BANK SOAL METODE KOMPUTASI

BANK SOAL METODE KOMPUTASI 006

iv DAFTAR ISI Halaman Bio Data Singkat Penulis.. Kata Pengantar Daftar Isi i iii iv Pengantar... Kesalahan Bilangan Pendekatan... 6 Akar-akar Persamaan Tidak Linier..... 3 Metode Faktorisasi Persamaan Polinomial....... 34 Persamaan Linier Serentak 49 Persamaan Tidak Linier Serentak (PTLS)......... 58 Integrasi Numerik.......... 74 Diferensiasi Numerik.. 85 Daftar Pustaka. v

BANK SOAL METODE KOMPUTASI PENGANTAR. Perlihatkan perbedaan perhitungan analitik dan numerik pada kasus Terjun Payung (Falling Parachute)! a. Perhitungan Analitik F F m. a a m FU + FD F FU + FD a m dv dv FU + FD mg cv a dt dt m m Bank Soal Metode Komputasi 006

Dimana : F F D U mg cv gaya ke bawah ( gravitasi) gaya ke atas Dari manipulasi rumus di atas, akan diperoleh persamaan matematika sebagai berikut : dv c gm g v v( t) e dt m c c t m Dengan parameter massa ( m) 68, 0 kg det kg, koefisien hambat (drag m g dan det coefficient) ( c ), 50, konstanta gravitasi ( ) 980, t det. Dari iterasi yang dilakukan diperoleh data sebagai berikut : Iterasi ke- t e(t) v(t) 0 0.00000 0.00000 0.3076 6.40498 3 4 0.50 7.7699 4 6 0.66757 35.6475 5 8 0.7697 4.0958 6 0 0.84047 44.8734 7 0.88949 47.4909 8 4 0.9345 49.303 44 86.00000 53.39039 45 88.00000 53.39039 46 90.00000 53.39040 47 9.00000 53.39040 48 94.00000 53.39040 49 96.00000 53.39040 50 98.00000 53.39040 5 00.00000 53.39040 Bank Soal Metode Komputasi 006

3 Tampak pada tabel di atas bahwa v( t ) akan tetap (tidak berubah) pada m det t dengan v ( ) 53, 39 sedang untuk v( t ) 53, 39040 diperoleh pada t 90. m det b. Perhitungan Numerik Digunakan pendekatan Finite Divided Difference dengan persamaan matematika sebagai berikut : ( ) ( ) i+ i ( ) v( t ) dv v v ti+ dt t t t i+ i i v ti+ v ti c c g v t v t v t + g v t t t t t m m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i+ i i i+ i Dengan parameter yang sama dilakukan iterasi dan diperoleh hasil sebagai berikut : Iterasi ke- t v(ti) v(ti+) 0 0.00000 9.60000 9.60000 3.00470 3 4 3.00470 39.85554 4 6 39.85550 44.849 5 8 44.8430 47.96897 6 0 47.96900 49.959 7 49.9590 5.883 35 68 53.39040 53.39039 36 70 53.39040 53.39040 37 7 53.39040 53.39040 Bank Soal Metode Komputasi 006

4 Tampak pada tabel di atas bahwa v( t ) akan tetap (tidak berubah) pada m det t dengan v ( ) 53, 39 sedang untuk v( t ) 53, 39040 diperoleh pada t 70. m det Perhatikan tabel di bawah ini dan amati perbedaannya. t v(t) - analitik v(ti+) - numerik 0 0.00000 9.60000 6.40498 3.00470 4 7.7699 39.85554 6 35.6475 44.849 8 4.0958 47.96897 0 44.8734 49.959 47.4909 5.883 4 49.303 5.0603 6 50.55899 5.5057 68 53.3900 53.39039 70 53.3906 53.39040 7 53.39030 53.39040 74 53.39033 53.39040 86 53.39039 53.39040 88 53.39039 53.39040 90 53.39040 53.39040 9 53.39040 53.39040 94 53.39040 53.39040 96 53.39040 53.39040 98 53.39040 53.39040 00 53.39040 53.39040 Tabel Perbandingan Komputasi Analitik dan Numerik Bank Soal Metode Komputasi 006

5 Untuk Kasus Falling Parachute v(t) Analitik vs v(ti+) Numerik 60.00 50.00 v(t) dan v(ti+) 40.00 30.00 0.00 0.00 v(t) v(ti+) 0.00 5 9 3 7 5 9 33 37 4 45 49 t Bank Soal Metode Komputasi 006

6 KESALAHAN DAN BILANGAN PENDEKATAN. Sebutkan macam error dalam Metode Komputasi! a. ROUND-OFF ERROR adalah error yg disebabkan oleh fakta bahwa komputer hanya mampu merepresentasikan suatu kuantitas dgn jumlah digit terhingga (round-off pembulatan) atau bila bilangan mempunyai significant figure terbatas utk merepresentasikan bilangan eksak. Contoh :, 346,35 dibulatkan ke 3 digit di belakang koma. b. TRUNCATION ERROR adalah error yg disebabkan oleh fakta bahwa Metode Komputasi menggunakan aproksimasi utk merepresentasikan suatu operasi matematika eksak dan kuantitas (truncation pemotongan). Contoh :, 346, 34 dipotong ke 3 digit di belakang koma.. Hitung kesalahan yang terjadi dari nilai e dengan 05, pada suku ke-8 dimana 05, e, 64877. e 3 4 n + + + + +... +! 3! 4! n! E p p E ε ; p * e e ; e 00% ( n+ ) ( n) * * δ p p ε a 00% 00% * *( n+ p ) p Bank Soal Metode Komputasi 006

7 dimana : Ee Kesalahan absolut. p Nilai eksak. * p Nilai perkiraan. εe Kesalahan relatif (dalam bentuk persentase). εa Kesalahan nilai perkiraan terbaik (dalam bentuk persentase). Dari hasil iterasi diperoleh data sebagai berikut : Iterasi ke- Aproksimasi Ee Ea.00000000 39.34693404 0.00000000.50000000 9.004006 33.33333000 3.6500000.4387678 7.693000 4.64583333 0.7567.658000 5.64843750 0.0758 0.5798000 6.6486979 0.00465 0.0580000 7.648796 0.000006 0.003000 8.64877 0.0000064 0.00009000 9.64877 0.00000036 0.0000000 0.64877 0.00000004 0.00000000.64877 0.0000000 0.00000000 05, Dari data tabel di atas diperoleh hasil bahwa pendekatan e hingga suku ke-8 menghasilkan nilai perkiraan, 64877 dengan kesalahan relatif, ε 0, 0000064% dan kesalahan nilai perkiraan terbaik, ε 0, 00009%. e a Bank Soal Metode Komputasi 006

8 3. Bila diketahui 0,4 e, 4984698, hitung aproksimasinya menggunakan deret 3 4 5 6 7 e + + + + + + + (8 suku) dengan ketelitian hingga 9 digit di! 3! 4! 5! 6! 7! belakang koma. Perhitungan Analitik c. Suku pertama e * p, maka : Ee ε e 00% p,4984698 00%, 4984698 3, 97% d. Suku kedua e p * +,4, maka : Ee ε e 00% p,4984698,4 00%, 4984698 6,6% p * * n+ n ε a * pn+ p 00%,4 00%,4 8, 57% e. Suku ketiga (, ) 0 4 04 * e + + +, +, 48 p, maka :!. Ee ε e 00% p,4984698,48 00%, 4984698 0,79% p * * n+ n ε a * pn+ p 00%,48, 4 00%,48 5,4% Bank Soal Metode Komputasi 006

9 f. Suku keempat (, ) (, ) 3 3 04 04 * e + + + + 0, 4 + +, 490666667 p, maka :! 3!. 3.. Ee ε e 00% p,4984698,490666667 00%, 4984698 0, 0776% p * * n+ n ε a * pn+ p 00%,490666667,48 00%, 490666667 0, 756% g. Suku kelima maka : 3 4 e + + + +! 3! 4! ( 04, ) ( 04, ) ( 04, ) 3 4 + 0, 4 + + +, 49733334. 3.. 43... p *, Ee ε e 00% p, 4984698, 49733334, 4984698 0, 006% 00% p * * n+ n ε a * pn+ p 00%,49733334,490666667 00%, 49733334 0, 075% Bank Soal Metode Komputasi 006

0 h. Suku keenam 3 4 5 e + + + + +! 3! 4! 5! ( 04, ) ( 04, ) ( 04, ) ( 04, ) 3 4 5 + 0, 4+ + + +, maka :. 3.. 43... 543... *, 4988667 p Ee ε e 00% p, 4984698, 4988667, 4984698 0, 000404% 00% p * * n+ n ε a * pn+ p 00%,4988667,49733334 00%, 4988667 0, 0057% i. Suku ketujuh maka : 3 4 5 6 e + + + + + +! 3! 4! 5! 6! ( 04, ) ( 04, ) ( 04, ) ( 04, ) ( 04, ) 3 4 5 6 + 0, 4+ + + + +,. 3.. 43... 543... 6543... *, 4984356 p Ee ε e 00% p, 4984698, 4984356, 4984698 0, 00003% 00% Bank Soal Metode Komputasi 006

p * * n+ n ε a * pn+ p 00%, 4984356, 4988667, 4984356 0, 00038% 00% j. Suku kedelapan 3 4 5 6 7 e + + + + + + +! 3! 4! 5! 6! 7! ( 04, ) ( 04, ) ( 04, ) ( 04, ) ( 04, ) ( 04, ) 3 4 5 6 7 + 0, 4+ + + + + +,. 3.. 43... 543.... 6543..... 76543...... *, 498468 p maka : Ee ε e 00% p, 4984698, 498468, 4984698 0, 00000% 00% p * * n+ n ε a * pn+ p 00%, 498468, 4984356, 498468 0, 0000% 00% Dari data perhitungan analitik di atas diperoleh hasil bahwa pendekatan e 04, hingga suku ke-8 menghasilkan nilai perkiraan, 498468 dengan kesalahan relatif, ε 0, 00000% dan kesalahan nilai perkiraan terbaik, ε 0, 0000 %. e a Bank Soal Metode Komputasi 006

