PENDAHULUAN Laar Belakang Salah au maalah aru dalam uau nework adalah penenuan pah erpendek. Maalah pah erpendek ini merupakan maalah pengopimuman, karena dengan diperolehnya pah erpendek diharapkan dapa mengopimumkan fakor yang lain (mialkan: waku dan biaya). Secara umum, maalah pah erpendek dalam uau nework ini erbagi menjadi ipe, yakni: () pah erpendek anara uau impul dan impul lainnya, () pah erpendek anara uau impul dengan emua impul lainnya, dan () pah erpendek anara emua paang impul yang erdapa pada nework erebu. Pada karya ilmiah ini, yang menjadi maalah uama adalah maalah ipe (), yaiu mencari pah erpendek anara uau impul, yaiu ource dan uau impul lainnya, yaiu ink. Terdapa beberapa algorime yang dapa digunakan unuk mencari pah erpendek, alah aunya adalah algorime dekompoii. Algorime dekompoii dibaha di dalam [Hu, 98], [Yen, 98], dan [Shier e al., 97]. Namun, iap proedur yang diperkenalkan memiliki keunungan yang berbeda. Proedur yang diperkenalkan oleh Hu akan epa bila diaplikaikan pada nework yang memiliki rukur linear. Proedur yang diperkenalkan oleh Shier akan epa bila diaplikaikan pada nework dengan rukur ree. Ada pula proedur yang akan epa bila diaplikaikan pada nework berbenuk ar, yaiu algorime dekompoii yang diperkenalkan oleh Land dan Sair [Land & Sair, 97]. Dalam karya ilmiah yang merupakan rekonruki dari ulian Jarvi dan Tufekci [Jarvi & Tufekci, 98] ini, algorime yang banyak dierapkan adalah algorime dekompoii yang diperkenalkan oleh Hu [Hu, 98]. Dalam karya ilmiah ini juga dilakukan penghiungan komplekia dari algorime dekompoii yang digunakan. Tujuan Tujuan penulian karya ilmiah ini adalah mempelajari penyeleaian maalah pah erpendek anara impul ource () dan ink () dalam ebuah nework dengan menggunakan Algorime Dekompoii Jarvi-Tufekci. LANDASAN TEORI Dalam mencari pah erpendek anara ource () dan ink () dalam ebuah nework dengan algorime dekompoii, diperlukan beberapa konep ebagai beriku: Graf Definii (Graf) Suau graf adalah paangan eruru (V,E) dengan V adalah himpunan berhingga dan akkoong dari elemen-elemen graf, yang diebu impul (node, verek), dan E adalah himpunan paangan akeruru dari impulimpul di V. Seiap {p,q} E (dengan p,q V) diebu ii (edge) dan dikaakan menghubungkan impul p dan impul q. Sii {p,q} dapa pula diulikan dengan pq. (Fould, 99) G: e v v e e e v v e Gambar. Graf dengan impul dan ii.
Graf G pada Gambar mempunyai himpunan impul V={v, v, v, v } dan himpunan ii E={e, e, e, e, e }. G: Definii (Inciden) Mialkan diberikan graf G=(V,E). Jika ii e={p,q} E, maka impul p dan q maingmaing dikaakan inciden dengan ii e. Dapa pula dikaakan bahwa ii e inciden dengan impul p dan q. (Fould, 99) Berdaarkan graf pada Gambar, maka e inciden dengan impul v dan v, e inciden dengan impul v dan v, e inciden dengan impul v dan v, dan eerunya. Definii (Subgraf) Suau graf G =(V,E ) adalah uau ubgraf dari G=(V,E) jika V V dan E E. G: (Ahuja e al., 99) Gambar. Graf dengan komponen. Graf G pada Gambar memiliki buah komponen, yaiu komponen yang mengandung himpunan impul {,,,} dan yang mengandung himpunan impul {,}. Definii (Digraf) Suau graf berarah/digraf (direced graph) D adalah paangan eruru (V,A) dengan V adalah himpunan akkoong dan hingga, dan A adalah himpunan paangan eruru elemenelemen di V. Elemen dari A biaa diebu ii berarah (arc). Jika (u,v) (eringkali diulikan dengan uv) adalah uau ii berarah pada digraf, maka u dikaakan predeceor dari v, dan v adalah uau ucceor dari u. (Fould, 99) D: G : Gambar. G ubgraf dari G. Gambar. Digraf. Unuk digraf pada Gambar, V={,,,,} dan A={(,), (,), (,), (,), (,), (,), (,)}. Pada ii berarah (,), maka impul adalah predeceor bagi impul, dan impul adalah ucceor bagi impul. Hal yang ama berlaku bagi ii berarah lainnya. Definii (Komponen) Suau ubgraf makimum yang erhubungkan dari graf G diebu komponen dari G. (Fould, 99) Definii (Walk) Suau walk pada uau digraf D=(V,A) adalah uau ubgraf dari D=(V,A) yang berupa uau barian dari impul dan ii berarah i a i a i r a r i r dan unuk emua k r berlaku a k =(i k, i k+ ) A aau dapa diuli a k =(i k+, i k ) A.
