PENENTUAN PATH TERPENDEK DENGAN ALGORITME DEKOMPOSISI JARVIS-TUFEKCI. Oleh: DWI ADE RACHMA PUTRI G

Transkripsi

1 PENENTUAN PATH TERPENDEK DENGAN ALGORITME DEKOMPOSISI JARVIS-TUFEKCI Oleh: DWI ADE RACHMA PUTRI G00000 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 007

2 ABSTRAK DWI ADE RACHMA PUTRI. Penentuan Path Terpendek dengan Algoritme Dekomposisi Jarvis-Tufekci. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan PRAPTO TRI SUPRIYO. Salah satu masalah arus dalam suatu network adalah penentuan path terpendek. Masalah path terpendek ini merupakan masalah pengoptimuman, karena dengan diperolehnya path terpendek diharapkan dapat mengoptimumkan faktor yang lain (misalkan: waktu dan biaya). Secara umum, masalah path terpendek dalam suatu network ini terbagi menjadi tipe, yakni menentukan () path terpendek antara suatu simpul dan simpul lainnya, () path terpendek antara suatu simpul dengan semua simpul lainnya, dan () path terpendek antara semua pasang simpul yang terdapat pada network tersebut. Salah satu algoritme yang dapat digunakan untuk menentukan path terpendek tipe () yakni path terpendek antara suatu simpul dan simpul lainnya adalah algoritme dekomposisi Jarvis- Tufekci. Dalam karya ilmiah ini kedua simpul tersebut masing-masing adalah simpul source (sumber) dan sink (tujuan). Tahapan yang dilakukan dalam algoritme ini adalah mendekomposisi suatu network yang diberikan menjadi beberapa buah subnetwork yang bertindih secara linear (linearly overlapping). Lima tahap utama akan dilakukan dalam menyelesaikan masalah path terpendek dengan algoritme dekomposisi Jarvis-Tufekci ini. Berdasarkan seluruh tahapan algoritme dekomposisi Jarvis-Tufekci ini juga akan dilakukan penghitungan kompleksitasnya.

3 PENENTUAN PATH TERPENDEK DENGAN ALGORITME DEKOMPOSISI JARVIS-TUFEKCI Oleh: DWI ADE RACHMA PUTRI G00000 Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 007

4 Judul Skripsi Nama NIM : Penentuan Path Terpendek dengan Algoritme Dekomposisi Jarvis-Tufekci : Dwi Ade Rachma Putri : G00000 Menyetujui: Pembimbing I, Pembimbing II, Dra. Farida Hanum, M.Si. NIP Drs. Prapto Tri Supriyo, M. Kom. NIP Mengetahui: Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Prof.Dr.Ir. Yonny Koesmaryono, MS. NIP Tanggal Lulus :

5 PRAKATA Alhamdulillaahirabbil aalamin, Puji dan Syukur khadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-nya penulis dapat menyelesaikan penulisan karya ilmiah ini. Pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:. Dra. Farida Hanum, M.Si., dan Drs. Prapto Tri Supriyo, M. Kom. selaku dosen pembimbing yang telah banyak membantu, membimbing, memberi saran, kritik, serta kepercayaan dan kesabarannya selama penulis menyelesaikan tugas akhir ini.. Drs. Siswandi, M. Si. selaku dosen penguji, terima kasih.. Bapak, Mamah, Mbak Ria, Mas Yudi, Atin, Sitta, Athaya, Mas Iwan, dan seluruh keluarga atas do a, dukungan, kasih sayang dan kesabarannya.. Mas Deni, Ibu Susi, Ibu Ade, Mas Yono, seluruh dosen dan staf Departemen Matematika IPB.. Nina, Ida, Nia, Echi, Ribut, Choi, Mbak Nine, dan semua teman 7 yang masih selalu memberikan semangat dukungan, dan persahabatan. 6. Lilis, Sri, Marlin, Indah, Hikmah, Desi, adik-adik angkatan terima kasih atas bantuannya. 7. Seluruh staf dan pengajar Bimbingan Belajar dan Les Privat Bina Ilmu Plus Depok. Bogor, Januari 007 Dwi Ade Rachma Putri

6 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal Juli 98 dan merupakan putri kedua dari empat bersaudara pasangan bapak Aris Sunaryo dan ibu Dyah Septi Sumarsiasih. Pada tahun 000 penulis menyelesaikan pendidikan di Sekolah Menengah Umum Negeri I Bogor. Pada tahun yang sama, penulis diterima di Institut Pertanian Bogor, Departemen Matematika melalui jalur Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri (UMPTN). Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah menjadi pengajar di Bimbingan Belajar dan Les Privat Bina Ilmu Plus Depok. vi

7 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR... vii PENDAHULUAN Latar Belakang... Tujuan... LANDASAN TEORI Graf... Network... Kompleksitas Algoritme... 9 Algoritme Dekomposisi Hu... 9 PEMBAHASAN Dekomposisi Network... 0 Contoh penerapan algoritme dekomposisi Jarvis-Tufekci untuk menentukan path terpendek... Penghitungan Kompleksitas Algoritme Dekomposisi Jarvis-Tufekci... 8 SIMPULAN... 0 DAFTAR PUSTAKA... vii

8 DAFTAR GAMBAR Halaman Graf dengan simpul dan sisi... G subgraf dari G... Graf dengan komponen... Digraf... (a) Walk adalah contoh walk berarah... (b) Walk adalah contoh walk tidak berarah... 6 Path... 7 Contoh subpath... 8 (a) Cycle adalah cycle berarah... (b) Cycle adalah cycle tidak berarah... 9 (a) Digraf terhubung... (b) Digraf takterhubung... 0 Digraf terboboti... Digraf yang mengandung cycle... Network... Contoh network yang longgar... 6 (a) Network dengan cut set... 6 (b) Network takterhubung setelah cut set dihilangkan... 6 Contoh minimal cut set pada suatu network Contoh path dengan simpul Contoh path dengan simpul Ilustrasi m buah subnetwork yang bertindih secara linear (linearly overlapping) Contoh network dengan buah subnetwork Network yang telah terdekomposisi... 8 Ilustrasi hasil akhir tahap dekomposisi pada suatu network menjadi m buah subnetwork yang bertindih secara linear... Contoh network N yang terbentuk... Contoh path dalam network terdekomposisi... Network yang akan didekomposisi... Subnetwork N... 6 Subnetwork N Subnetwork N Network N yang terbentuk... 8

