UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN II IDEAL DAN RING FAKTOR Direncanakan Untuk Perkuliahan Minggu ke-3, 4, dan 5 PENGANTAR STRUKTUR ALJABAR II (Semester III3 SKSMMM-2201) Oleh: Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S. Dr.rer.nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si. Dra. Diah Junia Eksi Palupi, M.S. Didanai dengan dana DIPA-UGM (BOPTN) Tahun Anggaran 2013 November 2013

BAB II IDEAL DAN RING FAKTOR Pada teori grup, telah kita ketahui bahwa dari suatu grup dapat dibentuk grup baru dengan memanfaatkan suatu subgrup normal. Grup yang terbentuk tersebut dinamakan grup faktor. Sejalan dengan ide pembentukan grup faktor tersebut, pada bab ini akan dijelaskan pembentukan ring faktor. Dalam proses pembentukan ring faktor ini memotivasi munculnya definisi ideal dari suatu ring. 2.1. Latar Belakang Munculnya Definisi Ideal Dari Bab I telah diketahui bahwa jika S merupakan merupakan subring dalam ring R maka S merupakan subgrup dalam grup Abelian (R, +), sehingga S merupakan subgrup normal. Dari teori grup (Pengantar Struktur Aljabar I), terbentuklah grup faktor ( R S, +) yang juga merupakan grup Abelian, dengan R S = {r r R = {r + S r R. Selanjutnya, muncul pertanyaan apakah dapat dibentuk operasi perkalian : R S R S R S sedemikian hingga ( R S, +, ) juga merupakan ring. Diambil sebarang r 1, r 2 R S maka diperoleh r 1, r 2 R. Dengan demikian r 1 r 2 R, dan dari kenyataan ini didefinisikan r 1 r 1 = r 1 r 2 untuk setiap r 1, r 2 R. Mengingat operasi merupakan operasi antar koset (kelas), maka sebelum menunjukkan aksioma-aksioma ring dipenuhi atau tidak terlebih dahulu harus dicek apakah operasi tersebut well-defined atau tidak. Misalkan r 1, r 2, r 1, r 2 R S dengan r 1 = r 1, dan r 2 = r 2. Akan dicek apakah yang artinya r 1 r 2 = r 1r 2. r 1 r 2 = r 1 r 2 11

Dengan menggunakan makna dari kesamaan koset yang sudah dibahas dalam teori grup, permasalahan diatas ekuivalen dengan mengecek apakah jika r 1 r 1 S dan r 2 r 2 S akan diperoleh r 1 r 2 r 1r 2 S. Hal ini ekuivalen dengan menunjukkan apakah jika r 1 r 1 = s 1 dan r 2 r 2 = s 2 untuk suatu s 1, s 2 S, apakah akan berakibat r 1 r 2 r 1r 2 = s 3 untuk suatu s 3 S. Dengan demikian akan diperoleh r 1 r 2 r 1r 2 = (s 1 + r 1)(s 2 + r 2) r 1r 2 = (s 1 s 2 + s 1 r 2 + r 1s 2 + r 1r 2) r 1r 2 (2.1) = s 1 s 2 + s 1 r 2 + r 1s 2. Mengingat S merupakan subring maka s 1 s 2 S, namun s 1 r 2 dan r 1s 2 belum tentu berada dalam S, sehingga secara keseluruhan r 1 r 2 r 1r 2 = s 1 s 2 + s 1 r 2 + r 1s 2 juga belum tentu berada dalam S sebab r 1 dan r 2 adalah elemen-elemen dalam R yang belum tentu berada dalam S. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa operasi pada R S belum tentu well-defined. Dari kenyataan ini didefinisikan pengertian ideal sebagai berikut: Definisi 2.1.1. Misalkan R suatu ring dan = I S. Subset I disebut ideal dari R jika (i). ( s 1, s 2 I)s 1 s 2 I dan (ii). ( s 1 I)( r R)s 1 r, rs 1 I. Contoh 2.1.2. 1. Subset 2Z merupakan ideal di ring Z. Secara umum, untuk setiap k N, kz merupakan ideal di ring Z. 2. Subset M 2 2 (2Z) merupakan ideal di ring M 2 2 (Z). Setiap ring R selalu mempunyai ideal, yaitu paling tidak mempunyai ideal {0 R dan R. Kedua ideal tersebut dinamakan ideal trivial. Mengingat pada ring R tidak disyaratkan bersifat komutatif terhadap perkalian maka untuk sebarang subset tak kosong I R, s 1 I, dan r R, jika s 1 r berada di dalam I belum tentu rs 1 berada dalam I, begitu juga sebaliknya. Mengingat hal tersebut dapat didefinisikanlah pengertian ideal kiri dan ideal kanan sebagai berikut: 12

