dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari tensor simetri dengan tensor antisimetri. Contoh: Misalkan suatu tensor umum 1 2 sebarang dan pertukaran antara indeks 1 dan 2. Sekarang bentuk tensor menjadi 1 2 = 1 2 1 2 + 2 1 + 1 2 1 2 2 1 5 Tensor memiliki bagian simetri dan antisimetri yang didefinisikan sebagai 1 2 = 1 2 1 2 + 2 1 1 2 = 1 2 1 2 2 1 Sehingga persamaan (5) dapat ditulis dalam bentuk 1 2 = 1 2 + 1 2.
26 Semua sifat-sifat yang berlaku pada vektor, akan berlaku pula pada tensor. Hal ini dikarenakan operator-operator yang berlaku dan digunakan pada tensor merupakan bentuk generalisasi dari operator-operator yang berlaku pada vektor. Berikut akan dijelaskan operasi-operasi dasar yang berlaku pada tensor. 3.7 Operasi-Operasi Dasar pada Tensor 1. Penjumlahan Penjumlahan dari dua tensor atau lebih yang memiliki rank dan jenis yang sama (sebagai contoh: Misalkan tensor A dan B banyaknya indeks kontravariant dan banyaknya indeks kovariant sama) akan menghasilkan tensor yang memiliki rank dan jenis yang sama pula. Misalkan 1 2 dan 1 2 merupakan tensor dalam sistem koordinat,,,, maka 1 2 = 1 2 + 1 2 Bukti: Ambil sebarang tensor 1 2 dan 1 2 dalam sistem koordinat,,,, maka 1 2 + 1 2 = 1 1 2 2 1 2 + 1 1 2 2 1 2 = + = =
27 adalah merupakan tensor juga. Pada operasi penjumlahan ini berlaku juga sifat komutatif dan assosiatif. 2. Pengurangan Selisih dari dua tensor atau lebih yang memiliki rank dan jenis yang sama adalah tensor dengan rank dan jenis yang sama pula. Misalkan 1 2 dan 1 2 merupakan tensor dalam sistem koordinat,,,, maka 1 2 = 1 2 1 2 merupakan tensor juga. Bukti: Ambil sebarang tensor 1 2 dan 1 2 dalam sistem koordinat,,,, maka 1 2 1 2 = 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 = = = 3. Perkalian (Outer Multiplication) Hasil kali dua tensor adalah tensor dimana ranknya merupakan jumlah dari rank tensor-tensor tersebut. Komponen tensor ini disebut outer product. Sebagai contoh, 1 2 3 1 2 = 1 2 1 3 2 adalah outer product dari 1 2 1 dan 3 2. Tetapi, tidak semua bentuk tensor dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari dua
28 tensor yang ranknya lebih sederhana. Contohnya 1, tensor tersebut tidak dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari dua tensor yang ranknya lebih sederhana atau rendah karena tensor 1 merupakan bentuk tensor yang lebih sederhana. Begitupun dengan tensor 1. 4. Kontraksi Misalkan 1 2 1 2 adalah suatu tensor campuran yang memiliki rank lima, dengan kontravariant rank dua dan kovariant rank tiga. Jika salah satu indeks kovariant sama dengan salah satu indeks kontravariant, maka rank tensor tersebut akan berkurang sebanyak dua. Artinya, bentuk 1 2 1 2 merupakan tensor yang memiliki rank tiga. Proses demikian lebih dikenal sebagai kontraksi tensor. Contoh: Untuk memperlihatkan contoh diatas yang memperoleh rank tiga, perhatikan tensor 1 2 1 2 2. Bentuk transformasi dari tensor 1 2 1 2 2 adalah 1 2 1 2 2 1 2 ㄱ 1 2 3 = 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 = = Dari koefisien transformasi tersebut jelas bahwa 1 2 1 2 2 merupakan suatu tensor rank tiga, yaitu kontravariant rank satu dan kovariant rank dua.
