BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN Pada bab 1 ini akan dibahas definisi kode, khususnya kode linier atas dan pencacah bobot Hammingnya. Di samping itu, akan dijelaskanan invarian, ring invarian dan strukturnya. 2.1. Teori Koding Teori koding adalah ilmu yang mempelajari metode transmisi data melalui saluran komunikasi yang tidak bebas gangguan secara efisien dan akurat. Teori ini berkembang pesat terutama dalam penerapan sistem telekomunikasi. Perhatikan diagram sistem transmisi informasi pada gambar 1. Gangguan pada saluran informasi dapat menyebabkan pesan yang diterima tidak sama dengan pesan yang dikirim. Akan tetapi, jika digunakan kode yang dapat mendeteksi bahkan mengoreksi kesalahan, pesan dapat terkirim lebih efisien dan akurat. Gambar 1.. Diagram sistem transmisi informasi secara umum. 4
Kode atas Misalkan suatu himpunan hingga. Maka adalah himpunan semua pasangan terurut (-tuple) elemen atau himpunan vektor yang setiap koordinatnya adalah elemen, =,,,, = 1,,. dikatakan kode atas dengan panjang jika adalah subhimpunan tak kosong dari. Anggota atau elemen dari kode disebut katakode. Kode linier atas Misalkan suatu lapangan hingga dengan elemen, =, suatu bilangan prima dan bilangan bulat positif. suatu kode linier [, ] atas merupakan subruang berdimensi dari. Misalkan,. Hasil kali dalam antara vektor dan (ditulis ) didefinisikan sebagai = di. Jika = 0 di, dan dikatakan (saling) ortogonal. Kode dual (dinotasikan ) dari kode didefinisikan sebagai = = 0 di, untuk setiap. Kode ini merupakan kode linier [, ] atas atau subruang berdimensi dari. Jika =, maka kode dikatakan kode swa-dual dan merupakan subruang berdimensi /2 dari. Eksistensi kode swa-dual atas ditentukan lemma berikut. 5
Lemma 2.1.1 (Pless, 1968) Misalkan 1 4, kode swa-dual atas panjang ada genap. Misalkan 3 4, kode swa-dual atas panjang ada habis dibagi empat. Bobot, Distribusi Bobot, dan Pencacah Bobot Hamming Misalkan =,,,, bobot Hamming dari, adalah banyaknya koordinat yang tak nol pada vektor. Contoh : 101 = 2, 102023 = 4. Distribusi bobot Hamming yaitu banyaknya katakode yang memiliki bobot Hamming atau ditulis =. Pencacah bobot Hamming dari suatu kode adalah sukubanyak, = = Contoh : kode = 00, 11 memiliki, = +. kode swa-dual linier [8,4] atas dengan bobot terkecil dari setiap katakode tak nol adalah 4, memuat kata-katakode 11000101 00000000 11101000 01110100 00111010 10011100 10100110 11010010 11111111 00010111 10001011 01100011 10110001 01011001 00101101 01001110 6
Kode ini memiliki pencacah bobot Hamming, = + 14 +. Dari persamaan ini dapat kita ketahui informasi distribusi bobot katakodenya. Hubungan antara pencacah bobot Hamming kode dual dan pencacah bobot Hamming kodenya disebut identitas MacWilliams, yang ditunjukkan dalam teorema berikut. Teorema 2.1.2 (MacWilliams, 1963) Jika kode linear atas maka :, = 1 + 1,. 2.2. Teori Invarian Misalkan,,, matriks-matriks kompleks yang mempunyai invers. Jika dilakukan operasi perkalian matriks-matriks tersebut dalam semua kemungkinan, dapat dibentuk suatu grup. Maka memuat,,,,,,,,,, dan dikatakan,,, membangun. Asumsikan = ) yaitu banyaknya elemen adalah berhingga (jika tak berhingga maka teori invariant tidak berlaku). Misalkan =,,, suatu sukubanyak dalam variabel dengan koefisien kompleks, maka dapat ditulis sebagai jumlah dari. Jika tidak nol, disebut 7