Dapa pula dikaakan bahwa walk adalah uau himpunan (barian) dari ii berarah aau impul-impul. Walk dapa dibedakan menjadi, yakni: a) Walk berarah yaiu uau walk yang memiliki au arah, ehingga unuk embarang buah impul i k dan i k+ yang beruruan pada walk erebu, (i k, i k+ ) A. b) Walk idak berarah yaiu uau walk yang idak memenuhi definii walk berarah. (Ahuja e al., 99) Definii 8 (Subpah) Suau ubpah dari pah v 0 v v... v k adalah barian impul v i v i+... v j yang erdapa dalam pah erebu edemikian ehingga 0 i j k. (Cormen e al., 990) Dengan menggunakan pah pada Gambar dapa diperoleh conoh ubpah, yakni: Gambar (a). Walk adalah conoh walk berarah. Gambar (b). Walk adalah conoh walk idak berarah. Definii 7 (Pah) Suau pah dalam uau digraf adalah uau walk dengan emua impulnya berbeda (idak ada yang berulang). Berdaarkan definii walk, maka pah dapa pula dibedakan menjadi, yakni pah berarah dan pah idak berarah. (Ahuja e al., 99) Gambar 7. Conoh ubpah. Definii 9 (Cycle) Suau cycle adalah uau pah i i... i r dan mengandung (i, i r ) aau (i r,i ), aau dapa diulikan ebagai i i... i r i. Suau cycle dapa pula didefiniikan ebagai pah yang eruup. Berdaarkan definii pah, maka cycle dapa dibedakan menjadi, yakni: ) Cycle berarah yaiu pah berarah i i... i r dan mengandung ii berarah (i r,i ). ) Cycle idak berarah yaiu pah idak berarah i i... i r dan mengandung ii berarah (i r,i ). (Ahuja e al., 99) Gambar 8(a). Cycle adalah cycle berarah. Gambar. Pah. Pah pada Gambar merupakan conoh pah yang dimiliki oleh digraf pada Gambar. Pah ini merupakan conoh pah berarah. Gambar 8(b) Cycle adalah cycle idak berarah.
