BAB III TEOREMA GLEASON DAN t-desain

BAB III TEOREMA GLEASON DAN t-desain Dalam ubbab 3., kta aka mempelaar alah atu fat petg dar kode wa-dual geap. Sfat terebut dberka oleh Teorema 3.(Teorema Gleao), Teorema ecara megeaka telah meetuka betuk pecacah bobot dar ebarag kode wa-dual geap. D ampg tu, pada ubbab 3. kta aka mempelaar teor t-dea. Kemuda kta tuuka bahwa utuk ebarag kode ler, ka bayakya bobot tak ol pada kurag dar atau ama dega arak mmum pada kode dual, maka etap katakode d membetuk t-dea. Dua hal yag debutka d ata merupaka dua hal petg yag aka dguaka dalam meetuka bata ata bag arak mmum kode wa-dual geap. Peetua bata ata terebut dbaha pada bab IV. 3. Teorema Gleao Teorema 3.. Teorema Gleao(Gleao, 970). Pecacah bobot ebarag kode wa-dual geap merupaka polom dalam W x, y = x 8 + 4x 4 y 4 + y 8 da W x, y = x 4 y 4 x 4 y 4 4. Bukt: Mal kode wa-dual ber dega paag da dme k, erta etap bobot dar emua kata kode d merupaka kelpata 4. Malka W, x y adalah pecacah bobot kode wa-dual terebut, karea wa-dual W x, y = W x, y Berdaarka teorema Mac Wllam, W x, y dapat dhtug ebaga berkut :. W x, y = W x y, x y 3

= = = A x y x y 0 A x y x y 0 A 0 x y x y x y x y = A / / 0 = x y x y A 0 x y x y = W, Sehgga dperoleh W x, y = W x, y x y x y = W,. (3..a) Kta tau W x, y berdaarka def pecacah bobot, betuk W, dtulka ebaga : W x, y A x y ; 0 A bayakya kata kode berbobot. Karea etap bobot dar emua kata kode d merupaka kelpata 4, W, memuat pagkat dar 4 y. Sehgga, W x y dapat kta tul ebaga : W x, y = A x y 0 =, W x y, dega =. x y dapat x y haya (3..b) Peramaa (3..a) meuuka W, traforma ler T : x y tdak berubah atau vara terhadap 4

Gat x dega Gat y dega x y x y Atau dalam betuk matrk T : gat x y dega x. y Seala dega hal d ata, peramaa (3..b) meuuka bahwa W, tdak berubah atau vara terhadap traforma ler T : x y uga Gat x dega x Gat y dega y Atau dalam betuk matrk T : gat Sela hal d ata,, x y dega 0 x 0 y W x y tetulah vara terhadap ebarag komba T, T T, TT T,... dar traforma. Tdaklah ult utuk meuuka bahwa matrk traforma T da T ketka dkalka dalam emua kemugka, meghalka ebuah grup G yag memuat 9 matrk. Sehgga permaalaha kta adalah mecar emua polom,. W x y yag vara terhadap etap matrk dar G. Polom-polom terebut kta ebut ebaga polompolom yag vara terhadap grup G. Aka tetap, kta tdak aka medapatka awaba yag tuggal. Karea ka polom f da g vara terhadap etap matrk dar G, maka cf utuk emua c eleme F, f+g, f-g, da fg uga vara terhadap etap matrk dar G. Oleh karea tu, cukuplah kta car bayakya polom homoge yag beba ler da vara terhadap emua matrk dar G utuk etap deraat d, ebut ebaga a d. 5

