BAB III INTEGRASI NUMERIK

Bab BAB III INTEGRASI NUMERIK Integrasi numerik mengambil peranan penting dalam masala sains dan teknik. Hal ini menginat di dalam bidang sains sering ditemukan ungkapan-ungkapam integral matematis yang tidak muda atau bakan tidak dapat diselesaikan secara analitis. Disamping itu, kadang-kadang ungsi yang integralkan tidak berbentuk analitis melainkan berupa titik-titik data. Hal ini sering muncul dalam banyak aplikasi teknik. Ole sebab itu, keadiran analisis numerik menjadi penting manakala pendekatan analitis mengalami kebuntuan. Dalam bab ini kita akan membaas beberapa teknik integrasi numerik yang sangat umum digunakan untuk memperole pendekatan integral ungsi y ( ) pada batas interval [ a, b]. Secara umum, integral ungsi ( ) dinyatakan b I a y pada interval tersebut dapat d (-) Ungkapan (-) dapat diartikan sebagai integral dari ungsi y ( ) teradap peuba bebas yang dievaluasi mulai dari teradap ungkapan integral (-) dapat dinyatakan sebagai a ingga b. Pendekatan numerik I N ( ) y( ) i i i (-) dengan N menyatakan jumla segmen, y y a dan y N y b. Peratikan baa pendekatan numerik teradap bentuk integral (-) merupakan jumlaan dari deret suku-suku dengan titik-titik i terbentang dari a ingga b dan di setiap titik i dievaluasi ungsi y ( ). Faktor i ini sering disebut sebagai titik simpul (node). Sedangkan, aktor pengali i disebut aktor bobot. Integrasi Numerik 46

Bab. Metode Klasik Dalam pasal ini, kita akan membaas beberapa metode integrasi numerik yang sering digunakan dalam mendekati ungkapan integral ungsi. Untuk lebi jelasya, marila kita tinjau sebua ungsi ( ) b Gambar. Deskripsi bentuk integral I y d a atas N seperti terliat pada gambar.. yang dintegralkan dengan batas baa dan batas () -... N- N N Gambar. Integrasi numerik menggunakan lebar segmen Integrasi Numerik 47

Bab Dari gambar. kita membubukan beberapa notasi di bagian absis yaitu,,,, N dengan lebar segmen sebesar, seingga kita dapat deinisikan i i, dengan i,,,..., N (-) Dengan demikian arga ungsi ( ) baa pada i adala ( ) (-4) i i Selanjutnya, kita akan melakukan integrasi ungsi ( ) yang dibatasi ole batas a dan batas atas b. Ungkapan integrasi numerik dengan menggunakan arga-arga ungsi pada ujung-ujungnya, yaitu ( a ) dan ( b) biasa disebut metode tertutup. Dalam gambar., penggunaan metode tertutup dapat dilakukan dengan memili batas baa dan batas atas N. Akan tetapi, kadang-kadang ditemukan sebua ungsi dimana sala satu ujungnya atau bakan keduanya sangat sulit untuk diitung (misalnya, ungsi yang akan diitung mendekati suatu arga nol atau singularitas). Ole sebab itu, kita membutukan metode baru yang disebut dengan metode terbuka. Metode terbuka ini akan mengestimasi integral dengan menggunakan titik-titik simpul (node) i yang berada diantara simpul-simpul batas yaitu a dan b. Dalam gambar. metode terbuka digunakan untuk mendekati integral ungsi dengan memili batas baa integrasi dan batas atas N... Metode Trapesium Sebagaimana namanya, metode trapezium merupakan metode integrasi numerik yang didasarkan pada penjumlaan segmen-segmen berbentuk trapesium. Apabila sebua integral didekati dengan metode trapesium dengan satu segmen saja, maka dapat dituliskan sebagai b b a a ( ) d [ ( a) ( b) ] E (-5) Integrasi Numerik 48