29 Jika adalah suatu tensor kontravariant rank satu, dan jika adalah suatu invariant, maka = 1 2 + merupakan suatu tensor kovariant rank dua. 5. Perkalian Dalam (Inner Multiplication) Misalkan dan merupakan tensor dalam sistem koordinat,,,, maka disebut outer product. Misalkan =, sehingga diperoleh atau dengan memisalkan = dan =, sehingga diperoleh bentuk tensor. Dengan menggunakan proses outer multiplication dan kontraksi, dapat diperoleh tensor baru yang disebut inner product. Proses ini disebut inner multiplication. Pada inner dan outer multiplication berlaku juga sifat komutatif dan assosiatif. 6. Hukum Qoutient a). Jika 1 2 adalah suatu tensor kontravariant rank, dan jika berlaku 1 2 1 2 = 1 2 + yang merupakan tensor kontravariant rank +, maka 1 2 adalah tensor kontravariant rank. b). Jika 1 2 adalah suatu tensor kontravariant rank, dan jika berlaku 1 2 1 2 = 1 2 1 2
30 yang merupakan tensor campuran kontravariant rank dan kovariant rank, maka 1 2 adalah tensor kovariant rank. c). Jika 1 2 adalah suatu tensor kovariant rank, dan jika berlaku 1 2 1 2 = 1 2 + yang merupakan tensor kovariant rank +, maka 1 2 adalah tensor kovariant rank. 3.8 Tensor Metrik Pada koordinat,, turunan dari panjang busur diperoleh dari = + +. Dengan mentransformasikannya ke bentuk koordinat kurvilinear umum menjadi =. 6 Sehingga ruang yang memuat persamaan jarak diatas disebut ruang Euclid dimensi 3. Berikut ini merupakan perumuman ke ruang dimensi dengan sistem koordinat,,,. Definisikan suatu elemen garis pada ruang dimensi yang dibentuk oleh bentuk kuadratik, disebut bentuk metrik atau metrik, = atau = dengan, = 1,2,, dan 11 1 det = 0. 1
31 Misalkan terdapat suatu transformasi koordinat dari ke sedemikian sehingga bentuk metrik ditransformasikan menjadi 1 2 + 2 2 + + 2 7 Persamaan (7) disebut sebagai ruang Euclid dimensi- atau secara umum dikenal dengan ruang Riemann. Jumlah merupakan komponen-komponen dari tensor kovariant rank dua yang disebut tensor metrik atau fundamental tensor. 3.9 Tensor Konjugat Misalkan merupakan tensor metrik dan = 0 menotasikan sebagai determinan dengan elemen-elemen dari. Definisikan sebagai berikut = kofaktor dari maka adalah kontravariant tensor simetrik rank dua disebut konjugat atau reciprocal tensor dari. 3.10 Asosiasi Tensor Misalkan sebarang tensor campuran pada ruang dimensi- dengan jenis, atau dengan komponen kontravariant rank dan komponen kovariant, dimana notasi, digunakan untuk menotasikan rank + dengan indeks batas atas dan indeks batas bawah.