Perhitungan Numerik (program komputer) Dari hasil iterasi Numerik diperoleh data sebagai berikut : Iterasi ke- Aproksimasi Ee Ea.000000000 3.9679954 0.00000000.400000000 6.559358 8.5743000 3.480000000 0.79633 5.4054000 4.490666667 0.077656 0.7556000 5.49733333 0.006436 0.075000 6.4988667 0.0004049 0.0057000 7.4984356 0.000095 0.00038000 8.498468 0.000006 0.0000000 9.4984697 0.00000007 0.00000000 0.4984698 0.00000003 0.00000000 Dari data tabel di atas diperoleh hasil bahwa pendekatan 04, e hingga suku ke-8 menghasilkan nilai perkiraan, 498468 dengan kesalahan relatif, ε 0, 000006% dan kesalahan nilai perkiraan terbaik, ε 0, 0000 %. e a Bank Soal Metode Komputasi 006

3 AKAR-AKAR PERSAMAAN TIDAK LINIER. Mencari akar-akar persamaan menggunakan Metode Grafik a. 4 adalah : 3 0. Persamaan-persamaan untuk mencari titik potongnya y 4 y 3+ Iterasi ke- y y Selisih -.00.00 -.000.000-0.80 0.4-0.400 0.80 3-0.60 0.3 0.00-0.070 4-0.40 0.03 0.800-0.770 5-0.0 0.00.400 -.400 6 0.00 0.00.000 -.000 7 0.0 0.00.600 -.600.00.00 5.000-4.000.0.07 5.600-3.530 3.40 3.84 6.00 -.360 4.60 6.55 6.800-0.50 5.80 0.50 7.400 3.00 6.00 6.00 8.000 8.000 7.0 3.43 8.600 4.830 Aproksimasi akar-akar persamaannya adalah 060, dan 60, dengan interval 00,. Untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat, gunakan interval yang lebih rapat misal : 00, akan diperoleh 06, dan 6,. Bank Soal Metode Komputasi 006

4 b. 3 adalah : 0. Persamaan-persamaan untuk mencari titik potongnya y 3 + y Iterasi ke- y y Selisih.00.00 3.000 -.000.0.33 3.00 -.770 3.0.73 3.00 -.470 4.30.0 3.300 -.00 5.40.74 3.400-0.660 6.50 3.38 3.500-0.0 7.60 4.0 3.600 0.500 8.70 4.9 3.700.0 9.80 5.83 3.800.030 0.90 6.86 3.900.960.00 8.00 4.000 4.000.0 9.6 4.00 5.60 Aproksimasi akar-akar persamaannya adalah antara 50, dan 60, dengan interval 00,. Akar persamaan di atas cenderung mendekati nilai 50, karena mempunyai selisih yang lebih kecil yakni y y 0, 0. Bank Soal Metode Komputasi 006

5. Mencari akar-akar persamaan menggunakan Metode Tabulasi a. 3 + 0 y 3 y + Iterasi ke- y y Selisih -.000-8.000.000-9.000 -.800-5.830 0.440-6.70 3 -.600-4.00-0.040-4.060 4 -.400 -.740-0.440 -.300 5 -.00 -.730-0.760-0.970 6 -.000 -.000 -.000 0.000 7-0.800-0.50 -.60 0.650 5 0.800 0.50 0.440 0.070 6.000.000.000 0.000 7.00.730.640 0.090 8.400.740.360 0.380 9.600 4.00 3.60 0.940 0.800 5.830 4.040.790 Dari pendekatan kasar, ditemukan bahwa fungsi y bernilai 0 (mutlak) bila ± sehingga tidak perlu dilakukan proses untuk mendapatkan yang lebih akurat. Dalam hal ini f ( ± ) 0. Bank Soal Metode Komputasi 006

6 b. e 3 0 y e 3 + y 6 awal Interval 0, Iterasi ke- y y Selisih 6.000 0.090 8.000.090 0 7.800 0.090 9.800 0.90 8.000 0.090 0.000 0.090 8.00 0.090 0.00-0.0 3 8.400 0.090 0.400-0.30 Diperoleh 8, 00 dengan selisih y y 0, 090. Ambil data iterasi approks ke-0 ( 7, 800 ) sebagai data masukan untuk iterasi berikutnya dengan interval ( 0, ) yang lebih kecil untuk mendapatkan nilai yang lebih akurat. Iterasi ke- y() 7.800 0.86 7.900 0.86 3 8.000 0.086 4 8.00-0.04 5 8.00-0.4 Diperoleh 8, 00 dengan kesalahan (error) atau nilai fungsi ( ) f 8, 00 0, 04 Bank Soal Metode Komputasi 006

7 c. 3+ sin 0 y sin y 3 awal Interval 0, Iterasi ke- y y Selisih -.00-0.03-8.00 7.97 -.80-0.03-7.40 7.37 0.0 0.00 -.40.40 3 0.40 0.0-0.80 0.8 4 0.60 0.0-0.0 0. 5 0.80 0.0 0.40-0.39 6.00 0.0.00-0.98 7.0 0.0.60 -.58 Diperoleh 060, dengan selisih y y 0,. Ambil data iterasi approks ke-3 ( 040, ) sebagai data masukan untuk iterasi berikutnya dengan interval ( 005, ) yang lebih kecil untuk mendapatkan nilai yang lebih akurat. Diperoleh 0, 650 Iterasi ke- y 0.400 0.807 5 0.600 0.0 6 0.650 0.06 7 0.700-0.088 9 0.800-0.386 0.950-0.833 dengan error atau nilai fungsi ( ) f 0, 650 0, 06 Bank Soal Metode Komputasi 006

8 d. 3 + 4 6 0 y 3 y 4+ 6 awal 08, Interval 0, Iterasi ke- y y Selisih 0.800 0.50.800 -.90 0.900 0.730.400 -.670 3.000.000.000 -.000 4.00.330.600-0.70 5.00.730.00 0.530 6.300.00 0.800.400 7.400.740 0.400.340 8.500 3.380 0.000 3.380 9.600 4.00-0.400 4.500 0.700 4.90-0.800 5.70 Diperoleh, 00 dengan selisih y y 0, 70. Ambil data approks iterasi ke-3 ( 0, 00 ) sebagai data masukan untuk iterasi berikutnya dengan interval ( 005, ) yang lebih kecil untuk mendapatkan nilai yang lebih akurat. Diperoleh, 50 Iterasi ke- y.000 -.000.050-0.64 3.00-0.69 4.50 0. 5.00 0.58 6.50 0.953 dengan kesalahan atau nilai fungsi ( ) f, 50 0, Bank Soal Metode Komputasi 006

9 3. Mencari akar-akar persamaan menggunakan Metode Bolzano. a. 0 + 00 0 Batas atas dan bawah 0, 000; 6, 000 Akar Real adalah 3064, Dengan Iterasi sebanyak 34 kali Iterasi ke- (i) f(i) interval (i) 3.500 4.6500000 [.000,6.000].50 44.87500000 [.000,.50].. 33 3.064 0.0000000 [3.064,3.064] 34 3.064 0.0000000 [3.064,3.064] b. 3 + 0 Batas atas dan bawah 0, 000;, 000 Akar Real adalah, 80 Dengan Iterasi sebanyak 7 kali Iterasi ke- (i) f(i) interval (i).500-0.87500000 [.000,.000].750 0.03500 [.500,.750].. 6.80 0.00000003 [.80,.80] 7.80 0.00000000 [.80,.80] Bank Soal Metode Komputasi 006

0 c. e + 0 Silahkan cari sendiri hasilnya d. 3 9+ 0 Perhitungan Analitik ) Pilih dua nilai 0, 0 dimana ( ) ( ) ; 4 sehingga f ( ). f ( ) < 0. 0 f. f < 0. Dipilih 0 0 00, 400, f 900, 9, 00 ( ) 0 + + 4 ) Cari 3. f ( 0). f ( ) < 0, maka ada akar di antara 0 dan. 0 00, 300, 400, f 900, 00, 9, 00 ( ) 0 + + 3 3) Cari 3 5,. f ( ). f ( 3) < 0, maka ada akar di antara dan 3. Bank Soal Metode Komputasi 006

3 50, 300, f 5, 875 00, ( ) + 3 5, + 3 4) Cari 4 75,. f ( ). f ( 4) < 0, maka ada akar di antara dan 4. 3 4 50, 75, 300, f 5, 875, 953 00, ( ) + 4 75, + 3 5) Cari 5, 875. f ( ). f ( 5) < 0, maka ada akar di antara dan 5. 4 5 75,, 875 300, f, 953, 00, ( ) + 5, 875 + 3 6) Cari 6, 938. f ( ). f ( 6) < 0, maka ada akar di antara dan 6. 5 6, 875 938, 300, f, 0, 08 00, ( ) Bank Soal Metode Komputasi 006

Dari hasil perhitungan analitik diperoleh bahwa akar persamaan di atas terletak antara 938, dan 300, pada iterasi ke-5 dengan error absolute sebesar 0, 08. Perhitungan Numerik (program komputer) Batas atas dan bawah 0, 000; 4, 000 Akar Real adalah, 943 Dengan Iterasi sebanyak 7 kali dengan error sebesar 0, 0000000 Iterasi ke- (i) f(i) interval 3.000.00000000 [.000,4.000].500 5.87500000 [.000,.500] 3.750.953500 [.500,.750] 4.875.38 [.750,.875] 5.938 0.09008789 [.875,.938] 0.943 0.00000785 [.943,.943].943 0.00000834 [.943,.943].943 0.0000004 [.943,.943] 3.943 0.00000380 [.943,.943] 4.943 0.0000078 [.943,.943] 5.943 0.00000077 [.943,.943] 6.943 0.0000006 [.943,.943] 7.943 0.0000000 [.943,.943] Diperoleh, 943 dengan kesalahan atau nilai fungsi ( ) f, 943 0, 000 Bank Soal Metode Komputasi 006

