ANALISA VEKTOR Skalar dan Vektor Skalar merupakan besaran ang dapat dinatakan dengan sebuah bilangan nata. Contoh dari besaran skalar antara lain massa, kerapatan, tekanan, dan volume. Sedangkan besaran vektor merupakan besaran ang memiliki nilai dan arah dalam ruang. Contohna adalah gaa, kecepatan, dan percepatan. Kemudian, dalam besaran skalar dan besaran vektor terdapat medan skalar dan medan vektor. Sebuah medan (skalar atau vektor) dapat didefinisikan secara matematis sebagai fungsi dari vektor ang menghubungkan titik asal dengan titik sembarang dalam ruang.contoh medan skalar adalah temperatur dalam semangkuk sup. Sedangan contoh dari medan vektor adalah medan gravitasi dan medan magnetik bumi. Nilai besaran medan pada umumna berubah terhadap waktu dan kedudukan dalam ruang. Aljabar Vektor Di dalam vektor, terdapat beberapa aturan aljabar vektor dimana beberapa aturanna akan serupa dengan arturan skalar dan ada juga ang sedikit berlainan juga ada ang baru atau asing untuk dipelajari. Sebagai contoh, penjumlahan vektor mengikiuti aturan jajaran genjang. Penjumlahan vektor juga mengikuti hukum komutatif A+B = B+A dan hukum sosiatif A+(B+C) = (A+B)+C. A A+B B Selain penjumlahan, terdapat pula aturan pengurangan vektor dimana A B = A + (-B), tanda dan arah vektor kedua dibalik, kemudian kedua vektor ini dijumlahkan. Selain itu, vektor juga dapat dikalikan dengan besaran skalar dimana besar vektor akan berubah, arahna tetap jika besaran skalar ang dikalikan positif dan arahna akan terbalik jika besaran skalar ang dikalikan negatif. Perkalian vektor dan skalar mengkuti hukum asosiatif dan distributif dengan aljabar sebagai berikut : (r+s) (A+B) = r (A+B) + s (A+B) = ra + rb + sa + sb Pembagian sebuah vektor dengan skalar sama dengan perkalian vektor tersebut dengan kebalikan dari skalar. Dua vektor disebut sama jika selisihna nol atau A = B jika A-B = 0.
Sistem Koordinat Kartesian Dalam koordinat kartesian, menggunakan tiga sumbu koordinat ang saling tegak lurus dan disebut sumbu,, dan. Sebuah titik ditentukan letakna dengan memberikan koordinat,, dan dari titik tersebut. Besaran tersebut menatakan jarak dari titik asal ke perpotongan dari garis lurus ang ditarik dari titik tersebut tegak lurus pada sumbu, kemudian dan. Komponen Vektor dan Vektor Satuan Vektor komponen mempunai besar ang ditentukan oleh vektor ang diberikan misal vektor r dan masing masing memiliki arah tetap ang diketahui. Dalam hal ini, vektor satuan ang besarna satu satuan dapat dipakai dimana arahna sejajar dengan arah sumbu koordinat pada arah bertambahna harga koordinat. Komponen merupakan besaran ang mempunai tanda sesuai dengan vektor komponen atau dengan kata lain F = F a + F a + F a. Tiap vektor B dapat dituliskan sebagai B = B a + B a + B a. Besar B atau B adalah : B = B 2 + B 2 + B 2 Dari ketiga sistem koordinat ang ada, ketiga vektor tersebut saling tegak lurus ang dipakai untuk menguraikan tiap vektor menjadi vektor komponenna. Terkadang, perlu mencari vektor satuan dalam arah tertentu. Vektor satuan dalam arah r ialah r/ B 2 + B 2 + B 2. Dan untuk vektor satuan dalam arah B adalah : a B = B = B. B 2 +B 2 +B 2 B Medan Vektor Medan vektor sebagai fungsi vektor dari vektor kedudukan. Di dalam ruang, besar dan arah fungsina akan berubah kedudukan titikna dan nilai fungsi vektor harus ditentukan dari nilai koordinat dari titik ang bersangkutan.