Definii 0 (Digraf Terhubungkan) Suau digraf D=(V,A) dikaakan erhubungkan (conneced), jika erdapa paling ediki au buah pah yang menghubungkan eiap paang impul pada digraf erebu. Jika idak, maka digraf erebu dikaakan akerhubung. (Fould, 99) Gambar 9(a). Digraf erhubung. Gambar 9(b). Digraf akerhubung. Definii (Graf erboboi) Suau graf G=(V,E) aau digraf D=(V,A) dikaakan erboboi jika erdapa fungi d:e R aau d:a R (dengan R adalah himpunan bilangan real) yang memeakan eiap bilangan real (yang diebu bobo) unuk eiap ii di E (aau A). Seiap bobo d(uv) dengan uv E (aau uv A) biaa diulikan dengan d uv. (Fould, 99) Gambar 0. Digraf erboboi. Definii (Panjang ii berarah) Mialkan diberikan uau digraf erboboi dengan fungi yang memeakan iap ii berarah dengan uau bilangan real. Maka, bobo ini dapa pula dikaakan ebagai panjang ii berarah. Panjang ii berarah yang menghubungkan impul u dengan v dinoaikan dengan d uv =d(u,v), dan didefiniikan pula bahwa d(u,u)=0, dan d(u,v)= (akhingga) jika idak ada ii berarah yang menghubungkan impul u dan v erebu. (Cormen e al., 990) Bardaarkan digraf erboboi pada Gambar 0, maka dapa diperoleh: d(,)=0 d(,)= d(,)= d(,)= d(,)= d(,)=0 d(,)= d(,)= d(,)=0 d(,)=0. Definii (Panjang pah) Mialkan diberikan pah p, v 0 v v... v k. Panjang pah p adalah jumlah emua panjang ii berarah yang erdapa pada pah erebu, aau dapa diulikan ebagai: k 0, vk ) = d( vi, vi ) i= d( p) = d( v. (Cormen e al., 990) Pada Gambar 0, erdapa beberapa pah. Beriku ini panjang pah-pah yang menghubungkan impul dan impul pada digraf pada Gambar 0 erebu: Panjang pah =d(,) =d(,)+d(,) =+ = Panjang pah =d(,) =d(,)+d(,) =+ = Panjang pah =d(,) =d(,)+d(,)+d(,) =++ =. Definii (Pah erpendek) Pah u v dikaakan ebagai pah erpendek jika pah yang menghubungkan impul u dan impul v erebu memiliki panjang minimum di anara pah-pah u v lainnya. (Hu, 98) Berdaarkan digraf erboboi pada Gambar 0, dan panjang pah-pah yang menghubungkan impul dan pada Ilurai Definii, maka dapa dienukan pah erpendek yang menghubungkan impul dan adalah pah
, karena memiliki panjang minimum di anara pah-pah lainnya, yaiu. Dalam karya ilmiah ini, definii panjang dapa pula diarikan ebagai jarak. Definii (Marik jarak) Mialkan D=(V,A) adalah uau digraf dengan V = { v, v,..., v n} dan A = { a, a,..., a }. m Marik jarak M didefiniikan dengan M=(m ij ) dengan m ij =d(v i,v j ). (Charrand & Oellermann, 99) Dengan menggunakan digraf erboboi pada Gambar 0, maka dapa diperoleh marik jarak dari digraf erebu, yakni ebagai beriku: 0 + + 0 M =. + + 0 + + + 0 Definii (Panjang cycle) Mialkan diberikan uau cycle berarah c, yaiu v 0 v v... v k dengan v 0 = v k. Panjang cycle berarah c adalah jumlah panjang eluruh ii berarah yang erdapa pada cycle erebu, aau dapa diulikan ebagai: k d( c) = [ d( v, v ) d( v, v )]. i= i i i i Panjang cycle dapa dibedakan ebagai beriku: Panjang cycle dikaakan negaif jika d(c)< 0 Panjang cycle dikaakan aknegaif jika d(c) 0 Panjang cycle dikaakan poiif jika d(c) >0. (Ahuja e al., 99) Berdaarkan Gambar, cycle merupakan cycle negaif karena memiliki panjang cycle: d(c) = d(,) (,) (,) = ( ) + +8 = < 0. Sedangkan cycle merupakan cycle aknegaif (dapa pula dikaakan poiif), karena memiliki panjang cycle: d(c) = d(,) (,) (,) = + 8 + ( 0) = 0. Nework Definii 7 Kau khuu digraf erboboi adalah nework (jaringan kerja). Beberapa konep pada nework adalah ebagai beriku:. Jika a = (v i,v j ) adalah uau ii berarah pada digraf D=(V,A), maka a dikaakan ebagai ii berarah yang menjauhi