Definisi 2.1.3. Misalkan R suatu ring dan I S. 1. Subset I disebut ideal kiri jika (a) ( s 1, s 2 I)s 1 s 2 I (b) ( s 1 I)( r R)rs 1 I. 2. Subset I disebut ideal kanan jika (a) ( s 1, s 2 I)s 1 s 2 I (b) ( s 1 I)( r R)s 1 r I. Contoh 2.1.4. Diberikan ring matriks M 2 2 (R). Misalkan I 1 = a 0 a, b R b 0 dan I 2 = 0 a a, b R 0 b. Ideal I 1 merupakan ideal kiri di M 2 2 (R) dan I 2 merupakan ideal kanan di M 2 2 (R). Berdasarkan Definisi 2.1.1 dan Definisi 2.1.3, mudah dipahami bahwa himpunan bagian tak kosong I dari ring R disebut ideal di R jika I merupakan ideal kiri sekaligus ideal kanan di R. 2.2. Pembentukan Ring Faktor dari Suatu Ideal Dari uraian pada latar belakang munculnya pengertian ideal diatas dapat disimpulkan bahwa, jika I merupakan ideal maka I merupakan subring dan operasi pada R I merupakan operasi well-defined. Perlu diperhatikan jika I hanya merupakan ideal kiri atau hanya ideal kanan saja, maka belum tentu operasi pada R I well-defined. Dengan menggunakan aksioma-aksioma ring R dapat ditunjukkan bahwa R I merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian koset-koset sebagaimana dinyatakan dalam sifat sebagai berikut. Teorema 2.2.1. Jika I merupakan ideal dalam ring R maka R I merupakan ring terhadap operasi (i). penjumlahan + yang didefinisikan sbb.: r 1 +r 2 =r 1 + r 2 13

(ii). perkalian yang didefinisikan sbb.: r 1 r 2 =r 1 r 2 untuk setiap r 1, r 2 R I. Bukti. Dari teori grup, diperoleh bahwa ( R I, +) merupakan grup Abelian terhadap operasi penjumlahan. Sehingga cukup ditunjukkan bahwa terhadap perkalian bersifat asosiatif, distributif kiri, dan distributif kanan. Diambil sebarang r 1, r 2, r 3 R I, artinya r 1, r 2, r 3 R, dengan demikian akan diperoleh: 1. Sifat asosiatif: r 1 + (r 2 + r 3 ) = r 1 + (r 2 + r 3 ) = r 1 + (r 2 + r 3 ) = (r 1 + r 2 ) + r 3 = r 1 + r 2 + r 3 = (r 1 + r 2 ) + r 3. Jadi, terbukti bersifat asosiatif. 2. Sifat distributif kiri: r 1 (r 2 + r 3 ) = r 1 (r 2 + r 3 ) = r 1 (r 2 + r 3 ) = (r 1 + r 2 ) + r 3 = r 1 r 2 + r 1 r 3 = r 1 r 2 + r 1 r 3 = r 1 r 2 + r 1 r 3. Jadi, terbukti bersifat distributif kiri terhadap +. Secara analog dapat dibuktikan bersifat distributif kanan terhadap +. Ring ( R I, +, ) selanjutnya disebut Ring Faktor yang dibentuk dari ideal I dalam ring R. Dengan mudah ( akan dapat ditunjukan bahwa jika R merupakan ring komutatif maka ring faktor R I, +, ) juga bersifat komutatif, dan jika R ( merupakan ring dengan elemen satuan 1 maka ring faktor R I, +, ) juga mempunyai elemen satuan 1. Berikut sifat-sifat ideal yang akan dipakai pada subbab berikutnya yakni dalam pembentukan ideal terkecil yang memuat suatu himpunan. 14

