BAB VI DISTRIBUSI ROBABILITAS MENERUS 6. Distribusi Uniform (seragam) Menerus Distribusi seragam menerus merupakan distribusi yang paling sederhana. Karaketristik distribusi ini adalah fungsi kepadatannya datar (sama). Fungsi kepadatannya dalam interval [A,B] secara matematis dinyatakan sebagi berikut: A B f ( : A, B) = B A selainnya Contoh: Bila ruang konferensi dapat didigunakan tidak lebih dari 4 jam. Diasumsikan bahwa lamanya waktu konferensi X memiliki distribusi yang seragam. a. Tentukan fungsi kepadatan probabilitas: 4 f ( : A, B) = 4 selainnya b. Berapa probabilitas bahwa waktu konferensi paling tidak 3 jam 4 [ X 3] = ( / 4) d = / 4 3 Rata-rata dan varians dari distribusi seragam adalah: A + B μ = dan ( B A) = 6. Distribusi Normal Distribusi probabilitas menerus yang paling penting adalah ditsribusi normal. Secara grafiknya disebut kurva normal seperti gambar berikut: VI -
μ Distribusi normal sering disebut juga dengan Distribusi Gauss. Secara matematis distribusi normal tergantung dari dua variabel yaitu μ (rata-rata) dan (deviasi standar). Fungsi kepadatannya (density function) sbb: ( μ) f ( ) = ep, π < <, π = 3.459K Notasi singkat distribusi ini adalah N(μ,) Distribusi Normal Standar Distribusi Gauss dengan μ =, dan = ; disebut sebagai distribusi normal standar dan ditulis sebagai N(,). Sehingga fungsi kepadatannya adalah: () ep fs s =, s π < s <, Notasi khusus Φ(s) biasanya digunakan untuk menandakan fungsi distribusi variasi normal standar S. Φ(s) = F s (s), dimana S adalah distribusi N(,). f s (s) robabilitas = p N(,) s p Gambar: Fungsi kepadatan normal standar VI -
Dengan merujuk pada gambar diatas, maka Φ(s p ) = p Sebaliknya, nilai variasi normal standar pada probabilitas kumulatif p dapat ditulis sebagai: s p - (p) Fungsi distribusi dari N(,), yakni Φ(s) sudah dibuat dalam tabel di berbagai buku statitsik dan probabilitas, tabel ini disebut sebagai Tabel probabilitas normal. Contoh tabelnya sebagai berikut: Φ(s)..5..53989..57978.....5.694463 Tabel biasanya diberikan untuk nilai variasi yang positif, untuk nilai yang negatif dapat diperoleh dengan: Φ(-s) = - Φ(s) Nilai s untuk p <.5 dapat dihitung dengan: s - (p) = - Φ - (-p) Dengan tabel Φ(s), probabilitas untuk setiap distribusi normalyang lain dapat ditentukan sebagai berikut. Bila variasi normal X dengan distribusi N(μ,); maka probabilitasnya adalah: b ( μ) ( a < X b) = ep d π a Area diatas dapat diilustrasikan seperti gambar berikut: VI - 3
f () Area = (a < b) N(μ,) a μ b Gambar: Fungsi kepadatan probabilitas untuk N(μ,) ersamaan diatas dapat juga diselesaikan dengan membuat perubahan variasi berikut: sehingga: s = ( μ ) / dan d = ds ( a < X b) = = π π ( b μ ( a μ ( b μ ( a μ e (/ ) s (/ ) e s ds ds persamaan ini merupakan area (luasan) dari fungsi kepadatan normal standar antara (a-μ dan (b-μ. Sehingga dapat ditentukan dengan: b μ a μ Φ ( a < X b) Contoh: Dari data menunjukkan curah hujan total tahunan di suatu kolam penampung diperkirakan memiliki distribusi normal dengan rata-rata 6 in, dan deviasi standar 5 in. a. Tentukan probabilitas bahwa pada tahun depan curah hujan tahunan antara 4 sampai 7 in. VI - 4
Solusi: 7 6 4 6 Φ 5 5 ( 4 < X 7) Dari tabel diperoleh: (.67) Φ(.33) (.67) [ Φ(.33) ] ( 4 < X 7) =.7486 (.98) =. 6568 b. Berapa probabilitas curah hujan tahunan paling tidak (minimal) 3 in 3 6 5 ( X 3) ( ) Φ (.) = [ Φ(.) ] (.). 977 = Φ = c. Tentukan nilai curah hujan tahunan bila disktribusi kumulatifnya adalah %. ( X. ) =. Φ 6 5 =. Dari table menunjukkan bahwa probabilitas kurang dari.5 terkait dengan nilai variasi negative, sehingga; Sehingga, 6 5 (.) = Φ (.9) =. 8 = 6.8(5) = 4.8 in Contoh: struktur cangkang ditopang oleh tiga tiang A, B, C seperti tunjukkan pada gambar berikut: Walaupun beban dari atap dapat C diperkirakan dengan tepat, namun kondisi tanah tidak bisa diprediksi dengan tepat. A B VI - 5