v i dan mendekai v j.. Suau impul ehingga idak ada ii berarah yang mendekai dirinya diebu dengan umber (ource), edangkan uau impul ehingga idak ada ii berarah yang menjauhi dirinya diebu dengan ink. Suau nework adalah uau digraf yang mempunyai epa au ource dan epa au ink. Pada banyak aplikai nework, paling ediki erdapa au aliran/flow yang bergerak dari ource ke ink. Flow pada nework merupakan bobo pada digraf. (Fould, 99) 0 8 Gambar. Nework. Gambar. Digraf yang mengandung cycle. Definii 8 (Kerapaan nework) Kerapaan uau nework adalah perbandingan banyaknya ii berarah ebenarnya pada nework dengan banyaknya ii berarah
makimum yang mungkin erdapa pada nework erebu. Jika uau nework N = (V,A) erdiri aa n buah impul dan n(n ) buah ii berarah, maka nework eperi iu dikaakan memiliki kerapaan ebear 00%. Namun, jika uau nework memiliki nilai kerapaan yang lebih kecil dari 0,0 maka nework erebu dikaakan longgar. (Jarvi & Tufekci, 98) N: a a a Gambar. Conoh nework yang longgar. Nework N pada Gambar memiliki n=7 buah impul yaiu {,,,,,,}, dan 7 buah ii berarah yaiu {a,a,a,a,a,a,a 7 ). Banyaknya ii berarah makimum yang mungkin erdapa pada nework erebu adalah n(n )=7(7 ) = buah ii berarah. Maka, kerapaan nework erebu adalah 7 0,7 =. Nilai kerapaan yang kurang dari 0,0 erebu menunjukkan bahwa nework erebu merupakan nework yang longgar. Definii 9 (Cu e) Mialkan diberikan uau nework erhubung N=(V,A) dan mialkan B dan X merupakan himpunan bagian dari V dengan X B. Himpunan X dikaakan ebagai cu e dari B jika memenuhi kondii-kondii beriku: (a) Jika X dan emua ii berarah yang inciden dengan X dihilangkan, maka nework N=(V,A) erebu menjadi akerhubung, (b) Semua impul pada B berada pada au komponen yang ama dan idak erdapa impul lain yang bukan anggoa B pada komponen ini. (Hu & Torre, 99) a a a a7 N: 7 8 Gambar (a). Nework dengan cu e. 8 Gambar (b). Nework akerhubung eelah cu e dihilangkan. Pada nework N pada Gambar (a), himpunan impul X ={,,,,,7} merupakan cu e dari himpunan impul {,}, aau cu e dari himpunan impul {8,}. Sedangkan Gambar (b) menunjukkan nework erebu menjadi akerhubung, jika himpunan impul yang merupakan cu e erebu dihilangkan. Definii 0 (Minimal cu e) Mialkan X adalah cu e dari N. Maka, X dikaakan ebagai minimal cu e jika idak erdapa himpunan bagian ejai dari X yang juga merupakan cu e. (Hu & Torre, 99) X
7 8 X X d i k min {d ik, d ij jk } = min {,+} = min {,} = d i k. Secara umum, operai ripel dapa digunakan unuk lebih dari impul. Gambar 7. Conoh pah dengan impul Gambar. Conoh minimal cu e pada uau nework. Berdaarkan Gambar, erliha bahwa X ={,} dan X ={,7} adalah minimal cu e pada nework erebu. Berbeda halnya dengan cu e pada Gambar (a) yang idak dapa dikaakan ebagai minimal cu e karena maih memiliki himpunan bagian ejai yang juga merupakan cu e. Definii (Operai ripel) Mialkan d ij menyaakan panjang/jarak anara impul i dan impul j pada digraf D. Maka, didefiniikan operai ripel ebagai beriku: d ik min {d ik, d ij jk } unuk i j k dengan lambang menyaakan diganikan oleh. (Hu, 98) i Gambar. Conoh pah dengan impul. Unuk menenukan jarak erpendek anara impul i dan k pada Gambar, maka dilakukan operai ripel, yakni: k j Unuk menenukan jarak erpendek anara impul dan impul, maka dilakukan operai ripel ebagai beriku: d min {d, d } d min {d, d } d min {d, d } = min {+, + } = min {+, 7} = 7 d min {d, d } = min {, + } = min {, } = d min {d, d } = min {+, + } = min {+, } = d min {d, d } = min {, + 7} = min {, 8} =. d. Definii (Nework erdekompoii) Mialkan X i adalah himpunan impul dan dikeahui X i, unuk eiap i. Suau nework N=(V,A) dikaakan erdekompoii menjadi m buah ubnework N, N, N,..., N m yang berindih ecara linear (linearly overlapping) jika memenuhi kondii-kondii beriku: () X i I X j = Ø ; i j m () U N i = N i= 7