32 Suatu tensor jenis, dikatakan indeks naik jika jenis, diubah ke jenis + 1, 1. Sedangkan tensor jenis, dikatakan indeks turun jika jenis, diubah ke jenis 1, + 1. Contoh: Misalkan tensor kovariant dengan jenis 0, 1. Jika indeksnya dinaikkan diperoleh tensor dengan jenis 1, 0. Tanda titik memperlihatkan posisi awal yang indeksnya berubah. Agar tidak menimbulkan kebingungan dalam hal pembacaan indeks, biasanya tanda titik dihilangkan; sehingga menjadi. Perkalian tensor kontravariant dengan tensor metrik diperoleh sebarang tensor kovariant. Contoh: = atau =. Sedangkan perkalian tensor kovariant dengan tensor metrik diperoleh sebarang tensor kontravariant. Contohnya: = atau =. Seluruh tensor yang dihasilkan dari perkalian dengan tensor metrik disebut dengan associated tensors. 3.11 Panjang dan Sudut Antara Dua Vektor Misalkan dan sebarang vektor pada ruang dimensi dan adalah suatuinner product, maka panjang vektor adalah
33 = = = dan sudut antara dan didefinisikan sebagai berikut Contoh: cos =. Buktikan sudut-sudut berikut 12, 23 dan 31 dalam suatu kurva koordinat yang didefinisikan sebagai berikut cos 12 = 12 11 22, cos 12 = 23 22 33, cos 12 = 31 33 11 Solusi. Misalkan kasus untuk sepanjang koordinat 1 sehingga 2 dan 3 berupa konstanta, maka bentuk metriknya menjadi, 2 = 11 1 2 1 = 1 11. Sehingga tangen vektor sepanjang kurva 1 adalah 1 = 1 11 1. Sedangkan untuk tangen vektor sepanjang kurva 2 dan 3 masing-masing adalah 2 = 1 22 1 dan 1 = 1 33 1. Selanjutnya, cosinus sudut 12 diantara 1 dan 2 adalah cos 12 = 1 2 = 1 11 1 1 22 1 = 12 11 22 cosinus sudut 23 diantara 2 dan 3 adalah cos 23 = 2 3 = 1 22 2 1 33 3 = 23 22 33 cosinus sudut 31 diantara 3 dan 1 adalah
34 cos 31 = 3 1 = 1 33 2 1 11 3 = 31 33 11. Pada subbagian berikut akan dijelaskan mengenai konsep differensial yang berlaku pada tensor. Tidak berbeda jauh dengan differensial vektor namun pada differensial tensor ini membutuhkan konsep dasar yang mendukung yaitu simbol Christoffel. 3.12 Differensial Tensor Proses differensial tensor adalah suatu generalisasi proses differensial yang biasa dikenal dalam differensial fungsi. Pada analisis tensor dikenal dua jenis differensial yang biasa digunakan yaitu 1. Differensial Kovariant 2. Differensial Intrinsik Terlebih dahulu akan dijelaskan tentang differensial kovariant, kemudian akan dibahas hubungan-hubungan antara differensial kovariant dengan differensial intrinsik. 1. Differensial Kovariant Sebelum masuk pada pembahasan differensial kovariant, perlu diketahui tentang simbol Christoffel. Definisi 3.12.1 (simbol Christoffel) Misalkan sebarang tensor metrik pada ruang Riemann dimensi-, maka a) Simbol Christoffel dari jenis pertama, yang dinotasikan dengan Γ,, didefinisikan sebagai berikut
35 Γ, =, = 1 2 + b) Simbol Christoffel dari jenis kedua, yang dihubungkan dengan persamaan Γ, dan dinotasikan dengan Γ Γ didefinisikan sebagai berikut = = Γ, = 1 Γ,1 + + Γ, =1 Untuk transformasi = 1, 2,,, simbol Christoffel Γ dalam sistem koordinat ke ditransformasikan oleh = Γ 2 + 쳌 8 dimana bentuk pertama pada sebelah kanan adalah penjumlahan pada indeksindeks,, dan bentuk kedua adalah penjumlahan pada indeks. Persamaan (8) disebut transformasi simbol Christoffel. Sekarang, dengan menggunakan simbol Christoffel dapat didefinisikan differensial kovariant. Definisi 3.12.2 Misalkan dan masing-masing adalah vektor kontravariant dan kovariant, maka a) Differensial kovariant dari sebarang vektor kontravariant didefinisikan sebagai berikut ; = + Γ b) Differensial kovariant dari sebarang vektor kovariant didefinisikan sebagai berikut