3 4. Mencari akar-akar persamaan menggunakan Metode Regula-Falsi. a. tan( ) + 0 y + y tan ( ), dan 0, bawah atas Diperoleh akar persamaan, 08 Dengan error y 0, 0000000000000009 pada iterasi ke- Iterasi ke- y y selisih -.00 -.00-0.03-0.97 -.90-0.90-0.03-0.87 9 -.0-0.0-0.0-0.8 0 -.0-0.0-0.0-0.08 -.00 0.00-0.0 0.0-0.90 0.0-0.0 0. 3-0.80 0.0-0.0 0. Iterasi ke- 3 f3 f3 (6 digit) Error Aproksimasi -.08 0.00000-0.000000008069744 -.08 0.00000-0.0000000000000009 Diperoleh, 08 dengan kesalahan atau nilai fungsi ( ) f, 08 0, 000 b. 3 + 4 5 0 3 y 4 5 y + +, dan 08, bawah atas Diperoleh akar persamaan, 078 Bank Soal Metode Komputasi 006

4 Dengan error y 0, 0000000000000008 pada iterasi ke-9 Iterasi ke- y y selisih -.00 -.00 -.00 -.00 6 0.50 0.5 5.00-4.75 7 0.80.0 4.04-3.0 8.0.66.36 0.3 9.40 5.49-0.04 5.53 Iterasi ke- 3 f(3) f(3) (6 digit) Error Aproksimasi.073-0.074054-0.0740546584570.. 8.078 0.000000-0.0000000000000008 9.078 0.000000-0.0000000000000008 Diperoleh, 078 dengan kesalahan atau nilai fungsi ( ) f, 078 0, 000 c. cos( ) 3 0 y 3 y cos ( ) 03, dan 04, bawah atas Diperoleh akar persamaan 0, 333 Dengan error y 0, 000000000000000 pada iterasi ke-3 Iterasi ke- y y selisih -.00-3.00.00-4.00-0.90 -.70.00-3.70 3 0.0 0.60.00-0.40 4 0.30 0.90.00-0.0 5 0.40.0.00 0.0 6 0.50.50.00 0.50 Bank Soal Metode Komputasi 006

5 Iterasi ke- 3 f3 f3 (6 digit) Error Aproksimasi 0.333 0.000000-0.0000003383007839 0.333 0.000000-0.00000000000447 3 0.333 0.000000-0.000000000000000 Diperoleh 0, 333 f 0, 333 0, 000 dengan kesalahan atau nilai fungsi ( ) d. e ln( ) 0 y e ( ) y ln + 0 30, dan 35, bawah atas Diperoleh akar persamaan 3050, Dengan error y -, 0 000000000000007 pada iterasi ke-3 Iterasi ke- y y selisih.00 7.39 0.69-3.00.0 9.03 0.79 -.00 5.80 6.44.03-5.00 6 3.00 0.09.0 -.00 7 3.0 4.53.6 3.00 8 3.40 9.96. 9.00 Iterasi ke- 3 f(3) f(3) (6 digit) Error Aproksimasi 3.046-0.077948-0.077948763064 3.050-0.00583-0.00587448073664.. 3.050 0.000000-0.000000000000097 3 3.050 0.000000-0.000000000000007 Diperoleh 3050, dengan kesalahan atau nilai fungsi ( ) f 3, 050 0, 000 Bank Soal Metode Komputasi 006

6 e. e 3 0 pada 060, y e y + 3 05, dan 06, bawah atas Diperoleh akar persamaan 0, 583 Dengan error y 0, 0000000000000066 pada iterasi ke-7 Iterasi ke- y y selisih 0.000.000 3.000 -.000 0.300.700 3.300-0.600 3 0.600 3.640 3.600 0.040 4 0.900 4.90 3.900.00 5.00 6.640 4.00.440 6.500 8.960 4.500 4.460 7.800.00 4.800 7.300 8.00 6.330 5.00.30 9.400.050 5.400 6.650 0.700 9.760 5.700 4.060 Iterasi ke- 3 f(3) f(3) (6 digit) Error Aproksimasi 0.58-0.003 0.0057795354333 0.583 0.000 0.0000303695 3 0.583 0.000 0.000000353483735 4 0.583 0.000 0.0000000040995954 5 0.583 0.000 0.0000000000478347 6 0.583 0.000 0.0000000000005580 7 0.583 0.000 0.0000000000000066 Diperoleh 0, 583 dengan kesalahan atau nilai fungsi ( ) f 0, 583 0, 000 Bank Soal Metode Komputasi 006

7 5. Mencari akar-akar persamaan menggunakan Metode Newton-Rhapson. a. cos( ) 3 0 cos( ) ( ) ( ) y 3 y' 3+ sin y'' cos Tebakan awal 05, Diperoleh akar persamaan 0, 37 Dengan error y 0, 00000000 pada iterasi ke-5 Iterasi ke- y 0.5 0.6 0.6 0.975 3 0.7.335 Iterasi ke- y() dy y/dy 0.3 0.6 3.479 0.789000000 0.37 0.04 3.36 0.0044000000 3 0.37 0.000 3.3 0.0000000000 4 0.37 0.000 3.3 0.0000000000 5 0.37 0.000 3.3 0.0000000000 b. 3 + 3 + 3 0 3 y + 3 + 3 y' + 3 3 y'' 6+ Tebakan awal 5 Diperoleh akar persamaan, 599 Dengan error y 0, 00000000 pada iterasi ke-5 Iterasi ke- y -5-8.000 3 -.6-0.06 4 -.4.36 Bank Soal Metode Komputasi 006

8 Iterasi ke- y() dy y/dy -.599-0.06-0.0030000 -.599 0.000 0.00000000 3 -.599 0.000 0.00000000 4 -.599 0.000 0.00000000 5 -.599 0.000 0.00000000 c. e 3 0 y e 3 y' e 6 y'' e 6 Tebakan awal Diperoleh akar persamaan 0, 459 Dengan error y 0, 00000000 pada iterasi ke-5 Iterasi ke- y - -.865000. 7-0.8 -.47000 8-0.6-0.53000 9-0.4 0.90000 Iterasi ke- y() dy y/dy -0.46 0.90000 3 0.0600000-0.459-0.00000 3-0.00300000 3-0.459 0.000000 3 0.00000000 4-0.459 0.000000 3 0.00000000 5-0.459 0.000000 3 0.00000000 Bank Soal Metode Komputasi 006

9 d. y 4+ 5 3 y 4+ 5 3 y' 0 3 y'' 0 6 Tebakan awal 500, Diperoleh akar persamaan 55, Dengan error y 0, 00000000 pada iterasi ke-5 Iterasi ke- y.0 8.000.5.875 3.0 6.000 4.5 9.65 5 3.0.000 6 3.5.375 7 4.0 0.000 8 4.5 4.5 9 5.0 4.000 0 5.5 -.5 6.0-3.000 6.5-59.375 3 7.0-94.000 Iterasi ke- y dy y/dy 5.60 4.000-0.000-0.60 5.5-0.60-0.000 0.009 3 5.5-0.00-0.000 0.000 4 5.5 0.000-0.000 0.000 5 5.5 0.000-0.000 0.000 Bank Soal Metode Komputasi 006

30 6. Mencari akar-akar persamaan menggunakan Metode Iterasi g( ). a. 3 3+ 0 3 3 + 3 g( ) + 3 3 g' ( ) Tebakan awal 030, Diperoleh akar persamaan 0, 34796 Dengan error y 0, 00000000 Iterasi ke- g() f() 0.3433300 0.03877 0.34670600 0.005574 3 0.347500 0.0008746 4 0.3478800 0.000060 5 0.3479500 0.0000073 6 0.3479600 0.00000033 7 0.3479600 0.00000004 8 0.3479600 0.00000000 b. 3 + 9 + 8 6 0 + 3 8 9 6 3 g( ) + 8 3 g' ( ) 6 Tebakan awal 080, Diperoleh akar persamaan 0, 89945 Dengan error y 0, 0000000 Bank Soal Metode Komputasi 006

3 Iterasi ke- g() f() -0.0500 4.6700000 0.333900-6.6994834 3 0.7576000.0346363 4 0.944600-0.3309595 5 0.8865800 0.098786 6 0.9033500-0.0308466 7 0.898600 0.0095999 8 0.899800-0.0078560 9 0.8993400 0.00084657 0 0.8994800-0.0005733 0.8994400 0.000078 0.8994500-0.0000378 3 0.8994500 0.0000073 4 0.8994500-0.000000 5 0.8994500 0.00000067 6 0.8994500-0.0000000 7 0.8994500 0.00000006 8 0.8994500-0.0000000 9 0.8994500 0.0000000 c. e sin( ) 0 sin g' ( ) e ( ) arcsin( e ) g ( ) + 4e Tebakan awal Diperoleh akar persamaan Dengan error y Silahkan cari sendiri hasilnya. Bank Soal Metode Komputasi 006

3 d. e 3 0 3 e g' ( ) g ( ) e 3 e 3 Tebakan awal 090, Diperoleh akar persamaan 0, 6906 Dengan error y 0, 00000000 Iterasi ke- g() f() 0.8986800-0.8940363 0.75673300-0.388977 3 0.7043400-0.0964787 4 0.678900-0.064366 5 0.65683600-0.04877 33 0.690600-0.00000007 34 0.690600-0.00000004 35 0.690600-0.00000003 36 0.690600-0.0000000 37 0.690600-0.0000000 38 0.690600-0.0000000 39 0.690600 0.00000000 40 0.690600 0.00000000 4 0.690600 0.00000000 4 0.690600 0.00000000 e. 3 9 + 8 6 0 3 8 9 6 + + 3 g( ) + + 8 3 g' ( ) + 6 Tebakan awal 050, Diperoleh akar persamaan 0, 4577456 Dengan error y 0, 0000000 Bank Soal Metode Komputasi 006