9 PENDAHULUAN Latar Belakang Salah satu masalah arus dalam suatu network adalah penentuan path terpendek. Masalah path terpendek ini merupakan masalah pengoptimuman, karena dengan diperolehnya path terpendek diharapkan dapat mengoptimumkan faktor yang lain (misalkan: waktu dan biaya). Secara umum, masalah path terpendek dalam suatu network ini terbagi menjadi tipe, yakni: () path terpendek antara suatu simpul dan simpul lainnya, () path terpendek antara suatu simpul dengan semua simpul lainnya, dan () path terpendek antara semua pasang simpul yang terdapat pada network tersebut. Pada karya ilmiah ini, yang menjadi masalah utama adalah masalah tipe (), yaitu mencari path terpendek antara suatu simpul, yaitu source dan suatu simpul lainnya, yaitu sink. Terdapat beberapa algoritme yang dapat digunakan untuk mencari path terpendek, salah satunya adalah algoritme dekomposisi. Algoritme dekomposisi dibahas di dalam [Hu, 98], [Yen, 968], dan [Shier et al., 97]. Namun, tiap prosedur yang diperkenalkan memiliki keuntungan yang berbeda. Prosedur yang diperkenalkan oleh Hu akan tepat bila diaplikasikan pada network yang memiliki struktur linear. Prosedur yang diperkenalkan oleh Shier akan tepat bila diaplikasikan pada network dengan struktur tree. Ada pula prosedur yang akan tepat bila diaplikasikan pada network berbentuk star, yaitu algoritme dekomposisi yang diperkenalkan oleh Land dan Stairs [Land & Stairs, 967]. Dalam karya ilmiah yang merupakan rekonstruksi dari tulisan Jarvis dan Tufekci [Jarvis & Tufekci, 98] ini, algoritme yang banyak diterapkan adalah algoritme dekomposisi yang diperkenalkan oleh Hu [Hu, 98]. Dalam karya ilmiah ini juga dilakukan penghitungan kompleksitas dari algoritme dekomposisi yang digunakan. Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah mempelajari penyelesaian masalah path terpendek antara simpul source (s) dan sink (t) dalam sebuah network dengan menggunakan Algoritme Dekomposisi Jarvis-Tufekci. LANDASAN TEORI Dalam mencari path terpendek antara source (s) dan sink (t) dalam sebuah network dengan algoritme dekomposisi, diperlukan beberapa konsep sebagai berikut: Graf Definisi (Graf) Suatu graf adalah pasangan terurut (V,E) dengan V adalah himpunan berhingga dan takkosong dari elemen-elemen graf, yang disebut simpul (node, verteks), dan E adalah himpunan pasangan takterurut dari simpulsimpul di V. Setiap {p,q} E (dengan p,q V) disebut sisi (edge) dan dikatakan menghubungkan simpul p dan simpul q. Sisi {p,q} dapat pula dituliskan dengan pq. (Foulds, 99) G: e v v e e e v v e Gambar. Graf dengan simpul dan sisi.

10 Graf G pada Gambar mempunyai himpunan simpul V={v, v, v, v } dan himpunan sisi E={e, e, e, e, e }. G: Definisi (Incident) Misalkan diberikan graf G=(V,E). Jika sisi e={p,q} E, maka simpul p dan q masingmasing dikatakan incident dengan sisi e. Dapat pula dikatakan bahwa sisi e incident dengan simpul p dan q. (Foulds, 99) Berdasarkan graf pada Gambar, maka e incident dengan simpul v dan v, e incident dengan simpul v dan v, e incident dengan simpul v dan v, dan seterusnya. Definisi (Subgraf) Suatu graf G =(V,E ) adalah suatu subgraf dari G=(V,E) jika V V dan E E. G: 6 (Ahuja et al., 99) Gambar. Graf dengan komponen. Graf G pada Gambar memiliki buah komponen, yaitu komponen yang mengandung himpunan simpul {,,,} dan yang mengandung himpunan simpul {,6}. Definisi (Digraf) Suatu graf berarah/digraf (directed graph) D adalah pasangan terurut (V,A) dengan V adalah himpunan takkosong dan hingga, dan A adalah himpunan pasangan terurut elemenelemen di V. Elemen dari A biasa disebut sisi berarah (arc). Jika (u,v) (seringkali dituliskan dengan uv) adalah suatu sisi berarah pada digraf, maka u dikatakan predecessor dari v, dan v adalah suatu successor dari u. (Foulds, 99) D: 6 G : 6 Gambar. G subgraf dari G. Gambar. Digraf. Untuk digraf pada Gambar, V={,,,,} dan A={(,), (,), (,), (,), (,), (,), (,)}. Pada sisi berarah (,), maka simpul adalah predecessor bagi simpul, dan simpul adalah successor bagi simpul. Hal yang sama berlaku bagi sisi berarah lainnya. Definisi (Komponen) Suatu subgraf maksimum yang terhubungkan dari graf G disebut komponen dari G. (Foulds, 99) Definisi 6 (Walk) Suatu walk pada suatu digraf D=(V,A) adalah suatu subgraf dari D=(V,A) yang berupa suatu barisan dari simpul dan sisi berarah i a i a i r a r i r dan untuk semua k r berlaku a k =(i k, i k+ ) A atau dapat ditulis a k =(i k+, i k ) A.

11 Dapat pula dikatakan bahwa walk adalah suatu himpunan (barisan) dari sisi berarah atau simpul-simpul. Walk dapat dibedakan menjadi, yakni: a) Walk berarah yaitu suatu walk yang memiliki satu arah, sehingga untuk sembarang buah simpul i k dan i k+ yang berurutan pada walk tersebut, (i k, i k+ ) A. b) Walk tidak berarah yaitu suatu walk yang tidak memenuhi definisi walk berarah. (Ahuja et al., 99) Definisi 8 (Subpath) Suatu subpath dari path v 0 v v... v k adalah barisan simpul v i v i+... v j yang terdapat dalam path tersebut sedemikian sehingga 0 i j k. (Cormen et al., 990) Dengan menggunakan path pada Gambar 6 dapat diperoleh contoh subpath, yakni: Gambar (a). Walk adalah contoh walk berarah. Gambar (b). Walk adalah contoh walk tidak berarah. Definisi 7 (Path) Suatu path dalam suatu digraf adalah suatu walk dengan semua simpulnya berbeda (tidak ada yang berulang). Berdasarkan definisi walk, maka path dapat pula dibedakan menjadi, yakni path berarah dan path tidak berarah. (Ahuja et al., 99) Gambar 7. Contoh subpath. Definisi 9 (Cycle) Suatu cycle adalah suatu path i i... i r dan mengandung (i, i r ) atau (i r,i ), atau dapat dituliskan sebagai i i... i r i. Suatu cycle dapat pula didefinisikan sebagai path yang tertutup. Berdasarkan definisi path, maka cycle dapat dibedakan menjadi, yakni: ) Cycle berarah yaitu path berarah i i... i r dan mengandung sisi berarah (i r,i ). ) Cycle tidak berarah yaitu path tidak berarah i i... i r dan mengandung sisi berarah (i r,i ). (Ahuja et al., 99) Gambar 8(a). Cycle adalah cycle berarah. Gambar 6. Path. Path pada Gambar 6 merupakan contoh path yang dimiliki oleh digraf pada Gambar. Path ini merupakan contoh path berarah. Gambar 8(b) Cycle adalah cycle tidak berarah.