Asumsikan bahwa penurunan pondasi ρ A, ρ B, ρ C, adalah variasi normal bebas dengan rata-rata,.5; dan 3 cm. Koefesien varians masing-masing adalah %, %, 5%. Berapa probabilitas maksimum penurunan melebihi 4 cm? Solusi: ( ma ρ > 4 cm) = ( ma ρ 4 cm) = ( ρ A 4 ρb 4 ρc 4) ( ρ 4) ( ρ 4) ( ρ 4) = A B C 4 4.5 = Φ Φ Φ.4.5 () 5 Φ() 3 (.333) = Φ Φ 4 3.75 =.9986.988 =.95 6.3 Distribusi Logaritmik Normal (Log-normal) Suatu variabel acak X merupakan distribusi probabilitas logaritmik normal (lognormal) bila ln X (logaritmik natural X) adalah normal. Dalam kasus ini fungsi kepadatannya adalah: (ln λ) f ( ) = ep, < π dimana rata-rata = λ = E( ln X ) dan deviasi standar = = Var( ln X ) Karena transformasi logaritmik, distribusi probabilitas log-normal dapat ditentukan dengan menggunakan distribusi normal. b ( a < X b) = Bila, a ep π ln λ s =, maka d = ds ( ln b λ < (ln ( a X b) = ep [] s π ( ln a λ λ) d ln b λ ln a ds Φ λ VI - 6
Rumus diatas menunjukkan probabilitas adalah fungsi dari parameter λ dan. arameter ini terkait dengan nilai rata-rata μ dan deviasi standar. Y Misalkan Y = ln X, merupakan distribusi normal N ( λ, ), maka X = e, dan Y ( X ) E( e ) μ = E = y = e y ( λ) ep dy π ( y λ) = ep y dy π μ = π ep ( λ ) y + dy ep λ + ersamaan dalam tanda kurung diatas adalah total satu satuan luas dari fungsi kepadatan Gauss N ( λ +, ) μ = ep λ +. Oleh karena itu: λ = ln μ Dengan cara yang sama, varians dari X adalah: E( X )= E π e y ( y λ ep ) dy { y ( λ + ) y + λ } = ep dy π y ( ) ( λ + ) X = ep dy ep[ ( λ + )] = ep π [ ( λ + )] Karena; Var( X ) = E( X ) μ ; maka Var ( X ) = ep[ ( λ + )] ep ( λ + ) [ ] = μ ( e ) VI - 7
dari persamaan diatas kita dapatkan: = ln + ; μ Bila /μ tidak besar (.3), maka ln[ ( / μ )] / μ = δ = COV μ Median ( m ) = nilai tengah dari log-normal adalah: Sebaliknya: + ; sehingga: ln ( X m ) =. 5 atau Φ m λ =. 5 ; maka: ln m λ = e m y (.5) = λ = ln m Dengan menggunakan persamaan-persamaan sebelumnya diperoleh: μ μ m = λ = ln + δ + δ Hal ini berarti median dari suatu distribusi log-normal selalu lebih kecil dari nilai rata-ratanya, yakni m < μ Contoh: Dari data menunjukkan curah hujan total tahunan di suatu kolam penampung diperkirakan memiliki distribusi log-normal dengan rata-rata 6 in, dan deviasi standar 5 in. a. Tentukan probabilitas bahwa pada tahun depan curah hujan tahunan Solusi: antara 4 sampai 7 in. 5 = = μ 6.5 λ = ln μ = ln 6 (.5) = 4. 6 VI - 8
7 4.6 4 4.6 Φ.5.5 ( 4 < X 7) Dari tabel diperoleh: (.75) Φ(.48) (.75) [ Φ(.48) ] ( 4 < X 7) =.773373.69437 =. 739 b. Berapa probabilitas curah hujan tahunan paling tidak (minimal) 3 in 3 4.6.5 ( X 3) ( ) Φ (.64). 9958 = Φ = c. Tentukan nilai curah hujan tahunan bila disktribusi kumulatifnya adalah %. ( X. ) =. ln 4.6 Φ =..5 Dari table menunjukkan bahwa probabilitas kurang dari.5 terkait dengan nilai variasi negative, sehingga; ln 4.6.5 Sehingga, ln = 4.6.8(.5) = 3. 74 (.) = Φ (.9) =. 8 3.74 = e = 4. inc 6.4 Distribusi Gamma dan eponensial Distribusi gamma dan eponensial terkait dengan proses oisson. Distribusi gamma berasal dari fungsi gamma yang diformulasikan sebagai berikut: α ( ) = e d Γ α untuk α > Dengan memisalkan u = α dan dv = e d, diperoleh: VI - 9
Γ α α α ( α ) = e + e ( α ) d = ( α ) d untuk α >., menghasilkan rumusan pengulangan Γ Γ ( α ) = ( α ) Γ( α ). ( α ) = ( α )( α ) Γ( α ) = ( α )( α )( α 3) Γ( α 3). dan seterusnya, Bila α = n, dimana n adalah bilangan bulat positif, maka Γ ( n ) = ( n )( n ),..., Γ( ) Berdasarkan rumus fungsi gamma: Γ Γ () = e d = ( n ) = ( n )!. Sehingga: Fungsi kepadatan distribusi gamma dari suatu variabel acak X, dengan parameter α dan β adalah: / α β e, α f ( ) = β Γ( α ) >, selainnya dimana α > dan β > Bila α =, maka distribusi tersebut dinamakan distribusi eponensial, fungsi kepadatannya adalah: f ( ) / β e > = β selainnya Rata-rata dan varians distribusi gamma adalah: μ = αβ dan = αβ VI -
Rata-rata dan varians distribusi eponensial adalah μ = β dan = β Contoh: Suatu sistem terdiri dari komponen tertentu yang waktu terjadi kerusakkannya dinyatakan dengan T. Variabel acak T diasumsikan memiliki distribusi eponensial dengan rata-rata β = 5. Bila 5 dari kompenen ini dipasang pada sisitem yang berbeda, berapa probabilitas bahwa paling tidak komponen masih berfungsi pada akhir tahun ke 8. Solusi: robabilitas komponen masih berfungsi pada akhir tahun ke 8 adalah: 5 t / 8 5 ( > 8) = e dt = e 8 /. T 8 Dengan menggunakan distribusi binomial diperoleh: n 5 ( ) = q n X p = n p q n =.7373 =.67. VI -