PROGRAM LINEAR Bukti : + = a + b = a.b b a Pengertian Program Linear : Program Linear adalah bagian ilmu matematika terapan ang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi (pemaksimalan atau peminimalan suatu tujuan ang dapat digunakan untuk mencari keuntungan maksimum seperti dalam bidang perdagangan, penjualan dsb Daerah Penelesaian:. Dalam penelesaian persoalan program linear adalah pemahaman dalam pembuatan grafik pertidaksamaan linear aitu penentuan daerah himpunan penelesaian dari suatu sstem pertidaksamaan linear. Yang perlu diingat dalam pembuatan grafik pertidaksamaan linear ini aitu mengenai persamaan garis.. Persamaan garis melalui suatu titik (, dengan gradien m adalah: ( - = m ( - p (, Gunakan persamaan 2 di atas : 2 = 2 Persamaan garis melalui (b,0 (, dan (0, a ( 2, 2 0 a 0 = b 0 b b = a b - b = a(-b - b = a ab ab = a + b a + b = ab terbukti 4. Dua gradien sama apabila dua garis saling sejajar. m = m 2 2. Persamaan garis melalui titik (, dan ( 2, 2 adalah: h h 2 2 = 2 ( 2, 2 (, p 3. Persamaan garis lurus ang memotong sumbu (=0 di titik (b,0 dan memotong sumbu (=0 di titik (0, a adalah: + = a + b = a.b b a 5. Hasil perkalian dua gradien adalah apabila dua garis saling tegak lurus m. m 2 = - h (0,a a + b = a.b h 2 (b,0 www.pintarmatematika.web.id -
Menentukan Sistem Pertidaksamaan Linear: Contoh: Tentukan persamaan garis dari gambar di bawah ini : Untuk menentukan daerah himpunan penelesaian pertidaksamaan linear dapat dilakukan dengan menggunakan metoda grafik dan uji titik. Langkah-langkahna ( a + b c aitu : garis h melalui (3,0 dan (0,2 ; garis h h2 dan melalui (,0.. Gambar garis a + b = c 2. Lakukan uji titik dengan menentukan titik sembarang (, ang terletak di luar garis a + b= c, kemudian substitusikan ke dalam persamaan a + b c. a. Jika benar, maka himpunan penelesaianna adalah daerah ang memuat titik tersebut dengan batas garis a + b = c b. Jika salah, titik tersebut bukan himpunan penelesaianna persamaan garis h (gunakan rumus b + a = + = 6 3 2 persamaan garis h 2 + 3 = 6 3 = -2 + 6 = - 3 2 + 6 Tanpa melakukan uji titik himpunan penelesaian pertidaksamaan dapat dilihat dari gambar berikut dimana garis membagi bidang menjadi 2 bagian : untuk a >0 dan b>0 (0,a a + b ab persamaan garis h2 : h h2 sehingga m. m 2 = - m = - 3 2 maka m 2 = 2 3 melalui (,0 a + b ab untuk a > 0 dan b <0 (b,0 a + b =c ( - = m 2 ( - 0 = 2 3 ( a - b -ab (0,a = 2 3 ( 2 = 3 3 persamaan garis h2 adalah 3-2 = 3 (-b,0 a - b -ab www.pintarmatematika.web.id - 2
Untuk a < 0 dan b > 0 -a + b -ab (b,0 Buat garis 4 +2 = 8 titik potong dengan sb jika =0 4 = 8 = 2 titik potong dengan sb jika = 0 2 = 8 = 4 didapat koordinat (2,0 dan (0,4 (0,-a -a + b -ab 4 4+2=8 Untuk a < 0 dan b <0 (-b,0 -a b ab (0,-a 2 titik potong 2+3=6 2 3 Untuk menentukan daerah himpunan penelesaian, ujilah titik (0,0. Titik(0,0 memenuhi pertidaksamaan 2 +3 6 ; 4 +2 8 ; 0 ; 0, maka (0,0 merupakan anggota himpunan penelesaian. Contoh: -a b ab Tentukan daerah himpunan