Teorema 2.2.2. Misalkan R merupakan ring. Jika I 1 dan I 2 masing-masing merupakan ideal di R, maka (i). I 1 I 2 merupakan ideal di R (ii). I 1 + I 2 = {a + b a I 1 dan a I 2 merupakan ideal di R (iii). (I 1 I 2 ) I 1 + I 2. Bukti. Diketahui I 1 dan I 2 masing-masing merupakan ideal di R. (i). Akan dibuktikan I 1 I 2 merupakan ideal di R. Diambil sebarang r R dan x, y I 1 I 2, artinya x, y I 1 dan x, y I 2. Karena I 1 dan I 2 ideal, diperoleh x y I 1 dan x y I 2, rx I 1 dan xr I 1, rx I 2 dan xr I 2. Dengan demikian diperoleh x y I 1 I 2, rx I 1 I 2, dan xr I 1 I 2. Jadi, dapat disimpulkan bahwa I 1 I 2 merupakan ideal di R. (ii). Akan dibuktikan I 1 + I 2 merupakan ideal di R. Diambil sebarang r R dan x, y I 1 +I 2, artinya x = a 1 +a 2 dan y = b 1 +b 2, untuk suatu a 1, b 1 I 1 dan a 2, b 2 I 2. Karena I 1 dan I 2 merupakan ideal di R, diperoleh a 1 b 1 I 1 dan a 2 b 2 I 2, sehingga x y = a 1 + a 2 (b 2 + b 2 ) = (a 1 b 1 ) + (a 2 b 2 ) I 1 + I 2. Karena I 1 dan I 2 merupakan ideal di R, diperoleh juga ra 1 I 1, a 1 r I 1, ra 2 I 2, dan a 2 r I 2, sehingga rx = r(a 1 + a 2 ) = ra 1 + ra 2 I 1 + I 2 dan Jadi, I 1 + I 2 merupakan ideal di R. xr = (a 1 + a 2 )r = a 1 r + a 2 r I 1 + I 2. 15

(iii). Akan dibuktikan (I 1 I 2 ) I 1 + I 2. Diambil sebarang x I 1 I 2, artinya x I 1 atau x I 2. Jika x I 1, maka mengingat 0 R I 2 diperoleh x = x + 0 R I 1 + I 2. Jika x I 2, maka mengingat 0 R I 1 diperoleh x = 0 R + x I 1 + I 2. Jadi, terbukti bahwa I 1 I 2 I 1 + I 2. Berikut ini merupakan generalisasi dari Teorema 2.2.2 (i). Teorema 2.2.3. Diberikan R adalah ring dan adalah himpunan indeks. Misalkan I = {I α α dengan I α adalah ideal di R untuk setiap α. Irisan semua ideal-ideal dalam I, yaitu I α, merupakan ideal di R. α Bukti. (sebagai latihan) 2.3. Ideal Terkecil yang Memuat Himpunan Jika diberikan ring R dan himpunan X R, maka X bisa merupakan ideal di R atau X bukan merupakan ideal di R. Jika X bukan merupakan ideal di R, maka selalu dapat dibentuk ideal yang memuat X, yakni paling tidak ring R itu sendiri. Namun ideal R merupakan ideal terbesar dan ideal yang trivial. Oleh karena itu, muncul pertanyaan, bagaimana mencari ideal terkecil yang memuat X. Berikut diberikan langkah-langkah mencari ideal terkecil yang memuat X. a). Dikumpulkan semua ideal yang memuat X, yaitu dibentuk himpunan yang dinotasikan dengan I X, yaitu I X = {I I ideal di R dan X I. Dengan demikian dapat kita tuliskan I X = {I α α dengan adalah suatu himpunan indeks dan I α adalah ideal di R yang memuat X, untuk setiap α. 16

b). Dibentuk irisan dari semua ideal di dalam I X, yaitu I = I α. α Berdasarkan sifat ideal diperoleh bahwa I α merupakan ideal di R. Karena α X I α I β untuk setiap β, diperoleh bahwa I = I α α α merupakan ideal terkecil yang memuat X. Perhatikan bahwa pada kejadian khusus ketika X =, ideal {0 R merupakan ideal yang memuat X. Oleh karena itu, {0 R I X sehingga diperoleh ideal terkecil yang memuat X adalah I = {0 R. Selanjutnya, muncul pertanyaan bagaimanakah bentuk elemen-elemen di dalam I, dengan X. Misalkan X adalah himpunan bagian tak kosong dari R. 1. Jelas elemen-elemen dari X berada di I, sebab X I. Dengan demikian, diperoleh y I, untuk setiap y X. Mengingat I ideal di R, untuk setiap k Z dan y X berlaku ky I. Lebih dari itu, untuk setiap t N, k j Z, y j X, j = 1,, t, berlaku k j y j I. 2. Mengingat I ideal di R, maka untuk setiap r R dan x X diperoleh rx juga berada di I. Selanjutnya, mengingat I ideal di R, maka untuk setiap r R diperoleh rxr = (rx)r I. 3. Mengingat I i ideal di R, maka untuk setiap n N, r i, r i I i I X x i X, i = 1,, n, n (r i x i r i) I. R, dan 17