36 ; = Γ Catatan: Tanda (;) menyatakan sebagai differensial kovariant vektor atau tensor rank satu. Perhatikan bahwa ; dan ; masing-masing adalah tensor, sehingga jika terdapat transformasi koordinat, maka transformasi dari ; dan ; 晜 masing-masing adalah ; = ; dan ; = ;. Generalisasi proses differensial kovariant untuk tensor yang memiliki rank lebih tinggi sebagai berikut: a) Differensial kovariant terhadap tensor kontravariant rank 1 2 ; = 1 2 + Γ 1 2 3 + + Γ 1 2 1 b) Differensial kovariant terhadap tensor kovariant rank 1 2 ; = 1 2 Γ 1 2 3 Γ 1 2 1 c) Differensial kovariant terhadap tensor campuran kontravariant rank dan kovariant rank 1 2 1 2 ; 1 2 1 = 2 + Γ 1 2 3 1 2 + + Γ 1 2 1 1 2 Γ Γ 3.12.3 Sifat-sifat Differensial Kovariant
37 Teorema 3.12.3 Misalkan dan adalah tensor kontravariant rank satu, adalah tensor metrik rank dua dan adalah suatu invariant, maka berlaku sifat-sifat differensial kovariant berikut 1. ; = ; + ; 2. ; = ; + ; 3. ± ; = ; 4. ; ± ; = + Γ + Γ = 0 ; = 0 5. Jika = ; ; maka ; + ; + ; = 0 6. Jika invariant, maka gradien dari adalah = grad = ; = dimana ; adalah differensial kovariant invariant terhadap. 7. Divergensi dari adalah kontraksi dari differensial kovariant, sebagai contohnya adalah kontraksi dari ;. Diperoleh 8. Curl dari tensor adalah = ; = 1 ; ; = 9. Misalkan adalah suatu invariant, maka Laplacian dari adalah divergensi dari grad atau 2 = ; = 1
38 Bukti: 1. Misalkan dan masing-masing adalah tensor kontravariant rank satu. Sehingga differensial kovariant terhadap perkalian dua tensor tersebut adalah ; = + Γ = + + Γ + Γ = + + + = + + + = ; + ; Jadi, untuk setiap perkalian dua tensor kontravariant rank satu, differensial kovariantnya adalah ; = ; + ;. 2. Misalkan dan masing-masing adalah tensor kontravariant dan tensor kovariant rank satu. Sehingga differensial kovariant terhadap perkalian dua tensor tersebut adalah ; = + Γ Γ = + + = + +
39 = + + = ; + ; Jadi, untuk setiap perkalian tensor kontravariant rank satu dengan tensor kovariant rank satu, differensial kovariantnya adalah ; = ; + ; 3. Misalkan dan merupakan tensor kontravariant rank satu. Sehingga differensial kovariant terhadap penjumlahan maupun pengurangan kedua tensor tersebut ± adalah ± ; = ± + Γ ± = = = ; ± + Γ ± Γ + Γ ± + Γ ± ; Jadi, untuk setiap penjumlahan maupun pengurangan dua tensor kontravariant rank satu, differensial kovariantnya adalah 4. Sebelum membuktikan ; ± ; = ; ± ; = 0, akan ditunjukkan bahwa = Γ Γ. Perhatikan bahwa = = 0, maka berdasarkan sifat differensial parsial pada suatu vektor diperoleh bahwa
40 = + = 0. Akibatnya, = 4.1 Jika persamaan (4.1) dikalikan dengan, maka = =, +, =,, = = Γ Γ 4.2 Karena berlaku untuk semua jenis tensor maka persamaan (4.2) berlaku pula untuk persamaan = Γ Γ 4.3 Sekarang misalkan dan masing-masing adalah tensor metrik kontravariant rank dua dan tensor metrik kovariant rank dua. Sehingga differensial kovariant terhadap tensor metrik dan adalah ; = + Γ + Γ = Γ Γ + Γ + Γ = 0 ; = Γ Γ