33 Iterasi ke- g() f() 0.4538889 0.3830400 0.43009978 0.5648599 3 0.4406 0.068966 4 0.479674 0.04603 5 0.46658 0.00938074 6 0.460403 0.00363477 7 0.45900 0.004074 8 0.45839 0.00054466 9 0.4579366 0.000078 0 0.457895 0.0000857 0.457774 0.0000356 0.4577566 0.0000 3 0.4577499 0.00000473 4 0.457747 0.0000083 5 0.457746 0.0000007 6 0.4577458 0.0000007 7 0.4577457 0.000000 8 0.4577456 0.00000004 9 0.4577456 0.0000000 0 0.4577456 0.0000000 Bank Soal Metode Komputasi 006

34 METODE FAKTORISASI PERSAMAAN POLINOMIAL. Akar-akar persamaan nonlinier menggunakan Faktorisasi P ( ) 3 a. 3 4, 4, 68, 0 A, 4 b, 934, 934 3 0 A, 4 a, 93, 76 A 6, 8 a, 37 0, 839 0 3 b 0, 477 0, 477 0 a 5, 334, 667, 67i a 4, 5, 667 +, 67i 0 3 diperoleh pada iterasi berulang mulai ke-33 dan 34 untuk masing-masing parameter. iterasi b0 a a0 0.000 -.400 -.400-0.0-7.57 33.849 33.934 -.93 -.37 34-0.477-5.334 4.5 35.934 -.93 -.37 36-0.477-5.334 4.5 Bank Soal Metode Komputasi 006

35 b. 3 + 3 + 3 0 A b, 453, 453 3 0 A 3 a, 94 0, 504 A 3 a, 3, 48 0 3 b 0, 548 0, 548 0 a 3, 453, 76 +, 578i a 5, 47, 76, 578i 0 3 b 0, 94 0, 94 0 a 0, 45, 590 a 3, 48, 04 0 3 diperoleh pada iterasi berulang mulai ke-, dan 3 untuk masingmasing parameter iterasi b0 a a0 0.000.000-3.000-3.000.000 -.000 5 0.548 3.453 5.470 6-0.94 0.45-3.48 7 -.453.94 -.3 8 0.548 3.453 5.47 9-0.94 0.45-3.48 0 -.453.94 -.3 0.548 3.453 5.47 Bank Soal Metode Komputasi 006

36 c. 3 8 80 + 384 0 A 8 b 4 4 3 0 A 80 a 4 A 384 a 96 8 0 3 iterasi b0 a a0 0.000-8.000-80.000-4.07-3.00-95.360 3-4.000-3.973-95.999 4-4.000-4.000-96.000 5-4.000-4.000-96.000 d. + 0 3 A b 3 0 A 0 a A a 0 3 tidak valid karena iterasi menghasilkan Akar-akar dapat dicari dengan menggunakan Metode Bairstow yang akan diperoleh sebagai berikut :,, 49 ± 0, 607i; 3 0, 84 Alternatif lain adalah asumsikan dengan persamaan lain semisal y+. e. 3 +, 4 48, 0 Bank Soal Metode Komputasi 006

37 A, b 4, 3 0 A 4 a 4 A 48, a 96 0 3 diperoleh pada iterasi berulang ke-. iterasi b0 a a0 0.000.00-4.000.00 0.000-4.000 3.00 0.000-4.000 f. 3 + 4 + 4 0 A 4 b 3 0 A a 3 A 4 a 4 4 0 3 b 0 a 5 a 4 4 0 3 diperoleh pada iterasi berulang ke-73 dan 74 untuk masing-masing parameter iterasi b0 a a0 0.000 4.000 -.000 0.9 8.000 3.000 7 -.000 3.000-4.000 7.000 5.000 4.00 73 -.000 3.000-4.000 74.000 5.000 4.000 Bank Soal Metode Komputasi 006

38. Akar-akar persamaan nonlinier menggunakan Faktorisasi P ( ) 4 a. 4 3 7 + + 6 0 A b 3 0 A 7 b 0 A a 3 3 A 6 a 6 0 0 4 diperoleh pada iterasi ke-0 iterasi b0 b a a0 0.000 0.000 -.000-7.000-0.857-0.00-0.980-6.63 9 -.000 0.000 -.000-6.00 0 -.000 0.000 -.000-6.000 -.000 0.000 -.000-6.000 b. 4 3 + 5 + 3 7 0 A 5 b 0, 68 3 0 A 3 b 0, 73 0, 68 A 7 a 5, 73 3 A a 7, 464 3, 73 0 0 4 diperoleh pada iterasi ke-55 Bank Soal Metode Komputasi 006

39 iterasi b0 b a a0 0.000 0.000 5.000 3.000-0.667 -. 6..7 54-0.68-0.73 5.73 7.465 55-0.68-0.73 5.73 7.464 56-0.68-0.73 5.73 7.464 c. 4 3 + + 3 + 0 A b 3 0 A 0 b A 3 a 3 A a 0 0 4 tidak valid karena iterasi menghasilkan Akar-akar dapat dicari dengan menggunakan Metode Bairstow yang akan diperoleh sebagai berikut : 0, 65;, 655; 0, 645 ±, 8i 3, 4 d. 4 3 + 5, 5,, 0 A, 5 b 0, 66 0, 5 + 0, 776i 3 0 A, 5 b 0, 30 0, 5 0, 776i A 0 a, 70, 37 3 A, a 3, 408, 587 0 0 4 diperoleh pada iterasi ke- Bank Soal Metode Komputasi 006

40 iterasi b0 b a a0 0.000 0.000.500 -.500 0.840 0.504 0.996-3.84 0 0.66 0.30.70-3.40 0.66 0.30.70-3.408 0.66 0.30.70-3.408 e. 4 3 8 + 39 6 + 50 0 A 8 b 0, 66 i 3 0 A 39 b 0, 30 + i A 6 a, 70 3 4i 3 A 50 a 3, 408 3 + 4i 0 0 4 diperoleh pada iterasi ke- iterasi b0 b a a0 0.000 0.000-8.000 39.000.8 -.37-6.673 8.864 3.73 -.85-6.48 6.334 4.899 -.950-6.050 5.470 5.963 -.983-6.07 5.69 6.987 -.994-6.006 5.06 7.995 -.998-6.00 5.0 8.998 -.999-6.00 5.008 9.999 -.000-6.000 5.003 0.000 -.000-6.000 5.00.000 -.000-6.000 5.000.000 -.000-6.000 5.000 Bank Soal Metode Komputasi 006

4 f. 4 3 5, 3 + 5, 93 + 5, 069 7, 6 0 A 5, 3 b,, 3 0 A 593, b 0, A 5, 069 a 5, 3, 3 A 76, a 65,, 0 0 4 diperoleh pada iterasi ke-3 iterasi b0 b a a0 0.000 0.000-5.300 5.930 -.08-0.4-5.076 5.998 -.00-0.00-5.00 6.509 3 -.00-0.00-5.00 6.50 4 -.00-0.00-5.00 6.50 g. 4 3 + + 3 + 0 A b 0, 75 0, 79 0, 83i 3 0 A 3 b 0, 357 0, 79 + 0, 83i A 0 a, 357 0, 679 +, 56i 3 A a, 759 0, 679, 56i 0 0 4 diperoleh pada iterasi ke- iterasi b0 b a a0 0.000 0.000.000 3.000 0.667-0...605 0 0.75-0.357.357.758 0.75-0.357.357.759 0.75-0.357.357.759 Bank Soal Metode Komputasi 006

4 3. Akar-akar persamaan nonlinier menggunakan Faktorisasi P ( ) 5 a. 5 4 3 + 3 5 5 + 4 + 0 A 3 b 3 4 0 A 5 b 0 3 A 5 a 3 0 3 A 4 c 0 4 A c 4 0 0 5 diperoleh pada iterasi ke-9 iterasi b0 b a0 c c0 0.000 0.000 0.000 3.000-5.000-0.800.50 3.000 -.50.50 8-0.999 0.00 3.000-0.00-4.00 9 -.000 0.000 3.000 0.000-4.000 0 -.000 0.000 3.000 0.000-4.000 b. 5 4 3 3, 5 8, 5 + 9, 75 + 4, 065 49, 875 0 A 35, b 375, 4 4 0 A 85, b 5, 3 A 975, a 5, 5, 0 3 A 4. 065 c 3, 5 4 A 49, 875 c 8, 75, 5 0 0 5 diperoleh pada iterasi ke-5 Bank Soal Metode Komputasi 006

43 iterasi b0 b a0 c c0 0.000 0.000 0.000-3.500-8.500 -.80.064 -.067 -.497-6.005 4-3.75-0.999 -.500 -.00-8.749 5-3.750 -.000 -.500 -.000-8.750 6-3.750 -.000 -.500 -.000-8.750 c. 5 3 68 + 4 +. 075. 050 0 A 0 b 5 4 0 A 68 b 0 5 3 A 4 a 5 0 3 A 075. c 6 4 A. 050 c 4 7 0 0 5 diperoleh pada iterasi ke-9 iterasi b0 b a0 c c0 0.000 0.000 0.000 0.000-68.000-5.44 0.368 -.000 0.63-5.79 8-5.000 0.000 -.000.000-4.00 9-5.000 0.000 -.000.000-4.000 30-5.000 0.000 -.000.000-4.000 d. 5 + 0 0 Error floating point! Alternatif lain adalah asumsikan dengan persamaan lain semisal y+. Bank Soal Metode Komputasi 006

