Bab 5 DERET FOURIER Pada Bab sebelumnya kita telah membahas deret Taylor. Syarat fungsi agar dapat diekspansi ke dalam deret Taylor adalah fungsi tersebut harus terdiferensial pada setiap tingkat. Untuk fungsi yang tidak terdiferensial masih ada alternatif lain untuk mengekspansikannya ke dalam deret yang disebut deret Fourier. Agar suatu fungsi dapat diekspansi ke dalam deret Fourier maka fungsi tersebut harus periodik. 5. Fungsi periodik, fungsi genap, fungsi ganjil Definisi 5... Suatu fungsi f(x) dikatakan fungsi periodik dengan periode T jika untuk setiap x berlaku f(x + T ) = f(x). Contoh 5... Fungsi f(x) = sin(x) mempunyai periode T = 2π, 4π, 6π, sebab sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) = sin(x + 6π) = Bilangan T paling kecil yang dianggap sebagai periode suatu fungsi. contoh ini, fungsi f(x) = sin(x) mempunyai periode 2π. Dalam Contoh 5..2. Fungsi f(x) = sin nx, dengan n suatu bilangan bulat positip merupakan fungsi periodik dengan periode 2π, sebab n ( f x + 2π ) = sin (n(x + 2πn ) n ) = sin(nx + 2π) = sin nx = f(x). 65
66 Ilustrasi untuk n = 2 dapat dilihat pada gambar. Gambar 5.: Grafik fungsi f(x) = sin 2x dan periodanya Kita dapat membuat fungsi yang didefinisikan pada suatu interval menjadi fungsi periodik dengan cara copy-paste. Artinya, fungsi y = f(x) dengan x [a, b] diperluas menjadi y = f(x) dengan x R yaitu f(x) = { f(x) bila x [a, b] f(x T ) Kita sebut teknik ini dengan periodisasi fungsi. bila x / [a, b]. Definisi 5..2. Fungsi f(x), x R dikatakan i. Fungsi ganjil jika f( x) = f(x) untuk setiap x R, ii. Fungsi genap jika f( x) = f(x) untuk setiap x R. Contoh 5..3. Berikut ini beberapa contoh fungsi genap dan fungsi ganjil. a. Fungsi f(x) = cos x merupakan fungsi genap, sebab cos( x) = cos x. b. Fungsi f(x) = sin x merupakan fungsi ganjil, sebab sin( x) = sinx. c. Fungsi f(x) = x 3 merupakan fungsi ganjil, sebab ( x) 3 = x 3.
kalkulus lanjut 2 by J.Hernadi 67 Gambar 5.2: Periodisasi fungsi f(x) = x 2, x [, ]. d. Fungsi f(x) = x 2 merupakan fungsi genap, sebab ( x) 2 = x 2. e. Fungsi f(x) = e x bukan merupakan fungsi genap maupun fungsi ganjil, sebab e x e x dan e x e x. Berikut ilustrasi grafis fungsi genap dan fungsi ganjil. 5.2 Deret Fourier fungsi periodik Definisi 5.2. (Deret Fourier). Misalkan fungsi f(x) periodik dengan periode 2. Jika fungsi ini terdefinisi pada interval (c, c + 2) dengan c suatu konstanta maka fungsi ini dapat disajikan dalam bentuk deret a 2 + ( a n cos nπx + b n sin nπx ) dengan a n = c+2 c n= f(x) cos nπx dan b n = c+2 c (5.2.). (5.2.2) Secara khusus, jika fungsi f didefinisikan pada interval (, ) yaitu bersesuaian dengan c = maka koefisien deret Fourier di atas menjadi a n = f(x) cos nπx dan b n =. (5.2.3)
68 y = x 2 y = x 3.9.8.8.6.7.4.6.2.5.4.2.3.4.2.6..8 Gambar 5.3: Grafik fungsi f(x) = x 2 (genap) dan f(x) = x 3 (ganjil). Teorema 5.2.2. Misalkan f : [, ] R. Jika f genap maka a n = 2 f(x) cos nπx dan b n =. Jika f ganjil maka a n = dan b n = 2. Bukti. Akan dibuktikan saja kasus f ganjil. dapat mencoba sendiri. Karena f ganjil maka f( x) = f(x). Untuk fungsi genap mahasiswa a n = f(x) cos nπx = [ f(x) cos nπx + f(x) cos nπx ] = [ f( x) cos nπ( x) d( x) + f(x) cos nπx ] = [ f(x) cos nπx + f(x) cos nπx ] =
kalkulus lanjut 2 by J.Hernadi 69 Selanjutnya, b n = = [ = [ = [ = 2 + f( x) sin nπ( x) + d( x) + ] ] ] Berikut ini nilai integral yang memuat fungsi sinus dan cosinus yang sering digunakan dalam menentukan koefisien deret Fourier. cos nπx mπx cos = sin kπx cos nπx sin nπx =, mπx sin =, mπx sin = cos kπx = { bila m n bila m = n. Contoh 5.2.. Temukan deret Fourier untuk fungsi f(x) = { bila 5 < x < bila < x < 5. dan diluar interval ini [ 5, 5] dilakukan periodisasi dengan periode =. Penyelesaian. Diperhatikan bahwa fungsi ini adalah ganjil dengan 2 =, lihat gambar berikut Karena itu, berdasarkan Teorema sebelumnya diperoleh a n = dan
7 5 5 Gambar 5.4: Grafik fungsi f. b n = 2 5 = 2 5 = 2 5 5 5 sin nπx [ 5 nπx cos nπ 5 ] 5 = 2 2 [cos nπ cos ] = [cos nπ ] nπ nπ Jadi deret Fourier untuk fungsi ini adalah n= 2 nπx [cos nπ ] sin nπ 5. Untuk melihat bagaimana deret Fourier ini mengaproksimasi fungsi f(x), kita ambil jumlah parsial N sukunya seperti terlihat pada Gambar berikut. Diperhatikan bahwa semakin dekat dengan titik diskontinu x = maka aproksimasinya semakin jelek. Fakta ini sesuai dengan sifat kekonvergenan deret Fourier, yaitu a 2 + n= ( a n cos nπx { + b n sin nπx ) = f(x) jika x titik kontinu f(x + ) f(x ) 2 jika x titik diskontinu.