4. Dari (1) dan (3), serta mengingat I ideal di R, diperoleh Jika semua bentuk n (r i x i r i) + n (r i x i r i)+ (k j y j ) I. (k j y j ) dengan r i, r i R dan x i, y j X dikumpulkan menjadi satu, yaitu dibentuk himpunan yang dinotasikan dengan X sebagai berikut X = (r i x i r i) + (k j y j ) n, t N, k j Z, r i, r i R, x i, y j X, maka akan diperoleh suatu teorema sebagai berikut. Teorema 2.3.1. Diberikan sebarang ring R. Jika X adalah himpunan bagian tak kosong dari R dan I X = {I I ideal dan X I, maka berlaku I = X. Bukti. (sebagai latihan) (a). Harus dibuktikan X merupakan ideal di R. (b). Harus dibuktikan X X. (c). Langkah terakhir harus dibuktikan X merupakan ideal terkecil di R yang memuat X. Definisi 2.3.2. Diberikan ring R dan himpunan bagian tak kosong X R. Ideal X disebut ideal yang dibangun oleh X. Untuk sebarang ring R dan himpunan bagian tak kosong X R, jelas bahwa X R tetapi belum tentu berlaku X = R. Jika X = R, maka munculah definisi ring yang dibangun oleh suatu himpunan sebagai berikut. Definisi 2.3.3. Diberikan ring R dan himpunan bagian tak kosong X R. Ring R disebut ring yang dibangun oleh X jika X = R. 18

Khusus untuk ring R dengan elemen satuan (katakan 1 R ), jika X R maka untuk setiap n Z dan x X, diperoleh: (i). Jika n = 0, maka nx = 0 R. (ii). Jika n > 0, maka nx = n(1 R x) def. = 1 R x + 1 R x + + 1 R x = (1 {{ R + 1 R + + 1 R )x = sx = sx1 {{ R, n kali n kali untuk suatu s R. (iii). Jika n < 0, maka nx = n(1 R x) def. = 1 R x + 1 R x + + 1 R x = (1 {{ R + 1 R + + 1 R )x = tx = tx1 {{ R n kali n kali untuk suatu t R. Akibatnya, ideal terkecil di R yang memuat X adalah X = (r i x i r i) n N, r i, r i R, x i X. (2.2) Khusus untuk ring R yang komutatif, ideal terkecil yang memuat X adalah X = (r i x i ) + (k j y j ) n, t N, k i Z, r i R, x i, y j X. (2.3) (Silahkan dibuktikan sebagai latihan) Kasus yang lebih khusus lagi, jika R adalah ring komutatif dengan elemen satuan maka berdasarkan (2.2) dan (2.3) diperoleh X = (r i x i ) n N, r i R, x i X. Contoh 2.3.4. Diberikan ring bilangan bulat Z dan X = {2, 3. Ideal yang dibangun oleh X adalah X = (2r + 3s) n N, r, s Z. 19