12 Definisi 0 (Digraf Terhubungkan) Suatu digraf D=(V,A) dikatakan terhubungkan (connected), jika terdapat paling sedikit satu buah path yang menghubungkan setiap pasang simpul pada digraf tersebut. Jika tidak, maka digraf tersebut dikatakan takterhubung. (Foulds, 99) Gambar 9(a). Digraf terhubung. Gambar 9(b). Digraf takterhubung. Definisi (Graf terboboti) Suatu graf G=(V,E) atau digraf D=(V,A) dikatakan terboboti jika terdapat fungsi d:e R atau d:a R (dengan R adalah himpunan bilangan real) yang memetakan setiap bilangan real (yang disebut bobot) untuk setiap sisi di E (atau A). Setiap bobot d(uv) dengan uv E (atau uv A) biasa dituliskan dengan d uv. (Foulds, 99) Gambar 0. Digraf terboboti. Definisi (Panjang sisi berarah) Misalkan diberikan suatu digraf terboboti dengan fungsi yang memetakan tiap sisi berarah dengan suatu bilangan real. Maka, bobot ini dapat pula dikatakan sebagai panjang sisi berarah. Panjang sisi berarah yang menghubungkan simpul u dengan v dinotasikan dengan d uv =d(u,v), dan didefinisikan pula bahwa d(u,u)=0, dan d(u,v)= (takhingga) jika tidak ada sisi berarah yang menghubungkan simpul u dan v tersebut. (Cormen et al., 990) Bardasarkan digraf terboboti pada Gambar 0, maka dapat diperoleh: d(,)=0 d(,)= d(,)= d(,)= d(,)= d(,)=0 d(,)= d(,)= d(,)=0 d(,)=0. Definisi (Panjang path) Misalkan diberikan path p, v 0 v v... v k. Panjang path p adalah jumlah semua panjang sisi berarah yang terdapat pada path tersebut, atau dapat dituliskan sebagai: k 0, vk ) = d( vi, vi ) i= d( p) = d( v. (Cormen et al., 990) Pada Gambar 0, terdapat beberapa path. Berikut ini panjang path-path yang menghubungkan simpul dan simpul pada digraf pada Gambar 0 tersebut: Panjang path =d(,) =d(,)+d(,) =+ =6 Panjang path =d(,) =d(,)+d(,) =+ = Panjang path =d(,) =d(,)+d(,)+d(,) =++ =. Definisi (Path terpendek) Path u v dikatakan sebagai path terpendek jika path yang menghubungkan simpul u dan simpul v tersebut memiliki panjang minimum di antara path-path u v lainnya. (Hu, 98) Berdasarkan digraf terboboti pada Gambar 0, dan panjang path-path yang menghubungkan simpul dan pada Ilustrasi Definisi, maka dapat ditentukan path terpendek yang menghubungkan simpul dan adalah path

13 , karena memiliki panjang minimum di antara path-path lainnya, yaitu. Dalam karya ilmiah ini, definisi panjang dapat pula diartikan sebagai jarak. Definisi (Matriks jarak) Misalkan D=(V,A) adalah suatu digraf dengan V = { v, v,..., v n} dan A = { a, a,..., a }. m Matriks jarak M didefinisikan dengan M=(m ij ) dengan m ij =d(v i,v j ). (Chartrand & Oellermann, 99) Dengan menggunakan digraf terboboti pada Gambar 0, maka dapat diperoleh matriks jarak dari digraf tersebut, yakni sebagai berikut: M = Definisi 6 (Panjang cycle) Misalkan diberikan suatu cycle berarah c, yaitu v 0 v v... v k dengan v 0 = v k. Panjang cycle berarah c adalah jumlah panjang seluruh sisi berarah yang terdapat pada cycle tersebut, atau dapat dituliskan sebagai: k d( c) = [ d( v, v ) d( v, v )]. i= i i i i Panjang cycle dapat dibedakan sebagai berikut: Panjang cycle dikatakan negatif jika d(c)< 0 Panjang cycle dikatakan taknegatif jika d(c) 0 Panjang cycle dikatakan positif jika d(c) >0. (Ahuja et al., 99) Berdasarkan Gambar, cycle merupakan cycle negatif karena memiliki panjang cycle: d(c) = d(,) + d(,) + d(,) = ( ) + +8 = < 0. Sedangkan cycle merupakan cycle taknegatif (dapat pula dikatakan positif), karena memiliki panjang cycle: d(c) = d(,) + d(,) + d(,) = ( 0) = 0. Network Definisi 7 Kasus khusus digraf terboboti adalah network (jaringan kerja). Beberapa konsep pada network adalah sebagai berikut:. Jika a = (v i,v j ) adalah suatu sisi berarah pada digraf D=(V,A), maka a dikatakan sebagai sisi berarah yang menjauhi v i dan mendekati v j.. Suatu simpul sehingga tidak ada sisi berarah yang mendekati dirinya disebut dengan sumber (source), sedangkan suatu simpul sehingga tidak ada sisi berarah yang menjauhi dirinya disebut dengan sink. Suatu network adalah suatu digraf yang mempunyai tepat satu source dan tepat satu sink. Pada banyak aplikasi network, paling sedikit terdapat satu aliran/flow yang bergerak dari source ke sink. Flow pada network merupakan bobot pada digraf. (Foulds, 99) s t 0 8 Gambar. Network. Gambar. Digraf yang mengandung cycle. Definisi 8 (Kerapatan network) Kerapatan suatu network adalah perbandingan banyaknya sisi berarah sebenarnya pada network dengan banyaknya sisi berarah

14 maksimum yang mungkin terdapat pada network tersebut. Jika suatu network N = (V,A) terdiri atas n buah simpul dan n(n ) buah sisi berarah, maka network seperti itu dikatakan memiliki kerapatan sebesar 00%. Namun, jika suatu network memiliki nilai kerapatan yang lebih kecil dari 0,0 maka network tersebut dikatakan longgar. (Jarvis & Tufekci, 98) N: a a a 6 s Gambar. Contoh network yang longgar. Network N pada Gambar memiliki n=7 buah simpul yaitu {s,,,,,,t}, dan 7 buah sisi berarah yaitu {a,a,a,a,a,a 6,a 7 ). Banyaknya sisi berarah maksimum yang mungkin terdapat pada network tersebut adalah n(n )=7(7 ) = buah sisi berarah. Maka, kerapatan network tersebut adalah 7 0,7 =. Nilai kerapatan yang kurang dari 0,0 tersebut menunjukkan bahwa network tersebut merupakan network yang longgar. Definisi 9 (Cut set) Misalkan diberikan suatu network terhubung N=(V,A) dan misalkan B dan X merupakan himpunan bagian dari V dengan X B. Himpunan X dikatakan sebagai cut set dari B jika memenuhi kondisi-kondisi berikut: (a) Jika X dan semua sisi berarah yang incident dengan X dihilangkan, maka network N=(V,A) tersebut menjadi takterhubung, (b) Semua simpul pada B berada pada satu komponen yang sama dan tidak terdapat simpul lain yang bukan anggota B pada komponen ini. (Hu & Torres, 969) a a a a7 t N: s t Gambar (a). Network dengan cut set. s 8 t Gambar (b). Network takterhubung setelah cut set dihilangkan. Pada network N pada Gambar (a), himpunan simpul X ={,,,,6,7} merupakan cut set dari himpunan simpul {s,}, atau cut set dari himpunan simpul {8,t}. Sedangkan Gambar (b) menunjukkan network tersebut menjadi takterhubung, jika himpunan simpul yang merupakan cut set tersebut dihilangkan. Definisi 0 (Minimal cut set) Misalkan X adalah cut set dari N. Maka, X dikatakan sebagai minimal cut set jika tidak terdapat himpunan bagian sejati dari X yang juga merupakan cut set. (Hu & Torres, 969) X 6

