Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel berikut menyatakan nilai yang di peroleh oleh 3 tim bola basket dari SMU yang berbeda dari 5 pertandingan bola basket yang diikuti. Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom yang terdapat di dalam matriks tersebut. Jika data pada tabel di atas hanya dituliskan bilangan saja, kemudian susunan bilangan diberi tanda kurung, maka akan diperoleh Dengan demikian matriks m x n adalah sebagai berikut.. Bentuk (1) 2) Lihat tabel berikut dan lengkapi. JIka hanya koefisien peubahnya saja yang dituliskan, kemudian diberi tanda kurung maka diperoleh Jenis-jenis Matriks 1. Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris, sehingga berordo 1 x n. berikan 3 contoh matriks baris dengan ordo yang berlainan. A = B = C = Bentuk (2) Bentuk (1) dan (2) merupakan sebuah matriks, maka dapat disimpulkan Matriks adalah 2. Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom, sehingga berordo m x 1. berikan 3 contoh matriks baris dengan ordo yang berlainan. P = Q = R = 1
3. Matriks persegi adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama, sehingga berordo m x m. berikan 3 contoh matriks baris dengan ordo yang berlainan. D = E = F = 3. 4. Matriks transpose Transpose dari suatu matriks A ditulis dengan A t atau A adalah suatu matriks yang diperoleh dengan cara mengubah setiap baris matriks A menjadi kolom pada matriks A atau seballiknya. Contoh: 4. 5. Kesamaan Dua Matriks Dua matriks A dan B dikatakan sama (A = B) jika dan hanya jika ordo kedua matriks sama dan elemen-elemennya yang seletak juga sama. Contoh: a c matriks A = b d, matriks B = p r q s, jika A = B maka: a = p b = q c = r d = s 6. Latihan 1 1. 7. 2. 2
8. B. OPERASI MATRIKS 1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Jumlah atau selisih dua matriks yang sama ukurannya (ordo sama) sama dengan matriks baru dengan menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen seletaknya Contoh: (Penjumlahan) a c a. b d + p r q s = a + p c + r b + d d + s 9. b. c. (pengurangan) d. e. Sifat-sifat penjumlahan matriks: 10. Tentukan nilai a dan b. Latihan 2 1. 2. 11. Tentukan nilai a + b + y. 3
3. 6. 4. 7. 5. 8. 4
9. 12. 13. 10. 11. 14. 2x 1 3 1 y + 2 + y 1 2 x + 1 Tentukan Nilai y x. t = 2 1 0 4. 5
2. Perkalian Matriks Perkalian matriks ada dua jenis, yaitu perkalian matriks dengan skalar dan perkalian antarmatriks. a) Perkalian Matriks Dengan Skalar Perkalian matriks dengan real k hasilnya matriks yang diperoleh dengan cara mengalikan semua elemen matriks dengan bilangan k. Contoh: 2. a. 3. b. c. 4. Latihan 3 1. 6
5. 8. 6. 9. 10. 7. 7
