Prodi Matematika FMIPA Unsyiah July 11, 2011
Koordinat Cartesius: Tiga garis koordinat yang saling tegak lurus (sumbu x, sumbu y dan sumbvu z); Titik nol ketiga garis berada pada titik O yang sama yang disebut titik asal (origin); Sumbu y dan sumbu z terletak pada bidang kertas dengan arah positifnya masing-masing ke kanan dan ke atas; Sumbu x tegak lurus terhadap kertas dengan arah ujung positifnya menuju kerah kita; Membentuk sebuah sistem tangan kanan (right-handed system) karena jika jari-jari tangan kanan dikepalkan, jari-jari tangan tersebut membentuk kurva dari sumbu x positif ke arah sumbu y positif maka jari jempol akan mengarah ke sumbu z positif.
Koordinat Cartesius: Ketiga sumbu membentuk tiga bidang: bidang xy, bidang xz dan bidang yz; Ketiga bidang membagi ruang menjadi delapan oktan; Setiap tiitik P di dalam ruang mempunyai tiga bilangan berurutan (x, y, z) yang disebut koordinat Cartesius (Cartesian coordinate); Koordinat kartesius merupakan ukuran jarak berarah dari ketiga bidang tersebut;
Gambar: Sistem tangan kanan dan koordinat Cartesian
Gambar: Titik P (x, y, z) pada sistem koordinat Cartesius
Misalkan dua titik P 1 (x 1, y 1, z 1 ) dan P 2 (x 2, y 2, z 2 ) berada dalam ruang berdimensi tiga dengan x 1 x 2, y 1 y 2, z 1 z 2. Kedua titik menentukan sebuah balok genjang (parallelepiped) dengan P 1 dan P 2 berada pada ujung yang saling berlawanan dan dengan tepi-tepi yang sejajar dengan sumbu koordinat (lihat gambar berikut ini). Gambar: Jarak dua titik P 1 (x 1, y 1, z 1 ) dan P 2 (x 2, y 2, z 2 )
Pandang segitiga P 1 QP 2 dan P 1 RQ adalah segitiga siku-siku dan menurut Teorema Pythagoras P 1 P 2 2 = P 1 Q 2 + QP 2 2 dan P 1 Q 2 = P 1 R 2 + RQ 2. Jadi P 1 P 2 2 = P 1 R 2 + RQ 2 + QP 2 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 Hasil ini memberikan (distance formula) dalam ruang berdimensi tiga P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2
Contoh 1 Tentukan jarak antara dua titik P (2, 3, 4) dan Q( 3, 2, 5). Penyelesaian P Q = ( 3 2) 2 + (2 + 3) 2 + ( 5 4) 2 = 131 11, 45 Contoh 2 (Soal-soal 14.1 No.5.a) Tentukan jarak antara pasangan titik (6, 1, 0) dan (1, 2, 3). Penyelesaian Jarak d = (6 1) 2 + ( 1 2) 2 + (0 3) 2 = 43 6, 56
Bola (sphere) adalah himpunan titik di dalam ruang berdimensi tiga yang mempunyai jarak konstan (jari-jari) dan sebuah titik tetap (pusat). Jika x, y, z) adalah sebuah titik pada sebuah bola dengan jari-jari r dan berpusat di (h, k, l) maka (x h) 2 + (y k) 2 + (z l) 2 = r 2 Persamaan diatas disebut persamaan standar bola. Gambar: Bola berpusat di (h, k, l) dengan jari-jari r
Persamaan standar bola dapat sebagai x 2 + y 2 + z 2 + Gx + Hy + Iz + J = 0 Contoh 3 Tentukan pusat dan jari-jari dari sebuah bola dengan persamaan dan sketsalah grafiknya. x 2 + y 2 + z 2 10x 8y 12z + 68 = 0
Penyelesaian Kita dapat menggunakan proses melengkapkan kuadrat. (x 2 10x+ ) + (y 2 8y+ ) + (z 2 12z+ ) = 68 (x 2 10x + 25) + (y 2 8y + 16) + (z 2 12z + 36) = 9 (x 5) 2 + (y 4) 2 + (z 6) 2 = 9 Jadi persamaan tersebut merepresentasikan sebuah bola dengan pusat di (5, 4, 6) dan jari-jari 3. Grafiknya diperlihatkan pada gambar berikut:
Gambar: Bola berpusat di (5, 4, 6) dengan jari-jari 3
Persamaan linear (linear equation) dalam x, y dan z adalah persamaan berbentuk Ax + By + Cz = D, A 2 + B 2 + C 2 0. Grafik dari persamaan linear adalah sebuah bidang. Untuk menggambarkan bidang tersebut, harus ditentukan titik-titik potong terhadap sumbu x, sumbu y dan sumbu z. Ketiga titik ini menentukan jejak (trace) yaitu perpotongan bidang tersebutt dengan bidang-bidang koordinat.
Contoh 4 Sketsalah grafik dari 3x + 4y + 2z = 12. Penyelesaian Perpotongan bidang dengan sumbu x, sumbu y dan sumbu z masing-masing adalah (4, 0, 0), (0, 3, 0) dan (0, 0, 6). Hubungkan ketiga titik ini dengan ruasgaris-ruasgaris untuk mendapatkan jejak-jejaknya. Akhirnya arsirlah bidang yang dimaksud (pada oktan pertama). Hasilnya adalah seperti pada gambar berikut ini.
jejak Bidang 3x+4y+2z=12 Gambar: Bidang 3x + 4y + 2z = 12 di R 3