LGORITM MENENTUKN HIMPUNN TERBESR DRI SUTU MTRIKS INTERVL DLM LJBR MX-PLUS Rata Novtasar Program Stud Matematka FMIP UNDIP JlProfSoedarto SH Semarag 575 bstract Ths research dscussed about how to obtaed largest set from a terval matrx f gve a possble ege vector For obtaed the largest set we would dog some terato ad the determed the best algorthm Keywords: Ege Vectors Iterval Matrx Largest set Maxplus lgebra PENDHULUN Pada beberapa permasalaha matrks dguaka utuk memodelka suatu sstem da sstem tersebut dselesaka sehgga ddapatka solusya Utuk medapatka peyelesaa aalts dar sstem adakalaya meemu kesulta da lebh mudah megguaka komputas Tetap la komputas dar matrks tersebut tdak tepat sepert keadaa yag sebearya Hal meyebabka adaya terval la dar sebuah matrks dalam komputas dbadgka dega matrks dega la sesua keadaa yag sebearya Sebuah matrks yag mempuya terval data sepert damaka matrks terval Petgya masalah matrks terval telah dketahu da dpelajar dalam ljabar basa da dcar peyelesaaya [] ljabar Max-Plus pertama kal dkealka oleh [] da terus dkembagka hgga saat ljabar max-plus serg dguaka utuk memodelka suatu permasalaha sepert trasportas maufakturg pejadwala sstem atra lalu ltas da la sebagaya [3] Sepert halya pada aljabar basa utuk meyelesaka model tersebut mucul permasalaha adaya terval la yag meyebabka adaya matrks terval Karea tu dperluka aalss megea matrks terval utuk medapatka peyelesaaya Pada peelta sebelumya [4] telah dbahas megea 3 geerator-geerator dar possble egevector Beberapa possble egevector lah yag aka dguaka utuk medapatka hmpua terbesar dar matrks terval dalam ljabar Max-Plus Utuk memudahka perhtuga dguaka toolbox ljabar Max-Plus dega program Sclab 4 MTRIKS INTERVL DLM LJBR MX-PLUS Utuk setap a b R maks ddefska operas da adalah def a b maks( a b) da a b a+ b Sehgga utuk setap a R maks da ε ddapatka a ε ε a a da a ε ε a ε Hmpua R maks dega operas da dsebut ljabar Max-Plus da dyataka R (R maks ε e) Matrks terval adalah hmpua semua matrks yag mempuya terval la da dtuls dalam betuk dmaa R mak s da Matrks terval sepert dalam matrks basa juga mempuya egevalue da egevector Matrks merupaka matrks yag terletak datara matrks terval bawah da matrks terval atas Jka memeuh persamaa x maka x dsebut dega possble egevector Dberka defs megea egevalue pada matrks terval adalah sebaga berkut: Defs [] Suatu blaga rl λ adalah sebuah possble egevalue dar sebuah matrks terval jka λ def
Jural Matematka Vol 4 No 3 Desember :3-36 merupaka egevalue dar mmal satu matrks Suatu blaga rl λ adalah sebuah uversal egevalue dar sebuah matrks terval jka λ merupaka egevalue dar tap matrks Sedagka pegerta egevector pada matrks terval ddefska sebaga berkut: Defs [] Suatu vektor x R maks adalah sebuah possble egevector dar sebuah matrks terval jka ada sehgga x λ ( ) x Suatu vektor x R maks adalah sebuah uversal egevector dar sebuah matrks terval jka x λ ( ) x utuk setap matrks Cotoh 3 Dberka matrks terval 38 4 69 46 35 5 8 37 Dega megguaka algortma maxalgol matrks mempuya egevalue λ ( ) 4 da matrks mempuya egevalue λ ( ) 8 Karea λ( ) λ( ) berart matrks terval tdak mempuya uversal egevalue haya mempuya possble egevalue yatu 4 λ 8 Jka d ambl suatu vektor x 3 9 maka dperoleh x 5 dega la 6 λ maks( x x) 8 Selajutya ddapatka la dar 9 x λ x da x 7 Terlhat bahwa pada bars kedua da ketga la x > x padahal seharusya x Jad x buka merupaka possble 3 egevector utuk matrks terval Jka d ambl suatu vektor x 6 maka x 6 dega la λ maks( x x) 4 Selajutya ddapatka la dar 6 x λ x 6 da x 8 Terlhat bahwa pada setap bars memeuh x dapu la dar dberka oleh a m a λ( x) + x x j { } j 4 4 6 sehgga ddapatka 4 4 Karea da x 4 x maka x adalah possble egevector utuk matrks terval dega λ 4 Cotoh 4 Dberka matrks terval { ( c) ; c 4 } dmaa c ( c) Dega megguaka algortma maxalgol ddapatka egevalue dar ( c) da ( c) adalah sama dega ol Jad matrks mempuya uversal egevalue λ ( ( c) ) utuk semua c 4 Da c egevector dar (c) adalah Dmaa j 33
