Diktat Kuliah EL- Matmatika Tkik I MODUL BILANGAN KOMPLEKS Satua Acara Prkuliaha Mdul (Bilaga Kmplks sbagai brikut Ptmua k- Pkk/Sub PkkBahasa TuuaPmblaara Bilaga Kmplks Pgatar Bilaga Kmplks Lambag Bilaga Big Kmplks Frmula Eulr Skawa Kmplks Alabar Kmplks Mahasiswa diharapka mampu: mmahami bilaga kmplks mggambarka kura pada big kmplks, muliska bilaga kmplks dalam btuk plar/frmula Eulr, mgtahui bahwa stiap bilaga kmplks mmiliki skawa mtuka hasil pumlaha, pguraga, prkalia bilaga kmplks mtuka hasil kali hasil bagi bilaga kmplks dalam btuk plar mmcahka prsamaa kmplks Bilaga Kmplks Pagkat Akar Bilaga Kmplks Mahasiswa diharapka mampu: mtuka hasil pmagkata bilaga kmplks mtuka akar-akar dari bilaga kmplks Fugsi ksp Trgmtri Aplikasi dalam Ragkaia Listrik A mgtahui btuk ksp dari sius csius mtuka ilai sius csius dari bilaga kmplks mgguaka btuk sius csius utuk mghitug itgral trigmtri mguaka ksp bilaga kmplks utuk mgaalisis ragkaia listrik A RL sri Aip Saripudi Bab Bilaga Kmplks -
Diktat Kuliah EL- Matmatika Tkik I Pgatar Tiau kmbali prsamaa kuadrat dalam alabar, yaki a b c Nilai yag mmuhiprsamaa di atasdapatdicarimgguakarumusabc: b b ac a Prmasalaha mucul ktika diskrimia, D b ac (gatif, kara bilaga gatif tidak mmiliki akar Utuk mgatasi hal trsbut, diprkalka bilaga imair, yaki dga pmahama bahwa Slautya adalah bilaga-bilaga imair Aka ttapi,,,,, mrupaka bilaga-bilaga ral Dga diprkalkaya bilaga imair ii, prsamaa kuadrat yag diskrimiaya gatif dapat mmiliki akar yag mrupaka kmbiasi dari bilaga ral bilaga imair Sbagaicth, akar-akardariprsamaakuadrat adalah 8 yag trdiri dari bilaga ral, yaki, bilaga imair, yaki Smua bilaga yag mcakup bilaga ral, imair, kmbiasi kduaya disbut bilaga kmplks LATIHAN Ttuka ilai dari prsamaa brikut 6 8 Utuk = bilaga bulat psitif, ttuka ilai dari Aip Saripudi Bab Bilaga Kmplks -
Diktat Kuliah EL- Matmatika Tkik I BilagaKmplks LambagBilagaKmplks Bilagakmplks, scaraumum, mmilikimmilikiduabagiabilaga, yaitubagiaralbagiaimairbilagakmplksdilambagkalh ditulissbagaibrikut dga = R = bagiaraldari, y = Im = bagiaimairdari Sbagaicth, = + (atau = + mmiliki R = Im = Prhatika bahwa bagia imair dari bilaga kmplks adalah bilaga ral, buka imair Pada cth di atas, bagia imair dari adalah (buka atau Bagiaralbagiaimairblhsaa l Sbagaicth, = + = atau = + = Jika =, maka = ydisbutimairmuri y Big Kmplks Btuk Plar Bilaga Kmplks Bilagakmplksslalumrupakapasagaduabilagaral, yaituy Olhkaraitu,bilagakmplksdapatdigambarkadalambigkmplks, yakibigiiyag samadgabigkartsius, hayasaasumburtikalyamrupakabagiaimairsumbuhristalyamrupakabagiara l, sprtidiprlihatkapadagambar Brdasarka hal trsbut, bilaga kmplks dapat ditulis sbagai =(,y yag makaya sama dga = + y y (, y Gambar Big kmplks Jarak atara titik (, y titik asal (, disbut mdulus atau ilai mutlak dari, ditulis y Sudut dari disbut fas atau argum dari mmuhi y arcta Dari Gambar, y masig-masig mmuhi cs y si shiggadiprlh y cs si (cs si Aip Saripudi Bab Bilaga Kmplks -