Bab Suku pertama pada ruas kanan adala aturan trapezium yang kita maksudkan, sedangkan suku kedua yang dinyatakan dengan E adala kesalaan yang dimiliki ole metode ini. Untuk memperole ungkapan metode trapesium (-5) dan untuk mengetaui seberapa besar kesalaan yang dimiliki ole metode ini, maka kita perlu melakukan ekspansi deret Taylor luasan A Ekspnasi deret Taylor untuk luasan A yang dideinisikan sebagai t dt (-6) A selanjutnya adala A A A' A' ' A' ' ' 6... (-7) dengan deinisi (-6) maka diperole A ', A ' ' ', A ' ' ' ' ' (-8) Selajutnya, ungkapan (-6) untuk batas baa integrasi dan batas atas menjadi d A ' A' ' 6 A' ' '... ' 6 ' '... (-9) Dengan mendekati ungkapan turunan pertama dengan beda ingga maju (orard dierence) ' maka persamaan (-6) akan mengambil bentuk I (-) O. (-) Dengan demikian kita memperole pendekatan integral dengan teknik integrasi trapesium adala t dt [ ] (-) Integrasi Numerik 49

Bab Dari ungkapan (-) dapat diketaui baa pendekatan integrasi dengan aturan trapesium memiliki kesalaan yang sebanding dengan. Ole sebab itu, jika kita membagi dua teradap maka kesalaan asil integrasi akan tereduksi ingga /8 nya. Akan tetapi, ukuran domainnya juga terbagi menjadi dua, seingga dibutukan aturan trapesium lagi untuk mengevaluasinya, selanjutnya sumbangan asil integrasi tiap domain dijumlakan. Hasil akirnya memiliki kesalaan /4 nya bukan lagi /8 nya. Untuk memperole ungkapan yang lebi teliti mengenai kesalaan pada metode ini, maka marila kita lakukan peritungan lebi teliti lagi. Jika kesalaan pendekatan dinyatakan sebagai E, maka E [ d [ ] ' 6 ' '... ] [ ' ' ' 6 ' ' '... ] ' ' Secara grais ungkapan (-) dapat digambarkan seperti pada gambar (-) (-) Gambar.. Deskripsi secara grais aturan trapesium Integrasi Numerik 5

Bab Ungkapan (-) adala aturan trapezium untuk satu segmen. Untuk daera yang dibagi atas n segmen, maka ungkapan (-) dapat dinyatakan sebagai N d [... N N N N ] atau jika ungkapan (-4a) disederanakan, maka akan menjadi N (-4a) d [ N N N N ] (-4b) atau secara umum dinyatakan sebagai N d N [ N n Algoritma program untuk aturan trapesium ini dapat dinyatakan sebagai berikut: n] Mendeinisikan ungsi yang akan diintegrasikan Menentukan batas baa b dan batas atas a integrasi Mengitung lebar segmen yaitu b a N Inisialisasi (memberikan arga aal) ungsi yang diintegrasikan yaitu I(a)(b) Mengitung I untuk n ingga nn- Mencetak asil peritungan Conto soal -. (-4c) Gunakan aturan trapesium satu segmen, dua segmen dan empat segmen untuk ungkapan integral 4 d kemudian itung kesalaan peritungan dari masing-masing pendekatan! Penyelesaian Harga eksak untuk ungkapan integral tersebut adala.6667. Harga eksak ini berungsi untuk memperole perbandingan kesalaan antara peritungan secara analitik dengan asil pendekatan numerik. Integrasi Numerik 5

Bab Pendekatan integrasi dengan menggunakan satu segmen Jika batas baa a dan batas atas b, maka lebar segmen dapat ditentukan dengan b a, karena N maka lebar segmen, seingga N pada, [4 ] [ ], 4( ) ( ) Ungkapan (-) selanjutnya menjadi I [ ] Jadi I [ ] [ ]. 5.6667.5 Kesalaan asil pendekatan integrasinya : %.%.6667 Pendekatan integrasi dengan menggunakan dua segmen b a lebar segmen untuk pendekatan ini adala. 5 N pada, [4 ].5.5, [4.5.5 ].75.5, [4 ] Ungkapan integrasi trapesium (-) menjadi I [ ] diperole [ (.75).].65.5 I..6667.65 Kesalaan pendekatan integrasinya adala %.59%.6667 Pendekatan integrasi dengan menggunakan empat segmen b a lebar segmen integrasinya. 5, N 4 pada, [4 ].5.5, [4.5.5 ].975.5.5, [4.5.5 ].75 Integrasi Numerik 5

