KOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR Prof.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta
Kombinasi Linear (linear combination) Andaikan ruang vektor V melalui field F, dengan vektor-vektor u, u,, u n V. Sembarang vektor di dalam V (misal v V) yang dapat dinyatakan dlm bentuk : v = a u + a u + + a n u n ; dng a i F dinamakan kombinasi linear dari vektordinamakan kombinasi linear dari vektor vektor u, u,, u n.
Contoh : Andaikan s, u, v, w V; dengan 0 u =, v = 0, w =, dan s = 3. 6 Jika mungkin nyatakan v sbg kombinasi linear dari u, s, dan w! Diperoleh persamaan: Solusi : x y + z = - v = xu + ys + zw -x 3y + z = 0 x + 6y z = 0 3 6 = x + y + z Diperoleh nilai-nilai x = -, y =, dan z = Jadi v kombinasi linear dri u, s, dan w dengan v = -u + s + w
Sistem Pembentuk Himpunan vektor { u, u,, u m } disebut sistem pembentuk dari ruang vektor V; ditulis V = L{u, u,, u m } jika semua vektor v V dapat dinyatakan a sebagai kombinasi linear dari {u, u,, u m }.
Contoh : 0 3 Andaikan V = R, dengan u =, u =, u 3 = 0 Dapat ditunjukkan bahwa u, u, dan u 3 tersebut adalah sistem pembentuk bagi R ; sebab semua v V dapat dinyatakan sbg kombinasi linear dari u, u dan u 3. 3 4 00 5 Misalnya v = v = u u 3u 3 Misalnya v = v = -3u +u +u 3 ; dsb.
Contoh : Andaikan V = R 3, dengan u = 0, u =, u 3 = 0 Dapat ditunjukkan bahwa u, u, dan u 3 tersebut adalah sistem pembentuk bagi R 3 ; sebab semua v V dapat dinyatakan sbg kombinasi linear dari u, u dan u 3. 3 0 Misalnya v = v = u u + u 3 4 3 Misalnya v = v = 3u +u +u 3 ; dsb.
A = Ruang Baris & Ruang Kolom a a... a n a a... an............ a m am... amn Ruang Baris = R n m = {,,, } a a... a n a a... a n am a... amn = m = n Ruang Kolom R {,,, } a a... a m a a... a m a n a... a mn
Latihan
Bergantung Linear (linearly dependence) dan Bebas Linear (Linearly Independence). Andaikan ruang vektor V melalui field F. Vektor-vektor u, u, u 3,, u n V disebut bergantung linear atau dependen d jika ada skalar a, a, a 3,, a n F yang tidak semuanya nol sedemikian hingga berlaku : a u +a u + + a n u n =0
Dari hubungan a u + a u + + a n u n = 0 jika hanya berlaku untuk semua skalar a i = 0 (a = a = = a n = 0), maka vektor- vektor u, u, u 3,, u n V disebut bebas linear atau independen.
Vektor u, v, w R 3, dng : 3 5 6 u =, v =, dan w =. Selidiki vektor-vektor tsb dependen atau independen?. Diperoleh nilai i : x = -, y =, dan z = - x u + y v + z w = 0 Jadi : - u + v w = 0 Karena ada skalar yang tidak nol, maka vektor-vektor u, v, dan w adalah dependen atau bergantung linear. Solusi : -x + 3y + 5z = 0 x y 6z = 0 x + y z = 0
Solusi : (dng menggunakan matriks) u v = w 3 5 6 u3 v+ u = 0 4 4 w+ 5u 0 4 4 u v +3u = 0 4 4 ( w+ 5u) ( v + 3u) 0 0 0 Telah menjadi matriks eselon, Baris terakhir dapat dibaca : (w + 5u) (v + 3u) = 0 atau : u v + w = 0 Karena ada skalar yang tidak nol, maka vektor-vektor u, v, dan w adalah dependen atau bergantung linear. Amati bahwa matriks eselon punya baris nol.
Vektor u, v, w R 3, dng : u =, v =, dan w =. Selidiki vektor-vektor tsb dependen atau independen?. Hanya diperoleh nilai i : x = 0, y = 0, dan z = 0 x u + y v + z w = 0 Jadi : 0u + 0v + 0w = 0 Karena hanya ada skalar nol, maka vektor-vektor u, v, dan w adalah independen atau bebas linear. Solusi : x + y z = 0 -x x+y+z=0 y + x y z = 0
Solusi : (dng menggunakan matriks) Solusi : (dng menggunakan matriks) u = Telah menjadi matriks eselon, w v = Tetapi tidak mempunyai baris nol. Karenanya vektor-vektor v u u = 3 6 0 nol. Karenanya vektor vektor u, v, dan w adalah i d d t b b +u w 0 0 independen atau bebas linear. v u u = 3 6 0 + + ) ( 6 ) ( u v u w 0 0 A ti b h t ik l Amati bahwa matriks eselon tidak punya baris nol.
Teorema Baris-baris yg tidak nol dari matriks eselon adalah bebas linear (Independen)
Teorema Vektor-vektor u, u, u 3,, u n V disebut bergantung linear (dependen) jika salah satu vektor-vektor tersebut dapat dinyatakan sbg kombinasi i linear dari vektor-vektor e yang lainnya.
Catatan : jika u = 0, maka u pasti dependen. Jika u 0, maka u pasti independen. d Himpunan vektor yang memuat vektor nol pasti dependen. d Himpunan vektor yang memuat dua vektor yang sama atau dua vektor yang berkelipatan, pasti dependen. Andaikan U V. jika U dependen, d maka V juga dependen. Andaikan W V. Jika V independen, d maka W juga independen. Secara geometris, dua vektor yg dependen d terletak t pd garis (bidang) yang sama.