11. Dik: A = 1 2 1 3 4 2, B = 1 5 1 3 2 2, dan C = 4 2 3 1 3 1 = Jika 3A 5B + D = 2C, tentukan D. b. Perpangkatan Matriks Persegi Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matriks persegi, maka A n = A x A x A x A (sebanyak n faktor) atau dapat juga dituliskan A n = A X A n-1 atau A n = A n-1 x A. b) Perkalian Dua Matriks Metode menggabungkan dua matriks ini disebut Perkalian Matriks. Aturannya adalah kalikan matriks baris dengan kolom dan jumlahkan hasilnya Sifat-sifat perkalian dua matriks jika matriks A, B, dan C serta k Bil. Real, berlaku sifat-sifat berikut: a. anti komutatif: A.B B.A b. distributif kiri: A (B ± C) = (AB ± AC) c. distributif kanan: (B ± C) A = (BA ± CA) d. asosiatif: (i) A(BC) = (AB)C (ii) k (AB) = (ka).b = A.(kB) e. I.A = A.I = A, dimana I adalah matriks Identitas f. Jika A.B = O, belum tentu A = O atau B = O, dimana O = matriks nol g. Jika AB = AC, belum tentu B = C h. ((AB) T = B T A T Latihan 4 1. Catatan: Contoh: a. 2 1 1 0 1 2. 1 1 0 2 1 2 1 0 2. = + + + + + + + + + + + + 8
3. 7. 4. 8. 5. 9. 6. 9
10. 13. 11. 14. 12. 15. 10
16. 19. 20. 17. 21. 18. 11
22. diketahui A = C = 4 1 1 2 1 3 f(a-2b, 3C, B+A 2C)? 2 1 0 2 3 2, B = 3 0 0 1 3 4, dan, bila F(x,y,z) = 2x 3y + z. Tentukan C. DETERMINAN MATRIKS Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi A dinotasikan dengan A. 1. Matriks Berordo 2x2 Contoh: 3 4 5 7 = (... x ) ( x...) =.. =.. 2 4 3 6 = (... x ) ( x...) =.. =.. 2. Matriks berordo 3x3 5 7 23. A = 3 4, tentukan hasil A + A2 + A 3 + + A 45 + A 46 + A 47? Aturan Sarrus Contoh: 2 3 4 1 5 7 6 8 9 = ( + + ) ( ) =... =. 12
Metode Ekspansi Kofaktor a. Ekspansi Baris Sifat-sifat determinan matriks a. A = A T b. ka = k n A, Matriks A berordo (n x n) c. AB = A. B d. A n = ( A ) n e. Jika salah satu baris atau kolom dari matriks A dikalikan k maka determinannya menjadi: k. A f. Jika baris ke-i ditukarkan dengan baris ke-j atau kolom-m ditukarkan dengan kolom ke-n, maka determinannya menjadi: (-1) x determinan semula. g. apabila baris ke-i ditambah k dikali baris ke-j atau kolom ke-n ditambah k kali kolom ke-n, maka tidak mengubah determinan matriks (operasi baris/kolom tidak mengubah nilai Contoh: (Baris 1) 2 3 4 1 5 7 =.. 6 8 9 +. =.. + = b. Ekspansi Kolom determinan). h. apabila ada dua baris atau dua kolom yang saling berkelipatan, maka determinannya sama dengan nol. i. apabila ada baris atau kolom yang semua nilai elemennya nol, maka determinannya sama dengan nol Latihan 5 1. Jawab 2. Contoh: (kolom 3) 2 3 4 1 5 7 =.. 6 8 9 +. =.. + = 3. Catatan: Matriks Singular adalah matriks yang determinannya adalah 0. 13
4. 8. 5. 9. 6. 10. 7. 14
11. 0 0 0 14. Jika A = 15 5 8, maka nilai -3A = 21 8 31 A. 9 D. 0 B. 3 E. -3 C. 1 2 7 15. A = 3 10 maka A2016 =. sin x cos x 1 12. 0 1 0 =. 1 cos x sin x A. cos 2 x D. sin 2 x B. - sin 2 x E. - cos 2 x C. 1 16. Jika A = 12 2 5 2 5 1 3, B = 1 8 3 24 4 10 maka nilai 3.A 25-3 25. B T =. A. - 9 D. 0 B. - 3 E. 3 C. - 1, 13. Matriks A berordo 3x3 dan mempunyai determinan 2, maka determinan dari matriks (2A) adalah A. 16 C. 18 E. 5 B. 12 D. 36 17. Jika A = 1, B = -3, dan matriks A dan B berordo 2x2 2 tentukan: a. 2. A. B 2 15