15 s X X d i k min {d ik, d ij + d jk } = min {6,+} = min {6,} = d i k. Secara umum, operasi tripel dapat digunakan untuk lebih dari simpul. Gambar 7. Contoh path dengan simpul t Gambar. Contoh minimal cut set pada suatu network. Berdasarkan Gambar, terlihat bahwa X ={,} dan X ={6,7} adalah minimal cut set pada network tersebut. Berbeda halnya dengan cut set pada Gambar (a) yang tidak dapat dikatakan sebagai minimal cut set karena masih memiliki himpunan bagian sejati yang juga merupakan cut set. Definisi (Operasi tripel) Misalkan d ij menyatakan panjang/jarak antara simpul i dan simpul j pada digraf D. Maka, didefinisikan operasi tripel sebagai berikut: d ik min {d ik, d ij + d jk } untuk i j k dengan lambang menyatakan digantikan oleh. (Hu, 98) i 6 Gambar 6. Contoh path dengan simpul. Untuk menentukan jarak terpendek antara simpul i dan k pada Gambar 6, maka dilakukan operasi tripel, yakni: k j Untuk menentukan jarak terpendek antara simpul dan simpul, maka dilakukan operasi tripel sebagai berikut: d min {d, d + d } d min {d, d + d } d min {d, d + d } = min {+, + } = min {+, 7} = 7 d min {d, d + d } = min {, + } = min {, } = d min {d, d + d } = min {+, + } = min {+, } = d min {d, d + d } = min {, + 7} = min {, 8} =. d. Definisi (Network terdekomposisi) Misalkan X i adalah himpunan simpul dan diketahui X i, untuk setiap i. Suatu network N=(V,A) dikatakan terdekomposisi menjadi m buah subnetwork N, N, N,..., N m yang bertindih secara linear (linearly overlapping) jika memenuhi kondisi-kondisi berikut: () X i I X j = Ø ; i j m () U N i = N i= 7

16 () N I N i j X i ; j = i = X i ; j = i+ Ø ; j ( i ),i,( i+ ). (Jarvis & Tufekci, 98) N N N N m X X X... X m Gambar 8. Ilustrasi m buah subnetwork yang bertindih secara linear (linearly overlapping). Berikut ini merupakan ilustrasi sebuah network yang terdekomposisi menjadi buah subnetwork yang bertindih secara linear (linearly overlapping). N: 7 s 6 t X X Gambar 9. Contoh network dengan buah subnetwork. Network pada Gambar 9, terdekomposisi menjadi buah subnetwork N, N, N dengan himpunan simpul di N = {s,,,,}, N = {,,,6}, dan N = {,6,7,8}, dengan X = {,} dan X = {,6}. Misalkan diberikan suatu network N=(V,A) yang terdekomposisi menjadi buah subnetwork sebagai berikut: N: Definisi (Persamaan minisumasi) Misalkan diberikan suatu network N=(V,A) yang terdekomposisi menjadi buah subnetwork N dan N, maka N=N X N dengan X adalah cut set pada network N. Misalkan pula d menyatakan jarak uv terpendek antara simpul u dan simpul v. s X t Persamaan minisumasi didefinisikan sebagai berikut: min d ik = { d ij + d jk } j dengan i N, j X, dan k N. (Hu & Torres, 969) Gambar 0. Network yang telah terdekomposisi. Network N pada Gambar 0 mempunyai buah subnetwork dengan N ={s,}, X={,}, dan N ={,t}. 8

17 Untuk mengetahui jarak terpendek dari N ke N dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan minisumasi berikut: d s = min[( d s + d ), ( d s + d )] = min [(7 + 7), ( + )] = min [, ] = d st = min[( d s + d t ), ( d s + d t )] = min [(7 + ), ( + )] = min [8, 8] = 8 d = min[( d + d ), ( d + d )] = min [(6 + 7), ( + )] = min [, ] = d t = min[( d + d t ), ( d + d t )] = min [(6 + ), ( + )] = min [7, 7] = 7. Kompleksitas Algoritme Definisi (Algoritme) Algoritme adalah suatu tahapan/prosedur untuk menyelesaikan suatu masalah. Langkah-langkah dari suatu algoritme dibedakan sebagai berikut: ) Langkah penetapan. Contoh: menetapkan beberapa nilai untuk suatu variabel. ) Langkah aritmatika/penghitungan. Contoh: penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. ) Langkah logika. Contoh: membandingkan buah bilangan. (Ahuja et al., 99) Definisi (Kompleksitas Algoritme) Fungsi kompleksitas waktu untuk suatu algoritme adalah fungsi dari ukuran masalah dan waktu yang diperlukan oleh algoritme tersebut untuk menyelesaikan masalah yang diberikan. Untuk selanjutnya, fungsi kompleksitas waktu ini disebut dengan kompleksitas algoritme. (Ahuja et al., 99) Definisi 6 ( Notasi big O ) Notasi big O adalah suatu ekspresi yang menyatakan bahwa suatu algoritme membutuhkan waktu cnm untuk beberapa konstanta c. Pernyataan ini ekuivalen dengan pernyataan bahwa algoritme tersebut membutuhkan waktu O(nm). Secara formal dapat didefinisikan sebagai berikut: Suatu algoritme dikatakan bekerja dalam waktu O(f(n)) jika untuk beberapa bilangan c dan n o, maka waktu yang diperlukan oleh algoritme tersebut paling banyak adalah cf(n) untuk semua n n o. (Ahuja et al., 99) Algoritme Dekomposisi Hu Hu adalah salah seorang tokoh yang memperkenalkan algoritme dekomposisi. Dalam karya ilmiah ini algoritme dekomposisi yang diperkenalkan oleh Hu berperan dalam penyelesaian masalah path terpendek pada suatu network yang diberikan. Misalkan diberikan suatu network N=(V,A) yang longgar dan memiliki banyak simpul yang cukup besar (berskala besar). Untuk menyelesaikan masalah path terpendek dalam network tersebut, Hu menggunakan algoritme dekomposisi. Langkah pertama pada algoritme dekomposisi Hu ini adalah mendekomposisi network N=(V,A) yang diberikan menjadi m buah subnetwork N, N, N,..., N m yang bertindih secara linear (linearly overlapping). Tahapan yang perlu dilakukan dalam mendekomposisi network N=(V,A) tersebut adalah: ) Suatu himpunan simpul yang merupakan himpunan bagian dari V ditandai sebagai N. ) Menentukan himpunan simpul yang merupakan minimal cut set dari N. ) Menandai himpunan simpul berikutnya yang merupakan cut set (tidak harus merupakan minimal cut set) dari (N X ) sebagai N. ) Menentukan himpunan simpul yang merupakan minimal cut set dari (N X N ) sebagai X. ) Hal yang sama dilakukan hingga network tersebut terdekomposisi seluruhnya menjadi m buah subnetwork N, N, N,..., N m dengan N = N U X, N = X X U N U, N = X U N U X, seterusnya hingga 9