Bab.5.75, [4.75.75 ].475 4 4.5, 4 [4 ] 4, Selanjutnya ungkapan integrasi (-) menjadi I [ ] diperole.5 I [ (.975) (.75) (.475).].656.6667.656 Kesalaan asil pendekatan integrasinya : %.64%.6667 Kalau kita peratikan dari ketiga asil yang tela diperole di atas, maka kita dapat menyimpulkan baa dengan memperbanyak jumla langka maka akan diperole asil yang semakin dekat dengan asil eksaknya. Namun, yang perlu disadari juga baa dengan memperbanyak jumla langka, maka proses peritungannyapun akan semakin membutukan aktu lebi lama. Gambar.4 ditunjukkan bagan alir program komputer untuk metode trapesium. Integrasi Numerik 5

Bab Mulai Mendeinisikan ungsi () Masukkan a, b dan N (b-a)/n; ak Inisialisasi sum(a)(b) or n:n- an sumsumak*(); Tampilkan asil Hasil/*(sum) Selesai Gambar.4 Bagan alir metode trapesium Selanjutnya, di baa ini diberikan conto program komputer untuk aturan trapesium untuk melakukan pendekatan asil pada 4 d %Program Aturan_Trapesium inline('4*-^',''); asil_eksak.6667; ainput('masukkan batas baa integrasi :'); binput(' masukkan batas atas integrasi :'); Ninput('masukkan jumla segmen N :'); (b-a)/n; sum(a)(b); ak or i:n- Integrasi Numerik 54

Bab ai*; sumsum*() end asil_numeriksum*/.; selisiasil_eksak-asil_numerik; kesalaanabs(selisi/asil_eksak); print('% %',asil_numerik,kesalaan);.. Aturan Titik Tenga Pada dasarnya, aturan titik tenga diperole degan cara yang sama dengan aturan trapesium. Dengan mengevaluasi ungsi () pada titik tenga setiap interval, maka kesalaannya akan lebi kecil dibandingkan dengan aturan trapesium. Gambar (-5) memberikan tasiran grais teradap pendekatan ini. Gambar.5 Tasiran grais aturan titik tenga Kita dapat mereduksi kesalaan dari metode ini dengan cara membagi interval ingga menjadi n segmen yang lebi kecil. Aturan titik tenga banyak segmen ini selanjutnya dapat dinyatakan menjadi N N d n n (-5) Integrasi Numerik 55

Bab Gambar (-7) memberikan interpretasi secara grais teradap metode titik tenga dengan banyak segmen. Gambar.6 Interpretasi grais metode titik tenga gabungan Algoritma program untuk aturan titik tenga dapat dinyatakan sebagai berikut: Mendeinisikan ungsi yang akan diintegrasikan Menentukan batas baa b dan batas atas a Mengitung lebar segmen yaitu b a n Inisialisasi (memberikan arga aal) ungsi yang diintegrasikan yaitu sum Mengitung jumlaan dari i ingga in- ( a ( i / ) ) sum sum Mengitung asil integrasi, yaitu I * sum Mencetak asil peritungan Diagram alir untuk program komputer titik tega dapat diliat pada gambar.7. Integrasi Numerik 56

Bab Mulai Mendeinisikan ungsi () Masukkan a, b dan N (b-a)/n; Inisialisasi sum or n:n- a(n/) sumsum*(); Tampilkan asil Hasilsum Selesai Gambar.7 Diagram alir untuk program komputer titik tega Kesalaan Metode TitikTenga Kesalaan pada metode integrasi titik tenga dapat diperole sebagai berikut. Pertama, ekspansi deret Taylor untuk d dan d diperole Integrasi Numerik 57

Bab d ' ' ' 6 ' ' '... (-6a) d ' ' ' 6 ' ' '... (-6b) Kemudian dengan mengurangkan (-6b) teradap (-6a) diperole seingga d! d ' ' 5 5! d iv... d! ' ' 5 5! iv... d d (-7a) (-7b) dengan mengambil mk /, maka d mk! ' ' 5 5! atau kesalaan untuk metode integrasi titik tenga iv... (-7c) E 4 ' ' mk (-8) Conto soal. Hitungla integral dibaa ini menggunakan aturan titik tenga dengan satu segmen, dua segmen dan empat segmen 4 d kemudian itung kesalaan peritungan dari masing-masing pendekatan! Penyelesaian Hasil eksak untuk bentuk integral tersebut adala.6667. Untuk pendekatan integrasi satu segmen Integrasi Numerik 58