Diktat Kuliah EL- Matmatika Tkik I Ugkapa (cs si disbut btuk plar dari bilaga kmplks Frmula Eulr Utuk bilaga ral (diyataka dalam radia, btuk drt Maclauri dari si cs (lihat Bab sbagai brikut si!! 7 7! cs Slautya dari rprstasi drt, yaki 6!! 6!,!!! ikadigatilh, diprlh!!!!!!! cs si Dga dmikia, btuk plar bilaga kmplks, (cs si, dapat ditulis sbagai atau srig disigkat dalam btuk Jadi, scara ksluruha, lambag bilaga kmplks dapat ditulis y (cs si SkawaKmplks Skawa kmplks dari ditulis atau * Skawa kmplks diprlh dga mgubah tada pada bagia imair dari = + y, yaki madi Dalambtuk plar ditulis, y (cs si Aip Saripudi Bab Bilaga Kmplks -
Diktat Kuliah EL- Matmatika Tkik I ONTOH Tulis i dalam btuk plar Ttuka pula Skawa kmplks dari Pylsaia Dari i diprlh = y = maka mdulus dari y ( ( fasya ta y ta dga bilaga bulat Sudut bilaga kmplks harus brada pada kuadra yag sama dga kbradaa titik bilaga Pada kasus ii, titik (, y = (, brada di kuadra III sudut yag mmuhi adalah atau Dga dmikia, btuk plar dari i (dapat ditulis dalam cara sbagai brikut cs si cs si Slautya, Skawa kmplks dari cs si i adalah i atau dalam btuk plar, cs si LATIHAN Nyataka bilaga kmplks pada Sal brikut k dalam btuk atau Ttuka pula Skawa kmplksya NyatakaSal 6 brikut k dalam btuk = + y 6 7 8 9 cs si cs si 6 6 Aip Saripudi Bab Bilaga Kmplks -
Diktat Kuliah EL- Matmatika Tkik I AlabarKmplks Pumlaha,Pguraga, Prkalia Pumlaha, pguraga, prkalia bilaga kmplks mgikuti atura alabar biasa ONTOH Jika, ttuka,, Pylsaia ( ( ( ( 7 ( ( ( ( 6 ( ( ( ( ONTOH Jika = +, ttuka Pylsaia ( ONTOH Jika, ttuka Badigka hasilya dga Apa simpula yag dapat diprlh? Pylsaia Skawa kmplks dari Slautya, Simpulaya adalah adalah maka ( ( 9 6 9 6 9 6 HasilBagi; PydrhaaakdalamBtuk = + y Hasilbagibilagakmplksdapatdisdrhaakakdalambtuk = + ydgacaramgalikapmbilagpybutdgaskawakmplkspybut ONTOH Pylsaia Sdrhaakabtukbrikut: Kalika pmbilag pybut dga Skawa kmplks pybut maka 8 6 9 i i 8 6 9 Aip Saripudi Bab Bilaga Kmplks -
Diktat Kuliah EL- Matmatika Tkik I Prkalia Pmbagia dalam Btuk Plar Jika maka ( ( i ONTOH Diktahui Ttuka / Pylsaia Aka lbih mudah ika sudutya diyataka dalam draat Dalam hal ii maka 9 9 8 (9 8 8 9 (9 atau bisa uga ditulis sbagai brikut ( 9 ( 8 9 PrsamaaKmplks Dua bilaga kmplks dikataka sama ika haya ika bagia ral bagia imair dari kdua bilaga trsbut sama ONTOH 6 Ttuka y yag mmuhi prsamaa ( y Pylsaia ( y y y maka prsamaa di atas dapat ditulis madi y y Dari prsamaa ii diprlh ( y ( y y Masukka hasil ( k (, diprlh atau y atau y Aip Saripudi Bab Bilaga Kmplks - 6