bagian (term) dengan derajat + + +, dan derajat dari sukubanyak adalah derajat tertinggi dari bagian-bagian pada sukubanyak. Jika = 0 atau setiap bagian dari mempunyai derajat sama maka dikatakan homogen. C[,,, ] adalah himpunan semua sukubanyak dalam variabel,,, dengan koefisien kompleks. Misalkan suatu matriks kompleks, aksi matriks terhadap adalah =, fungsi sukubanyak yang variabel-variabelnya ditransformasikan terhadap matriks, dengan menganggap =,,, sebagai vektor kolom. Invarian Jika = =, sukubanyak tersebut tidak berubah (invarian) terhadap aksi matriks. invarian terhadap aksi oleh matriks-matriks di atau cukup dikatakan invarian dari, jika untuk setiap matriks berlaku = =. Contoh : Misalkan 1 0 0, 1 0 1 0 1 grup matriks, maka,, dan + + 5 + 2 adalah sukubanyak yang merupakan invarian dari grup matriks tersebut. Bagaimana cara mencari suatu invarian dari? Teorema berikut menunjukkan invarian dapat dicari dengan merata-ratakan sebarang sukubanyak atas grup. 8
Teorema 2.2.1 Misalkan sebarang sukubanyak maka adalah invarian dari. = 1 Bukti : Ambil sebarang, maka = untuk suatu karena grup. Dengan demikian, jika dilakukan aksi pada =, = 1 = 1 =. tak berubah terhadap aksi oleh matriks-matriks di. Jadi adalah suatu invarian dari. Lebih lanjut, sebarang fungsi simetri dari g sukubanyak,, adalah suatu invarian dari. Ring invarian Jika, h invarian dari maka + h, h, ( suatu bilangan kompleks), juga invarian dari, maka himpunan semua invarian dari dinotasikan C[] = =, untuk setiap membentuk ring. 9
Salah satu masalah dalam bahasan dalam teori invarian adalah bagaimana mendeskripsikan C[] = C[,,, ]. Karena transformasi oleh matriksmatriks di tak mengubah derajat dari sukubanyak, maka cukup dipelajari invarian yang homogen (sebarang invarian adalah jumlah dari invarian-invarian homogen). Contoh : = + + 5 + 2 adalah invarian dari grup matriks,, merupakan jumlah dari invarian homogen berderajat 4 dan 2, = + + 5 + 2. Langkah selanjutnya adalah mencari basis untuk invarian, yaitu suatu himpunan invarian dimana sebarang invarian dapat diekpresikan dalam bagian-bagian dari himpunan ini. Bebas aljabar Suku-sukubanyak,,,, dikatakan bergantung aljabar jika terdapat suatu sukubanyak dengan koefisien-koefisien kompleks, yang tak semuanya nol, sehingga,,, = 0. Jika tidak demikian disebut bebas aljabar. Teorema 2.2.2 (Jacobson, 1964) + 1 buah sukubanyak dalam variabel bergantung aljabar. 10
Tipe basis pertama yang kita cari adalah himpunan invarian,,, yang bebas aljabar. Berdasarkan teorema ini, sebarang invarian adalah bergantung aljabar pada,,, dan merupakan suatu akar dari persamaan sukubanyak dalam,,,. Teorema berikut menjamin adanya basis tersebut. Teorema 2.2.3 (Burnside, 1955) Selalu ada buah invarian,,, di C[] yang bebas aljabar. Deskripsi yang lebih sesuai mengenai basis yaitu himpunan invarian,,,, dimana sebarang invarian adalah suatu sukubanyak dalam,,,. Basis ini kita sebut basis sukubanyak. Teorema 2.2.4 (Noether, 1916) Ring invarian dari, grup berhingga matriks kompleks, mempunyai basis + sukubanyak yang memuat tak lebih dari buah invarian dengan derajat tak melebihi =. Lebih lanjut basis ini diperoleh dengan merata-ratakan atas semua suku yang total derajatnya tak melebihi. Bukti : Misalkan grup berhingga matriks kompleks dan =,, suatu vektor kolom. Aksi, untuk setiap matriks merupakan transformasi linier 11