18 N N X U N = X U N. U X m = m m m m m m,dan Jadi, N=N X N... X m N m. Misalkan didefinisikan Ni = Ni ( X i U X i ), dan misalkan M menyatakan matriks jarak N i N j dari N i ke N j, sedangkan M ij ( N k ) menyatakan matriks jarak terpendek dari N i ke N j yang terletak pada N k. Tahapan yang dilakukan dalam algoritme dekomposisi Hu adalah sebagai berikut: () Operasi tripel diaplikasikan pada m buah subnetwork N, N, N,..., N m, N m secara bertahap. Jarak terpendek yang diperoleh dari suatu subnetwork menggantikan jarak aslinya pada subnetwork berikutnya (yang akan dikenai operasi tripel), misalkan: M X ( N ) X yang diperoleh akan menggantikan jarak M sebelum XX operasi tripel dilakukan pada subnetwork N =N X N. Hal yang sama dilakukan hingga operasi tripel diaplikasikan pada subnetwork N m. Pada akhir tahap () ini diperoleh: M N ( N ) N, M ( ) N N N N U,..., M ( N U N U... U N m ), M ( N). N m N m N m N m () Operasi tripel diaplikasikan pada m buah subnetwork N m, N m..., N, N secara bertahap. Jarak yang diperoleh pada suatu subnetwork menggantikan jarak pada subnetwork selanjutnya (yang akan dikenai opersi tripel), misalkan: M ( N ) akan menggantikan jarak X m X m M X ( ) m X m N N. Pada akhir tahap () m ini dapat diperoleh: M ( N ),..., N. N m N m M N ( N ) N, M ( N ) N () Jarak terpendek antara pasangan simpul yang tidak terdapat pada subnetwork yang sama ditentukan dengan menggunakan persamaan minisumasi. (Hu & Torres, 969) PEMBAHASAN Dekomposisi Network Dalam bab ini akan diberikan beberapa asumsi yang diperlukan dan prosedur yang digunakan dalam algoritme dekomposisi Jarvis-Tufekci untuk dapat menyelesaikan masalah path terpendek antara source (s) dan sink (t) pada suatu network. Selain itu, akan diberikan pula contoh penerapan algoritme dekomposisi tersebut dalam suatu network yang diberikan. Pada akhirnya akan diuraikan penghitungan kompleksitas dari algoritme dekomposisi ini. Penentuan path terpendek antara simpul source dan sink pada suatu network berskala besar dengan menggunakan algoritme dekomposisi Jarvis-Tufekci memerlukan beberapa asumsi berikut: ) Network yang akan didekomposisi merupakan network yang longgar/tidak rapat. ) Network tersebut tidak memuat cycle yang negatif. Berikut ini adalah prosedur yang digunakan dalam algoritme dekomposisi Jarvis-Tufekci dalam menyelesaikan masalah path terpendek pada suatu network. Misalkan diberikan suatu network berskala besar yang longgar N=(V,A) dengan V={v,v,...,v n } dan A adalah himpunan sisi berarah yang terdapat pada network tersebut, dengan tiap sisi berarah yang menghubungkan simpul v i dan simpul v j memiliki panjang yang dinotasikan dengan d ij =d(v i,v j ). Misalkan network N=(V,A) yang diberikan terdekomposisi menjadi m buah subnetwork N, N, N,..., N m yang bertindih secara linear (linearly overlapping). Tahapan yang dilakukan dalam mendekomposisi network N yang diberikan tersebut tidak berbeda dengan tahapan yang dilakukan oleh algoritme Hu, sehingga pada akhir tahap diperoleh N=N X N... X m N m yang dapat pula diilustrasikan sebagai berikut: 0

19 N: N N N N m N X N X N X... X m N m Gambar. Ilustrasi hasil akhir tahap dekomposisi pada suatu network menjadi m buah subnetwork yang bertindih secara linear. Misalkan didefinisikan Ni = Ni ( X i U X i). Matriks jarak yang terbentuk pada N adalah M ( ) NN = m dengan tiap elemennya yaitu NN m menyatakan panjang path berarah yang NN menghubungkan simpul di N dengan simpul di N pula. Matriks jarak dari N ke N adalah M N ( ) N = m dengan tiap NN m N N menyatakan panjang path berarah yang menghubungkan antara simpul di N dengan simpul lainnya di N. Namun, seperti terlihat dalam ilustrasi pada Gambar, maka N i N j =, untuk i j dengan i, j =,,,...,m. Hal itu menunjukkan bahwa untuk i j, tidak ada path berarah yang menghubungkan N M N N M N X M N N M... N X simpul di N i dengan simpul di N j. Oleh sebab itu, semua elemen matriks jarak M adalah N i N j (takhingga). Matriks jarak dari N ke X adalah M N ( ) X = m dengan tiap NX m N X menyatakan panjang path berarah yang menghubungkan antara simpul di N dengan simpul di X. Hal yang sama dilakukan hingga M, sehingga pada akhirnya diperoleh N m N m matriks jarak dari seluruh subnetwork yang dapat dinyatakan dengan: M N X m M N N m M N X m M N N m X M X N M X X M X N M... X X M X X m M X N m M X X m M X N m N M N N M N X M N N M... N X M N X m M N N m M N X m M N N m X M X N M X X M X N M... X X M X X m M X N m M X X m M X N m... N m M N m N m N X N X... X m N m X m N m Berdasarkan matriks jarak dari seluruh subnetwork tersebut, maka dapat terlihat bahwa hanya matriks jarak M dengan Ni Ni i=,,...,m yang memiliki elemen hingga (finite) dan ditunjukkan oleh daerah yang diarsir, sedangkan daerah yang tidak diarsir menyatakan matriks jarak yang memiliki elemen takhingga (infinite).