44 e. + + 0 5 3 A 0 b 0 0 4 0 A b 0 0 3 A 0 a 0 0 0 3 A 0 c 0 0+ i 4 A c 0 i 0 0 5 diperoleh pada iterasi ke- iterasi b0 b a0 c c0 0.000 0.000 0.000 0.000.000 0.000 0.000 0.000 0.000.000 3 0.000 0.000 0.000 0.000.000 f. 5 4 3 7 + + 46 + 0 0 A b 5 4 0 A b 0 3 3 A 7 a 0 3 A 46 c 0, 5 4. 444097i 4 A 0 c 4 0, 5 + 4. 444097i 0 0 5 diperoleh pada iterasi ke- iterasi b0 b a0 c c0 0.000 0.000 0.000 -.000-7.000-5.407 0.63 0.8 -.985-9.77-6.00 -.000.000 -.000-9.999-6.000 -.000.000 -.000-0.000 3-6.000 -.000.000 -.000-0.000 Bank Soal Metode Komputasi 006

45 4. Akar-akar persamaan nonlinier menggunakan Metode Bairstow (asumsi r s ) a. 3 6, 66 + 3, 533 8, 057 0 a r 3, 304, 85 a 6, 66 s, 445, 9 a 3, 533 b, 360 a 3 3 8, 057 b 3, 36 4 b 0 3 diperoleh pada iterasi ke-8. i dr ds r s 3.7000000 8.00000.7 7. -0.87800000 -.5500000.39-5.43.... 7-0.0000000-0.0000000 3.304 -.445 8 0.00000000 0.00000000 3.304 -.445 b. 3 9 + 9 0 a r 0, 609 3, 95 a s 8, 09 4, 56 a 9 b, 60 a 3 3 9 b, 6 4 b 0 3 diperoleh pada iterasi ke-6. Bank Soal Metode Komputasi 006

46 Bila menggunakan metode Faktorisasi P ( ), 609; 3, 95; 4, 56 3 3 diperoleh akar-akar i dr ds r s -0.0000000 7.40000000 -.00 6.400 0.78000000.6300000-0.40 9.03.. 5 0.00000000-0.0000000-0.609 8.09 6 0.00000000 0.00000000-0.609 8.09 c. 4 3, + 3, + 05, + 33, 0 a r 0 0, 45 0, 94736477i a, s 0, 45 + 0, 94736477i a, 3 b, 00, 44356i 3 3 a 0, 5 b, 00 +, 44356i a 4 4 33, b 3 5 3 diperoleh pada iterasi ke-4. i dr ds r s 0.0-0.063-0.890 -.063-0.00-0.037-0.900 -.00 3 0.000 0.000-0.900 -.00 4 0.000 0.000-0.900 -.00 Bank Soal Metode Komputasi 006

47 d. 4 3 + 4 + + 4 + 0 0 a r 0 + i a 4 s i a b + 4i 3 3 a 4 b 4 4i a 4 4 0 b 0 5 3 diperoleh pada iterasi ke-4 i dr ds r s.00800000 0.94600000 0.008-0.054-0.0600000-0.89900000-0.008-0.953 3 0.00800000-0.04700000 0.000 -.000 4 0.00000000 0.00000000 0.000 -.000 e. 4 3 + 8 + 6 + 7 0 a r, 808 0, 93 a 8 s 0, 385, 003 a 6 b 3 3 a 7 b 6, 9 5, 87 a 4 4 b 59, 5 3 diperoleh pada iterasi ke-5 i dr ds r s -0.04400000.3400000 -.044 0.34 0.38700000-0.9400000-0.657 0.46 3-0.3600000 0.04900000-0.793 0.95 4-0.0400000-0.00300000-0.807 0.93 5 0.00000000 0.00000000-0.807 0.93 Bank Soal Metode Komputasi 006

48 f. 4 8 0 a r, 874, 874 a 0 s 0 0 a b, 435 +, 05i 3 3 a 8 b, 87, 435, 05i a 4 4 0 b 6, 6 5 3 diperoleh pada iterasi ke-3 i dr ds r s.3000000-8.56500000.30-9.565 -.0000000 8.70800000-0.069-0.857.. 0.00000000-0.00300000.874 0.000 3 0.00000000 0.00000000.874 0.000 Bank Soal Metode Komputasi 006

49 PERSAMAAN LINIER SERENTAK. Selesaikan Persamaan Linier Serentak (PLS) berikut ini dengan metode Invers Matriks atau Matriks Augmented. a. Perhatikan PLS berikut ini : 4 3y+ z + y 4z + y z A 7 A 4 3-4 ; H Adj A 600. 000. 300. -. 4 00 -. 9 00 -. 00. 00 8. 00 0. 00 AdjA A T A A 0. 000. 0. -. 05 -. 033 -. 04 04. 067. 037. - 0. - 05. 04. 000. - 033. 067., 0. - 04. 037. T y A. H i z diperoleh 300. ; y 00. ; z 00. [] 0. - 05. 04. 00. y 0. 00-0. 33 0. 67 -. 00 z 0. - 04. 037. 00. Bank Soal Metode Komputasi 006

50 b. Perhatikan PLS berikut ini : + y+ z 6 + y+ 3z 4 + 4y+ 9z 36 A A 6 3 ; H 4 4 9 36 Adj A 600. 600. 00. -. 500 800. -. 300 00. 00. 00. AdjA A A 300. 300. 00. -. 50 400. 50. 050. 00. 050. - T A 300. - 50. 050. -. 300 400. -. 00, 00. - 50. 050. T y A. H i z [] 300. - 50. 050. 600. y -. 300 400. -. 00 400. z 00. - 50. 050. 3600. diperoleh 00. ; y 00. ; z 300. Bank Soal Metode Komputasi 006

5 c. Perhatikan PLS berikut ini : + 8 3 4 + 5 3 4 + + 4 3 4 + + 4 5 3 4 8 5 A ; H 4 4 5 8 5 AH 4 4 5. 000 -. 000. 000 -. 000 8. 000 0. 000 -. 000. 000. 000-3. 000 AH 0. 000 0. 000 3. 000-3. 000. 000 0. 000 0. 000 0. 000 0. 000-36. 000 diperoleh 0. 00; - 0. 00 0. 400; - 3. 600 3 4 d. Perhatikan PLS berikut ini : + 3y+ 6z 7 + 8y+ 6z 4 5+ y+ 45z 9 Bank Soal Metode Komputasi 006

5 3 6 7 A 8 6 ; H 4 5 45 9 3 6 7 AH 8 6 4 5 45 9. 000 3. 000 6. 000 7. 000 AH 0. 000. 000 4. 000 8. 000 0. 000 0. 000 3. 000-8. 000 diperoleh 5. 000; 6. 000; 3-6. 000 e. Perhatikan PLS berikut ini : + 3 3 4 + 8 0 3 + 3 + 5 3 - A 3-4 8 ; H 0 3 5 -. 000 -. 000. 000. 000 AH 3. 000-4. 000 8. 000 0. 000. 000 3. 000 5. 000 -. 000. 000 -. 000. 000. 000 AH 0. 000 -. 000. 000-3. 000 0. 000 0. 000. 000-4. 000 diperoleh 4. 000; 0. 455; 3 -. 73 Bank Soal Metode Komputasi 006

53. Selesaikan Persamaan Linier Serentak (PLS) berikut ini dengan metode Elimininasi Gauss. a. Perhatikan PLS berikut ini : 9, 3746 + 3, 046, 437 9, 333 3 3, 046 + 6, 83 +, 63 8, 049 3, 437 +, 63 + 3, 449 3, 9330 3 9. 3746 3. 046 -. 437 9. 333 A H 3. 046 6. 83. 63 8. 049 -. 437. 63 3. 449 3. 9330 9. 375 3. 04 -. 437 9. 33 A H 0. 000 5. 96. 007 5. 09 0. 000 0. 000. 040 4. 3 diperoleh. 476; 0. 84; 3. 8 b. Perhatikan PLS berikut ini : 0, 7634 + 0, 965 +, 753 4, 87 3, 54 + 6, 3754 +, 874 0, 853 3 0, 73 5, 976 +, 346 5, 87 3 AH 0. 7634 0. 965. 753 4. 87. 54 6. 3754. 874 0. 853 0. 73-5. 976. 346-5. 87 Bank Soal Metode Komputasi 006

54 AH 0. 763 0. 96. 753 4. 9 0. 000 3. 763 -. 3 6 -. 356 0. 000 0. 000-4. 99 -. 488 diperoleh -. 76;. 55; 3. 30 c. Perhatikan PLS berikut ini :, 4, 5, 0 9, 07 3 30, + 5, + 43, 3, 3 6, 0 + 3, 5 +, 5 8, 5 3 AH AH. - 45. - 907. 3 5. 43. 3. 6 35. 5. 85.. 00-4. 500 -. 000 9. 070 0. 000 8. 99 7. 57-4. 3 0. 000 0. 000 4. 86 0. 955 diperoleh. 335; - 4. 750; 3. 556 d. Perhatikan PLS berikut ini :, 4, 5 + 33, 5, 3 54, 4 5, 56 + 3, 88, 3 44, + 3, 5 3, 85 66, 5 3 Bank Soal Metode Komputasi 006

55 AH AH. - 4. 5 33. 5. 54. 4 5. 56 3. 88. 44. 35. 385. 665.. 000-4. 5000 33. 000 5. 000 0. 0000 64. 8686-58. 37-33. 7943 0. 0000 0. 0000 3. 95 9. 405 diperoleh. 64; 0. 759; 3 0. 858 e. Perhatikan PLS berikut ini : 3, 4 +, 3, 09 4, 7 3, 7 +, 4, 9 3, 0 3 89, 9, 89, 9, 3 AH AH 3, 4, 3, 09 4, 7, 7, 4, 9 3, 0 89, 9, 89, 9, 3, 400, 300, 0900 4, 700 0. 0000. 65-0. 438-0. 65 0. 0000 0. 0000 -. 306 -. 576 diperoleh. 6838; - 0. 3709; 3 0. 590 Bank Soal Metode Komputasi 006