Salah atu cara ederhaa utuk meaga blaga-blaga a0, a, a,... adalah dega megombaka a0, a, a,... dalam betuk deret pagkat atau fug pembagkt φ λ = a a a. 0... Sebalkya, ka kta tahu Φ λ, kta ba medapatka memafaatka teorema Mole berkut : a d. Sampa pada tahap kta aka Teorema 3.. Teorema Mole. Utuk uatu grup hgga G dar matrk-matrk komplek m m, φ λ dberka oleh : φ λ = G A G det I λa dmaa G adalah bayakya matrk d G, det adalah determa, I adalah matrk detta, da A merupaka matrk-matrk d G. Bukt Teorema Mole tdak dtulka dalam Tuga Akhr, dem meaga kefokua Tuga Akhr. Bukt Teorema Mole dapat dlhat d []. Utuk grup G, kta dapatka φ G λ = 9 + + λ λ peghtuga lagug megguaka program Maple, dperoleh : λ λ +. Dega φ G λ = λ 8 λ 4 (3..a) Peramaa (3..a) dekpa dalam pagkat dar λ, meghalka : φ G λ = a 0 + a λ + a λ + = + λ 8 + λ 6 + λ 4 + + λ 4 + λ 48 + (3..b) Peramaa (3..b) meuuka a d ama dega ol, kecual utuk d kelpata 8. Artya, deraat dar polom homoge yag varat terhadap grup G harulah kelpata 8. Hal membuktka bahwa paag dar ebarag kode wa-dual geap merupaka kelpata 8. Lebh laut, rua kaa dar peramaa meuuka bahwa terdapat dua buah polom ba berderaat 8 da 4 yag vara terhadap grup G, edemka rupa ehgga emua polom homoge yag vara terhadap grup G 6

dbetuk dar peumlaha da perkala dua buah polom berderaat 8 da 4 terebut. Sebut dua polom terebut ebaga W x, y da W x, y. Karea, W x, y berderaat 8 da W x, y berderaat 4, aka membagktka polom-polom yag vara terhadap grup G berkut : deraat (d) polom yag vara la a d 0 8 W x, y 6 W x, y 4 W x, y 3, W x, y 3 W x, y 4, W x, y W x, y 40 W x, y 5, W x, y W x, y 48 W x, y 6, W x, y 3 W x, y, W x, y 3 Dar tabel d ata emua hal kal W x, y W x, y beba ler, dega kata la W x, y da W x, y beba alabar, da la a d pada tabel d ata merupaka koefe-koefe pada peramaa + λ 8 + λ 6 + λ 4 + λ 3 + λ 40 + 3λ 48 + = + λ 8 + λ 6 + λ 4 + + λ 4 + λ 48 + = λ 8 λ 4 yag ama dega peramaa (3). Jad, ka kta dapat meemuka polom homoge W x, y berderaat 8 da W x, y berderaat 4 yag beba alabar, kta dapat meyataka bahwa ebarag polom homoge yag vara terhadap grup G merupaka polom dalam W x, y da W x, y. 7

Padag Θ = x 8 + 4x 4 y 4 + y 8 uatu polom homoge berderaat 8, da Φ = x 4 y 4 x 4 y 4 4 uatu polom homoge berderaat 4, Θ da Φ beba alabar. Plh W x, y = Θ da W x, y = Φ, maka ebarag polom homoge yag vara terhadap grup G merupaka polom dalam W x, y da W x, y. Peryataa Setara dega meyataka bahwa pecacah bobot dar ebarag kode wa-dual geap merupaka polom dalam W x, y da W x, y. Terbukt. 3. t-dea Def 3.. Mal X merupaka uatu v-hmpua (hmpua dega v buah eleme), elema-eleme d X debut ttk atau vareta. Suatu t(v, k, λ)-dea adalah uatu kolek dar k-ubhmpua (damaka blok) dar X, yag berbeda atu ama la, dega fat ebarag t-ubhmpua dar X termuat d tepat λ buah blok. Dalam bahaa yag lebh lutratf, t-dea merupaka kolek dar komte-komte yag dbetuk dar v orag, etap komte beraggotaka k orag, edemka rupa ehgga etap t orag bekera berama-ama dalam tepat λ komte. otoh 3.. Perhatka gambar d bawah : Gambar 3. Terdapat tuuh ttk da tuuh gar (alah atuya merupaka gar legkug) pada gambar d ata. Jka kta megambl gar-gar ebaga blok, kta peroleh tuuh blok yatu : 8

