6. OPTIKA FOURIER 6.1. ANALISIS FOURIER

6. OPTIKA FOURIER 6.1. ANALISIS FOURIER

Dala intererensi, diraksi, terjadi superposisi dua buah gelobang bahkan lebih. Seringkali superposisi terjadi antara gelobang yang eiliki aplitudo, panjang gelobang yang berbeda, sehingga sulit untuk endeskripsikan gelobang hasil superposisi. Baron de Fourier (1768-183) ebuat Teorea untuk engatasi asalah tersebut (TEOREMA FOURIER).

Superposisi dua gelobang haronik dengan rekuensi berbeda enghasilkan gelobang tak-haronik

Teorea Fourier : suatu ungsi yang eiliki perioda ruang dapat dianalisis sebagai julah ungsi-ungsi haronik, diana panjang gelobangnya erupakan integral dari subperkalian dari (, /, /3, ). Deret Fourier : ( x) C C C + C 1 cos cos π π cos x + ε1 + C cos x + ε1 +... / π x + ε ( kx + ε ) ; k π / C adalah konstanta dan (x) enggabarkan gelobang yang enjalar (x - vt).

C cos diana: aka : ( kx + ε ) A B C C ( x) + A cos + kx cosε A sin ε cos kx + B A B sin 1 1 sin kx kx Proses penentuan koeisien-koeisien A, A, dan B untuk suatu ungsi periodik spesiik (x) dikenal dengan ANALISIS FOURIER.

Penentuan koeisien A. ( ) ( )dx x A A dx A dx x kx dx kx dx cos sin

Penentuan koeisien A dan B digunakan ortogonalitas ungsi sinusoidal. sin akx cosbkx dx cos akx cosbkx dx sin akxsin bkx dx δ δ ab ab δ ab 1 ; ; a a b b a, b adalah bilangan bulat positi bukan. dan δ ab delta Kronecker

Sekarang kalikan ungsi (x) dengan cos kx keudian integralkan dari sapai perioda : A ( x) cos kx dx ( x) A cos kx dx cos ; kx dx dengan cara yang saa diperoleh :,1,,... A B ( x) sin kx dx ;,1,,...

Maka ungsi periodik (x) dapat diungkapkan dala deret Fourier : ( x) A + 1 A cos kx + 1 B sin kx A ( x) cos kx dx B ( x) sin kx dx

Siat-siat ungsi (x) dala deret Fourier 1. Jika (x) ungsi genap (-x) (x), atau sietri di x, aka hanya ada koponen cosinus saja atau B.. Jika (x) ungsi ganjil (-x) - (x), aka hanya ada ungsi sinus saja (A ).

Contoh : Gelobang periodik persegi +1 (x) / / 3/ x -1 Dengan enggunakan deret Fourier, cari bentuk ungsi (x) dan gabarkan bentuk gelobangnya sapai orde-5

Bentuk ateatik gelobang diatas adalah : ( ) < < < < + x x x / ; 1 / ; 1 Karena ungsinya ganjil, aka A : ( ) ( ) ( ) π π π π π / ; cos 1 cos 1 cos 1 1)sin ( 1)sin ( / / / / + + + k kx kx kx dx kx dx B

Maka koeisien-koeisien B : ( ) + + +... sin 5 5 1 sin 3 3 1 sin 4 aka : ;... 5 4 ; ; 3 4 ; ; 4 5 4 3 1 kx kx kx x B B B B B π π π π

Seakin besar orde yang dihitung, aka bentuk ungsi seakin endekati gelobang persegi, naun enjadi ungsi kontinu.

Deret Fourier engubah ungsi diskrit enjadi ungsi kontinu

Gelobang Tak-Periodik Seua gelobang nyata berbentuk pulsa, sehingga penting untuk enganalisis ungsi-ungsi tak-periodik

Bentuk pulsa dapat diubah dari ungsi (x) enjadi suatu bentuk ungsi aplitudo sebagai ungsi dari bilangan gelobang k. ( x) A ( k) Perubahan tersebut enggunakan Transorasi Fourier (Fourier Transor, FT) Deret Fourier diubah enjadi integral Fourier. 1 π ( x) A( k) cos kx dx + B( k) B ( ) ( x) A k ( k) ( x) cos kx dx sin kx dx sin kx dx

PULSA DAN PAKET-PAKET GELOMBANG 1. Pulsa Persegi ( x) E x -L/ L/ ( x) E ; ; x x < > L L / / Karena pulsa (x) erupakan ungsi genap, aka B(k)

( ) ( x) A k E k E sin Lsinc cos kx dx kx + L / L / kl + L / L / E k E sin cos kxdx kl / E L sin kl / kl / 1 π ( x) E Lsinc( kl / ) cos kx dx

. Gelobang Cosinus E ( x) E cos k p x ; ; L x x > L L Karena E(x) erupakan ungsi genap, aka B(k)

( ) A k + L L + L L E E E L cos k 1 p x cos kx dx [ cos( k + k) x + cos( k k) x dx] [ sinc( k + k) L + sinc( k k) L] p p p p Jika terdiri dari banyak gelobang ( << L), aka k p L >> π ( k ) p + k L >> π sinc( k + k) L << (kecil/diabaikan) p ( ) ( A k E Lsinc k k)l p

Jika gelobang cosinus dala doain waktu, aka ditransorasi ke doain rekuensi ω. E ( t) E cosω t p ; ; T t t > T T ( t) Fourier Transor ( FT ) ( ω) A ( ) ( ω E T sin c ω ω)t p

FOURIER TRANSFORM DISKRIT (DFT) Suatu ungsi yang enggabarkan beberapa proses isis dapat dianalisis dengan analisis Fourier, dan ungsi transorasinya dapat ditentukan secara analitik. Contoh : proses intererensi, diraksi dll. Naun untuk beberapa situasi tidak ada ungsi yang dapat enggabarkan data.

Dala beberapa kasus, ungsi/data dapat dgitalisasi. Penentuan rekuensi dari data yang terkupul enggunakan teknik nuerik yaitu transorasi Fourier Diskrit (Discrete Fourier Transor, DFT). Contoh :

(a). Pulsa persegi 1D, (b). Transorasi Foruier-nya (c). Pulsa persegi D, (d). Trans. Fourier, (e). Intensitas E. Hechts, Optics, Addison Wesley,

Aplikasi : Filter rekuensi Gabar Gabar onalisa tidak dapat digabarkan dengan ungsi tertentu. Gabar discan, digitalisasi dan dikoputasi dengan DFT. (a). Gabar Mona Lisa (b). Spektru Intensitas hasil DFT (c). Gabar setelah rekuensi tinggi dibuang (d). Gabar setalah rekuensi rendah dihilangkan E. Hechts, Optics, Addison Wesley,

Tugas Individu/Mandiri 1. Dengan deret Fourier, cari ungsi (x) dari sinyal dibawah ini sapai orde ke-7 dan gabarkan ungsinya. (x) / 3/ / +/ + +3/ x / E (x). Cari transorasi Fourier dari sinyal segitiga dibawah ini, dan gabarkan L -L +L x