Bab lebar segmen b a N Ungkapan (-4) selanjutnya menjadi d a.5. Kemudian kita akan mengevaluasi ungsi untuk tiap simpul (dalam kasus ini anya ada satu simpul).5 4.5.5.75, seingga diperole 4 d [4.5.5 ].75. Kesalaan yang diberikan ole integrasi ini adala.6667.75 %.6667 4.9979% Untuk pendekatan integrasi dua segmen lebar segmen.5.5 Ungkapan (-4) selanjutnya menjadi d { a.5 a. 5 }. U Kemudian dievaluasi ungsi untuk tiap simpul (dalam kasus ini anya ada dua simpul) (.5) 4(.5) (.5).975 (.75) 4(.75) (.75).475, seingga diperole 4 d.5.975.475. 6875. Kesalaan.6667.6875 yang diberikan ole pendekatan ini adala %.48%.6667 Untuk pendekatan integrasi empat segmen lebar segmen. 5 4 Integrasi Numerik 59

Bab Ungkapan (-4) selanjutnya menjadi d { a. 5 a. 5 a. a.5 }. Untuk Kemudian dilakukan evaluasi ungsi-ungsi (.5) 4(.5) (.5).4844 (.75) 4(.75) (.75).594 (.65) 4(.65) (.65).94 (.875) 4(.875) (.875).744, selanjutnya akan diperole 4 d.5 {.4844. 594.94.744 }.679. Kesalaan yang diberikan ole pendekatan ini adala.6667.6875 %.%.6667 Conto program komputer untuk metode titik tenga dapat diliat pada conto program dibaa ini %Program Titik_Tenga inline('4*-^',''); asil_eksak.6667; ainput('masukkan batas atas integrasi a:'); binput('masukkan batas baa integrasi b:'); Ninput('masukkan jumla segmen N:'); (b-a)/n; sum.; or i:n- a(i.5)*; sumsum(); end asil_num*sum; selisiabs(asil_eksak-asil_numerik); print('asil_numerik %,error%',asil_num,selisi). Metode Simpson / Metode Simpson merupakan sebua metode alternati pendekatan integral disamping metode trapesium dan titik tenga. Dengan menggunakan metode Simpson ini Integrasi Numerik 6

Bab diarapkan meskipun lebar segmen pada integrasi diambil cukup lebar, namun diarapkan akan diperole ketelitian yang lebi tinggi dari metode sebelumya. Dengan mengintegralkan deret Taylor sepanjang interval dan mengurangkannya dengan d ' 4 ' ' ' ' ' 4 4 5 iv 5... [ 4 ' ' ' 6 ' ' ' 4 iv... 4 ' ' ' 4 ' ' ' iv... 4 7 iv...] 4 [ 4 ] O 5 (-9) Dari ungkapan (-5) terliat baa kesalaan pendekatan integrasi Simpson / adala O( 5 ), sedangkan kesalaan pada aturan trapezium dan titik tenga adala O( ), ini berarti baa aturan Simpson / memiliki ketelitian dua orde lebi tinggi dibandingkan metode trapesium dan titik tenga. Tetapi, kita akan mengitung lebi teliti lagi seberapa kesalaan yang dialami metode Simpson / ini. Untuk tujuan ini, kita arus melakukan ekspansi deret Taylor untuk ungkapan pendekatan integrasi Simpson segmen [ k 4 k k ] [ 4 k k k ' ' 4 k 4! iv k...] (-) k ' ' 5 k 6 iv k... Ekspansi deret Taylor untuk Integrasi Numerik 6

Bab k k d k! ' ' k 5 5! iv k... (-) Dengan mengurangkan (-) dari (-) diperole kesalaan untuk metode Simpson / sebesar E 5 6 iv k (-) Untuk meningkatkan ketelitian saat mengintegralkan seluru interval yang lebi lebar, maka interval antara dan dapat dibagi menjadi n langka. Evaluasi pada tiga titik untuk setiap subinterval memerlukan jumla yang genap. Jumla interval genap ini merupakan syarat yang arus dipernui saat kita menerapkan metode ini. Ole sebab itu, kita arus menyatakan jumla interval menjadi nm. Aturan Simpson / kemudian menjadi N d [ 4 4... N 4 N N ] (-6) atau secara umum b a d N / [ a 4 i N / i i genap i b ] (-7) Algoritma program metode Simpson / Deinisikan ungsi yang akan diintegrasikan Tentukan batas baa b dan batas atas a integrasi Tentukan jumla segmen N Hitung lebar segmen b a N Inisialisai jumlaan sum ( a) ( b) Inisialisasi aktor bobot ak 4 Integrasi Numerik 6