Diberikan sebarang ring R dan X himpunan bagian tak kosong dari R. Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa ideal kiri terkecil yang memuat X yang dinotasikan dengan X l tidak lain akan berbentuk X l = (r i x i ) + (k j y j ) n, t N, k i Z, r i R, x i, y j X. Ideal kanan terkecil yang memuat X yang dinotasikan dengan X r tidak lain akan berbentuk X r = (x i r i) + (k j y j ) n, t N, k i Z, r i R, x i, y j X. Tentu saja jika R merupakan ring komutatif setiap ideal kiri akan merupakan ideal kanan, sehingga X l = X r. Diberikan sebarang ring R. Jika X R hanya terdiri dari satu elemen, misalkan X = {a, maka X = {a akan sama dengan X = {rar + ka r, r R, k Z, dan selanjutnya disebut ideal yang dibangun oleh a. Jika x = {0 maka kan diperoleh ideal yang dibangun oleh {0 tidak lain adalah ideal {0 itu sendiri, sedangkan jika R adalah ring yang memuat elemen satuan 1 R maka ideal yang dibangun oleh 1 R tidak lain adalah R sendiri. Jika R merupakan ring komutatif dengan elemen satuan, maka {a = {ra r R = {ar r R, dan selanjutnya dinotasikan dengan ar. Selanjutnya, jika diberikan ring R serta ideal I 1 dan I 2 di R maka I 1 I 2 belum tentu membentuk ideal di R. Sebagai contoh pada ring bilangan bulat Z, himpunan 2Z dan 3Z masing-masing merupakan ideal, namun 2Z 3Z tidak merupakan ideal, sebab 2, 3 2Z 3Z tetapi 2 + 3 = 5 2Z 3Z. Mengingat I 1 I 2 merupakan himpunan bagian tak kosong dari R, dapat dibentuk ideal terkecil di R yang memuat I 1 I 2, yaitu I 1 I 2. Teorema 2.3.5. Diberikan sebarang ring R. Jika I 1 dan I 2 masing-masing merupakan ideal di R, maka I 1 I 2 = I 1 + I 2. 20

Bukti. Cukup dibuktikan I 1 + I 2 merupakan ideal terkecil di R yang memuat I 1 I 2. Berdasarkan Teorema 2.2.2 (ii) telah diketahui bahwa I 1 + I 2 merupakan ideal di R. Berdasarkan Teorema 2.2.2 (iii), diperoleh ideal I 1 + I 2 memuat I 1 I 2. Dengan demikian telah terbukti bahwa I 1 + I 2 merupakan ideal di R yang memuat I 1 I 2. Diambil sebarang ideal K di R sedemikian sehingga (I 1 I 2 ) K. Akan ditunjukkan (I 1 + I 2 ) K. Diambil sebarang x I 1 + I 2, artinya x = a + b untuk suatu a I 1 dan b I 2. Mengingat (I 1 I 2 ) K, berakibat a, b K. Karena K ideal, diperoleh x = a + b K. Oleh karena itu diperoleh (I 1 + I 2 ) K dan terbukti I 1 + I 2 merupakan ideal terkecil di R yang memuat I 1 I 2. Jadi, terbukti I 1 I 2 = I 1 + I 2. 2.4. Latihan Kerjakan soal-soal latihan berikut ini. 1. Buktikan bahwa sebarang ideal di ring Z memiliki bentuk nz, untuk suatu n N {0! 2. Diberikan ring T 2 2 (Z) = a b a, b, d Z 0 d. (a). Buktikan bahwa I = 0 b b, d Z 0 d merupakan ideal di T 2 2(Z)! (b). Buktikan bahwa J = 0 b b Z 0 0 merupakan ideal di T 2 2(Z)! (c). Tentukan ring faktor T 2 2(Z) I dan T 2 2(Z) J! 3. Buktikan bahwa I = {0, 8, 16 merupakan ideal di Z 24! Selanjutnya tentukan ring faktor Z 24 I! 4. Misalkan I dan J masing-masing adalah ideal di ring R. Didefinisikan perkalian dua ideal sebagai berikut: IJ = {a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n n N, a i I, b i J. Buktikan bahwa IJ merupakan ideal di R! 21

5. Diberikan sebarang ring R. Jika I ideal kanan di R dan J ideal kiri di R, maka buktikan IJ I J! 6. Misalkan I adalah ideal di suatu ring komutatif R. Didefinisikan annihilator dari I, yaitu Ann(I) = {r R ra = 0 R untuk setiap a I. Buktikan bahwa Ann(I) merupakan ideal di R! 7. Pada ring Z 20, buktikan bahwa I = {n n genap merupakan ideal! Tentukan Ann(I)! 8. Misalkan I adalah ideal di suatu ring komutatif R dan a R. Buktikan bahwa I {a = {x + ra + na x I, r R, n Z! 9. Misalkan I 1 dan I 2 masing-masing adalah ideal di suatu ring R. Buktikan bahwa I 1 I 2 merupakan ideal di R jika dan hanya jika I 1 I 2 atau I 2 I 2! 10. Misalkan I adalah ideal di suatu ring R. Buktikan bahwa ring faktor R I komutatif jika dan hanya jika ab ba I untuk setiap a, b R! 22