20 Berikut ini adalah langkah-langkah yang dilakukan algoritme dekomposisi Jarvis- Tufekci untuk menyelesaikan masalah path terpendek. Tahap I: Langkah pertama pada algoritme dekomposisi Jarvis-Tufekci adalah menggunakan tahap pertama dari algoritme dekomposisi Hu, yakni: Operasi tripel diaplikasikan pada m buah subnetwork N, N, N,..., N m, N m secara bertahap. Jarak terpendek yang diperoleh dari suatu subnetwork menggantikan jarak aslinya pada subnetwork berikutnya (yang akan dikenai operasi tripel). Sebagai contoh, matriks jarak M X ( N ) X yang diperoleh akan menggantikan matriks jarak M X X sebelum operasi tripel dilakukan pada subnetwork N =N X N. Hal yang sama dilakukan hingga operasi tripel diaplikasikan pada subnetwork N m, sehingga pada akhir Tahap I ini diperoleh matriks-matriks jarak terpendek berikut: M N ( N ) N, M ( ) N N N N U,..., M ( N U N U... U N m ), M ( N). N m N m N m N m Tahap II: Misalkan d ij ( N k ) menyatakan jarak terpendek antara simpul i dan simpul j yang terletak pada N k. Berdasarkan matriks jarak terpendek yang diperoleh pada Tahap I, maka dapat didefinisikan matriks jarak M =(m ij ) dengan elemenelemennya sebagai berikut: m ij d sj ( N ) d ij ( N U... U N = d it ( N) k ) ; untuk ; untuk ; untuk i = s i X i X ; selainnya. ; j X k m, ; j X ; j = t k, dengan m ij adalah elemen dari matriks jarak M pada baris ke i, dan kolom ke j. Tahap III: Berdasarkan matriks jarak M, maka terbentuk network N =(V,A ) dengan V ={s} X X... X m {t} dan A merupakan himpunan sisi berarah ({s},x ), (X,X ),..., (X m,x m ), (X m,{t}), atau dapat pula didefinisikan A adalah himpunan sisi berarah ({s},x ), (X i,x j ), (X m,{t}) dengan j=i+ untuk i=,,,...,m. Namun, A tidak mengandung himpunan sisi dengan arah sebaliknya, yakni (X,{s}), (X j,x i ), (t,x m ) dengan j=i+, sehingga network N tidak akan memuat cycle berarah. Berikut ini akan diberikan contoh network N yang terbentuk: N : s t X X X X Gambar. Contoh network N yang terbentuk.

21 Pada network N pada Gambar, maka terlihat bahwa himpunan simpul X ={,,,}, X ={,6,7}, X ={8,9,0,}, dan X ={,}. Tahap IV: Berdasarkan jarak dari tiap sisi berarah pada network N, maka misalkan d ij menyatakan jarak terpendek antara simpul i dan simpul j. Misalkan pula w u menyatakan jarak terpendek simpul source ke simpul u. Penentuan jarak terpendek antara simpul source (s) dan simpul sink (t) dapat dilakukan dengan menggunakan algoritme A [Jarvis & Tufekci, 98] berikut: Algoritme A Tahap awal : w s = 0 : wi = d si ; i X k, k = Tahap utama : () Untuk k k +, jika k = m, Lanjutkan ke () min () w q = { wi + d iq } ; untuk setiap q X k, i X k lanjutkan ke () min () w t = { wi + d it } i X m selesai. Jarak terpendek dari s ke t telah diperoleh. Tahap V: Jarak terpendek antara simpul source dan sink pada network N yang diperoleh dari algoritme A pada Tahap IV merupakan panjang path terpendek P dalam network N. Path terpendek P tersebut adalah s x x... x m t, dengan x i X i, atau dapat dikatakan bahwa x i merupakan salah satu simpul pada X i. Path terpendek P dalam network N ini berpadanan dengan path terpendek sebenarnya dalam network N aslinya. Hal ini sesuai dengan teorema berikut: Teorema Jarak terpendek pada network N =(V,A ) berpadanan dengan jarak terpendek pada network sebenarnya yaitu N=(V,A). (Jarvis & Tufekci, 98) Bukti: Misalkan path P yaitu s i i... i q t, merupakan path terpendek dalam network N sebenarnya. Path P tersebut harus mengandung paling sedikit satu buah simpul dari setiap X i dengan i=,,,...,m. Misalkan path P s j j... j m t merupakan subpath dari path P sedemikian sehingga simpul j k merupakan simpul pertama pada path P yang juga merupakan anggota X k. Berikut ini merupakan contoh path dalam suatu network terdekomposisi. s t X X X X X

22 Gambar. Contoh path dalam network terdekomposisi. Berdasarkan contoh path pada Gambar, terletak pada ( N U... U N i ). Pada langkah misalkan diperoleh path P yaitu s akhir, dengan cara yang sama pula, maka t, dan jarak terpendek antara simpul j m ke simpul path P yaitu s t. sink (t) pada subnetwork N m dapat Hal yang ingin ditunjukkan adalah bahwa path P mengandung informasi yang diperlukan untuk menentukan path P dalam network N sebenarnya. ditentukan, sehingga terbentuklah path P yang termuat dalam network N. Path P s j j... j m t tersebut merupakan path terpendek pada network N. Berdasarkan Tahap I algoritme dekomposisi Hu, maka jarak terpendek antara simpul source (s) dan simpul j yang terletak pada subnetwork N dapat ditentukan. Penentuan jarak terpendek antara simpul s dan simpul j tersebut menggunakan operasi tripel pada subnetwork N. Simpul j merupakan simpul pertama pada path P yang juga merupakan anggota X, maka subpath dari path P yang menghubungkan simpul j ke simpul j akan terletak pada ( N U N ). Dengan mengganti jarak antara simpul-simpul di X sebenarnya dengan jarak terpendek yang diperolehnya pada subnetwork N, maka jarak terpendek antara simpul j ke simpul j pada ( N U N ) dapat ditentukan, yakni dengan mengaplikasikan operasi tripel pada subnetwork N. Dengan menggunakan cara yang sama, maka jarak terpendek antara simpul j i ke simpul j i pada subnetwork N i dapat ditentukan. Subpath tersebut akan Jadi, berdasarkan informasi dari path terpendek P dalam network N, maka path terpendek P dapat ditentukan. Path P merupakan subpath dari path P dalam network N sebenarnya. Oleh karena itu, dengan memadankan path terpendek P tersebut dalam network N akan diperoleh path terpendek P. Berdasarkan tahapan-tahapan algoritme dekomposisi Jarvis-Tufekci, maka seluruh tahapan tersebut dapat pula dinyatakan dengan algoritme B [Jarvis & Tufekci, 98]. Misalkan diberikan network N=(V,A) yang terdekomposisi menjadi m buah subnetwork N, N, N,..., N m yang bertindih secara linear, maka penentuan path terpendek antara simpul source dan simpul sink dapat dilakukan dengan algoritme B berikut: Algoritme B Langkah : Operasi tripel diaplikasikan pada tiap subnetwork N, N, N,..., N m secara berurutan. Jarak terpendek yang dihasilkan pada suatu subnetwork akan menggantikan jarak sebenarnya pada subnetwork berikutnya. Langkah : Network N =(V,A ) dikonstruksi seperti yang telah dijelaskan pada Tahap III algoritme dekomposisi Jarvis-Tufekci. Algoritme A digunakan pada simpulsimpul yang terdapat pada network N untuk menentukan jarak terpendek antara simpul s ke simpul t. Jarak ini akan berpadanan dengan jarak sebenarnya pada network N yang asli, sehingga path terpendek pada network N dapat ditentukan. Berdasarkan algoritme B tersebut, maka penghitungan kompleksitas dari algoritme dekomposisi Jarvis-Tufekci ini dapat dilakukan. Penghitungan kompleksitas akan dibahas pada bab selanjutnya. Pada bagian ini akan diberikan contoh penerapan algoritme dekomposisi Jarvis- Tufekci untuk menentukan path terpendek antara source (s) dan sink (t) pada suatu network N=(V,A) yang diberikan. Contoh penerapan algoritme dekomposisi Jarvis-Tufekci