41 = ; ; = = 0 1 2 + 1 2 + Jadi, untuk setiap tensor metrik kontravariant rank dua dan kovariant rank dua, maka differensial kovariantnya adalah ; = + Γ + Γ = 0 dan ; = 0 5. Ambil sebarang tensor kovariant rank dua dan differensial kovariant terhadap tensor kovariant, katakanlah ; dan ;. Jika berlaku = ; ; akan ditunjukkan bahwa ; + ; + ; = 0. ; = ; ; ; = ; ; ; = ; 〱 ; Sehingga ; + ; + ; = ; ; + ; ; + ; ; = 0 Jika = ; ; maka ; + ; + ; = 0. 6. Misalkan suatu invariant pada sistem koordinat,,,, sehingga dapat dikonstruksi menjadi =. Sekarang perhatikan = = ; = ; Berdasarkan differensial kovariant sifat 2, maka persamaan (*) menjadi
42 = ; + ; = + Γ + Γ = + Γ Γ Dengan menggunakan pertukaran indeks antara dan, yang berlaku Γ = Γ, maka persamaan (**) menjadi = = Jadi, untuk setiap invariant, berlaku + Γ Γ = = grad = ; = dimana ; adalah differensial kovariant invariant terhadap. 7. Sebelumnya akan dibuktikan Γ = ln. Misalkan determinan dari adalah =. Berdasarkan determinan tersebut diperoleh =,, dimana, adalah kofaktor-kofaktor dari. Karena, tidak memuat secara eksplisit, maka berlaku =,. Sehingga berlaku _ = =, = =, +,
43 = + = 2 = 2Γ 1 = Γ 2 Γ = ln 9 Misalkan sebarang tensor kontravariant rank satu. Divergensi dari didefinisikan sebagai kontraksi dari differensial kovariant terhadap pada tensor. Sehingga berlaku = ; Berdasarkan persamaan (9), maka = + Γ 扣 = + ln = + 1 = 1 Jadi, untuk setiap tensor kontravariant rank satu, divergensi dari tensor adalah = ; = 1. 8. Misalkan dan merupakan tensor kovariant rank satu. Dengan menggunakan differensial kovariant terhadap masing-masing tensor diperoleh ; = Γ dan ; = Γ 10 Berdasarkan persamaan (10), maka diperoleh
44 ; ; = Γ Γ = Γ + Γ = Γ + Γ = Jadi, untuk setiap dua tensor kovariant rank satu dan berlaku differensial kovariant terhadap kedua tensor tersebut, maka curl dari adalah curl = ; ; = 9. Misalkan adalah suatu invariant, diketahui bahwa gradien dari adalah = grad =, juga tensor kovariant rank satu didefinisikan sebagai differensial kovariant dari, katakanlah ;. Tensor kontravariant rank satu yang dihubungkan dengan ; adalah =. Berdasarkan pembuktian sifat no 6. diatas diperoleh bahwa 2. Differensial Intrinsik 2 = = 1 Misalkan = dinotasikan sebagai persamaan parametrik dari suatu kurva pada permukaan yang didefinisikan oleh persamaan parametrik = 1, 2, maka dapat menyatakan kurva permukaan dalam geometri ruang karena permukaan kurva dapat direpresentasikan dalam koordinat ruang yang
45 melalui persamaan = 1, 2 =. Ingat kembali bahwa untuk = sebarang kurva, maka differensial intrinsik dari suatu vetor sepanjang didefinisikan sebagai inner product dari differensial kovariant dengan tangent vetor pada. Definisi 3.12.4 Misalkan 1 2 1 2 adalah sebarang tensor campuran, maka differensial intrinsik pada tensor terhadap parameter adalah 1 2 1 2 = 1 2 1 2 ;. Untuk differensial intrinsik orde dua pada tensor terhadap parameter adalah 2 1 2 1 2 2 = 1 2 1 2 1 2 ; 1 2 + 1 2 1 2 ; 1 2 ; 2 3.12.5 Sifat-sifat Differensial Kovariant Teorema 3.12.5 Misalkan dan adalah tensor kontravariant rank satu, adalah tensor metrik rank dua dan adalah suatu invariant, maka berlaku sifat-sifat differensial intrinsik berikut 1. = + Γ 2. = Γ 3. = = 0 4. = 2 + Γ 2