56 3. Selesaikan Persamaan Linier Serentak (PLS) berikut ini dengan metode Gauss- Seidel a. Perhatikan tabel PLS berikut ini : 3 c 3,5,8 6, 9,8999,7 8 3-6,744-4 -3,6 -,8 5,65 Hasil komputasi konvergen. Oleh karena itu digunakan metode Invers Matriks sehingga diperoleh -. 3 0347; -. 904; 3 3. 8475 b. Perhatikan tabel PLS berikut ini : 3 c,0-0,05-0, 0,705-0,,03-0,05 0,849-0, -0,,04,398 iterasi ke- [i] [i] 3[i] 0.7794 0.9075.5338 0.8389 0.988.54699 3 0.8430 0.9894.54756 4 0.84308 0.98943.54757 5 0.84309 0.98943.54757 6 0.84309 0.98943.54757 7 0.84309 0.98943.54757 8 0.84309 0.98943.54757 9 0.84309 0.98943.54757 0 0.84309 0.98943.54757 0.84309 0.98943.54757 0.84309 0.98943.54757 diperoleh 0. 84309; 0. 98943; 3. 54747 dan stabil pada iterasi ke-. Bank Soal Metode Komputasi 006

57 c. Perhatikan PLS berikut ini : 7+ 6 y z 85 6+ 5y+ z 7 + y+ 54z 0 ( 85 6 y+ z) 7 y 7 6 z 5 z ( 0 + z) 54 ( ) iterasi ke- [i] y[i] z[i] 3.485 3.54074.937.437 3.5704.9585 3.4569 3.5794.9595 4.4549 3.5730.9595 5.4548 3.5730.9595 6.4548 3.5730.9595 7.4548 3.5730.9595 8.4548 3.5730.9595 9.4548 3.5730.9595 0.4548 3.5730.9595.4548 3.5730.9595.4548 3.5730.9595 3.4548 3.5730.9595 4.4548 3.5730.9595 diperoleh. 4548; y 3. 5730; z. 9595 dan stabil pada iterasi ke-4. Bank Soal Metode Komputasi 006

58 PERSAMAAN TIDAK LINIER SERENTAK (PTLS). Mencari akar-akar persamaan tidak linier serentak menggunakan Metode Newton-Rhapson. Akar-akar yang diperoleh dapat berbeda untuk setiap tebakan. Oleh karena itu lakukan substitusi ke persamaan untuk meyakinkannya! a. + y 6 dan y 4 (, ) (, ) F y y + G y y 6 F G F G y y y y 4 tebakan awal 0 0, ; y0 30, i ke- y F G koreksi h koreksi k.00000000 4.00000000 4.00000000-6.00000000.5000000000000000 -.500000000000000 3.50000000.75000000 3.850000 0.68750000-0.3485748570-0.840909090909090 5 3.67766.44948974 0.0000000 0.00000000-0.000000000757569-0.000000000609950 6 3.677660.449489743 0.000000000 0.000000000-0.0000000000000003 0.000000000000000 Maka akan diperoleh 6 3, 677660; y6, 449489743, dengan koreksi Bank Soal Metode Komputasi 006

59 h k - 0, 0000000000000003 0, 000000000000000 error_limit adalah 0, 00000000000000 b. + y dan + y 4 0 (, ) (, ) F y y + G y y + 4 F F y G G y y tebakan awal 0 0, ; y0 50, i ke- y F G koreksi h koreksi k.000000000 5.000000000 -.000000000 3.000000000.05640564000 -.40564056400 3.056403.589743590.5647600 5.809335963-0.0564469683466 -.8584397536300 7 3.7690996 0.90743098 0.000000000 0.00000000 0.000000000077555-0.0000000004739865 8 3.7690996 0.90743098 0.000000000 0.000000000 0.0000000000000000 0.0000000000000000 Maka akan diperoleh 8 3, 7690996; y8 0, 90743098, dengan koreksi h k 0, 0000000000000000 0, 0000000000000000 Bank Soal Metode Komputasi 006

60 c. + y dan y sin ( ) 0 (, ) (, ) sin ( ) F y + y G y y F F y + G sin y G y ( ) tebakan awal 0 0, ; y0 0, i ke- y F G koreksi h koreksi k.000000000.000000000-3.000000000.49863034 -.046888798949700 -.535665990700-0.046888799 0.46483340 -.60760330 0.46488574 0.983983790440-0.466336579950... 5 0.6409883 0.6640 0.000000000 0.000000000 0.0000000000000345 0.000000000000338 6 0.6409883 0.6640 0.000000000 0.000000000 0.000000000000003 0.00000000000007 7 0.6409883 0.6640 0.000000000 0.000000000 0.000000000000000 0.000000000000004 Maka akan diperoleh 7 0, 6409883 ; y 7 0, 6640, dengan koreksi h 0, 000000000000000 k 0, 000000000000004 Bank Soal Metode Komputasi 006

6 d. ( ) sin + y 3, dan y y, 8856 ( ) ( ) ( ) F, y sin + y 3, G, y y y, 8856 F F y G cos( ) + G y y y y tebakan awal 0 0, ; y0 0, i ke- y F G koreksi h koreksi k 4.000000000.000000000 3.978973343 8.4400000 -.7638830385974600 0.00789078373003.36696.0078908 6.7960530 6.43567335-0.503603460579960-0.4057095488050 6.604674.834570 0.000000000 0.000000000-0.0000000000000009 0.000000000000000 7.604674.834570 0.000000000 0.000000000 0.000000000000000-0.0000000000000006 8.604674.834570 0.000000000 0.000000000-0.000000000000000 0.000000000000000 Maka akan diperoleh 8, 604674 ; y 8, 834570, dengan koreksi h -, 0 000000000000000 k 0, 000000000000000 Bank Soal Metode Komputasi 006

6 e., 6 + e dan 4ln + + 0, 3 3 ( ) ( ) F, y e +, 6 G, y 4ln + + 0, 3 3 F G e 3 F G 4 3 e Misalkan tebakan awal ( 0 0 40, ; 30, ) Iterasi 0 0 3 (, ) ( )( )., 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) F 4e 3 4 6 0 7994874 G, 4ln 3 + 4 + 0. 3 3 4 3 0. 09060536 Nilai turunan-turunannya adalah : F e 3 e 3, 959093 F 3 e 4 4e 4, 994873 G 3 ( 4) ( 3) 3, 803847577 ( 3)( 4) G 4 3 4 3 3, 307688 Bank Soal Metode Komputasi 006

63 i ke- F G koreksi h koreksi k 4.000000000 3.000000000 0.7994874-0.09060536 0.54906935090 0.093409779565700 4.549069 3.09340978-0.004756 0.0036659-0.0009593353404-0.0030883335797 3 4.353940 3.080345-0.00000707 0.0000084-0.0000007960949-0.0000000649855 4 4.35347 3.0803080 0.000000000 0.000000000-0.000000000000358 0.0000000000000843 5 4.35347 3.0803080 0.000000000 0.000000000 0.0000000000000000 0.0000000000000000 Maka akan diperoleh koreksi 4, 35347 ; 3, 080308, dengan 5 5 h 0, 0000000000000000 k 0, 0000000000000000 Catatan : Pada program komputer, error_limit dibatasi pada 0, 000000000000000. 6 0 atau f. 4 + 4y 7, 665 dan y + y 7, 4 ( ) ( ) 4 F, y + 4y 7, 665 G, y y + y 7, 4 F F y 3 G 4 + 4y y G 4 y+ y Bank Soal Metode Komputasi 006

64 tebakan awal 0 30, ; y0 60, i ke- y F G koreksi h koreksi k 3.000000000 6.000000000 35.337500000 64.590000000-0.744733870967740-3.097749354800.558663.9077858 34.47074704 4.640865-0.496444749540 -.34386307730800 3.834706968.773395950 6.68365.4570-0.56807405730-0.339680889430 4.6785654.53943448 0.64490 0.788767-0.086880890054-0.0093984354978 5.656657445.53003573 0.00883675 0.000499396-0.00039370450455 0.00006865595 6.6566375.53046395 0.00000378-0.000000075-0.0000006379 0.0000000676045 7.65663609.5304646 0.000000000 0.000000000-0.0000000000000095 0.0000000000000064 8.65663609.5304646 0.000000000 0.000000000 0.0000000000000000-0.000000000000000 Maka akan diperoleh 8, 65663609 ; y8, 5304646, dengan koreksi h 0, 0000000000000000 k 0, 000000000000000 g. 4 + y dan y sin ( ) 0 (, ) 4 + F y y G y y ( ) (, ) cos( ) F F y G + sin ( ) 3 4 G y y Bank Soal Metode Komputasi 006

65 tebakan awal 0 40, ; y0 0, i ke- y F G koreksi h koreksi k 4.000000000.000000000 55.000000000.99535867 -.0950607344600 -.38388566063900.97049399-0.38388566 79.83973-0.4073040-0.7639965650950 0.06798700739 3.090947-0.07608694 5.08653380-0.077593960-0.580940454730 0.03899378040 79 0.7449969 0.000598 0.000000000 0.000000000 0.0000000000000033 0.000000000000000 80 0.7449969 0.000598 0.000000000 0.000000000-0.000000000000003-0.000000000000000 8 0.7449969 0.000598 0.000000000 0.000000000 0.000000000000005 0.000000000000000 Maka akan diperoleh 8 0, 7449969 ; y 8 0. 000598, dengan koreksi h 0, 000000000000005 k 0, 000000000000000 h. cos ( y) y 0, 4534 dan ye y, 437 ( ) ( ) ( ) F, y cos y y 0, 4534 G, y ye y, 437 F G y cos( y) y ye F G sin( y) e y y y Bank Soal Metode Komputasi 006