penelesaian dari sstem pertidaksamaan : 2 +3 6 ; 4 +2 8 ; 0 ; 0 untuk dan R jawab: Daerah ang diarsir menunjukkan himpunan penelesaian dari sstem pertidaksamaan linear. Tambahan: Titik potong dua persamaan adalah: Substitusikan persamaan dan 2 : 2 + 3 = 6 4 8 + 2 = 24 4 + 2 = 8 2 8 + 4 = 6-8 = 8 = 2 + 3 = 6 2 + 3. = 6 = 2 Langkah : gambar persamaan 2 +3 6 Buat garis 2 +3 = 6 titik potong dengan sb jika =0 2 = 6 = 3 titik potong dengan sb jika = 0 3 = 6 =2 didapat koordinat (3,0 dan (0,2 Langkah 2 : gambar persamaan 4 +2 8 titik potongna adalah ( 2, Nilai Optimum (Maksimum dan Minimum dalam daerah penelesaian Untuk menentukan nilai optimum dalam daerah penelesaian, dapat ditentukan dengan menggunakan metode titik pojok (titik ekstrim atau garis selidik. Contoh: Jika diketahui sstem pertidaksamaan 2 +3 6 ; 4 +2 8 ; 0 ; 0 untuk dan R, www.pintarmatematika.web.id - 3
Tentukan nilai optimum untuk A = +3 dan B= nilai maksimum dari A adalah 6, minimum adalah 0 2+5 nilai maksimum dari B adalah 0, minimum adalah 0 dimana, R Model Matematika Jawab: Model matematika adalah penerjemahan dari situasi ang disajikan dalam bahasa sehari-hari menjadi bahasa matematika (pertidaksamaan linear Contoh: Q (0,2 P= ( 2, O R(2,0 (3,0 titik P merupakan titik potong garis 2 + 3 = 6 4 8 + 2 = 24 4 + 2 = 8 2 8 + 4 = 6-8 = 8 = Tempat parkir di suatu gedung mempunai luas 800m 2, untuk memarkir sebuah mobil diperlukan tempat seluas 0m 2 dan untuk suatu bus atau truk diperlukan tempat seluas 20m 2. Tempat parkir tersebut maksimal hana dapat menampung tidak lebih dari 50 mobil dan bus. Jika ongkos parkir untuk mobil adalah Rp.2000,- dan untuk bus/truk Rp.4000,- berapa ongkos maksimal parkir ang didapat?. Jawab: langkah : buat model matematika dalam bentuk table 2 + 3 = 6 2 + 3. = 6 = 2 titik potongna adalah titik P ( 2, Daerah ang diarsir merupakan himpunan penelesaian dari sstem pertidaksamaan. Titik-titik ekstrimna adalah P( 2,, Q(0,2, R(2,0 dan O(0,0. Tabel. Jenis Luas Banak Mobil 0 X Bus 20 Y Tersedia 800 50 Diperoleh model matematika: 0 + 20 800 + 2 80 + 50 0 0 fungsi tujuanna adalah f(,=2000 + 5000 dengan saratsarat di atas. Langkah 2: menggambar daerah penelesaian Titik O P Q R X 0 0 2 2 Y 0 2 0 A=+3 0 6 2 4 2 B=2+5 0 8 0 4 dari tabel dapat disimpulkan bahwa : Daerah + 2 = 80 www.pintarmatematika.web.id - 4 X 0 80 Y 40 0 Titik (0,40 80,0 daerah 2 + = 50 X 0 50 Y 50 0
Titik (0,50 (50,0 Titik potong garis + 2 = 80 dan + = 50 + 2 = 80 + = 50 - = 30 titik potongna (30,20 + = 50 = 50 30 = 20 (0,50 titik potong (20,30 (0,40 (0,0 (50,0 (80,0 Daerah ang diarsir adalah daerah penelesaiana Langkah 3 : Menentukan nilai optimum fungsi tujuanna Dengan menggunakan metoda titik-titk sudut : Terdapat 4 titik sudut aitu (0,0, (50,0, (20,30 dan (0,40 Titik (0,0 (50,0 (20,30 (0,40 X 0 50 20 0 Y 0 0 30 40 2000+4000 0 00.000 60.000 60.000 Jadi ongkos maksimal ang didapat adalah Rp.60.000 dengan jumlah parkir untuk mobil sebanak 20 mobil dan untuk bus/truk sebanak 30 bus/truk catatan: nilai untuk titik (0,40 jumlahna sama dengan untuk (20,30 tetapi tidak mungkin satu lahan parkir hana digunakan untuk bus/truk saja sehingga nilai tersebut diabaikan. www.pintarmatematika.web.id - 5