23 untuk menentukan path terpendek Berikut ini diberikan contoh penyelesaian masalah path terpendek antara simpul source dan sink pada suatu network dengan menggunakan algoritme dekomposisi Jarvis- Tufekci. Misalkan diberikan suatu network N=(V,A) dengan buah simpul. Simpul pada network N merupakan source, dan simpul merupakan sink. N: d ij X X Gambar. Network yang akan didekomposisi. Misalkan: N = {,}, X = {,,}, N = {6,7,8}, X = {9,,}, dan N = {0,,, }. Tahap I: Operasi tripel diaplikasikan pada m buah subnetwork N, N, N,..., N m secara bertahap. Langkah pertama adalah operasi tripel diaplikasikan pada subnetwork N = N U X, dan matriks jarak terpendeknya ditunjukkan oleh matriks M N ). N ( N Berikut ini adalah subnetwork N dan matriks jarak terpendek yang diperoleh berdasarkan operasi tripel pada subnetwork tersebut. N : Gambar. Subnetwork N. M N N ( N) =

24 Sebelum mengaplikasikan operasi tripel pada N, maka jarak pada M pada subnetwork X X N diganti dengan M X ( N ) X. Berikut ini adalah matriks jarak M XX 0 = 0 0 M : X X yang akan digantikan oleh jarak pada matriks jarak M X X ( N ) berikut: M 0 ( ) = 0 0 N, X X sehingga diperoleh subnetwork N berikut, N : Gambar 6. Subnetwork N. Dengan mengaplikasikan operasi tripel pada subnetwork N pada Gambar, maka dapat diperoleh matriks jarak terpendek M N ( N N ) N U berikut: M ( N N ) = N N U Sebelum mengaplikasikan operasi tripel pada subnetwork N, maka jarak pada M X X diganti terlebih dahulu dengan M X X ( N U N ). Berikut ini adalah matriks jarak M : X X M X = 0 X 0 yang akan digantikan oleh jarak pada matriks jarak M X ( N N ) X U berikut: 9 6

25 9 0 9 M X ( ) = 0 X N U N, 8 0 sehingga diperoleh subnetwork N berikut, N : Gambar 7. Subnetwork N. Dengan mengaplikasikan operasi tripel pada subnetwork N pada Gambar 7, maka dapat diperoleh matriks jarak berikut: M NN ( N ) terpendek M ( N) = N N Tahap II: Berdasarkan matriks-matriks jarak terpendek yang telah diperoleh dari Tahap I, maka dapat terbentuk matriks jarak M =(m ij ) yang telah didefinisikan sebelumnya. Setelah diperoleh matriks jarak terpendek dari seluruh subnetwork, yakni M ( N ), M N N NN( U ), dan M NN NN ( N ), maka dapat diperoleh matriks jarak M sebagai berikut: 9 7

26 0 M ' = Tahap III: Berdasarkan matriks jarak M, maka terbentuk network N. Berikut ini akan diberikan ilustrasi network N yang terbentuk berdasarkan matriks jarak M pada Tahap II Gambar 8. Network N yang terbentuk. Tahap IV: Berdasarkan jarak dari tiap sisi berarah pada network N yang dihasilkan pada Tahap III, maka jarak terpendek antara simpul source dan sink dapat ditentukan, yakni dengan menggunakan algoritme A. Berdasarkan jarak dari tiap sisi berarah pada network N pada Gambar 7, maka path terpendek antara simpul sebagai source dan simpul sebagai sink pada network N dapat ditentukan dengan menggunakan algoritme A. Berikut ini adalah penerapan algoritme A untuk menentukan path terpendek pada network N tersebut: Algoritme A Langkah : Dari baris pada matriks jarak terpendek M ( N ), simpul yang berhubungan NN dengan simpul (dan juga terdapat pada network N ) adalah simpul,, dan simpul, sehingga diperoleh, w =, w =, w = 00 Langkah : Dari baris pada M ( N N N ) N U yang berhubungan dengan simpul,, dan (dan juga terdapat pada network N ) adalah simpul 9,, dan, sehingga diperoleh: w 9 = min { + 0, + +, 00 }= w = min {, +, 00 }= + w = min { + 9, + +, 00 }= 6 Langkah : Dari baris pada M ( N ) yang berhubungan dengan simpul 9,, dan (dan NN juga terdapat pada network N ) adalah simpul, sehingga diperoleh: w = min { +9, + +6, 6+}= 6. 8

27 Berdasarkan algoritme A yang telah dilakukan, maka diperoleh path terpendek P pada network N yakni path 9, dengan panjang path 6. Tahap V: Memadankan path terpendek P dalam network N dengan path dalam network N sebenarnya, sehingga path terpendek P sebenarnya dapat ditentukan. Bila path P dipadankan dengan network N sebenarnya, maka diperoleh path P terpendek yang sebenarnya yakni path PENGHITUNGAN KOMPLEKSITAS ALGORITME DEKOMPOSISI JARVIS-TUFEKCI Dengan menganggap bahwa suatu network N=(V,A) dengan n buah simpul tersebut didekomposisi menjadi m buah subnetwork N, N, N,..., N m yang bertindih secara linear (linearly overlapping) seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, maka tanpa menghilangkan sifat keumuman, diasumsikan bahwa: N =N =...=N m =u dan X = X =...= X m = v, sehingga n = mu + (m )v. Berdasarkan uraian yang telah dijelaskan sebelumnya, diketahui bahwa untuk mendapatkan jarak terpendek antara semua pasang simpul pada network yang memiliki n buah simpul, dibutuhkan n(n )(n ) aplikasi operasi tripel. Berdasarkan persamaan operasi tripel, setiap penggunaan operasi tripel tersebut, mengandung satu kali operasi penjumlahan dan satu kali operasi pembandingan untuk setiap i dan j, dan berlaku bagi k yang tetap, dengan i j k. Untuk dapat menentukan path terpendek dari network tersebut diperlukan n(n )(n ) =O(n ) operasi penjumlahan dan perbandingan, sehingga dapat dikatakan bahwa diperlukan sebanyak n =n.n.n aplikasi penjumlahan dan pembandingan dari operasi tripel tersebut. Banyaknya seluruh operasi penjumlahan dan pembandingan yang dilakukan dapat terlihat dari algoritme B, yakni sebagai berikut: Langkah : Pada N : Terdapat N + X = u+ v buah simpul, dan dengan menggunakan operasi tripel diperlukan (u+v) operasi penjumlahan dan pembandingan. Pada N : Terdapat X + N + X = v+u+v = u+v buah simpul, dan dengan menggunakan operasi tripel diperlukan (u+v) operasi penjumlahan dan pembandingan. Sebanyak (u+v) operasi penjumlahan dan pembandingan juga diperlukan pada setiap N k dengan k =,,...,m. Sehingga dapat disimpulkan bahwa: Pada N k : Terdapat X k + N k + X k =v+u+v = u+v buah simpul dan dengan menggunakan operasi tripel, maka untuk seluruh subnetwork N k dengan k =,,...,m diperlukan sebanyak (m )(u+v) operasi penjumlahan dan pembandingan. Pada N m : Terdapat X m + N m = v+u = v+u buah simpul, dan dengan menggunakan operasi tripel diperlukan sebanyak (u+v) operasi penjumlahan dan pembandingan. Langkah : Dengan menggunakan algoritme A, maka path terpendek antara source (s) dan sink (t) pada N dapat diperoleh dengan cara: i) Pada setiap eksekusi yang terjadi pada tahap utama algoritme A, diperlukan sebanyak v operasi penjumlahan dan pembandingan. Tahap utama ini dilakukan sebanyak (m ) kali, karena yang ingin ditentukan adalah: min w q = { wi + d iq } ; untuk setiap i X k q X k dengan k=,,,m, sehingga 9