66 tebakan awal 0 80, ; y0 30, i ke- y F G koreksi h koreksi k 8.000000000 3.000000000-6.4699587 8935.7369558-0.34863008394370 -.95338540706300 7.65736899.04664593-0.77398693 97.3476493-0.906784533485400-0.0959050078639 3 6.74495366 0.953409-0.08795685 803.69065435-0.9733308035000-0.099948756549 4 5.776085 0.93396-0.09760489 94.448079780-0.96946340706090-0.04894944500605 5.538397 0.7593597 0.000000000 0.000000000 0.000000000000880-0.0000000000006793 6.538397 0.7593597 0.000000000 0.000000000 0.0000000000000057-0.0000000000000044 7.538397 0.7593597 0.000000000 0.000000000 0.000000000000000 0.0000000000000000 Maka akan diperoleh 7, 538397 ; y 7 0, 7593597, dengan koreksi h 0, 000000000000000 k 0, 0000000000000000 + 3 0 dan + + y 5 0 i. log ( ) y (, ) 3log( ) (, ) F y + y G y + + y 5 F 3 G + log ( e) 4+ y 5 F G y y y Bank Soal Metode Komputasi 006

67 tebakan awal 0 60, ; y0 50, i ke- y F G koreksi h koreksi k.600000000 5.00000000-4.8764005 6.440000000-0.3809558543940 -.45374560300.908474.74675440-6.06484363.485399 0.03934499594 -.089375074300 3.5849655.656900369 -.8740345-0.03976533 0.9979908355560-0.3598500649350 4.457608846.409549-0.07046808 0.0334355 0.007993734786-0.040038887555 5.458788759.396904760-0.00057695-0.00005546 0.0000469977-0.000377449586 6.4588909.39676706-0.0000000 0.000000007 0.000000005335058-0.000000006880939 7.45889030.396767009 0.000000000 0.000000000 0.0000000000000000-0.000000000000000 Maka akan diperoleh 7, 45889030 ; y7, 396767009, dengan koreksi h 0, 0000000000000000 k 0, 000000000000000 j. 4 dan e + (, ) (, ) F y + 4 G y e + F G e F G Bank Soal Metode Komputasi 006

68 tebakan awal 0 30, ; y0 60, i ke- y F G koreksi h koreksi k -3.00000000 6.00000000 4.00000000 5.04978707 -.970459830005300-4.90896586769300-5.97045983.098034 3.8570 0.0065649.734348339496700-0.0763000800 3-3.390500 0.99047340 7.473047 0.0967550.3085034576300-0.07400767977 4 -.08796 0.964663.8430340 0.0379580 0.736647736860-0.07649657696085 5 -.83450878 0.845306 0.07995653 0.00499309 0.0855707758688-0.007894086858 6 -.8635308 0.83740875 0.000399 0.0000648 0.0000890053443775-0.000040953458494 7 -.866407 0.83736780 0.0000000 0.00000000 0.00000000897-0.0000000009990004 8 -.866407 0.83736780 0.00000000 0.00000000-0.000000000000000 0.0000000000000000 Maka akan diperoleh koreksi -, 866407 ; 0, 83736780, dengan 8 8 h 0, 000000000000000 k 0, 0000000000000000 Bank Soal Metode Komputasi 006

69. Mencari akar-akar persamaan nonlinier serentak menggunakan Metode Iterasi (,,,..) F y z a. 4 + 4y 7, 665 dan y + y 7, 4 (, ) ( 7, 665 4 ) (, ) ( 74, ) ( ) 4 7 665 4y 7 665 4y ( ) y 7 4 y y 7 4 y,,,, F y y F y y 4 4 3 F.( 4 y)( 7, 665 4y) 4 4 3 F.( 4)( 7, 665 4y) 4 y 4 F F y.( y)( 7, 4 y).( )( 7, 4 y) y ( 7, 665 4y) ( 7, 665 4y) y ( 74, y) ( 74, y) 3 4 3 4 Hasil perhitungan lihat jawaban soal No..f. di atas. Bank Soal Metode Komputasi 006

70 b. 4 + y dan y sin ( ) 0 4 + y (, ) ( ) cos( ) y sin 4 + F y y F y (, ) cos( ) F 3 4 F y y F F y. sin sin 0 ( ) ( ) ( ) Hasil perhitungan lihat jawaban soal No..g. di atas. Bank Soal Metode Komputasi 006

7 c. 4 dan e + ( 4 ) e (, ) ( 4 ) F (, ) F e F F 0 F F e 0 ( 4 ) Tebakan awal 8, ; 08,, maka : 0 0 F F 0 -, 0 436436 F F -, 0 6599 0 F F F F Syarat + -, 0 436436 < dan + -, 0 6599 < dipenuhi. Iterasi ( n ) ( ) ( n+ ) ( ) ( ) 4 4 0, 8 -, 8330308 + 8, e e 0, 83470 Iterasi ( ( ) ) 4 0, 83470 -, 87494 e 0, 8400779 -, 8330308 Bank Soal Metode Komputasi 006

7 iterasi ke- -.8330308 0.83470 -.87494 0.8400779 3 -.850498 0.8375674 4 -.867 0.8376453 5 -.8635777 0.8373584 0 -.8664 0.83736789 3 -.866407 0.83736780 4 -.866407 0.83736780 5 -.866407 0.83736780 6 -.866407 0.83736780 7 -.866407 0.83736780 Maka akan diperoleh -, 866407 ; 0, 83736780, dengan 7 7 iterasi sebanyak 7 kali. Bandingkan dengan jawaban soal No..j. di atas. d. cos ( y) y 0, 4534 dan ye y, 437 ( ( ) ) cos y y 0, 4534, 437 + y y e F F (, y) (, y) 0, 4534 ( cos( y) y), 437 + e y 0, 4534 ( cos( y) y) Bank Soal Metode Komputasi 006

73 F 0 ( ( y) + ) ( ) F 0, 4534 sin 0, 4534( sin( y) ) ( cos( y) y) y y y ( cos ) ( 437 y ) ( 437 ) y e y e + y., +, F e e ( 437 ) ( 437 ) y e + y e + y.,, F y y e e Hasil perhitungan lihat jawaban soal No..h. di atas. e. y + 3log 0 dan + + y 5 0 y 3log y 5 ( ) F, y y 3log F (, y) 5 F 3 log e F y y ( ) ( ) F 5 4 5. F 0 y Hasil perhitungan lihat jawaban soal No..i. di atas. Bank Soal Metode Komputasi 006

74 INTEGRASI NUMERIK. Menentukan luas daerah dari table data menggunakan Metode Trapezoidal. a. Perhatikan Tabel Data berikut : u() 0..0300 0..703 0.3.6388 0.4.6093 0.5.679 0.6.66 0.7.7366 Dengan batas bawah 00,, atas 070, dan interval 00,, diperoleh Luas daerah kurva L adalah 0, 96 b. Perhatikan Tabel Data berikut : u() 0..486 0..30 0.3 0.964 0.4 0.880 0.5 0.8536 0.6.9836 0.7.098 Dengan batas bawah 00,, atas 070, dan interval 00,, diperoleh Luas daerah kurva L adalah 6, 706 Bank Soal Metode Komputasi 006

75 c. Dapatkan luas kurva fungsi u( ) dengan batasan 0 0 u(i) u() Sum u().0.0.0.0 4.0 5.0 3 3.0 9.0 4.0 4 4.0 6.0 30.0 5 5.0 5.0 55.0 6 6.0 36.0 9.0 7 7.0 49.0 40.0 8 8.0 64.0 04.0 9 9.0 8.0 85.0 h L 0 ( 9) 0 u + u +... + u + u 0 ( 4 9 6 5 36 49 64 8 ) 00 + + + + + + + + + + 0 ( 85 ) 00 + + 670 335, 00 Diperoleh Luas daerah kurva L adalah 335, 00 d. Perhatikan Tabel Data berikut : u() 0. 54.80 0. 53.97 0.3 53.477 0.4 53.3653 0.5 53.35 0.6 53.684 0.7 54.56 Bank Soal Metode Komputasi 006

76 Dengan batas bawah 00,, atas 070, dan interval 00,, diperoleh Luas daerah kurva L adalah 3, 4. e. Perhatikan Tabel Data berikut : u() 0.0 3.0 0.5 9.0.0 4.0.5.0.0.5.5 6.0 3.0 9.0 3.5 0.0 4.0 0.0 u(i) u() Sum u() 0.50 9.00 9.00.00 4.00 33.00 3.50.00 44.00 4.00.50 56.50 5.50 6.00 7.50 6 3.00 9.00 9.50 7 3.50 0.00.50 05, L 3 ( 9 4 5 6 9 0 ) 0 + + + +, + + + + 05, 0 (, 5 ) 00 + + 66 66, 50 Dengan batas bawah 000,, atas 400, dan interval 050,, diperoleh Luas daerah kurva L adalah 66, 500. Bank Soal Metode Komputasi 006

77. Menentukan luas daerah dari suatu fungsi matematika menggunakan Metode Simpson /3. a. 7 3 ln d u(i) u() 0 3.0 9.89 3.5 5.35 4.0.8 3 4.5 30.46 4 5.0 40.4 5 5.5 5.57 6 6.0 64.50 7 6.5 79.08 8 7.0 95.35 iterasi ke- u() L() L() 5.35 5.35 0.00.8 5.35.8 3 30.46 45.80.8 4 40.4 45.80 6.4 5 5.57 97.37 6.4 6 64.50 97.37 6.9 7 79.08 76.46 6.9 h L 0 4( 3 5 7) ( 4 6) 8 3 u + u + u + u + u + u + u + u + u 05, 9, 89 + 4( 5, 35 + 30, 46 + 5, 57 + 79, 08) 3 + (, 8+ 40, 4+ 64, 50) + 95, 35 05, 9, 89 4 ( 76, 46 ) ( 6, 9 ) 95, 35 3 + + + 53, 46 3 77, 4867 analitik ( ) Dengan batas bawah 3, 0, atas 70, dan interval 0, 50, diperoleh Luas daerah kurva L adalah 77, 4836 (numerik) Bank Soal Metode Komputasi 006