46 5. 6. ± = ± = + Bukti 1. Misalkan sebarang tensor kontravariant rank satu. Sehingga differensial intrinsik pada terhadap parameter adalah = ; = + Γ = + Γ = + Γ Jadi, untuk setiap tensor kontravariant rank satu, differensial intrinsik pada tensor terhadap parameter adalah = + Γ 2. Misalkan sebarang tensor kovariant rank satu. Sehingga differensial intrinsik pada tensor terhadap parameter adalah = ; = Γ = Γ = Γ
47 Jadi, untuk setiap tensor kovariant rank satu, differensial intrinsik pada tensor terhadap parameter adalah 3. Akan ditunjukkan = Γ = = 0. Berdasarkan sifat differensial kovariant, yaitu ; = 0 dan ; = 0, serta definisi differensial intrinsik, mengakibatkan = ; = 0 = ; = 0 4. Misalkan adalah differensial terhadap parameter. Sehingga jika bentuk didifferensial-intrinsikkan menjadi = ; = + Γ = + Γ 5. Misalkan dan merupakan tensor kontravariant rank satu. Sehingga differensial intrinsik pada penjumlahan maupun pengurangan kedua tensor tersebut terhadap parameter adalah ± = ± 가 ; = ; ± ;
48 = 瑰 ; ± ; = ± Jadi, untuk setiap penjumlahan maupun pengurangan dua tensor kontravariant rank satu, maka bentuk differensial intrinsik terhadap parameter adalah ± = ± 6. Misalkan dan masing-masing adalah tensor kontravariant rank satu. Sehingga bentuk differensial intrinsik pada perkalian dua tensor tersebut terhadap parameter adalah = ; = ; + ; = ; + ; = ; + ; = + Jadi, untuk setiap perkalian dua tensor kontravariant rank satu, maka differensial intrinsik terhadap parameter berbentuk 愰 = + Hubungan antara differensial kovariant dengan differensial intrinsik adalah sebagai berikut. Misalkan sebarang tensor kontravariant rank satu, sehingga
49 = ; + Γ = ; + Γ ; = + Γ + Γ + Γ = + Γ + Γ + Γ 11 Selanjutnya pehatikan persamaan berikut ; = ; ; = + Γ ; = ; + Γ ; Γ ; 12 Dari persamaan (11) dan (12) diperoleh bahwa differensial kovariant dengan differensial intrinsik tidaklah bersifat komutatif satu sama lain. Artinya ; ;. Pada differensial intrinsik tidak memiliki sifat komutatif, sebab: misalkan dan masing-masing adalah sebarang parameter, maka untuk parameter berlaku = ; = + Γ = + Γ
50 = ; 獦 + Γ ; Sedangkan untuk parameter berlaku = ; + Γ ; 13 = ; = + Γ = + Γ = ; + Γ 〱 ; = ; + Γ ; 14 Sehingga dari persamaan (13) dan (14) diperoleh bahwa. 3.13 Persamaan Geodesik Pada ruang Euclid, jarak terpendek antara dua titik adalah suatu garis lurus. Pada bagian ini akan dibahas mengenai generalisasi pengertian jarak terpendek di antara dua titik dalam suatu ruang Riemann. Untuk sistem koordinat umum di pada dimensi- = 1, 2,,, persamaan goedesik (garis terpendek antara dua titik) diberikan oleh
51 2 2 + Γ = 0 penjumlahan pada indeks-indeks, = 1, 2,,, dimana adalah panjang busur dan Γ adalah simbol Christoffel dari jenis kedua. Untuk kasus bagaimana persamaan geodesik untuk koordinat cartesius di ruang Euclid, jika koeffisien jaraknya konstan; maka turunannya nol, dan simbol Christoffel juga nol. Akibatnya, persamaan geodesiknya berbentuk 2 2 = 0 untuk solusi adalah = + (garis lurus). Sebarang sistem koordinat yang simbol-simbol Christoffelnya Γ = 0 adalah sistem koordinat geodesik. 3.14 Curvature Tensor Definisi 3.14.1 maka R Jika Γ simbol Christoffel pada dan R = Γ Γ + Γ =1 Γ Γ Γ disebut sebagai Riemann-Christoffel tensor, yang lebih dikenal dengan nama curvature tensor. Kasus khusus, jika suatu ruang yang memiliki curvature tensor nol atau R maka ruang tersebut dikatakan sebagai ruang Euclid. =1 = 0, Definisi 3.14.2 Misalkan R sebarang curvature tensor. Jika R dikontraksi terhadap salah satu indeksnya misalkan terhadap indeks dan sehingga berlaku
