STRUKTUR RING INVARIAN YANG MEMUAT PENCACAH BOBOT HAMMING DARI KODE SWA-DUAL ATAS

Transkripsi

1 STRUKTUR RING INVARIAN YANG MEMUAT PENCACAH BOBOT HAMMING DARI KODE SWA-DUAL ATAS TUGAS AKHIR Diajukan untuk memenuhi persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB Oleh : M. Fajar Sidik PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2009

2 STRUKTUR RING INVARIAN YANG MEMUAT PENCACAH BOBOT HAMMING DARI KODE SWA-DUAL ATAS TUGAS AKHIR Diajukan untuk memenuhi persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB Oleh : M. Fajar Sidik Telah diperiksa dan disetujui, Bandung, Juni 2009 Dosen Pembimbing, Dr. Djoko Suprijanto NIP PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2009 i

3 ABSTRAK Pencacah bobot Hamming adalah suatu sukubanyak dengan 2 variabel yang memuat informasi tentang distribusi bobot dari kata-katakode dalam suatu kode linier. Telah diketahui bahwa pada kode swa-dual atas biner yang bobot katakodenya habis dibagi 4, pencacah bobot Hammingnya tidak berubah (invarian) terhadap aksi suatu grup berorde 192 dan termuat dalam suatu ring invarian (MacWilliams and Sloane, 1977). Pada tugas akhir ini akan diselidiki struktur ring invarian yang memuat pencacah bobot Hamming dari kode swa-dual atas dengan memanfaatkan teori invarian. Kata kunci : kode swa-dual, pencacah bobot Hamming, teori invarian. ii

4 ABSTRACT Hamming weight enumerator is a 2 variables polynomial containing information about the weight distribution of codewords of a linear code. It is known that for a binary self-dual code with all weights divisible by 4, its Hamming weight enumerator is unchanged (or invarian) under the action of a group of order 192 and belong to a spesific ring of invariant (MacWilliams dan Sloane, 1977). In this final project, we investigate a structure of invariant ring to which the Hamming weight enumerators belong for self-dual codes over using invariant theory. Keywords : self-dual code, Hamming weight enumerator, invariant theory. iii

5 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-nya sehubungan dengan telah diselesaikannya buku tugas akhir ini. Buku ini disusun sebagai syarat kelulusan sarjana Matematika Institut Teknologi Bandung. Pokok bahasan buku tugas akhir ini yaitu mengenai pencacah bobot Hamming dari kode swa-dual atas panjang. Pencacah bobot Hamming ini termuat dalam suatu ring invarian dan struktur dari ring invarian tersebut dapat dipelajari dengan memanfaatkan teori invarian. Atas bantuan, saran, dan bimbingan yang telah diberikan, penulis ingin menyampaikan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah ikut berperan dalam penyelesaian tugas akhir. Secara khusus ungkapan terima kasih penulis sampaikan kepada : 1. Ibu, Bapak, serta adik-adikku yang selalu memberikan dorongan semangat, nasihat, dan doa. 2. Bapak Dr. Djoko Suprijanto yang telah memberikan masukan, arahan, dan bimbingan selama pengerjaan tugas akhir dengan penuh kesabaran. 3. Ibu Dr. Hilda Assiyatun dan Bapak Dr. Oki Neswan selaku dosen penguji, yang telah memberikan kritik dan saran dalam seminar tugas akhir. iv

6 4. Pak Warsoma selaku dosen wali dan dosen-dosen Matematika yang telah memberikan ilmu dan bimbingan selama penulis kuliah. 5. Ibu Diah dan seluruh staf Tata Usaha serta staf Perpustakaan Matematika ITB yang telah membantu penulis selama kuliah. 6. Arzaki, Jumjum, Maliki, Hendra, Zaki, dan Trisno yang telah menjadi teman-teman seperjuangan TA. 7. Allan, Akhirul, Syarif, Agung, Ghif, Putra, Opik, Arya, Tape, Suryo, Febi, serta teman-teman matematika dan kawan-kawan HIMATIKA lainnya yang telah memberikan dorongan dalam mengerjakan tugas akhir. 8. Alex Prima, Lenggana, Alex Dananjaya, Sensei Huda, Sensei Anna, Vina, Luki, Prita, dan teman-teman unit aikido ITB lain yang memberikan semangat kepada penulis untuk menyelesaikan tugas akhir ini. Semoga Allah SWT membalas seluruh kebaikan yang telah diberikan kepada penulis. Penulis menyadari masih terdapat kekurangan dalam tugas akhir ini. Harapan penulis semoga buku tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi pihak yang membutuhkannya. Bandung, Juni 2009 M. Fajar Sidik v

7 DAFTAR ISI ABSTRAK ABSTRACT PRAKATA DAFTAR ISI ii iii iv vi BAB I. PENDAHULUAN Latar Belakang Rumusan Masalah Tujuan Penulisan Batasan Masalah Sistematika Pembahasan... 3 BAB II. TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN Teori Koding. 4 Kode atas.. 5 Kode Linier atas. 5 Bobot, Distribusi Bobot, dan Pencacah Bobot Hamming Teori Invarian. 7 Invarian. 8 Ring Invarian 9 Bebas Aljabar 10 vi

8 Deret Molien. 14 Struktur Ring Invarian.. 16 BAB III. PENCACAH BOBOT HAMMING DAN RING INVARIAN Pencacah Bobot Hamming Kode Swa-Dual atas Pencacah Bobot Hamming Kode Swa-Dual atas. 21 Kasus Kasus Teorema Tipe-Gleason.. 30 BAB IV. KESIMPULAN 31 DAFTAR PUSTAKA 32 vii