28 pada tahap ini diperlukan (m )v operasi penjumlahan dan pembandingan. ii) Pada eksekusi yang dilakukan pada tahap terakhir, yakni menentukan w t, hanya diperlukan sebanyak v operasi penjumlahan dan pembandingan. Hal ini dikarenakan, untuk menentukan w t bergantung hanya pada X m = v. Jadi, jumlah operasi penjumlahan dan pembandingan yang diperoleh dengan algoritme B tersebut dapat ditentukan. Langkah : (u+v) +(m )(u+v) +(u+v) Langkah : (m )v + v Dapat disimpulkan bahwa seluruh penjumlahan dan pembandingan yang diperlukan dalam algoritme B adalah sebanyak: mu +(6m 6)u v+(m 8)uv +(8m+)v + (m )v +v. Berikut ini akan diberikan suatu tabel yang menunjukkan pembandingan kompleksitas antara algoritme dekomposisi Hu, Yen, dan algoritme yang diuraikan oleh Jarvis-Tufekci dalam karya ilmiah ini [Jarvis & Tufekci, 98]. Tabel. Perbandingan penghitungan kompleksitas. Algoritme dekomposisi Penghitungan kompleksitas saat u v Penghitungan kompleksitas saat u = v Hu (m )u + (m +m )u v (m +m 7)u + (m +8m )uv + (m +m )v Yen mu + (m +6m 7)u v + (m +0m 0)uv (m +m )u + (m +6m )v Jarvis-Tufekci mu + (6m 6)u v + (m 8)uv + (8m )v + (m )v + v (7m 8)u + (m )u + u Selain telah diberikan buah kompleksitas algoritme dekomposisi lainnya (pada Tabel ) sebagai pembandingan, maka akan diberikan pula kompleksitas dari suatu algoritme lain yang juga dapat digunakan untuk menentukan path terpendek antara source dan sink dalam suatu network. Algoritme tersebut adalah algoritme generic preflow-push yang dalam penghitungannya memerlukan operasi sebanyak n + n + n m = O(n m). [Ahuja et al., 99] Berikut ini diberikan contoh penghitungan banyaknya operasi yang diperlukan oleh algoritme dekomposisi Jarvis-Tufekci dan algoritme generic preflow-push dalam menentukan path terpendek antara source dan sink pada network yang diberikan pada Gambar. Algoritme dekomposisi Jarvis-Tufekci: Diketahui bahwa u =, v =, dan m =. Oleh karena u = v =, maka banyaknya operasi yang diperlukan adalah (7m 8)u + (m )u + u = (7. 8) + ( ) + = (8 8) = + =. Algoritme generic preflow-push: Misalkan n menyatakan banyaknya simpul dan m menyatakan banyaknya sisi berarah pada network tersebut, maka dapat diketahui n =, dan m = 0. Banyaknya operasi yang diperlukan adalah n + n + n m = n + n m = = = = 76. Berdasarkan penghitungan kompleksitas kedua algoritme tersebut, maka terlihat bahwa dalam menentukan path terpendek antara source dan sink dalam network yang diberikan pada Gambar akan lebih efisien jika menggunakan algoritme dekomposisi Jarvis- Tufekci. Hal itu dikarenakan banyaknya operasi yang diperlukan oleh algoritme dekomposisi Jarvis-Tufekci lebih sedikit daripada yang diperlukan oleh algoritme generic preflow-push. Jika dilakukan pembandingan antara algoritme dekomposisi Yen dengan algoritme 0

29 dekomposisi Jarvis-Tufekci, maka diperoleh pembandingan sebagai berikut: (m + m u ) u m +. (7m 8) u 7 SIMPULAN Dalam menyelesaikan masalah path terpendek pada suatu network, salah satu algoritme yang dapat digunakan adalah algoritme dekomposisi. Dalam karya ilmiah ini, penentuan path terpendek antara simpul source (s) dan sink (t) menggunakan algoritme dekomposisi Jarvis- Tufekci. Path terpendek diperoleh dengan memadankan path terpendek yang diperoleh pada network N yang terbentuk dengan path terpendek pada network N aslinya. Kompleksitas algoritme dekomposisi Jarvis- Tufekci saat u v adalah mu + (6m 6)u v + (m 8)uv + (8m )v + (m )v + v, sedangkan saat u = v adalah (7m 8)u + (m )u + u. Berdasarkan Tabel, dapat terlihat bahwa tingkat efisiensi dari algoritme dekomposisi Jarvis-Tufekci yang diuraikan dalam karya ilmiah ini berbanding lurus dengan banyaknya subnetwork (m) yang terbentuk setelah suatu network didekomposisi. DAFTAR PUSTAKA Ahuja, R. K., T. L. Magnanti, J. B. Orlin, 99. Network Flow: Theory, Algorithms, and Applications. Prentice- Hall, New Jersey. Chartrand, G. & O. R. Oellermann. 99. Applied and Algorithmic Graph Theory. McGraw-Hill, Inc. New York. Cormen, H.C., C. E. Leisserson, R. L. Rivest Introduction to Algorithms. McGraw-Hill, New York. Foulds, L. R. 99. Graph Theory Applications. Springer-Verlag, New York. Hu, T. C. 98. Combinatorial Algorithms. Addison-Wesley, California. Hu, T. C. & W. T. Torres Shortcut in the decomposition algorithm for shortest paths in a network. IBM. J. Res. Develop (): Jarvis, J. J. & S. Tufekci. 98. A decomposition algorithm for locating a shortest path between two nodes in a network. Networks :6 7. Land, A. H. & S. W. Stairs The extension of the cascade algorithm to large graphs. Manag. Sci. :9. Tufekci, S. 98. Decomposition algorithms for finding the shortest path between a source node and a sink node of a network. Naval Research Logistics Quarterly 0: Yen, J. Y On Hu s algorithm for shortest paths in a network. Oper. Res 6:9 0.

30