03, 045, 06, 65, 4, 463, da 35. Selautya kta dapatka -(7,3,) dea, karea etap dua buah ttk dlewat oleh ebuah gar yag tuggal. Teorema 3..3 D dalam t-(v,k, λ) dea, malka P, P,, P t merupaka t ttk yag berbeda, mal λ adalah bayakya blok yag memuat P, P,, P, utuk t, da mal λ 0 = b merupaka umlah keeluruha dar blok-blok. Maka λ tdak bergatug pada pemlha dar P, P,, P da dperoleh fakta : λ = λ v t k t, t = λ v v (v t+) k k (k t+) Hal meyebabka uatu t-(v, k, λ) uga merupaka -(v, k, λ ) utuk t. Bukt : Teorema bear utuk = t, karea meurut def t-dea, etap t ttk termuat tepat pada λ blok. Kta lautka dega duk pada. Aumka λ + tdak bergatug pada pemlha P, P,, P +. Utuk etap blok B yag memuat P, P,, P, da utuk etap ttk Q yag berbeda dega P, P,, P defka χ Q, B = ka Q B, da χ Q, B = 0 ka Q B. Maka dar hpote duk kta peroleh : Q χ Q, B = λ + (v B ) = χ Q, B = λ + (k ), yag meuuka bahwa λ beba dar pemlha Q B P, P,, P,da meuuka fakta pada teorema d ata. Terbukt. Mal v da w merupaka dua vektor d v v... v da w w... w. Malka F, I v ;... da I w ;.... Vektor w dkataka meyelmut v, ka I v w I w u. Teorema 3..4(MacWllam da Sloae []). Mal [] adalah matrk Mx dega barbarya merupaka emua katakode d uatu kode. Sebarag hmpua dar rd ' kolom d [] memuat etap r-tuple ebayak tepat M r kal, da terbear dalam kau. Bukt Teorema dapat dlhat pada []. ' d merupaka blaga 9

Teorema 3..5(MacWllam da Sloae []). Mal kta plh ebuah vektor u berbobot t d F, 0t d '. Utuk t, mal ( u) adalah bayakya katakode d yag berbobot yag meyelmut u. Maka ( u) memeuh peramaa : t M t ( u) t t t N ', dega 0 d t. (3..) Bukt : Kta guaka Teorema 3..4 utuk meghtug (dalam dua arah) bayakya katakode berbobot t+ yag meyelmut u da terelmut oleh ebuah katakode d. Terbukt Teorema 3..6 (Mac Wllam da Sloae[]) Jka d ', maka emua katakode berbobot d membetuk t(,, ) dea, dega t ( d ' ), da parameter dberka A. ( ) S t Sr ( ) oleh. ( ), N rt rt r, memberka ' d. Bukt : Karea vektor = d meulka peramaa (3..) mead : F meyelmut emua emua vektor d F, kta dapat t t ( ). t u A N (3..) Jka kta dapat memlh t edemka rupa ehgga peramaa yag beba ler dalam verabel ' d t, maka kta dapatka ebayak ( u ). Dega kata la, ( u) tdak bergatug pada pemlha u. Oleh karea tu, emua katakode berbobot membetuk t- dea, dega t d'. Parameter-paremeter dar dea dperoleh ebaga berkut : Peramaa (3..) memlk olu : dega t t g ( ) ( ) ( ), t t g t r A g t t N r0 r 0

g ( ) t x t x., Jela bahwa g t( x t) g ( x), ehgga olu dar peramaa (3..) adalah : t g ( ) ( ) ( ), g r A g N rtr t atau Terbukt. ( ) A. S( ) t Sr ( ) N r. (3..3), rt rt