b. 2A. B.A c. A 3. 12.B T d. 6.AT B D. INVERS MATRIKS Pengertian Invers Matriks 3 7 Jika A = 2 5, B = 5 7 2 3, dan I = 1 0 0 1, tentukanlah: A.I =. = B.I = A.B = B.A =. =. =. = Matriks A disebut invers dari matriks B jika AxB=BxA=I, dengan I adalah matriks identitas Invers dari matriks B ditulis B -1, sedangkan invers matriks A dituliskan dengan A -1. Invers Matriks Berordo 2x2 18. Jika a b c d e f g h i = 6, tentukan nilai: a. b. c. d e f a b c g h i = 2a 2b 6c d e 3f g h 3i = a b c d 2a e 2b f 2c g + a h + b i + c = Contoh: 3 1 A = 15 6 A -1 1 = x.. = Sifatsifat invers matriks: a. (A.B) -1 = B -1.A -1 b. A.A -1 = A -1.A = I: matriks identitas c. Jika A.B = I maka A -1 = B atau B -1 = A d. A -1 = 1 A e. (A t ) -1 = (A -1 ) t f. (A -1 ) -1 = A Latihan 6 1. d. a + 3c b c 2b d + 3f e f 2e g + 3i h i 2h = 16
2. 6. 3. 7. 4. 8. 5. 17
a 1 2 9. A = a + b c dan B = 2 1 4 3, Jika A-1 = B t, nilai b+c adalah. A. -2 D. 1 B. -1 E. 2 C. 0 Invers Matriks Berorodo 3x3 Jika maka: 2a 1 b + 2 10. A = 4 3a + b dan B = 3 4 1 1, Jika A-1 = B t, Tentukan nilai b? Contoh: 1 2 3 Jika matriks A = 1 3 3, maka A -1 =. 1 2 4 A = = A -1 = 11. Jika A T = -3, B = 1 2 Tentukanlah: a. 2A T. B -1 =, dan matriks A dan B berordo 2x2. b. 3 A.B -1 = c. -2.A -1.B = d. 12 A 1 = B 1 18
Latihan 7 1. 1 3 1 2. Matriks A = 0 3 1 jumlah elemen-elemen baris pertama 1 2 1 dari invers matriks A adalah A. -2 D. 1 B. -1 E. 2 C. 0 19
1 2 3 3. Matriks A = 1 3 3 6 1 2 2 3 4 A. 1 1 0 1 0 1 6 2 3 B. 2 2 0 2 0 2 12 4 6 C. 1 1 0 1 0 1, maka 2.A -1 adalah D. E. 12 4 6 2 2 0 2 0 2 6 2 3 2 2 0 1 0 1. 6 2 3 4. Matriks A = 1 1 0, maka jumlah kuadrat unsur 1 0 1 pada baris ketiga dari invers matriks A adalah A. 21 D. 49 B. 14 E. 34 C. 7 20
E. PERSAMAAN MATRIKS BENTUK AX = B dan XA = B Penyelesaiaan persamaan matriks AX = B adalah X = A -1.B Penyelesaiaan persamaan matriks XA = B adalah X = B.A -1 Contoh: 2 3 Tentukan X supaya: 3 5 X = 6 4. 2 3 Misal A = 3 5, maka 1 A-1 =. AX = B maka: X = A -1.B = =. 6 4. = 4. Contoh: 3 5 Tentukan X supaya: X 4 7 = 1 4 2 5. 3 5 Misal A = 4 7, maka 1 A-1 =. XA = B maka: X =B. A -1 = = 1 4 2 5. = Latihan 8 1. 5. 2. 6. 3. 21
9. 7. 10. 8. A, B, dan C adalah matriks bukan nol. Jika ACB = B A, maka C = A. A -1 + B -1 D. A -1 B -1 B. (AB) -1 E. (A+B) -1 C. (A+B) T 11. 22
12. 2. F. MATRIKS UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR 1) Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) 3. SPLDV di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks, yaitu: 4. Latihan 4 1. 23
5. 2) Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) (PENGAYAAN) SPLTV di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks, yaitu: Dapat diselesaikan dengan: 6. Latihan 5 7. 24
25