() N I N i j X i ; j = i = X i ; j = i+ Ø ; j ( i ),i,( i+ ). (Jarvi & Tufekci, 98) N N N N m X X X... X m Gambar 8. Ilurai m buah ubnework yang berindih ecara linear (linearly overlapping). Beriku ini merupakan ilurai ebuah nework yang erdekompoii menjadi buah ubnework yang berindih ecara linear (linearly overlapping). N: 7 X X Gambar 9. Conoh nework dengan buah ubnework. Nework pada Gambar 9, erdekompoii menjadi buah ubnework N, N, N dengan himpunan impul di N = {,,,,}, N = {,,,}, dan N = {,,7,8}, dengan X = {,} dan X = {,}. Mialkan diberikan uau nework N=(V,A) yang erdekompoii menjadi buah ubnework ebagai beriku: N: Definii (Peramaan miniumai) Mialkan diberikan uau nework N=(V,A) yang erdekompoii menjadi buah ubnework N dan N, maka N=N X N dengan X adalah cu e pada nework N. Mialkan pula d menyaakan jarak uv erpendek anara impul u dan impul v. X Peramaan miniumai didefiniikan ebagai beriku: min d ik = { d ij jk } j dengan i N, j X, dan k N. (Hu & Torre, 99) Gambar 0. Nework yang elah erdekompoii. Nework N pada Gambar 0 mempunyai buah ubnework dengan N ={,}, X={,}, dan N ={,}. 8
Unuk mengeahui jarak erpendek dari N ke N dapa dienukan dengan menggunakan peramaan miniumai beriku: d = min[( d ), ( d )] = min [(7 + 7), ( + )] = min [, ] = d = min[( d ), ( d )] = min [(7 + ), ( + )] = min [8, 8] = 8 d = min[( d ), ( d )] = min [( + 7), ( + )] = min [, ] = d = min[( d ), ( d )] = min [( + ), ( + )] = min [7, 7] = 7. Komplekia Algorime Definii (Algorime) Algorime adalah uau ahapan/proedur unuk menyeleaikan uau maalah. Langkah-langkah dari uau algorime dibedakan ebagai beriku: ) Langkah peneapan. Conoh: meneapkan beberapa nilai unuk uau variabel. ) Langkah arimaika/penghiungan. Conoh: penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. ) Langkah logika. Conoh: membandingkan buah bilangan. (Ahuja e al., 99) Definii (Komplekia Algorime) Fungi komplekia waku unuk uau algorime adalah fungi dari ukuran maalah dan waku yang diperlukan oleh algorime erebu unuk menyeleaikan maalah yang diberikan. Unuk elanjunya, fungi komplekia waku ini diebu dengan komplekia algorime. (Ahuja e al., 99) Definii ( Noai big O ) Noai big O adalah uau ekprei yang menyaakan bahwa uau algorime membuuhkan waku cnm unuk beberapa konana c. Pernyaaan ini ekuivalen dengan pernyaaan bahwa algorime erebu membuuhkan waku O(nm). Secara formal dapa didefiniikan ebagai beriku: Suau algorime dikaakan bekerja dalam waku O(f(n)) jika unuk beberapa bilangan c dan n o, maka waku yang diperlukan oleh algorime erebu paling banyak adalah cf(n) unuk emua n n o. (Ahuja e al., 99) Algorime Dekompoii Hu Hu adalah alah eorang okoh yang memperkenalkan algorime dekompoii. Dalam karya ilmiah ini algorime dekompoii yang diperkenalkan oleh Hu berperan dalam penyeleaian maalah pah erpendek pada uau nework yang diberikan. Mialkan diberikan uau nework N=(V,A) yang longgar dan memiliki banyak impul yang cukup bear (berkala bear). Unuk menyeleaikan maalah pah erpendek dalam nework erebu, Hu menggunakan algorime dekompoii. Langkah perama pada algorime dekompoii Hu ini adalah mendekompoii nework N=(V,A) yang diberikan menjadi m buah ubnework N, N, N,..., N m yang berindih