Perkalian Titik Ada beberapa aturan perkalian titik dalam vektor antar lain adalah sebagai berikut. 1. Perkalian titik didefinisikan sebagai perkalian dari besar A dan besar B dikalikan kosinus sudut diantara kedua vektor tersebut aitu A. B = A B cos ϴ AB 2. Perkalian titik atau perkalian skalar juga merupakan perkalian skalar dan mengikuti hukum komutatif, aitu A. B = B. A 3. Tiga sudut ang mengandung perkalian titik vektor satuan dengan dirina sendiri ang hasilna adalah satuan dapat ditulis sebagai berikut : A. B = A B + A B + A B dimana rumusan ini tidak mengandung sudut. 4. Perkalian titik antara vektor dengan dirina sendiri menghasilkan kuadrat dari besar vektor A. A = A 2 = A 2. Dari tiap vektor satuan dikalikan dengan dirima menghasilkan satuan a A. a A = 1 5. Untuk mencari komponen sebuah vektor dalam arah tertentu misalna mencari komponen dari B pada arah vektor satuan a dapat menggunakan rumus B. a = B a cos ϴ Ba = B cos ϴ Ba. Perkalian Silang Vektor Ada beberapa aturan perkalian silang dalam vektor, antara lain 1. Perkalian silang A B merupakan sebuah vektor dan besar A B sama dengan besar A dikalikan dengan besar B dan dikalikan dengan sinus sudut terkecil antara A dan B, arah A dan B saling tegak lurus pada bidang datar tempat A dan B terletak dan arahna sesuai dengan arah maju sekrup putar kanan ang diputar dari arah A ke B. Dapat dirumusukan sebagai berikut : A B = a N A B sin ϴ AB dengan pernataan tambahan ang diperlukan untuk menatakan arah vektor satuan a N dimana subscrip N menatakan normal. Jika urutan vektor A dan B dibalik maka akan menghasilkan vektor satuan ang arahna berlawanan dengan arah semula dimana B A = - (A B ). 2. Sebelumna telah dijelaskan bahwa a a = a, a a = a, dan a a = a didapatkan bahwa a a = -a, a a = -a, dan a a = -a dan ketiga suku lainna sama dengan nol mala sudut diantarana nol. Sehingga A B = (A B A B )a + (A B - A B ) a + (A B A B ) a. 3. Dalam bentuk determinan adalah A B = a a a A A A B B B
Sistem Koordinat Tabung Dalam koordinat tabung, ada beberapa komponen ang dibutuhkan seperti ρ, φ, dan. Koordinat tabung memiliki vektor satuan a ρ, a φ, dan a. Ketiga vektor satuan tersebut saling tegak lurus karena masing masing vektor arahna normal pada salah satu dari tiga bidang ang saling tegak lurus, dan dapat didefinisikan sistem koordinaat tabung putar kanan melalui sifat perkalian vektor dari vektor satuanna a ρ a φ = a. P (X,Y,Z) P (ρ,φ,z) φ ρ = ρ cos φ ρ = ( 2 + 2 ) ½ = ρ sin φ φ = a tan (/) = = KOORDINAT TABUNG KOORDINAT TABUNG KOORDINAT TABUNG Segmentasi Panjang : Segmentasi Luas : Segmentasi Volume : 1. dρ 1. da = ρ dρ dφ dv = ρ dρ dφ d 2. ρ dφ 2. da r = ρ dρ d 3. d 3. da φ = dρ d
Tabel Transformasi Koordinat Tabung â ρ â φ â â. â. â. cos φ -sin φ 0 sinφ Cos φ 0 0 0 1 Sistem Koordinat Bola Dalam sistem koordinat bola, ada bebeurapa komponen ang dibutuhkan anatara lain r,θ, dan φ. r adalah jarak dari titik asal ke titik ang ditinjau,sudut ϴ antara sumbu dan garis ang ditarik dari titik asal ke titik ang ditinjau, dan φ merupakan sudut ang definisina tepat sama dengan φ untuk koordinat tabung dimana sudut tersebut merupakan sudut antara sumbu dengan garis proeksi dari garis ang menghubungkann titik asal dengan titik ang ditinjau pada bidang = 0. Dalam sistem kordinat bola, vektor satuanna dapat didefinisikan disetiap titik aitu antara lain a r, a ϴ, dan a φ. Ketiga satuan vektor ini saling tegak lurus dan dalam sistem koordinat putar kanan berlaku a r a ϴ = a φ. Untuk Transformasi dari kartesian ke bola begiti juga sebalikna adalah :
Kartesian Bola P (X,Y,Z) P (r,φ,θ) ϴ φ ρ = r cos φ sin ϴ r = ( 2 + 2 + 2 ) 1/2 = r sin φ sin ϴ φ = a tan (/) = r cos ϴ ϴ = a cos (/r) KOORDINAT BOLA Segmentasi Panjang : 1. dr 2. r dφ sin ϴ 3. r dθ KOORDINAT BOLA Segmentasi Luas : 1. da φ = r dr dθ 2. da ρ = r 2 dθ dφ sin ϴ 3. da ϴ = r dr dφ sin ϴ KOORDINAT BOLA Segentasi Volume : dv = r 2 dr dφ dθ sin ϴ Tabel Transformasi Koordinat Bola â r â φ â ϴ â. â. â. Sin ϴ.cos φ -sin φ Cos φ.cos ϴ Sin ϴ.sinφ Cos φ Cos ϴ.sin φ Cos ϴ 0 -sin ϴ