52 R = Γ Γ + Γ =1 Γ Γ Γ =1 Jika dikontraksi terhadap indeks dan sehingga berlaku R = Γ Γ + Γ =1 Γ Γ Γ =1 Maka curvature tensor R disebut Ricci tensor dan dinotasikan sebagai R. Definisi 3.15.3 Misalkan R adalah suatu Ricci tensor dan adalah tensor metrik kontravariant rank dua, maka curvature skalar didefinisikan sebagai R = R Sedangkan, jika R adalah suatu curvature tensor dan h adalah tensor metrik kovariant rank satu, maka curvature tensor kovariant didefinisikan sebagai R h = h R. =1 3.15 Tensor Relatif Tensor-tensor yang telah dipelajari pada subbab-subbab sebelumnya merupakan jenis-jenis tensor mutlak atau yang lebih dikenal dengan tensor mutlak. Pada bagian ini akan dibahas mengenai tensor relatif yang ditransformasikan dari R ke R. Definisi 3.15.1
53 Suatu fungsi 1 1 dari R terhadap sistem koordinat = 1, 2,, disebut tensor relatif yag mempunyai bobot, jika terhadap transformasi koordinat dari R R, fungsi 1 1 1 = 1 1 1 bertransformasi berdasarkan persamaan 1 1 1 1 dimana adalah determinan Jacobi untuk transformasi pada persamaan (*) yang didefinisikan sebagai berikut = 1 1 1 1 Berdasarkan definisi tensor relatif diatas dapat disimpulkan bahwa suatu tensor mutlak dapat diasumsikan sebagai tensor relatif dengan bobot = 0. 3.15.2 Sifat-sifat Tensor Relatif Berikut ini akan dijelaskan sifat-sifat tensor relatif yang biasa digunakan dalam bidang matematika maupun bidang fisika. Teorema 3.15.2 Sifat-sifat tensor relatif a. Jika 1 1 dan 1 1 adalah sebarang tensor relatif dengan bobot, maka berlaku 1 1 = 1 1 ± 1 1 dimana 1 1 adalah sebuah tensor relatif juga dengan bobot. Bukti:
54 Misalkan 1 1 dan 1 1 adalah sebarang tensor relatif dengan bobot di R. Sekarang perhatikan 1 1 ± 1 1 1 1 ± 1 賌 1 = 1 1 1 1 1 1 ± = ㅡ ± = = Jadi, untuk setiap 1 1 dan 1 1 tensor relatif dengan bobot di R, maka berlaku 1 1 = 1 1 ± 1 1 b. Jika 1 1 dan 1 1 adalah tensor relatif dengan bobot masing-masing 1 dan 2, maka berlaku dimana 1 1 1 1 1 + 2. Bukti: 1 1 1 1 = 1, 1 1 1 adalah sebuah tensor relatif juga dengan bobot Misalkan 1 1 dan 1 1 adalah sebarang tensor relatif dengan bobot masing-masing 1 dan 2 di R. Sekarang perhatikan 1 1 1 1
55 1 1 1 1 = 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 = 1 1 1 1 = 1 1 1 1 = Jadi, untuk setiap 1 1 dan 1 1 tensor relatif dengan bobot masingmasing 1 dan 2 di R, maka berlaku 1 1 1 1 = 1 1 1 1 c. Misalkan 1 1 adalah suatu tensor relatif dengan bobot, jika 1 1 dikontraksi maka berlaku 1 1 1 = 1 1 1 1 dimana 1 1 1 1 adalah suatu tensor relatif juga dengan bobot, tetapi memiliki rank kontravariant 1 dan rank kovariant 1. Bukti: Misalkan 1 1 adalah sebarang tensor relatif dengan bobot di R. Jika 1 1 dikontraksi, misalkan terhadap indeks maka 1 1 1 1 = 1 1 1 1 1
56 = = =, = Jadi, untuk setiap 1 1 tensor relatif dengan bobot di R, dikontraksi terhadap indeks, berlaku 1 1 1 = 1 1 1 1