buat grafikna: Contoh Soal: Soal UN200 UN202 UN200. Suatu perusahaan memproduksi barang dengan 2 model ang dikerjakan dengan dua mesin aitu mesin A dan mesin B. Produk model I dikerjakan dengan mesin A selama 2 jam dan mesin B selama jam. Produk model II dikerjakan dengan mesin A selama jam dan mesin B selama 5 jam. Waktu kerja mesin A dan B berturut turut adalah 2 jam perhari dan 5 jam perhari. Keuntungan penjualan produk model I sebesar Rp. 40.000,00 perunit dan model II Rp 0.000,00 per unit. Keuntungan maksimum ang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah. A. Rp. 20.000,00 D. Rp. 300.000,00 B. Rp. 220.000,00 E. Rp. 600.000,00 C. Rp. 240.000,00 2+ = 2 titik potong dengan sb jika =0 2 = 2 = 6; didapat titik (6,0 titik potong dengan sb jika =0 = 2 didapat titik (0,2 Tarik garis dari titik (6,0 ke titik (0,2 + 5 = 5 titik potong dengan sb jika =0 = 5; didapat titik (5,0 titik potong dengan sb jika =0 5 = 5 =3 ; didapat titik (0, 3 Tarik garis dari titik (5,0 ke titik (0,3 Jawab: Misal produk model I = produk model II = produk model I 2 produk model II 5 waktu kerja 2 5 A ditana keuntungan maksimum : 40.000 + 0.000 =? Dibuat model matematikana: 0 ; 0 ; 2 + 2 ; + 5 5 B titik potong 2 garis tersebut adalah: substitusikan 2 persamaan tsb: eliminasi 2+ = 2 2+ = 2 + 5 = 5 2 2 +0 = 30-2 + = 2 2 + 2 = 2 2 = 2-2 0 = = 5 2-9 = -8 = 2 www.pintarmatematika.web.id - 6
titik potongna adalah (5,2 dibuat tabel dengan titik-titik pojok: titik pojok 40.000 + 0.000 (0, 0 0 (0, 3 30.000 (5, 2 200.000+ 20.000 = 220.000 (6, 0 240.000 Perpotongan antara ( dan (2 didapat dengan substitusi dengan eliminasi ( dan (2: 5 + 0 = 25 3 5 + 30 = 75 3 + = 5 5 5 + 5 = 25-25 = 50 = 2 3+ = 5 3 = 5 = Terlihat bahwa nilai maksimumna adalah 240.000 di titik (6, 0 Jawabanna adalah C UN20 2. Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 0 unit vitamin A dan unit vitamin B. Dalam hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp. 4.000,00 per biji dan tablet II Rp. 8.000,00 per biji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah... A. Rp. 2.000,00 C. Rp. 6.000,00 E. Rp. 20.000,00 B. Rp. 4.000,00 D. Rp. 8.000,00 Jawab: Misal: tablet jenis I = ; tablet jenis II = Vitamin A = 5 vitamin A (tablet jenis I + 0 Vitamin A (tablet jenis II = 25 keperluan vitamin A perhari = 5 + 0 = 25...( Vitamin B = 3 vitamin B (tablet jenis I + Vitamin A (tablet jenis II = 5 keperluan vitamin A perhari = 3 + = 5...(2 f(, = 4000 + 8000 dari gambar terlihat 3 titik ji coba aitu (, 0, (,2 dan (0, f(, = 4000 + 8000 0 6.666 2 20.000 0 20.000 ang berlaku adalah ang meliputi adana dan Y (tablet I dan II aitu titik (,2 sehingga pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah Rp.20.000,- Jawabanna adalah E www.pintarmatematika.web.id - 7
www.pintarmatematika.web.id - 8