Bab Hitung jumlaan dari i ingga in Tentukan node tiap-tiap i a i Berikan syarat jika (ak 4), maka ak Hitung nilai integral sum sum ak * ( ) Hitung asil akir penjumlaan Hasil * sum Conto soal. Dapatkan pendekatan dari integral dibaa ini menggunakan aturan Simpson dengan segmen 4 d kemudian itung kesalaan peritungan dari pendekatan tersebut! Penyelesaian Hasil eksak untuk bentuk integral tersebut adala.6667. Untuk pendekatan integrasi dua segmen Diketeui a, b dan N. Tentukan lebar segmen. 5. b Ungkapan (-) selanjutnya menjadi ( ) d [ ] 4. a Kemudian kita akan mengevaluasi ungsi untuk tiap simpul (ada tiga simpul), ( ) 4( ) ( ).5, (.5) 4(.5) (.5). 75, (.) 4(.) (.). Selajutnya akan diperole pendekatan integrasi 4 d.5 [ 4.75.]. 6667. Kesalaan yang diberikan ole pendekatan ini adala. 6667. 6667.6667 Conto Soal.4 Integrasi Numerik 6

Bab Penyelesaian Hitungla pendekatan dari integral e d menggunakan metode Simpson / dengan 4 segmen. Hasil eksaknya diketaui sama dengan 7.67. Untuk pendekatan integrasi 4 segmen Diketeui a, b dan N 4, jadi lebar segmen 4.5. Evaluasi ungsi untuk tiap simpul (ada lima simpul), e.78.5.5,.5 e.5 4.487.5,. e 7.89.5.5,.5 e.5.85 4., 4. e.855 Dari ungkapan (-) diperole e d [ 4 4 4 ].5 [.78 4 4.487 7.89 4.85.855] 7.7 Kesalaan yang diberikan ole pendekatan ini adala 7.67 7.7.7.7 % 7.67 Dari asil yang diperole pada conto soal., kita dapat ketaui baa dengan mebgambil dua segmen saja, metode Simpson / suda dapat memperole asil yang eksak. Na, tetapi kita arus memaami kenapa al ini dapat terjadi. Jaaban yang dapat kita berikan mengapa ini terjadi adala karena integran dari bentuk integral tersebut merupakan polinomial orde dua. Sedangkan, metode Simpson / sebenarnya dapat diturunkan melalui interpolasi lagrange orde kedua. Ole sebab itu, metode Simpson / Integrasi Numerik 64

Bab akan memberikan asil yang eksak apabila digunakan untuk mendekati integral ungsi kuadrat. Misalnya ditinjau sebua polinomial orde dua yang diasumsikan,, panjang segmen teradap polinomial Lagrange orde dua, yaitu ( ) d ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) d ( ) d a, b a. Selanjutnya dilakukan integrasi ( )( ) ( )( ) Dari ungkapan integral tersebut, dengan muda akan diperole ( ) d [ ( ) ( ) ( )] 4 ( ) d (-8) (-9) Ungkapan (-9) sebenarnya juga dapat diperole dengan cara sebagai berikut. Dimisalkan n, dalam kasus demikian ole karena, maka ( n ). Dengan cara yang sama diperole ( n ). Untuk suku pertama integral, yaitu ( )( ) ( )( ) dapat disederanakan menjadi ( ) d (-a) n n ( ) ( n )( n ) dn ( ) n ( ) Untuk suku kedua integral, yaitu ( )( ) ( )( ) dapat disederanakan menjadi n n dn [ ( ) d (-b) (-a) n n ] 4 (-b) Integrasi Numerik 65