=, ; = 1, 2,,. 1 Misalkan sebarang invarian di adalah sukubanyak,,, = ; suatu bilangan kompleks (jumlah diperluas untuk semua =,,,, sehingga tidak ada bagian yang nol). Karena =,,, invarian maka tak berubah jika dirata-ratakan atas grup, yaitu,,, = 1,,, + +,,, = 1 + + = 1 ; Dengan demikian setiap invarian merupakan kombinasi linier dari (tak hingga banyaknya) invarian khusus =. (tanpa faktor konstanta) merupakan koefisien dari pada sukubanyak = + +, 12
dimana = + + +. Dengan kata lain, adalah jumlah dari pangkatpangkat + +,, + +. Sebarang dapat ditulis sebagai suatu sukubanyak dengan koefisienkoefisien rasional dalam jumlah pangkat,,. Maka sebarang untuk = > dapat ditulis sebagai suatu sukubanyak dalam invarian khusus dengan + + + (yang merupakan koefisien-koefisien,, ). Kemudian kita dapat menuliskan sebarang invariant adalah suatu sukubanyak dalam bentuk dengan. Banyaknya yang seperti itu, yaitu sejumlah,,, yang memenuhi 0 dan + + + yaitu +. Akhirnya, derajat dan diperoleh dengan merata-ratakan atas grup. Teorema 2.2.5 (Miller dkk, 1961) Banyaknya invarian berderajat 1 dari yang bebas linier adalah Bukti : = 1. Misalkan =. Lakukan perubahan variabel-variabel dari,,, ke,,,, dimana,,, =,,,, mengakibatkan berubah ke =. Dapat kita pilih sehingga diagonal. Jika = maka = dan entri diagonal dari adalah 0 atau 1. 13
Maka dengan suatu perubahan variabel, dapat kita asumsikan 1 0 = 1 ; 0 0 0 matriks dengan entri diagonalnya bernilai 1, maka =, jika 1 dan = 0, jika + 1. Sebarang invarian linier (berderajat 1) dari ditentukan oleh, maka. Dengan teorema 2.2.1, = adalah suatu invarian dari untuk sebarang, dan. Deret Molien Jika menyatakan banyaknya invarian homogen berderajat yang bebas linier maka Φ = disebut deret Molien. Dari teorema 2.2.4, kita ketahui basis untuk invariant dari selalu ada. Untuk mengetahui bagaimana menemukannya, kita gunakan teorema Molien. Sebelum ke teorema Molien, perlu didefinisikan matriks terinduksi ke- dari. Matriks terinduksi ke- dari, dinotasikan [], menyatakan bagaimana mentransformasikan hasil kali dari sebanyak kali, yaitu,,,, 14
Contoh : Misalkan = mentransformasikan + 2 + + + + + 2 + 2 Maka matriks terinduksi ke-2 nya adalah [] = +. 2 Teorema 2.2.6 (Molien, 1897) Untuk suatu grup hingga matriks bilangan kompleks, deret Moliennya Bukti : Φ = 1 1 det Perhatikan bahwa adalah banyaknya invariant berderajat 1 dari [] = [] = 1,,. Berdasarkan teorema 2.2.5, =. [] Cukup dibuktikan [] sama dengan koefisien di 1 det = 1 1 1, 2 Dimana,, adalah nilai-nilai eigen dari. Dengan perubahan variabel yang sesuai, dapat dipilih 15
0 =, [] = 0 dan [] adalah jumlah dari hasil kali,, sebanyak dan ini merupakan koefisien dari pada persamaan 2. Struktur Ring Invarian Sebelum kita tuliskan ring invariant, kita definisikan operasi atau jumlah langsung. Sebagai contoh, ring invarian yang dibentuk grup ditulis C[] = berarti tiap invarian dapat dituliskan secara tunggal dalam bentuk +, dimana dan. Secara umum, basis sukubanyak yang bagus untuk C[] adalah himpunan invarian homogen,,,, dimana,,, bebas aljabar dan berlaku hubungan C[] = C[,,, ], jika = ; atau C[] = C[,,, ] C[,,, ] C[,,, ], jika >. 16