ecara linear (linearly overlapping). Tahapan yang perlu dilakukan dalam mendekompoii nework N=(V,A) erebu adalah: ) Suau himpunan impul yang merupakan himpunan bagian dari V diandai ebagai N. ) Menenukan himpunan impul yang merupakan minimal cu e dari N. ) Menandai himpunan impul berikunya yang merupakan cu e (idak haru merupakan minimal cu e) dari (N X ) ebagai N. ) Menenukan himpunan impul yang merupakan minimal cu e dari (N X N ) ebagai X. ) Hal yang ama dilakukan hingga nework erebu erdekompoii eluruhnya menjadi m buah ubnework N, N, N,..., N m dengan N = N U X, N = X X U N U, N = X U N U X, eerunya hingga 9
N N X U N = X U N. U X m = m m m m m m,dan Jadi, N=N X N... X m N m. Mialkan didefiniikan Ni = Ni ( X i U X i ), dan mialkan M menyaakan marik jarak N i N j dari N i ke N j, edangkan M ij ( N k ) menyaakan marik jarak erpendek dari N i ke N j yang erleak pada N k. Tahapan yang dilakukan dalam algorime dekompoii Hu adalah ebagai beriku: () Operai ripel diaplikaikan pada m buah ubnework N, N, N,..., N m, N m ecara berahap. Jarak erpendek yang diperoleh dari uau ubnework mengganikan jarak alinya pada ubnework berikunya (yang akan dikenai operai ripel), mialkan: M X ( N ) X yang diperoleh akan mengganikan jarak M ebelum XX operai ripel dilakukan pada ubnework N =N X N. Hal yang ama dilakukan hingga operai ripel diaplikaikan pada ubnework N m. Pada akhir ahap () ini diperoleh: M N ( N ) N, M ( ) N N N N U,..., M ( N U N U... U N m ), M ( N). N m N m N m N m () Operai ripel diaplikaikan pada m buah ubnework N m, N m..., N, N ecara berahap. Jarak yang diperoleh pada uau ubnework mengganikan jarak pada ubnework elanjunya (yang akan dikenai operi ripel), mialkan: M ( N ) akan mengganikan jarak X m X m M X ( ) m X m N N. Pada akhir ahap () m ini dapa diperoleh: M ( N ),..., N. N m N m M N ( N ) N, M ( N ) N () Jarak erpendek anara paangan impul yang idak erdapa pada ubnework yang ama dienukan dengan menggunakan peramaan miniumai. (Hu & Torre, 99) PEMBAHASAN Dekompoii Nework Dalam bab ini akan diberikan beberapa aumi yang diperlukan dan proedur yang digunakan dalam algorime dekompoii Jarvi-Tufekci unuk dapa menyeleaikan maalah pah erpendek anara ource () dan ink () pada uau nework. Selain iu, akan diberikan pula conoh penerapan algorime dekompoii erebu dalam uau nework yang diberikan. Pada akhirnya akan diuraikan penghiungan komplekia dari algorime dekompoii ini. Penenuan pah erpendek anara impul ource dan ink pada uau nework berkala bear dengan menggunakan algorime dekompoii Jarvi-Tufekci memerlukan beberapa aumi beriku: ) Nework yang akan didekompoii merupakan nework yang longgar/idak rapa. ) Nework erebu idak memua cycle yang negaif. Beriku ini adalah proedur yang digunakan dalam algorime dekompoii Jarvi-Tufekci dalam menyeleaikan maalah pah erpendek pada uau nework. Mialkan diberikan uau nework berkala bear yang longgar N=(V,A) dengan V={v,v,...,v n } dan A adalah himpunan ii berarah yang erdapa pada nework erebu, dengan iap ii berarah yang menghubungkan impul v i dan impul v j memiliki panjang yang dinoaikan dengan d ij =d(v i,v j ). Mialkan nework N=(V,A) yang diberikan erdekompoii menjadi m buah ubnework N, N, N,..., N m yang berindih ecara linear (linearly overlapping). Tahapan yang dilakukan dalam mendekompoii nework N yang diberikan erebu idak berbeda dengan ahapan yang dilakukan oleh algorime Hu, ehingga pada akhir ahap diperoleh N=N X N... X m N m yang dapa pula diiluraikan ebagai beriku: 0