78 b. 5 3 ln d u(i) u() 0.0 0.00.5.74.0.09 3.5 8.63 4 3.0 59.33 5 3.5 07.4 6 4.0 77.45 7 4.5 74. 8 5.0 40.36 Dengan batas bawah, 0, atas 5, 0dan interval 050,, diperoleh Luas daerah kurva L adalah 44, 9559 c. Perhatikan Tabel Data berikut : u() 0.0 3.0 0.5 9.0.0 4.0.5.0.0.5.5 6.0 3.0 9.0 3.5 0.0 4.0 0.0 iterasi ke- u() L() L() 9.00 9.00 0.00 4.00 9.00 4.00 3.00 30.00 4.00 4.50 30.00 6.50 5 6.00 46.00 6.50 6 9.00 46.00 45.50 7 0.00 66.00 45.50 Bank Soal Metode Komputasi 006

79 Dengan batas bawah 000,, atas 400, dan interval 050,, diperoleh Luas daerah kurva L adalah 66, 33. d. 5 3 ( + ) u(i) u() 0.0 0.50.5.04.0.60 3.5.6 4 3.0.70 5 3.5 3.4 6 4.0 3.76 7 4.5 4.9 8 5.0 4.8 Dengan batas bawah, 0, atas 5, 0dan interval 050,, diperoleh Luas daerah kurva L adalah 0, 780 5 e. ( + ) d u(i) u() 0.0.00.5.7.0 3.4 3.5 4.08 4 3.0 4.73 5 3.5 5.37 6 4.0 6.00 7 4.5 6.6 8 5.0 7.4 Dengan batas bawah, 0, atas 5, 0dan interval 050,, diperoleh Luas daerah kurva L adalah 8, 7868 Bank Soal Metode Komputasi 006

80 3. Menentukan luas daerah dari suatu fungsi matematika menggunakan Metode Simpson 3/8. a. Perhatikan Tabel Data berikut : u(i) u() 0.00.776.5 4.053.50 5.768 3.75 7.650 4 3.00 9.8875 5 3.5.4495 6 3.50 5.3463 7 3.75 8.587 iterasi ke- u() L() L() 4.053 4.053 0.0000 5.768 9.83 0.0000 3 7.650 9.83 7.650 4 9.8875 9.796 7.650 5.4495 3.69 7.650 6 5.3463 3.69.9965 3h L ( u0 + 3( u+ u + u4 + u5) + ( u3+ u6) + u7) 8 305 (, ), 776 + 3( 4, 053+ 5, 768 + 9, 8875 +, 4495) 8 ( 7, 650 5, 3463) 8, 587 + + + 305 (, ) (, 776 + 3 ( 3, 69 ) + (, 9965 ) + 8, 587 ) 8, 895075 8 5, 36884375 5, 369 Dengan batas bawah 0,, atas 3, 75dan interval 05,, diperoleh Luas daerah kurva L adalah 5, 369 Bank Soal Metode Komputasi 006

8 b. Perhatikan Tabel Data berikut : u(i) u() 0.0.449.3.060.6.645 3.9 3.6 4. 3.779 5.5 4.338 6.8 4.898 iterasi ke- u() L() L().060.060 0.000.645 4.705 0.000 3 3.6 4.705 3.6 4 3.779 8.484 3.6 5 4.338.8 3.6 Dengan batas bawah, 0, atas 8, dan interval 03,, diperoleh Luas daerah kurva L adalah 5, 765 c. Perhatikan Tabel Data berikut : u(i) u() 0.00.0900.0 6.790.40 4.050 3.60 33.5880 4.80 45.040 5 3.00 59.350 6 3.0 76.80 7 3.40 96.990 Dengan batas bawah 0,, atas 3, 4 dan interval 0,, diperoleh Luas daerah kurva L adalah 57, 6 Bank Soal Metode Komputasi 006

8 4. Menentukan luas daerah dari suatu fungsi matematika menggunakan Metode Weddle. a. 4 3 ln d u(i) f() 0 3.0 9.888 3..559 3.3 3.377 3 3.5 5.346 4 3.7 7.468 5 3.8 9.745 6 4.0.8 Dengan batas bawah 3, 0, atas 40, dan interval 07,, diperoleh Luas daerah kurva L adalah 5, 57566 b. 7 ln 3 d u(i) f() 0.0 0.000.0 0.043 3.0 0.00 3 4.0 0.0 4 5.0 0.006 5 6.0 0.004 6 7.0 0.003 Dengan batas bawah, 0, atas 70, dan interval, 0, diperoleh Luas daerah kurva L adalah 0, 09958 Bank Soal Metode Komputasi 006

83 c. 3 z ( + z ) d u(i) f() 0.0.000..345.3.707 3.5.077 4.7.45 5.8.86 6.0 3.00 Dengan batas bawah, 0, atas 0, dan interval 07,, diperoleh Luas daerah kurva L adalah, 0837 d. 5, 4 ln d u(i) f() 0 4.000.3863 4.00.435 4.400.486 3 4.600.56 4 4.800.5686 5 5.000.6094 6 5.00.6487 Bank Soal Metode Komputasi 006

84 3h L ( un 6 + 5un 5 + un 4 + 6un 3+ un + 5un + un) 0 3h ( u 0 + 5 u + u + 6 u 3+ u 4 + 5 u 5 + u 6) 0 30 3863 + 5 435 + 486 + 6 56 + 5685 + 5 6094 + 6487 0 8, 785 0, 8785 analitik (, ) (, (, ), (, ), (, ), ) ( ) Dengan batas bawah 40,, atas 5, dan interval 0,, diperoleh Luas daerah kurva L adalah, 878474073 (numerik) 4 3 e. ( e + ) d u(i) f() 0.0 8.389.3.3.7 5.39 3 3.0.086 4 3.3 9.03 5 3.7 40. 6 4.0 55.598 Dengan batas bawah 0,, atas 40, dan interval 0, 35, diperoleh Luas daerah kurva L adalah 49, 097 Bank Soal Metode Komputasi 006

85 DIFERENSIASI NUMERIK. Cari nilai y ( 0, ) persamaan diferensial (, ) ( ) y0 y 0, 5 menggunakan Metode Taylor. dy f y + y dengan d n ( ) '''( ) ( ) y'' y y y( m) y( m ) + hy' ( m ) + h + h +... + h! 3! n! m 3 m n m n ( 0) '''( 0) ( 0) y'' 3 y n y y( 0, ) y( 0) + hy' ( 0) + h + h +... + h! 3! n! 5, 3 5, 0 5, 5, + ( 0, )( 5, ) + ( 0, ) + ( 0, ) +... + ( 0, )! 3! 0!, 66973 Data ke- Turunan ke - y[i] Suku Deret ke-.50 0.5000.50 0.650 3.50 0.69 4.50 0.693 5.50 0.693 6.50 0.693 7.50 0.693 8.50 0.693 9.50 0.693 0.50 0.693 Bank Soal Metode Komputasi 006

86. Cari nilai y ( 0, ) persamaan diferensial f (, y) ( ) y0 y 0 menggunakan Metode Euler. dy y dengan d y + n 0 n y f y (, ) n n n y y + y n n n Iterasi [i] dy[i] d[i] y[i] 0.00 0.0000 0.0.0000 0.0 0.096 0.0.0396 3 0.04 0.093 0.0.05884 4 0.06 0.0887 0.0.0777 5 0.08 0.085 0.0.096 Dengan h 0, dan iterasi 5 n, diperoleh ( ) y 0,, 096 dy f y y+ dengan d y 0 y, 5 menggunakan Metode Euler yang dimodifikasi (Modified Euler). 3. Cari nilai y ( 0, ) persamaan diferensial (, ) ( ) 0 h ( 0) (, ) yn yn + h f n yn ( k + ) h y y + f y + f y k 03,,,,... (, ) (, ) n n n n n n n 34,,,,... k Bank Soal Metode Komputasi 006

87 Iterasi Iterasi [i] y[i] 0.05.5785 0.05.57803 3 0.05.57805 4 0.05.57805 5 0.05.57805 6 0.05.57805 7 0.05.57805 8 0.05.57805 9 0.05.57805 0 0.05.57805 Dari proses pertama diperoleh y y( ) 0, 05, 57805 Iterasi Iterasi [i] y[i] 0..6690 0..66983 3 0..66985 4 0..66985 5 0..66985 6 0..66985 7 0..66985 8 0..66985 9 0..66985 0 0..66985 0 0; 0, 5 dan interval h 005,, diperoleh Dengan 0 ( ) y0 y( ) y y(, ), 0 66985 Bank Soal Metode Komputasi 006

88 dy f y y+ dengan d y 0 y, 5 menggunakan Metode Runge-Kutta Orde Empat. 4. Cari nilai y ( 0, ) persamaan diferensial (, ) ( ) 0 h y y + + k k k k 6 + + + (, ) [ ] n n 3 4 k f y n (, ) 4 n n 3 n 34,,,,... n h h k f n +, yn + k h h k3 f n +, yn + k k f + h y + hk Iterasi k k k3 k4 y[i].50000.5650.56406.680.5788.688.69388.6955.7695.6693 Dengan 0 ( ) y0 y( ) y y(, ), 0 6693 0 0; 0, 5 dan interval h 005,, diperoleh Bank Soal Metode Komputasi 006