PERSAMAAN & FUNGSI EKSPONEN M A T E M A T I K A D A S A R T E P - F T P - UB PENGERTIAN Persamaan Eksponen suatu persamaan yang pangkatnya (eksponen), bilangan pokoknya, atau bilangan pokok dan eksponennya memuat suatu variabel. TEP-FTP-UB 1
1. a f() =1. a f() =p 3. a f() = a g() 4. a f() = b f() 5. a f() = b g() 6. A{a f( )} + B{a f( )} + C= 0 7. f() g() = 1, f() g () 8. f() g() = f() h() 9. g() f() = h() f() 1. Bentuk Persamaan a f() =1 Misalkan tdp persamaan a f() =1, dengan a>0 dan a 1. Contoh : 45 31 3 Penyelesaian : 1 3 45 31 3 0 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 5} TEP-FTP-UB
. Bentuk Persamaan a f() =p Misalkan tdp persamaan a f() =p, dengan a>0 dan a 1. Contoh : 3 9 1 7. Bentuk Persamaan a f() =p Selesaikan: 4 31 3 4 1 16 TEP-FTP-UB 3
3. Bentuk Persamaan a f() = a g() Misalkan tdp persamaan a f() =a g(), dengan a>0 dan a 1. Contoh : 4 8 3 31 Penyelesaian : 31 3 3 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-5} 4. Bentuk Persamaan a f() = b f() Misalkan tdp persamaan a f() = b f(), dengan a b; a, b>0; a,b 1. log a log b log a log b Karena a b maka log a log b. Oleh karena itu, agar kedua ruas bernilai sama, f()=0. Jadi : a b 0 TEP-FTP-UB 4
4. Bentuk Persamaan a f() = b f() Contoh : 1 3 1 3 3 0 1 3 1 atau Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 3} 3 0 3 5. Bentuk Persamaan a f() = b g() Misalkan tdp persamaan a f() = b g(), dengan a b; a, b>0; a, b 1, dan f() g(). log a log b g( ) Contoh : 3 3 TEP-FTP-UB 5
6. Bentuk Persamaan Tentukan: Ba C 0 A a 1 6 0 mjd: Menurut sifat eksponen, pers diatas dpt diubah y Misalkany y 6 0 6 0 y 3 y 3 y atauy 0 7. Bentuk Persamaan f() g() = 1, f() g () Langkah: a) g()=0 krn ruas kanan nilainya 1 berarti g() harus sama dengan nol b) f()=1 krn jika f()=1 maka bilangan 1 dipangkatkan berapa pun nilainya 1 c)f()=-1, dengan syarat g() harus genap Tentukan himpunan penyelesaian dari pers eksponen : 36 4 3 1 TEP-FTP-UB 6
Penyelesaian : 36 4 3 1 Diketahui bahwa f()=4-3 dan g()=3+6 g Persamaan f 1 benar jika 1) g()=0 ) f()=1 atau 3) f()=-1 (untuk g() genap) dipenuhi 8. Bentuk Persamaan f() g() = f() h() Langkah: a) g()=h() krn bil pokok sdh sama mk pangkat harus sama. b) f()=1 krn g() h() mk bil pokok hrs bernilai 1 agr pers bernilai benar. c) f()=-1, berakibat g() dan h() hrs bersama-sama bernilai genap atau sama-sama bernilai ganjil d) f()=0, dg g() dan h() masing bernilai positif dituliskan g()>0 dan h()>0. Tentukan himpunan penyelesaian dari pers eksponen : 5 11 1 5 11 6 TEP-FTP-UB 7
9. Bentuk Persamaan g() f() = h() f() a) f()=0 untuk g() 0 dan h() 0; b) g()=h() Tentukan himpunan penyelesaian dari pers eksponen : 6 3 6 PENGERTIAN Fungsi Eksponen suatu fungsi yang memetakan setiap anggota himpunan bilangan real dengan tepat satu anggota bilangan real ka, dengan k suatu konstanta dan a bilangan pokok (basis), dengan a>0 dan a 1. TEP-FTP-UB 8