Diktat Kuliah EL- Matmatika Tkik I Aka ttapi, yadalahbilagaral (bukaimair shiggaprsamaa tidakmmuhisyaratdga dmikia, diprlh y y Jadi, slusi prsamaa ( y adalah y atau y LATIHAN Utuk Sal, dibrika 8 6 Ttuka prasi bilaga kmplks brikut Nyataka hasilya dalam btuk plar = Sdrhaaka btuk pada Sal 6 8 k dalam btuk = + y 6 7 8 Ttuka y yag mmuhi prsamaa kmplks pada Sal 9 brikut 9 y ( y PagkatAkarBilagaKmplks Dga mgguaka atura utuk prkalia pmbagia bilaga kmplks dalam btuk plar, diprlh cs si / / / / / cs si dga = bilaga bulat Aip Saripudi Bab Bilaga Kmplks - 7
Diktat Kuliah EL- Matmatika Tkik I ONTOH Ttuka ( Pylsaia Ambil maka ( ta dga = bilaga bulat (titik di kuadra IV big kmplks Ambil maka Dga dmikia, ( cs si ( ONTOH Ttuka / ( Pylsaia Ambil maka arcta k (k =,,, shigga k Dga dmikia, ( / k / / k 6 Utuk k =, Utuk k =, Utuk k =, ( ( / 6 / 6 ( 7 / 6 Utuk k =,,, mrupaka pgulaga kmbali dari k =,, Dga dmikia, akar pagkat dari ( + ada, yaitu ( / 6, 6 7 6, atata: / mmiliki akar kmplks Aip Saripudi Bab Bilaga Kmplks - 8
Diktat Kuliah EL- Matmatika Tkik I ONTOH Ttuka ilai-ilai dari 6 Pylsaia Nilai dari 6 ada (kara = Ambil 6 6 maka ( 6 6 ta k (k =,,, Ambil ilai, yaitu,,, 7 6 Dga dmikia, diprlh 6 / / 6,,, 7 LATIHAN Ttuka akar-akar brikut 6 8 FugsiEkspTrigmtri Tlahdiprlhbahwa cs si cs si Jikakduaprsamaa di atasdislisihkadiumlahka, masig-masighasilyasbagaibrikut (cs si (cs si si (cs si (cs si cs Dari kduaprsamaatrakhirdiprlh si cs Jika digatilh, diprlh si cs ONTOH Ttuka si Aip Saripudi Bab Bilaga Kmplks - 9
Diktat Kuliah EL- Matmatika Tkik I Pylsaia si,7 ONTOH Guakabtukkspdaricsiusutukmghitug cs d Pylsaia Dalam btuk ksp: cs maka cs 6 6 shigga cs d 6 6 d 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 atata: 6 cs 6 si 6 6 cs 6 si 6 LATIHAN Nyataka brikut ii k dalam btuk y ( / cs l Buktika bahwa si cs Nyataka sius ksius dalam btuk ksp utuk mghitug itgral brikut cs si d si d 6 Aplikasi dalam Ragkaia Listrik A Aip Saripudi Bab Bilaga Kmplks -
Diktat Kuliah EL- Matmatika Tkik I Tiau ragkaia listrik ac RL sri pada Gambar brikut R L Gambar Ragkaia A RL Sri Jika arus yag mgalir dalam ragkaia adalah i, tgaga pada tiap kmp sbagai brikut R Ri, Tgaga ttalya mmuhi di L L, idt dt R Sauh ii, arus blak-balik diyataka lh i I si t Jika prsamaa arus sprti ii diguaka utuk mghitug tgaga ttal, aka cukup rumit mmrluka waktu lama Dalam aalisis kmplks, arus blak-balik dapat diyataka lh L t i I Dga prsamaa arus ii, tgaga pada kmp L masig-masig di L dt LI L idt Dga dmikia, diprlh t I dt Li I i t t R L R L i Prbadiga atara i disbut impsi kmplks, dibri simbl Z, yaki Bsar impsi sama dga mdulus kmplksya, yaki Z i R L Z R L L Aip Saripudi Bab Bilaga Kmplks -
Diktat Kuliah EL- Matmatika Tkik I LATIHAN 6 Jika dua kmp yag impsiya masig-masig Z Z diragkai sri, impsi ttalya adalah Z S Z Z ika diragkai parall, Z P Z Z Ttuka Z S Z P pada Sal ika diktahui Z Z Z Z Tgaga arus ac pada sbuah kmp masig-masig adalah i 9 Brapakah impsi kmp? Sal mgacu pada ragkaia ac RL sri sprti Gambar ari dalam kaitaya dga R, L, ika sudut fasya Pada kadaa rsasi, Z adalah ral Ttuka pada kadaa ii Aip Saripudi Bab Bilaga Kmplks -