Bab Untuk suku ketiga integral, yaitu [ ] disederanakan menjadi (-a) berbentuk n n dn [ n n] 4 (-b) Dari (-8) diperole pendekatan integral dengan metode Simpson dua segmen d [ 4 ] (-) Kesalaan Pembulatan Sumber kesalaan pembulatan yang dialami ole metode Simpson pada dasarnya sama dengan kesalaan pembulatan yang dialami pada metode trapesium maupun metode titik tenga. Secara umum, kita berarap baa kesalaan relati teradap pembulatan yang dialami ole beberapa integrasi numerik adala orde dari. Untuk tau kenapa demikian, sekarang kita kembali ke bentuk pendekatan dari ungkapan integral yaitu, N d i i (-4) i Dari ungkapan pendekatan integral tersebut, secara garis besar dapat diperinci sumber-sumber kesalaan pembulatan yang muncul yaitu, Kesalaan yang muncul karena perkalian antara aktor bobot i dengan evaluasi ungsi-ungsi ( i ). Kesalaan yang muncul akibat penambaan antar suku-suku. Kesalaan akibat evaluasi ungsi-ungsi ( i ). Gambar.8 ditunjukkan bagan alir dari program komputer untuk metode Simpson /. Conto implementasi program Simpson / disajikan untuk conto ungsi ep dengan batas baa integrasi dan batas atas integrasi. Integrasi Numerik 66

Bab Mulai Mendeinisikan ungsi () Masukkan a, b dan N (b-a)/n; ak Inisialisasi sum(a)(b) or n:n- an Apaka ak? TIDAK YA ak ak4 sumsumak*(); Tampilkan asil Hasil/*(sum) Selesai Gambar.8 Bagan alir metode Simpson / Integrasi Numerik 67

Bab %Program Simpson / inline('ep()',''); binput('masukkan batas atas integrasi b:'); ainput('masukkan batas baa integrasi a:'); Ninput('masukkan jumla segmen N:'); asil_eksak(b)-(a); i(n < ) print('jumla segmen >.Ulangi!!'); break; end; i (mod(n,)~) NN; end; (b-a)/n; sum(a)(b); ak; or i:n- ai*; i(ak) ak4; else ak; end sumsumak*(); end asil_num/*sum; errorabs(asil_eksak-asil_num); print('asil numerik %, error%',asil_num,error) Aturan Simpson /8 Untuk meningkatkan ketelitian yang tela diberikan ole metode Simpson /, maka diperkenalkan metode Simpson yang lain yaitu metode Simpson /8. Metode Simpson / memerlukan jumla langka yang genap untuk menerapkan metodenya. Dengan kata lain, jumla langka untuk metode Simpson / arus dapat dibagi dengan. Lain alnya dengan metode Simpson /8, metode ini tidak mensyaratkan jumla langka genap ataupun ganjil melainkan jumla langka yang dapat dibagi dengan. Ungkapan metode Simpson /8 untuk segmen dinyatakan ole Integrasi Numerik 68

Bab d 8 [ ] (-5) Sedangkan untuk banyak segmen N d 8 [ 4 5... N N N N ] (-6a) atau secara umum (-6) dapat dinyatakan sebagai b a d N / 8 [ a N / n N / N n n N b ] Dibaa ini diberikan algoritma metode Simpson /8 N (-6b) Algoritma metode Simpson /8 Deinisikan ungsi yang akan diintegrasikan Tentukan batas baa ( a ) dan batas atas ( b) integrasi Tentukan jumla segmen N (n arus kelipatan ) Hitung lebar segmen Inisialisai sum ( a) ( b) b a n Hitung untuk i ingga i n a i * Jika (mod(i,) or mod(i,)), maka ak Jika syarat di atas tidak terpenui, maka ak Hitung nilai integral sum sum ak * ( ) Tulis asilnya peritungan Hasil * sum 8 Conto program Simpson /8 disajikan di baa ini untuk ungsi ep() dengan batas baa integrasi a dan batas atas integrasi b. Integrasi Numerik 69

Bab %Program Simpson /8 inline('4*-^',''); dinline('*^-/*^',''); ainput('masukkan batas baa integrasi a:'); binput('masukkan batas atas integrasi b:'); Ninput('masukkan jumla segmen N:'); asil_eksakd(b)-d(a); i(n < ) print('jumla segmen >.Ulangi!!'); break; end; (b-a)/n; sum(a)(b); or i:n- ai*; i(mod(i,) mod(i,)) ak; else ak; end sumsumak*(); end asil_num/8**sum; errorabs(asil_eksak-asil_num); print('asil numerik %, error%',asil_num,error) Integrasi Numerik 7