Rata Novtasar (lgortma Meetuka Hmpua Terbesar dar suatu Matrks Iterval dalam ljabar ) egevector dar matrks ( c) adalah 34 4 sedagka egevector dar matrks ( c) adalah Jad matrks terval (c) tdak mempuya uversal egevector Dberka matrks terval B B( c) ; c 4 dmaa { } c ( c) dega matrks 4 terval bawah ( c) da matrks terval atas ( c) Ddapatka egevalue dar B ( c) da B ( c) adalah sama dega ol Jad matrks B mempuya uversal egevalue λ ( B( c) ) utuk semua c 4 Sedagka egevector dar B(c) adalah Dmaa egevector dar matrks ( c) da egevector dar matrks ( c) adalah Jad matrks terval B(c) mempuya uversal egevector Utuk proses perhtuga besarya la egevalue da egevector dguaka lgortma Power [5] dalam betuk program Sclab 4 [6] 3 LGORITM MENENTUKN HIMPUNN TERBESR DRI MTRIKS INTERVL Utuk medapatka hmpua terbesar d suatu matrks terval apabla dberka suatu possble egevector aka dlakuka dega cara teras Matrks past terletak d atara matrks da Kemuda matrks dgatka oleh matrks da seterusya hgga la dar matrks semak ak hgga mecapa la terbesarya da berhet Matrks merupaka matrks yag terletak atara matrks terval bawah da matrks terval atas pada teras ke- Cotoh 3 Matrks terval dberka pada Cotoh 3 Dar keempat macam yag telah ddapatka dambl dega la terbesar yatu jka dberka vektor yag merupaka egevector dar c yatu 4 5 Dega megguaka algortma maxalgol ddapatka matrks mempuya λ 6 da v Kemuda d ambl sebaga sehgga matrks terval berubah mejad 68 4 89 46 5 Jka dberka x 45 68 67 adalah egevector dar yatu x 4 5 yag sama dega Jka dberka x adalah egevector dar yatu x 4 5 Jka dberka x adalah la maksmum dar 8 rata-rata matrks terval yatu x 5 7 bahwa x buka merupaka possble egevector Jad hmpua terbesar dar matrks terval jka dberka keempat macam
Jural Matematka Vol 4 No 3 Desember :3-36 possble egevector kemuda d ambl Jka dberka egevector dar yatu la yag terbesar da dlakuka secara 5 x teras adalah 4 5 45 4 6 6 # 3 4 dapu algortma utuk meetuka hmpua terbesar dalam suatu matrks Jka d ambl rata-rata egevector dar terval adalah 47 Iput : matrks terval da da yatu x 45 vektor x # 3 4 Output : hmpua terbesar dar matrks 3 terval maks { x Jka d ambl maksmum dar rata-rata x maks x} Whle maksmum ( 47 ) matrks terval yatu x maka # 3 5 x ddapatka 4 Possble ed egevector juga merupaka possble Berkut dberka cotoh utuk matrks egevector pada matrks terval terval dega ukura # 3 5 Kemuda Cotoh 3 Dberka matrks terval 4 d ambl sebaga sepert pada Cotoh 3 da aka d sehgga matrks terval mejad tetuka hmpua terbesarya Matrks 3 5 3 5 terval Jka d ambl 34 4 354 possble egevector yag memberka Jka dberka egevector dar yatu la # yag maksmum yatu egevector 9 x 5 dar matrks yatu x maka 85 45 # 3 # 3 45 ddapatka yag Jka dberka egevector dar yatu mempuya 4 4 5 5 v x 45 Kemuda # d ambl sebaga # 3 sehgga matrks terval mejad 4 3 455 Jka d ambl rata-rata egevector yatu 354 4 7 x teryata tdak memberka Jka dberka egevector dar yatu 65 la # 4 x Jka d ambl maksmum dar rata-rata matrks terval yatu x teryata # 3 4 tdak memberka la # 35
Rata Novtasar (lgortma Meetuka Hmpua Terbesar dar suatu Matrks Iterval dalam ljabar ) Jad ddapatka hmpua maksmum jka dberka suatu possble egevector # 3 adalah yag sama dega 4 besarya matrks terval atas 4 KESIMPULN Hmpua terbesar suatu matrks terval apabla dberka suatu possble egevector ddapatka dega cara teras Matrks past terletak d atara matrks da Kemuda matrks dgatka oleh matrks da seterusya hgga la dar matrks semak ak hgga mecapa la terbesarya da berhet 5 DFTR PUSTK [] Baccell F Cohe G Olsder GJ da Quadrat JP (99) Sychrozato ad Learty lgebra for Dscrete Evet Systems Joh Wley & Sos New York [] Cechlarova K (5) Egevectors of Iterval Matrces over Max-Plus lgebra Joural of Dscrete ppled Mathematcs vol 5 hal 5 [3] Hedergott B Olsder GJ da Woude J va der (6) Max Plus at Work Modelg ad alyss of Sychrozed Systems: Course o Max-Plus lgebra ad Its pplcatos Prceto Uversty Press New Jersey [4] Novtasar R Suboo (9) alss Masalah Geerator dar Possble da Uversal Egevector pada Matrks Iterval dalam ljabar Max Plus Jurusa Matematka Isttut Tekolog Sepuluh Nopember Surabaya [5] Suboo Woude J va der () Power lgorthm for (max +) ad Bpartte (m max +) Systems Joural of Dscrete Evet Dyamc Systems vol hal 369-389 [6] Suboo (7) Max-plus lgebra Toolbox ver Jurusa Matematka Isttut Tekolog Sepuluh Nopember Surabaya 36