EXPONENTIAL FUNCTION Eponential function Eponential function is defined as : f() = a where a > 0, a 1, and is any real number Eample : f() = f() (, f()) - ¼ (-, ¼) -1 ½ (-1, ½) 0 1 (0, 1) 1 (1, ) 4 (, 4) EXPONENTIAL FUNCTION Eponential function Domain and Range? Graph of f() = a, a >1 Graph of f() = a, 0 < a < 1 TEP-FTP-UB 9
EXPONENTIAL FUNCTION Eponential function From the earlier equation of f() =, draw : a. f() = 1 b. f() = - translation reflection GRAPH OF LOGARITHMIC FUNCTION Eponential vs Logarithmic Fungsi Eksponensial di mana f a ) a > 1 ( Daerah asal berupa bilangan real Range merupakan bilangan real positif Tidak terdapat titik potong pada sumbu karena tidak ada nilai yang dapat membuat fungsi bernilai =0 Titik potongnya selalu (0,1) karena a 0 = 1 Grafiknya selalu meningkat Sumbu ketika y = 0adalah asimtot horizontal untuk - Fungsi Logaritma di mana a > 1 ( f log ) Range berupa bilangan real Daerah asal merupakan bilangan real positif Tidak ada titik potong dengan sumbu y Titik potong dengan sumbu selalu (1,0) Grafiknya selalu meningkat Sumbu y (di mana = 0) adalah asimtot vertikal a TEP-FTP-UB 10
GRAPH OF LOGARITHMIC FUNCTION Eponential vs Logarithmic Grafik Eksponensial Grafik Logaritma Grafik fungsi invers direfleksikan berdasarkan garis y = PENERAPAN FUNGSI EKSPONENSIAL A. Pertumbuhan (Pertambahan) Pertumbuhan secara eksponensial dapat dituliskan dlm fs f() = y = ka, dengan a=p+1 dan nilai p>0. p laju pertumbuhan Jika a=p+1, k>0, dan p>0, maka fungsi eksponen f()= y = ka dapat dinyatakan dalam bentuk: y k( p 1) 33 TEP-FTP-UB 11
PENERAPAN FUNGSI EKSPONENSIAL Pada pertumbuhan atau pertambahan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya banyak keadaan awal (modal) populasi atau besaran adalah Po. Jika terjadi pertumbuhan sebesar i (dalam %) per tahun (atau setiap satuan jangka waktu tertentu lainnya) maka jumlah populasi atau modal setelah t tahun adalah t P P ( 1 i) t o Apabila pertambahan terjadi secara kontinu maka: P P e t o it Dengan e=,71881... (bilangan natural) i=besarnya pertumbuhan pd periode ttt PENERAPAN FUNGSI EKSPONENSIAL Contoh : Adel menabung sebesar Rp 50.000 di suatu bank selama 5 th dengan bunga majemuk sebesar 10% per th. Pada setiap akhir tahun bunga pd th yg bersangkutan ditambahkan dengan uang yg tersimpan shg seluruhnya mjd modal awal th berikutnya. Berapa uang Adel pd akhir tahun ke-4? TEP-FTP-UB 1
PENERAPAN FUNGSI EKSPONENSIAL B. Peluruhan (Pengurangan atau Penyusutan) Penyusutan secara eksponensial dapat dituliskan dlm fs f() = y = ka, dengan a=1-p. p laju penyusutan 0 < p < 1 Jika a=1-p, k>0, dan 0 < p < 1, maka fungsi eksponen f()= y = ka dapat dinyatakan dalam bentuk: y k(1 p) 37 PENERAPAN FUNGSI EKSPONENSIAL Penyusutan contohnya penyusutan benda atau peralatan, peluruhan zat radioaktif (kimia), dsb. Apabila penyusutan terjadi secara kontinu maka: P P e t o Dengan P t = sisa benda saat t P 0 = banyaknya benda mula-mula λ = tetapan peluruhan t = waktu t TEP-FTP-UB 13
PENERAPAN FUNGSI EKSPONENSIAL Contoh : Pada pukul 5.00 massa suatu zat radioaktif adalah 0,5 kg. Apabila laju peluruh zat radioaktif tsb % setiap jam, hitunglah sisa zat radioaktif pd pukul 9.00. THANK YOU TEP-FTP-UB 14