Bab Mulai Mendeinisikan ungsi () Masukkan a, b dan N Apaka N kelipatan? (b-a)/n; Inisialisasi sum(a)(b) or n:n- an Apaka mod(n,) atau mod(n,)? TIDAK ak YA ak sumsumak*(); Tampilkan asil Hasil/8*(sum) Selesai Gambar.8 Bagan alir program Simpson /8 Integrasi Numerik 7

Bab. Integrasi Kuadratur Sala satu metode paling muda untuk mengitung integral adala dengan mengevaluasi ungsi tersebut pada sejumla lokasi dan kemudian menggunakan asilnya untuk mengampiri integral tersebut. Pada setiap lokasi titik yang tela ditentukan tersebut bersesuaian dengan aktor bobot tertentu. Selanjutnya kita dapat menjumlakannya I N i ( ) i i (-7) Dimana dengan titik ke-i. i merupakan titik-titik evaluasi dan i adal aktor bobot yang bersesuaian Untuk menerapkan ungkapan (-7) dalam pendekatannya teradap sebua integral, maka perlu ditentukan titik evaluasi dan aktor bobot yang bersesuaian tersebut. Untuk maksud tersebut, maka kita mempersyaratkan baa persamaan (-7) arus memenui integral ungsi-ungsi antara lain ( ) ( ) ( ) (-8) Dengan mensubstitusi ungsi-ungsi pada (-8) ke persamaan (-7) akan memberikan beberapa persamaan simultan dalam beberapa aktor bobot. Conto i yang dapat kita pecakan untuk Penyelesaian paling sederana untuk persamaan (-7) diperole jika jumla titik yang digunakan anya dua bua. Jadi, diperole empat persamaan simultan yaitu Untuk ( ), Untuk ( ), ( ) ( ) d Integrasi Numerik 7

Bab Untuk ( ), Untuk ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d Selanjutnya, kita tela memperole empat persamaan simultan yaitu Jika empat persamaan simultan tersebut diselesaiakan maka akan diperole arga-arga,5775,5775 Dengan mensubstitusi titik-titik yang diperole serta aktor bobotnya, maka ungkapan (-7) menjadi I Selanjutnya, kita akan mencari titik-titik dan aktor bobot yang bersesuaian untuk pendekatan integrasi Gauss tiga titik. Seperti alnya pada pencarian titik-titik dan aktor bobot pada integrasi Gauss dua titik, maka persamaan (-7) arus memenui ubungan sebagai berikut Untuk ( ), ( ) ( ) ( ) d Integrasi Numerik 7

Bab Bab Untuk ( ), ( ) ( ) ( ) d Untuk ( ), ( ) ( ) ( ) d Untuk ( ) ( ) ( ) ( ) d Untuk ( ) 4, ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 5 d Untuk ( ) 5 ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 d Dari enam ungkapan di atas, maka kita tela memperole enam persamaan simultan linier yaitu 5 5 5 5 4 4 4 Dengan menyelesaikan enam persamaan simultan linier di atas, maka akan diperole arga untuk titik-titik dan aktor bobot yang bersesuaian yaitu,555555556,774596669,888888889,555555556,774596669 Integrasi Numerik Integrasi Numerik 74 74

Bab Tabel. diberikan arga titik-titik Gauss dan aktor bobot yang bersesuaian untuk beberapa jumla titik. Tabel. Datar titik-titik Gauss dan aktor bobot yang bersesuaian Jumla Titik N,577569 ± i i, N N 4 N 5 N 6 N 8 N,774596669,9984,866,58469,9679846,86986,66987,946954,84464,5554,796666478,9689857,488749,49594,67949568,865667,979658,888888889,555555556,654555,47854845,568888889,4786867,696885,467995,67657,7449,66878,76646,84,856,95545,696679,9866,494549,666744 Yang perlu diperatikan adala baa batas-batas integrasi yang terpenui untuk metode kuadratur ini adala - ingga. Hal ini tentunya menjadikan penylesaiaan dengan metode ini kurang lues. Ole sebab itu, perlu dilakukan transormasi teradap batas baa dan batas atas integrasi tersebut, misalnya a dan b masing-masing untuk batas baa dan batas atas integrasi. Untuk itu, kita menganggap baa terdapat ubungan antara t dengan melalui ubungan Integrasi Numerik 75

