Dpt. Statistika IPB, 0 Transormasi Pubah Acak Lanjutan B. Mtod Pnggantian Pubah Mtod ini mrupakan pngmbangan dari mtod ungsi sbaran. Misalkan diktahui kp bagi p.a. adalah x. Jika didinisikan p.a. lainna aitu = hx, maka ingin diktahui kp bagi aitu. Prhatikan bahwa dalam transormasi p.a. ungsina, aitu hx, harus ungsi satu-satu on-to-on. = h = h - F = P = Ph = P h - = F h - F = F h - slanjutna tntukan turunan dari F di atas untuk mndapatkan : = df df [ h ] df [ h ] d[ h ] d d d[ h ] d karna = h -, maka prsamaan di atas mnjadi: = df [ h ] d[ h ] df x dx x d[ h ] d dx d dx d atau = dh h d
Dpt. Statistika IPB, 0 Torma: Misalkan adalah p.a. dngan kp x pada gugus S R, dan didinisikan ungsi h : S T sbagai tranormasi satu-satu on-to-on, shingga invrsna x = h -, T. Anggap bahwa untuk T, turunan dh - d ada, kontinu dan tidak sama dngan 0. Maka ungsi kpkatan pluang bagi p.a. ang didinisikan = h adalah: = dh h d, T Catatan : dh d disbut sbagai Jacobi atau disingkat J. Kasus Misalkan p.a. kontinu mmpunai kp sbagai brikut: x = x, 0 < x < Jika didinisikan p.a. = 8 3, ingin diktahui kp bagi aitu. Prhatikan bahwa dalam transormasi p.a. ungsina harus ungsi satu-satu on-to-on. Pada transormasi di atas, = 3, mrupakan ungsi satu-satu. = h = 8 3 = h - = 8 dan karna 0 < x < maka 0 < < 8. 3 3 = dh d = d d 6 3 3
Dpt. Statistika IPB, 0 = h h 3 dh d 6 3 3 3 6 6 Shingga kp bagi p.a. adalah, 0 < < 8 3 6 Coba ck bahwa trsbut mrupakan kp! Kasus Misalkan p.a. kontinu U,. Jika kmudian didinisikan p.a. =, akan ditntukan kp bagi aitu. Karna U, maka < x < dan < < = h = = h - = ln dh d = d ln d = dh h d Shingga kp bagi p.a. adalah, < < Coba ck bahwa trsbut mrupakan kp!
Dpt. Statistika IPB, 0 Kasus 3 Misalkan p.a. kontinu U0,. Jika kmudian didinisikan p.a. = -ln, akan ditntukan kp bagi aitu. Karna U0, maka 0 < x < dan > 0 = h = -ln = h - = - dh d = d d = h dh d. Shingga kp bagi p.a. adalah, > 0 Coba ck bahwa trsbut mrupakan kp. Catatan, kp ini mrupakan sbaran dngan drajat bbas. Kasus 4 Misalkan p.a. kontinu mmpunai kp sbagai brikut: x = x x, - < x < Jika didinisikan p.a. = adalah Normal0,., tunjukkan bahwa kp bagi
Dpt. Statistika IPB, 0 Kasus 5 Misalkan p.a. kontinu N,. Jika kmudian didinisikan p.a. = a - b, akan ditntukan kp bagi aitu. Karna N, maka - < x < dan - < < = h = a - b = h - = b a dh d = d b d a a a = b dh a h xp. d a xp a a b a Shingga kp bagi p.a. = a - b adalah Normala - b, a Kasus 6 Bukan Fungsi Satu-Satu Misalkan p.a. kontinu mnbar Normal0, aitu x = x, - < x < Jika didinisikan p.a. =, ingin diktahui kp bagi aitu. Prhatikan bahwa dalam transormasi di atas, =, bukan ungsi satu-satu on-to-on. Shingga transormasi trsbut harus dipcah dulu agar mnjadi ungsi satu-satu, aitu:
Dpt. Statistika IPB, 0 Untuk - < x 0 = h = = h - = dan karna - < x 0 maka 0 <. d dh = d d. d dh h Untuk 0 < x < = h = = h - = dan karna 0 < x < maka 0 < <. d dh = d d. d dh h Shingga kp bagi p.a. adalah 0, Prhatikan bahwa kp p.a. trsbut mrupakan sbaran Khai- Kuadrat dngan drajat bbas aitu.
Dpt. Statistika IPB, 0 Jadi jika N0, maka =. Catatan : sbaran Khai-Kuadrat dngan drajat bbas r dapat dinatakan sbagai brikut: r, 0 r r untuk r = maka r =, shingga., 0 Kasus 7 Pubah Acak Diskrt Untuk transormasi pubah acak diskrt dilakukan sprti pada pubah acak kontinu di atas, hana saja untuk pubah acak diskrt Jacobi slalu sama dngan satu, aitu = h, T Misalkan p.a. diskrt mmpunai sbaran Poisson, aitu: x x =, x = 0,,,... x! Jika didinisikan p.a. = 5, akan ditntukan kp bagi aitu. = h = 5 = h - = 5 karna mrupakan p.a. diskrt maka Jacobian =, shingga = h = 5 = 5, = 0, 5, 0,... 5!
Dpt. Statistika IPB, 0