kalkulus lanjut 2 by J.Hernadi 7 2.5 N = 3 N = 8.5 N = 3.5.5 2 5 5 Gambar 5.5: Aproksimasi fungsi dengan deret Fourier dimana f(x + ) dan f(x ) menyatakan limit kanan dan limit kiri. Kode MAT- AB yang dapat digunakan untuk mendefinisikan N suku pertama deret Fourier diberikan sebagai berikut function y = fourier(x,n) %N suku pertama deret Fourier contoh 5..4 a=; y=a/2; for n=:n an=; bn=-2/(n*pi)*(cos(n*pi)-); y= an*cos(n*pi*x/)+bn*sin(n*pi*x/); y=y+y; end %untuk kasus lainnya, perlu dimodifikasi %pada a, an dan bn. Contoh 5.2.2. Ekspansikanlah fungsi f(x) = x 2 deret Fourier jika fungsi tersebut diperiodisasi dengan periode 2π. pada interval (, 2π) dalam
72 Penyelesaian. Dalam soal ini kita mempunyai = π. Dengan mengambil c = maka dengan menggunakan teknik integral parsial diperoleh a n = π = π 2π x 2 [ x 2 ( sin nx n cos nx ) ( ) ( cos nx sin nx 2x + 2 n 2 n 2 )] 2π = 4 n 2, n. Untuk n =, a = π 2π x 2 = 8π 3. b n = π = π 2π x 2 sin nx [ x 2 ( cos nx n ) ( ) sin nx ( cos nx 2x + 2 n 2 n 2 )] 2π = 4π n. Karena f(x) = x 2 kontinu didalam interval (, 2π) maka untuk setiap x (, 2π) berlaku f(x) = x 2 = 4π2 3 + ( 4 n cos nπx 4π 2 n n= ) sin nπx. Anda dapat melihat pola aproksimasi deret Fourier terhadap fungsi f dengan menggambarkan grafiknya seperti di atas. 5.3 Deret Fourier jangkauan setengah Misalkan suatu fungsi f(x) didefinisikan pada interval (, ). Fungsi ini dapat diekspansikan kedalam deret Fourier dengan cara mengembangkan fungsi f pada interval (, ). Jadi diperlukan pendefinisian fungsi pada interval (, ). Ada dua cara yang dapat dilakukan, yaitu fungsi f dikembangkan menjadi fungsi ganjil atau menjadi fungsi genap. Kedua cara ini dapat dilihat pada gambar berikut. Untuk pengembangan menjadi fungsi ganjil maka akan didapat deret n= b n sin nπx (5.3.)
kalkulus lanjut 2 by J.Hernadi 73 y = f(x) Gambar 5.6: Pengembangan menjadi fungsi genap dengan b n = 2. Sedangkan untuk pengembangan menjadi fungsi genap maka akan didapat deret a 2 + n= a n cos nπx (5.3.2) dengan a n = 2 f(x) cos nπx. Deret yang terdapat pada (5.3.) dan (5.3.2) disebut deret Fourier jangkauan setengah. Contoh 5.3.. Ekspansikanlah fungsi f(x) = cos x, x [, π] dalam bentuk deret sinus. Penyelesaian. Pertama-tama kita perluas fungsi f(x) = cos x yang semula didefinisikan pada [, π] menjadi fungsi genap yang didefinisikan pada [ π, π].
74 y = f(x) Gambar 5.7: Pengembangan menjadi fungsi ganjil Karena = π maka berdasarkan (5.3.) diperoleh π b n = 2 cos x sin nx π = 2 π [sin(n )x + sin(n + )x] π 2 = [ ] π cos(n )x + cos(n + )x π n n + = [ ] 2n (cos(n + )π ), untuk n 2. π n 2 Sedangkan untuk n =, dengan melihat langkah kedua penjabaran diatas, diperoleh b =. Jadi deret sinus untuk fungsi cosinus adalah [ ] 2n cos(n + ) cos x = ( π) sin nx π n 2 n=2 Dengan cara yang sama, kita dapat manyajikan fungsi f(x) = cos x dalam deret sinus. Contoh 5.3.2. Ekspansikanlah fungsi berikut { x jika < x < 4, f(x) = 8 x jika 4 < x < 8 kedalam (a) deret sinus dan (b)deret cosinus.
kalkulus lanjut 2 by J.Hernadi 75 Penyelesaian. (a) Untuk ekspansi kedalam deret sinus, fungsi f perlu diperluas menjadi fungsi ganjil seperti terlihat pada gambar berikut. Karena = 8 maka 4 3 2 2 3 4 8 4 4 8 Gambar 5.8: Aproksimasi fungsi dengan deret Fourier diperoleh b n = 2 8 f(x) sin nπ 8 8 x = [ 4 x sin nπ 8 4 8 x + (8 x) sin nπ ] 8 x 4 Dengan menerapkan integral parsial, kemudian memasukkan batas-batasnya maka akhirnya diperoleh b n = 32 π 2 n 2 sin nπ 2. Selanjutnya, pertanyaan (b) dapat diselesaikan dengan prinsip yang sama.