Bab dimana t a b (-9) b a t merupakan kooordinat origin yang berada dalam interval [a,b] atau a t b, sedangkan adala koordinat ternormalisasi yang berada dalam rentang < <. Transormasi dari ke t memberikan ( b a) a b t (-) Dengan menggunakan ungkapan transormasi (-), maka integral dapat dinyatakan sebagai dimana Harga-arga dari dengan titik-titik Gauss, yaitu Conto. b a i N b a ( t ) dt ( t )( dt d) d i ( t ) i (-) d t /d b a / (-) t diperole dengan cara mensubstitusi dalam persamaan (-) i ( b a) i a t i b Misallkan diketaui N, a, b. Ole karena titik-titik Gauss untuk N pada koordinat ternormalissi adala ±,577569, maka titik-titik yang bersesuaian dengan ti adala t t [( )( -,577569) ],995 [( )(,577569) ] 8,9875 Sedangkan d ( b a) / 4, 5 d t, seingga kuadratur Gauss menjadi ( ) d ( )( d d) d ( 4,5) {( ) (,995) ( ) ( 8,9875) } t t t t Integrasi Numerik 76

Bab % Program Gauss Kuadratur input('masukkan ungsi integrand (gunakan inline() :'); ainput('masukkan batas baa integrasi :'); binput('masukkan batas atas integrasi :'); Ninput('Integrasi Kuadratur yang digunakan (,,4,5,6,8,) :'); i (N) load gauss.tt; gauss(:,);gauss(:,); elsei(n) load gauss.tt; gauss(:,);gauss(:,); elsei(n4) load gauss4.tt; gauss4(:,);gauss4(:,); elsei(n5) load gauss5.tt; gauss5(:,);gauss5(:,); elsei(n6) load gauss6.tt; gauss6(:,);gauss6(:,); elsei(n8) load gauss8.tt; gauss8(:,);gauss8(:,); elsei(n) load gauss.tt; gauss(:,);gauss(:,); else print('ulangi, masukan jenis Gauss sala!'); end; jum; or i:n jumjum(i)*((i)); end; jumla(b-a)/*jum; print('hasil Integrasi Kuadratur %i titik adala %',N,jumla); Integrasi Numerik 77

Bab SOAL DAN LATIHAN. Hitungla dengan metode trapesium integral berikut ini dengan menggunakan,4dan 6 segmen. a) d / b) 5 4 cos d c) cos sin d d) arctan e) e d d. Ulangi pertanyaan nomor ) dengan menggunakan metode titik tenga dengan, 4 dan 6 segmen. Bandingkan asilnya dengan asil sebelumnya.. Berapaka kira-kira kesalaan peritungan integrasi pada soal nomor, jika Saudara menggunakan ungkapan (-) dan (-8). 4. Hitungla integral di baa ini dengan metode Simpson / dengan,4 dan 6 segmen. / a) sin d b) c) ln d d d) ln sin d e) ln d 5. Ulangila pertanyaan nomor ) dengan metode Simpson /8 dengan,6,9 dan segmen. Bandingkan asilnya dengan asil sebelumnya. 6. Dengan menggunakan ubungan m sin sin j cos cos m, j m sin cos j sin m sin j Integrasi Numerik 78

Bab dengan m adala bilangan integer posit, maka tunjukkan baa untuk metode trapesium banyak segmen dengan jumla m subinterval akan memberikan arga eksak pada setiap integral berikut ini cosr d, sin r d untuk setiap bilangan integer r yang bukan merupakann multipel dari m. Harga berapaka yang diberikan ole metode trapesium untuk integral-integral tersebut jika rmk dan k adala bilangan posit integer. 7. Hitungla integral berikut ini dengan menggunakan metode kuadratur Gauss titik. Kemudian bandingkanla dengan dengan asil eksaknya..5 a) ln d /4 b) sin d.5 c) 4 d.6 d) 4 d e) e d /4 ) e sin d 8. Ulangila soal nomor dengan kuadratur Gauss titik. 9. Ulangila soal nomor dengan kuadratur Gauss 4 titik.. Ulangi sekalilagi soal nomor dengan kuadratur Gauss 6 titik. Kemudian bandingkanla asilnya dengan asil-asil sebelumnya jika dibandingkan dengan asil eksaknya. Integrasi Numerik 79